安徽省屯溪一中2024-2025学年高二上学期期末质量检测数学试题

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时间：120分钟 满分：150分
第I卷（选择题）
单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.已知空间中三点A−1,0,1，B−1,2,2，C−3,0,4，则下列说法正确的是( )
A. AB⋅AC=3B. AB//AC
C. |BC|=12D. csAB,AC=365
2.若直线l的方向向量a=(1,2,−1)，平面α的一个法向量m=(−2,−4,k，)若l⊥α，则实数k=( )
A. 2 B. −10 C. −2 D. 10
3.在数列{an}中，a1=1，Sn+1=4an+2，则a2019的值为( )
A. 757×22020B. 757×22019C. 757×22018D. 无法确定
4.过点P(−2,4)作圆O：(x−2)2+(y−1)2=25的切线l，直线m：ax−3y=0与直线l平行，则直线l与m的距离为( )
A. 4B. 2C. 85D. 125
5.设F1，F2为曲线C1：x26+y22=1的左，右两个焦点，P是曲线C2：x23−y2=1与C1的一个交点，则△PF1F2的面积为( )
A. 2B. 2 2C. 1D. 12
6.直线l：kx+y+4=0(k∈R)是圆C：x2+y2+4x−4y+6=0的一条对称轴，过点A(0,k)作斜率为1的直线m，则直线m被圆C所截得的弦长为( )
A. 22B. 2C. 6D. 2 6
7.已知椭圆的两焦点F1，F2和双曲线的两焦点重合，点P为椭圆和双曲线的一个交点，且cs∠F1PF2=14，椭圆和双曲线的离心率分别为e1，e2，则e12+e22的最小值为( )
A. 1+ 154B. 152C. 14D. 154
8.已知数列{bn}满足b1=1，b2=4，bn+2=(1+sin2nπ2)bn+cs2nπ2，则该数列的前23项的和为( )
A. 4194B. 4195C. 2046D. 2047
二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.
9.下面四个结论正确的是( )
A. A，B，C不共线，面ABC外任一点O，有OM=13OA+13OB+13OC，则M，A，B，C共面.
B. 有两个不同的平面α，β的法向量分别为u，v，且u=1,2,−2，v=−2,−4,−4，则α//β
C. 已知向量a=1,1,x，b=−3,x,9，若x0)的左、右焦点分别为F1(−c,0)，F2(c,0)，经过左焦点F1的直线与椭圆相交于A、B两点，c= 32a，则以下说法正确的是( )
A. △ABF2的周长为4 3b
B. △ABF2的面积的最大值为 3b2
C. 记A关于坐标原点O的对称点为Aˈ，则|kBAˈ−kBA|min=1
D. 若M为AB的中点，则M的轨迹方程为4y2+x2+ 3bx=0
第II卷（非选择题）
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12.已知正项数列an中，a1=1，a2= 3，an+12−an2=an2−an−12n≥2，则数列1an+an+1的前60项和________．
13.已知直线l过定点A(1,2,3)，向量n=(1,0,1)为其一个方向向量，则点P(4,3,2)到直线l的距离为________．
14.已知F2,0为椭圆C:x2a2+y2b2=1a>b>0的右焦点，直线l：y=−13x+m与椭圆C相交于A，B两点，A，B的中点为P，且直线OP的斜率 k=1，则椭圆C的方程为________．
四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.(本小题13分)
如图，四棱锥的底面ABCD为平行四边形，且∠APB=∠APC=∠BPC=π3,PA=3,PB=PC=2，M是PD的中点．
(1)若BD=mPA+nPB+pPC，求m+n+p的值；
(2)求线段BM的长．
16.(本小题15分)
已知斜率k=−12且过点A5,−4的直线与直线：x−2y−5=0相交于点C．
(1)求以点C为圆心且过点B4,2的圆C的标准方程；
(2)求过点Q−3,1且与(1)中的圆C相切的直线方程．
17.(本小题15分)
如图，AE⊥平面ABCD，CF//AE，AD//BC，AD⊥AB，AB=AD=1，AE=BC=2．
(1)求证：BF//平面ADE；
(2)求直线CE与平面BDE所成角的大小；
(3)若二面角E−BD−F的余弦值为13，求线段CF的长．
18.(本小题17分)
已知点P是抛物线C1：y2=4x的准线上任意一点，过点P作抛物线C1的两条切线PA、PB，其中A、B为切点．
(1)写出抛物线C1焦点及准线方程；
(2)求弦AB长的最小值；
(3)若直线AB交椭圆C2：x25+y24=1于C、D两点，S1、S2分别是△PAB、△PCD的面积，求S1S2的最小值．
19.(本小题17分)
定义：若无穷数列{an}满足{an+1−an}是公比为q的等比数列，则称数列{an}为“M(q)数列”.设数列{bn}中b1=1，b3=7．
(1)若b2=4，且数列{bn}是“M(q)数列”，求数列{bn}的通项公式；
(2)设数列{bn}的前n项和为Sn，且bn+1=2Sn−12n+λ，请判断数列{bn}是否为“M(q)数列”，并说明理由；
(3)若数列{bn}是“M(2)数列”，是否存在正整数m，n使得40392019