2021-2022年广东省海珠区七年级上学期数学期末真题卷（含答案）

这是一份2021-2022年广东省海珠区七年级上学期数学期末真题卷（含答案），共22页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
1．（3 分）如果温度上升3 C 记作3 C ，那么下降8 C 记作()
5 C
1 C
8 C
8 C
2．（3 分）在1 、8、0、 2 这四个数中，最小的数是()
A． 1B．8C．0D． 2
3．（3 分）某市地铁 18 号线定位为南北快线，实现了该市中心城区与某新区的快速轨道交通联系，18 号线日均客流量约为 81400 人，将数 81400 用科学记数法表示，可记为()
A． 0.814 105
B． 8.14 104
C． 814 102
D． 8.14 103
4．（3 分）下列运算正确的是()
A． 2x3  x3  1
B． 3xy  xy  2xy
C． (x  y)  x  y
D． 2a  3b  5ab
5．（3 分）下列方程中是一元一次方程的是()
A． 2x  3y
C． x2  1 (x  1)  1 2
B． 7x  5  6(x 1)
D． 1  2  x
x
6．（3 分）如图的图形，是由() 旋转形成的．
A． B．
C． D．
7．（3 分）解方程1  x  3  x ，去分母，得()
62
A．1  x  3  3x
B． 6  x  3  3x
C． 6  x  3  3x
D．1  x  3  3x
8．（3 分）某工厂用硬纸生产圆柱形茶叶筒．已知该工厂有 44 名工人，每名工人每小时可以制作筒身 50 个或制作筒底 120 个．要求一个筒身配两个筒底，设应该分配 x 名工人制作筒身，其它工人制作筒底，使每小时制作出的筒身与筒底刚好配套，则可列方程为( )
A． 2 120(44  x)  50 x
C．120(44  x)  2  50 x
B． 2  50(44  x)  120 x
D．120(44  x)  50 x
9．（3 分）若关于 x 、y 的多项式3x2 y  4xy  2x  kxy  1 不含 xy 的一次项，则 k 的值为()
1
4
 1
4
C．4D． 4
10．（3 分）如图，数轴上 4 个点表示的数分别为 a 、b 、c 、d ．若| a  d | 10 ，| a  b | 6 ，
| b  d | 2 | b  c | ，则| c  d | ()
A．1B．1.5C．15D．2
二、填空题（本题有 6 个小题，每小题 3 分，共 18 分）
11．（3 分）  1 的相反数是．
4
12．（3 分）已知 x  3 是关于 x 的方程 ax  2x  9  0 的解，则 a 的值为 ．
13．（3 分） 4635 的余角等于 ．
14．（3 分）已知线段 AB  12 ，点C 在线段 AB 上，且 AB  3AC ，点 D 为线段 BC 的中点，则 AD 的长为．
15．（3 分）某小区要打造一个长方形花圃，已知花圃的长为(a  2b) 米，宽比长短b 米，则花圃的周长为 米（请用含 a 、b 的代数式表示）．
16．（3 分）观察下面三行数：
1， 4 ，9， 16 ，25， 36 ， ；
1 ， 6 ，7， 18 ，23， 38 ， ；
2 ，8， 18 ，32， 50 ，72， ；
那么取每行数的第 10 个数，则这三个数的和为．
三、解答题（本题有 9 个小题，共 72 分，解答要求写出文字说明，证明过程或计算步骤）
17．（6 分）计算：
（1）12  (18)  5 15 ；
（2） (1)10  2  (2)3  4 ．
18．（6 分）解方程：
（1） 2x  3  3x  7 ；
（2） 2x  1  5x  1  1．
36
19．（6 分）先化简，再求值： (4x2  5xy)  2( y2  2xy)  (5x2  2 y2 ) ，其中 x  1 ， y  2 ．
20．（8 分）如图所示，已知线段 AB ，点O 为 AB 中点，点 P 是线段 AB 外一点．
按要求用圆规和直尺作图，并保留作图痕迹；
①作射线 AP ，作直线 PB ；
②延长线段 AB 至点C ，使得 BC  1 AB ．
2
在（1）的条件下，若线段 AB  2cm ，求线段OC 的长度．
20．（6 分）某市为保障供水及道路安全，自来水有限公司排查地下管线密集区，决定改造一段已使用多年面临老化的自来水管，这项翻新工程如果由甲工程队单独改造需要 12 天，
由乙工程队单独改造需要 24 天．现要求甲、乙两个工程队一起合作完成这项翻新工程，但
由于工作调动的原因，该项工程完工时，乙工程队中途共离开了 3 天．问这项工程一共用了多少天？
与标准质量的差值
（克)
5
2
0
1
3
6
袋数（袋)
2
4
5
5
1
3
22．（6 分）某食品厂从生产的食品中抽出样品 20 袋，检测每袋的质量是否符合标准，超过的部分用正数表示，不足的部分用负数表示，记录如表：
若每袋标准质量为 350 克，则这批抽样检测的样品的总质量是多少克？
若该食品的包装袋上标有产品合格要求为“净重350  2 克”，则这批样品的合格率为多少？
价目表
每月用水量(m3 )
单价（元/m3 )
不超出 26m3 的部分
3
超出 26m3 不超出34m3 的部分
4
超出34m3 的部分
7
23．（10 分）为了加强公民的节水意识，合理利用水资源，某市采用价格调控的手段达到节水的目的，该市自来水收费的价目表如表（注: 水费按一个月结算一次）：请根据价目表的内容解答下列问题：
填空：若该户居民 1 月份用水 20 立方米，则应收水费元；若该户 2 月份用水 30
立方米，则应收水费元；
若该户居民 3 月份用水 a 立方米（其中 a  34) ，则应收水费多少元？（结果用含 a 的代数式表示）
若该户居民 4 月份的平均水价为 3.8 元/m3 ，求该户 4 月份用水量是多少立方米？

3a  2b(ab)
24 ．（ 12 分 ） 对 于 有 理 数 a 、 b 定 义 一 种 新 运 算
a b  
a 

2 b(a  b) ， 如
3
5  3  3  5  2  3  9 ，1 3  1  2  3  1 ；请按照这个定义完成下列计算：
3
（1）计算
① 5 (3)  21 ；② (5) (3) 
；③若 x  3  3 ，求 x 的值；
2
（2）若 A  2x3  2 x2  x  1 ，B  2x3  x2  x  3 ，且 A  B  4 ，求3x3  3 x  2 的值；
322
（3）若 x 和 k 均为正整数，且满足( k x  k ) (1 x  1)  4 x  12 ，求 k 的值．
333
25．（12 分）如图， AOB  90 ， COD  60 ．
若OC 平分AOD ，求BOC 的度数；
若BOC 
AOD ，求AOD 的度数；
14
若同一平面内三条射线OT 、OM 、 ON 有公共端点 O ，且满足MOT  1 NOT 或
2
者NOT  1 MOT ，我们称OT 是OM 和ON 的“和谐线”．若射线OP 从射线OB 的位置
2
开始，绕点O 按逆时针方向以每秒12 的速度旋转，同时射线OQ 从射线OA 的位置开始， 绕点O 按顺时针方向以每秒9 的速度旋转，射线OP 旋转的时间为t（单位：秒），且0  t  15 ， 求当射线OP 为两条射线OA 和OQ 的“和谐线”时t 的值．
2021-2022 学年广东省广州市海珠区七年级（上）期末数学试卷
参考答案与试题解析
一、选择题（本题有 10 个小题，每小题 3 分，满分 30 分，下面每小题给出的四个选项中， 只有一个是正确的）
1．（3 分）如果温度上升3 C 记作3 C ，那么下降8 C 记作()
5 C
1 C
8 C
8 C
【分析】解题关键是理解“正”和“负”的相对性，明确什么是一对具有相反意义的量．在 一对具有相反意义的量中，先规定其中一个为正，则另一个就用负表示．
【解答】解：因为温度上升3 C 记作3 C ，那么下降8 C 记作8 C ， 故选： C ．
2．（3 分）在1 、8、0、 2 这四个数中，最小的数是()
A． 1B．8C．0D． 2
【分析】依据有理数大小比较的法则进行比较即可求解，需注意两个负数比较，绝对值大的 反而小．
【解答】解：因为2  1  0  8 ， 所以最小的数是2 ，
故选： D ．
3．（3 分）某市地铁 18 号线定位为南北快线，实现了该市中心城区与某新区的快速轨道交通联系，18 号线日均客流量约为 81400 人，将数 81400 用科学记数法表示，可记为()
A． 0.814 105
B． 8.14 104
C． 814 102
D． 8.14 103
【分析】科学记数法的表示形式为 a 10n 的形式，其中1 | a | 10 ， n 为整数．确定 n 的值
时，要看把原数变成 a 时，小数点移动了多少位， n 的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值10 时， n 是正整数；当原数的绝对值 1 时， n 是负整数．
【解答】解： 81400  8.14 104 ． 故选： B ．
4．（3 分）下列运算正确的是()
A． 2x3  x3  1
B． 3xy  xy  2xy
C． (x  y)  x  y
D． 2a  3b  5ab
【分析】根据整式的加减运算法则即可求出答案．
【解答】解： A 、原式 x3 ，故 A 不符合题意．
B 、原式 2xy ，故 B 符合题意．
C 、原式 x  y ，故C 不符合题意．
D 、 2a 与3b 不是同类项，故 D 不符合题意． 故选： B ．
5．（3 分）下列方程中是一元一次方程的是()
A． 2x  3y
C． x2  1 (x  1)  1 2
B． 7x  5  6(x 1)
D． 1  2  x
x
【分析】只含有一个未知数（元) ，并且未知数的指数是 1 次的方程叫做一元一次方程，它的一般形式是 ax  b  0(a ， b 是常数且 a  0) ．
【解答】解： A 、含有两个未知数，是二元一次方程；
B 、符合定义，是一元一次方程；
C 、未知数最高次数是二次，是二次方程；
D 、未知数在分母上，不是整式方程． 故选： B ．
6．（3 分）如图的图形，是由() 旋转形成的．
A． B．
C． D．
【分析】根据每一个几何体的特征判断即可．
【解答】解： A ．可以旋转形成圆台；
B ．可以旋转形成球； C ．可以旋转形成圆柱； D ．可以旋转形成圆锥； 故选： A ．
7．（3 分）解方程1  x  3  x ，去分母，得()
62
A．1  x  3  3x
B． 6  x  3  3x
C． 6  x  3  3x
D．1  x  3  3x
【分析】去分母的方法是方程左右两边同时乘以分母的最小公倍数，注意分数线的括号的作 用，并注意不能漏乘．
【解答】解：方程两边同时乘以 6 得6  x  3  3x ． 故选： B ．
8．（3 分）某工厂用硬纸生产圆柱形茶叶筒．已知该工厂有 44 名工人，每名工人每小时可以制作筒身 50 个或制作筒底 120 个．要求一个筒身配两个筒底，设应该分配 x 名工人制作筒身，其它工人制作筒底，使每小时制作出的筒身与筒底刚好配套，则可列方程为( )
A． 2 120(44  x)  50 x
C．120(44  x)  2  50 x
B． 2  50(44  x)  120 x
D．120(44  x)  50 x
【分析】根据题意可知：筒身的数量2  筒底的数量，然后列出方程即可．
【解答】解：设应该分配 x 名工人制作筒身，则有(44  x) 名工人制作筒底， 由题意可得： 2  50 x  120(44  x) ，
故选： C ．
9．（3 分）若关于 x 、y 的多项式3x2 y  4xy  2x  kxy  1 不含 xy 的一次项，则 k 的值为()
1
4
 1
4
C．4D． 4
【分析】先合并同类项，令 xy 的系数为 0 即可得出 k 的值．
【解答】解： 3x2 y  4xy  2x  kxy  1
 3x2 y  4xy  kxy  2x  1
 3x2 y  (4  k)xy  2x  1，
多项式3x2 y  4xy  2x  kxy  1 不含 xy 的一次项，
4  k  0 ，解得 k  4 ． 故选： C ．
10．（3 分）如图，数轴上 4 个点表示的数分别为 a 、b 、c 、d ．若| a  d | 10 ，| a  b | 6 ，
| b  d | 2 | b  c | ，则| c  d | ()
A．1B．1.5C．15D．2
【分析】根据| a  d | 10 ， | a  b | 6 得出b 和 d 之间的距离，从而求出b 和c 之间的距离， 然后假设 a 表示的数为 0，分别求出b ， c ， d 表示的数，即可得出答案．
【解答】解：| a  d | 10 ，
a 和 d 之间的距离为 10，
假设 a 表示的数为 0，则 d 表示的数为 10，
| a  b | 6 ，
a 和b 之间的距离为 6，
 b 表示的数为 6，
| b  d | 4 ，
| b  c | 2 ，
c 表示的数为 8，
| c  d || 8  10 | 2 ， 故选： D ．
二、填空题（本题有 6 个小题，每小题 3 分，共 18 分）
11．（3 分）  1 的相反数是 1．
44
【分析】根据只有符号不同的两个数叫做互为相反数解答．
【解答】解：  1 的相反数是 1 ．
44
故答案为： 1 ．
4
12．（3 分）已知 x  3 是关于 x 的方程 ax  2x  9  0 的解，则 a 的值为 1．
【分析】根据方程的解为 x  3 ，将 x  3 代入方程即可求出 a 的值．
【解答】解：将 x  3 代入方程得： 3a  2  3  9  0 ， 解得： a  1．
故答案为：1．
13．（3 分） 4635 的余角等于 4325 ．
【分析】和为 90 度的两个角互为余角，依此计算即可求解．
【解答】解： 4635 的余角等于 90  4635  4325 ． 故答案为： 4325 ．
14．（3 分）已知线段 AB  12 ，点C 在线段 AB 上，且 AB  3AC ，点 D 为线段 BC 的中点，则 AD 的长为 8．
【分析】根据题意求出 AC ，根据线段中点的性质解答即可．
【解答】解：如图：
 AB  12 ， AB  3AC ，
 AC  4 ，
 BC  AB  AC  12  4  8 ，
点 D 是线段 BC 的中点，
CD  1 BC  1  8  4 ，
22
 AD  AC  CD  4  4  8 ． 故答案为：8．
15．（3 分）某小区要打造一个长方形花圃，已知花圃的长为(a  2b) 米，宽比长短b 米，则花圃的周长为 (4a  6b) 米（请用含 a 、b 的代数式表示）．
【分析】根据题意列出算式，然后根据整式的加减运算法则即可求出答案．
【解答】解：由题意可知：宽为 a  2b  b  a  b ，
周长为： 2(a  b  a  2b)
 2(2a  3b)
 4a  6b ，
故答案为： (4a  6b) ．
16．（3 分）观察下面三行数：
1， 4 ，9， 16 ，25， 36 ， ；
1 ， 6 ，7， 18 ，23， 38 ， ；
2 ，8， 18 ，32， 50 ，72， ；
那么取每行数的第 10 个数，则这三个数的和为2 ．
【分析】根据题目中的数字，得出这三行中每一行的第 10 个数字，再计算和即可．
【解答】解：由题目中的数字可得，
第 1 行的数字是平方数，奇数个是正，偶数个是负，故第 10 个数字是100 ， 第 2 行数字比第 1 行的数字小 2，故第 10 个数字是102 ，
第 3 行的数字是第 1 行数字的2 倍，故第 10 个数字是 200． 所以这三个数的和为100  102  200  2 ，
故答案为： 2 ．
三、解答题（本题有 9 个小题，共 72 分，解答要求写出文字说明，证明过程或计算步骤）
17．（6 分）计算：
（1）12  (18)  5 15 ；
（2） (1)10  2  (2)3  4 ．
【分析】（1）将减法转化为加法，再计算加法即可；
（2）先计算乘方，再计算乘除，最后计算减法即可．
【解答】解：（1）原式  12  18  5  15
 30  20
 10 ；
（2）原式 1 2  (8)  4
 2  2
 0 ．
18．（6 分）解方程：
（1） 2x  3  3x  7 ；
（2） 2x  1  5x  1  1．
36
【分析】（1）方程移项，合并同类项，把 x 系数化为 1，即可求出解；
（2）方程去分母，去括号，移项，合并同类项，把 x 系数化为 1，即可求出解．
【解答】解：（1）移项得： 2x  3x  7  3 ，合并得： 5x  10 ，
解得： x  2 ；
（2）去分母得： 2(2x  1)  (5x 1)  6 ，
去括号得： 4x  2  5x  1  6 ， 移项得： 4x  5x  6  2  1 ， 合并得： x  3 ，
解得： x  3 ．
19．（6 分）先化简，再求值： (4x2  5xy)  2( y2  2xy)  (5x2  2 y2 ) ，其中 x  1 ， y  2 ．
【分析】原式去括号合并得到最简结果，把 x 与 y 的值代入计算即可求出值．
【解答】解： (4x2  5xy)  2( y2  2xy)  (5x2  2 y2 )
 4x2  5xy  2 y2  4xy  5x2  2 y2
 x2  9xy ，
当 x  1 ， y  2 时，原式 1  9 1 (2)  19 ．
20．（8 分）如图所示，已知线段 AB ，点O 为 AB 中点，点 P 是线段 AB 外一点．
按要求用圆规和直尺作图，并保留作图痕迹；
①作射线 AP ，作直线 PB ；
②延长线段 AB 至点C ，使得 BC  1 AB ．
2
在（1）的条件下，若线段 AB  2cm ，求线段OC 的长度．
【分析】（1）根据几何语言画出对应的几何图形；
（2）先点O 为 AB 中点得到OB  1 AB ，所以OC  AB  2cm ．
2
【解答】解：（1）①如图，射线 AP ，直线 PB 为所作；
②如图， BC 为所作；
（2）点O 为 AB 中点，
OB  1 AB ，
2
 BC  1 AB ，
2
OC  OB  BC  1 AB  1 AB  AB  2cm ．
22
21．（6 分）某市为保障供水及道路安全，自来水有限公司排查地下管线密集区，决定改造一段已使用多年面临老化的自来水管，这项翻新工程如果由甲工程队单独改造需要 12 天，
由乙工程队单独改造需要 24 天．现要求甲、乙两个工程队一起合作完成这项翻新工程，但
由于工作调动的原因，该项工程完工时，乙工程队中途共离开了 3 天．问这项工程一共用了多少天？
【分析】设这项工程一共用了 x 天，则甲工程队改造了 x 天，乙工程队改造了(x  3) 天，根
据甲工程队完成的改造任务量 乙工程队完成的改造任务量 整个改造任务量，即可得出关于 x 的一元一次方程，解之即可求出这项工程所用时间．
【解答】解：设这项工程一共用了 x 天，则甲工程队改造了 x 天，乙工程队改造了(x  3) 天，
依题意得：
x  x  3  1 ，
1224
解得： x  9 ．
答：这项工程一共用了 9 天．
与标准质量的差值
（克)
5
2
0
1
3
6
袋数（袋)
2
4
5
5
1
3
22．（6 分）某食品厂从生产的食品中抽出样品 20 袋，检测每袋的质量是否符合标准，超过的部分用正数表示，不足的部分用负数表示，记录如表：
若每袋标准质量为 350 克，则这批抽样检测的样品的总质量是多少克？
若该食品的包装袋上标有产品合格要求为“净重350  2 克”，则这批样品的合格率为多少？
【分析】（1）总质量  标准质量 抽取的袋数 超过（或不足的）质量，把相关数值代入计算即可；
（2）找到所给数值中，绝对值小于或等于 2 的食品的袋数占总袋数的多少即可．
【解答】解：（1）超出的质量为：
5  2  (2)  4  0  5  1 5  31  6  3
 10  8  0  5  3  18
 8 （克) ， 总质量为：
350  20  8  7008 （克) ，
答：这批抽样检测样品总质量是 7008 克．
（2）因为绝对值小于或等于 2 的食品的袋数为：
4  5  5  14 （袋) ，
所以合格率为： 14 100%  70% ，
20
答：这批样品的合格率为70% ．
价目表
每月用水量(m3 )
单价（元/m3 )
不超出 26m3 的部分
3
超出 26m3 不超出34m3 的部分
4
超出34m3 的部分
7
23．（10 分）为了加强公民的节水意识，合理利用水资源，某市采用价格调控的手段达到节水的目的，该市自来水收费的价目表如表（注: 水费按一个月结算一次）：请根据价目表的内容解答下列问题：
填空：若该户居民 1 月份用水 20 立方米，则应收水费 60 元；若该户 2 月份用水
30 立方米，则应收水费 元；
若该户居民 3 月份用水 a 立方米（其中 a  34) ，则应收水费多少元？（结果用含 a 的
代数式表示）
若该户居民 4 月份的平均水价为 3.8 元/m3 ，求该户 4 月份用水量是多少立方米？
【分析】（1）利用总价  单价 数量，结合价目表的内容，即可求出结论；
利用应收水费 3 26  4  (34  26)  7  超过 34 立方米的数量，即可用含 a 的代数式表示出应收水费；
设该户 4 月份用水量是 x 立方米，分 26  x34 及 x  34 两种情况考虑，根据该户居民
4 月份的平均水价为 3.8 元/m3 ，即可得出关于 x 的一元一次方程，解之即可得出结论．
【解答】解：（1） 3  20  60 （元) ，
3  26  4  (30  26)
 3  26  4  4
 78  16
 94 （元) ．
故答案为：60；94．
（2）依题意得：应收水费为3  26  4  (34  26)  7( a  34)  (7 a 128) 元．
（3）设该户 4 月份用水量是 x 立方米． 当 26  x34 时， 3  26  4( x  26)  3.8x ， 解得： x  52 （不合题意，舍去）；
当 x  34 时， 7x  128  3.8x ， 解得： x  40 ．
答：该户 4 月份用水量是 40 立方米．

3a  2b(ab)
24 ．（ 12 分 ） 对 于 有 理 数 a 、 b 定 义 一 种 新 运 算
a b  
a 

b(a  b) ， 如
3
5  3  3  5  2  3  9 ，1 3  1  2  3  1 ；请按照这个定义完成下列计算：
3
（1）计算
① 5 (3)  21 ；② (5) (3) 
3；③若 x  3  3 ，求 x 的值；
2
（2）若 A  2x3  2 x2  x  1 ， B  2x3  x2  x  3 ，且 A  B  4 ，求3x3  3 x  2 的值；
322
（3）若 x 和 k 均为正整数，且满足( k x  k ) (1 x  1)  4 x  12 ，求 k 的值．
333
【分析】（1）①原式利用题中的新定义计算即可得到结果；
②原式利用题中的新定义计算即可得到结果；
③已知等式利用题中的新定义计算，即可求出 x 的值；
利用作差法判断出 A 与 B 的大小，把 A 与 B 代入已知等式，利用题中的新定义化简， 计算求出，原式变形后代入计算即可求出值；
已知等式利用题中的新定义化简，根据 x 与 k 均为正整数，确定出 k 的值即可．
【解答】解：（1）①根据题中的新定义得：原式 3 5  2  (3)
 15  6
 21 ；
故答案为：21；
②根据题中的新定义得：
原式 5  2  (3)
3
 5  2
 3 ；
故答案为： 3 ；
③已知等式利用题中的新定义得：
当 x 3 时，化简得： 3x  3  3 ，
2
解得： x  0 ，不符合题意，舍去；
当 x  3 时，化简得： x  1  3 ，
2
解得： x  2 ， 则 x 的值为2 ；
（2） A  2x3  2 x2  x  1 ， B  2x3  x2  x  3 ，
32
 A  B  (2x3  2 x2  x  1)  (2x3  x2  x  3)
32
 2x3  2 x2  x  1  2x3  x2  x  3 32
  1 x2  1  0 ，即 A  B ，
32
利用题中的新定义化简得：
A  B  A  2 B  4 ，
3
即(2x3  2 x2  x  1)  2 (2x3  x2  x  3)  4 ，
332
去括号得： 2x3  2 x2  x  1  4 x3  2 x2  2 x  1  4 ，
3333
合并得：  2 x3  1 x  4 ，即 1 (2x3  x)  4 ，
333
整理得： 2x3  x  12 ，
则原式 3 (2x3  x)  2  3 12  2  18  2  20 ；
22
（3） x 与 k 均为正整数，
 k x  k 1 x  1，
33
已知等式利用题中的新定义化简得：
k
3( x  k )  2(1 x  1)  4 x  12 ，
333
去括号得： kx  3k  2 x  2  4 x  12 ，
33
移项合并得： (x  3)k  2x  14 ，
整理得： k  2x  14 ，
x  3
当 x  1 时， k  2  14  16  4 ，
1  34
当 x  5 时， k  10  14  3 ，
5  3
 x  1 ， k  4 或 x  5 ， k  3 ．
25．（12 分）如图， AOB  90 ， COD  60 ．
若OC 平分AOD ，求BOC 的度数；
若BOC 
1 AOD ，求AOD 的度数；
14
若同一平面内三条射线OT 、OM 、 ON 有公共端点 O ，且满足MOT  1 NOT 或
2
者NOT  1 MOT ，我们称OT 是OM 和ON 的“和谐线”．若射线OP 从射线OB 的位置
2
开始，绕点O 按逆时针方向以每秒12 的速度旋转，同时射线OQ 从射线OA 的位置开始， 绕点O 按顺时针方向以每秒9 的速度旋转，射线OP 旋转的时间为t（单位：秒），且0  t  15 ， 求当射线OP 为两条射线OA 和OQ 的“和谐线”时t 的值．
【分析】（1）利用角平分线的定义解答即可；
设AOD  x ，利用角的和差列出关于 x 的方程，解方程即可求得结论；
利用分类讨论的思想方法，根据题意画出图形，用含t 的代数式表示出AOP 和QOP
的度数，依据“和谐线”的定义列出方程，解方程即可求得结论．
【解答】解：（1） OC 平分AOD ，
COD  AOC  1 AOD ．
2
COD  60 ，
AOD  2COD  120 ；
设AOD  x ，则BOC 
1 x ．
14
AOD  AOB  BOD ， BOD  COD  BOC ，
AOD  AOB  COD  BOC ，
AOB  90 ， COD  60 ，
AOD  150  BOC ．
 x  150  1 x ．
14
解得： x  140 ．
AOD 的度数为140 ．
当射线OP 与射线OQ 未相遇之前，如图，
由题意得： AOQ  9t ， BOP  12t ．
AOP  90  BOP  90  12t ，
QOP  90  AOQ  BOP  90  21t ．
射线OP 为两条射线OA 和OQ 的“和谐线”，
QOP  1 AOP ．
2
90  21t  1 (90  12t) ．
2
解得： t  3 ．
当射线OP 与射线OQ 相遇后且均在AOB 内部时，如图，
由题意得： AOQ  9t ， BOP  12t ．
AOP  90  BOP  90  12t ，
QOP  BOP  BOQ  BOP  (90  AOQ )  21t  90 ．
射线OP 为两条射线OA 和OQ 的“和谐线”，
QOP  1 AOP 或AOP  1 QOP ．
22
 21t  90  1 (90  12t) 或90  12t  1 (21t  90) ．
22
解得： t  5 或t  6 ．
当射线OP 在AOB 的外部，射线OQ 在AOB 的内部时，如图，
由于AOP  1 QOP ，
2
此时射线OP 不可能为两条射线OA 和OQ 的“和谐线”．当射线OP 与射线OQ 均在AOB 的外部时，如图，
由题意得： AOQ  9t ， BOP  12t ．
AOP  12t  90 ，
QOP  360  AOP  AOQ  450  21t ．
射线OP 为两条射线OA 和OQ 的“和谐线”，
AOP  1 QOP ．
2
12t  90  1 (450  21t) ．
2
解得： t  14 ．
综上所述，在0  t  15 时，当射线OP 为两条射线OA 和OQ 的“和谐线”时t 的值为 3 或 5
或 6 或 14．