四川省眉山市东坡区2024-2025学年高二上学期1月期末考试数学试题（Word版附解析）

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考试时间:120分钟
第I卷（选择题）
一、单选题（40分）
1. 圆心为且过点的圆的方程是（ ）
A. B.
C. D.
2. 平面内，动点坐标满足方程，则动点的轨迹方程为（ ）
A. B.
C. D.
3. 已知椭圆的左、右焦点分别为，，点是椭圆上一个动点，若的面积的最大值为，则（ ）
A. B. 3C. 9D. 7
4. 在如图所示的电路图中，开关闭合与断开的概率都是，且是相互独立的，则灯灭的概率是（ ）
A. B. C. D.
5. 已知直线与直线，则是的
A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件
C. 充要条件D. 既不充分也不必要条件
6. 已知直线过椭圆C；的一个焦点，与C交于A，B两点，与平行的直线与C交于M，N两点，若AB的中点为P，MN的中点为Q，且PQ的斜率为，则C的方程为（ ）
A. B.
C. D.
7. 已知椭圆的左、右焦点为，，上一点满足，A为线段的中垂线与的交点，若的周长为，则的离心率为（ ）
A. B. C. D.
8. 如图，在正方体中，点P为棱中点，点Q为面内一点，，则（ ）
A. B.
C. D.
二、多选题（共18分）
9. 若椭圆的焦距为2，则（ ）
A. 1B. 2C. 3D. 5
10. 已知椭圆C：内一点，直线l与椭圆C交于A，B两点，且M为线段AB的中点，则下列结论不正确的是（ ）
A. C的焦点坐标为，
B. C长轴长为
C. 直线l的方程为
D.
11. 已知直线和圆，则下列说法正确的是（ ）
A. 存在，使得直线与圆相切
B. 若直线与圆交于两点，则的最小值为
C. 对任意，圆上恒有4个点到直线的距离为
D. 当时，对任意，曲线恒过直线与圆的交点
第II卷（非选择题）
三、填空题（共15分）
12. 已知圆和点，则过点的的切线方程为__________.
13. 在某次国际围棋比赛中，中国派出包含甲、乙在内的5位棋手参加比赛，他们分成两个小组，其中一个小组有3位，另外一个小组有2位，则甲和乙分在不同小组的概率为______.
14. 已知椭圆：（）离心率为，左焦点为，过且垂直于轴的直线被椭圆所截得的线段长为，则椭圆的标准方程为______．
四、解答题（共77分）
15. 已知圆的半径为，圆心在第一象限，且与直线和轴都相切．
（1）求圆方程．
（2）过的直线与圆相交所得的弦长为，求直线的方程．
16. 已知椭圆．
（1）若双曲线以椭圆的两个顶点为焦点，且经过椭圆的两个焦点，求双曲线的标准方程；
（2）求过点，焦点在轴上且与椭圆有相同的离心率的椭圆方程．
17. 已知圆过原点，圆心在射线，且与直线相切.
（1）求圆的方程；
（2）过点的直线与圆相交于，两点，是的中点，直线与相交于点.若求直线的方程.
18. 如图1，在△ABC中，D，E分别为AB，AC的中点，O为DE的中点，AB=AC=，BC=4．将△ADE沿DE折起到△A1DE的位置，使得平面A1DE⊥平面BCED，如图2．
（1）求证：A1O⊥BD；
（2）求直线A1C和平面A1BD所成角的正弦值；
（3）线段A1C上是否存在点F，使得直线DF和BC所成角的余弦值为?若存在，求出的值；若不存在，说明理由．
19. 已知、分别是椭圆的左、右焦点，点在椭圆上，且的面积为．
（1）求椭圆的方程；
（2）设直线与椭圆交于、两点，为坐标原点，轴上是否存在点，使得，若存在，求出点的坐标；若不存在，请说明理由；
（3）设为椭圆上非长轴顶点的任意一点，为线段上一点，若与的内切圆面积相等，求证：线段的长度为定值．