天津市津南区小站一中2024-2025学年高一上学期第三次段考 数学试卷（12月份）（含解析）

这是一份天津市津南区小站一中2024-2025学年高一上学期第三次段考 数学试卷（12月份）（含解析），共14页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
1．已知集合A＝{x|3﹣2x＞0}，B＝{﹣1，0，1，2，3}（ ）
A．{﹣1，0，1}B．{﹣1，0，1，2}C．{1，2，3}D．{2，3}
2．命题“对∀x∈R，都有sinx≤﹣1”的否定为（ ）
A．对∀x∈R，都有A⇒BB．对∀x∈R，都有sinx≤﹣1
C．∃x0∉R，使得sinx0＞﹣1D．∃x0∈R，使得sinx0＞﹣1
3．已知角θ的终边过点（﹣3，4），则cs（π﹣θ）＝（ ）
A．B．C．D．
4．设θ∈R，则“θ＝，是“sinθ＝（ ）
A．必要不充分条件
B．充分不必要条件
C．充要条件
D．既不充分也不必要条件
5．函数的零点所在区间为（ ）
A．B．（1，e）C．（e，e2）D．（e2，e3）
6．已知a＝2.30.2，b＝lg230.2，c＝lg232.2，则a，b，c的大小关系是（ ）
A．b＜a＜cB．c＜b＜aC．b＜c＜aD．c＜a＜b
7．已知2m＝9n＝6，则＝（ ）
A．lg618B．lg65C．1D．2
8．杭州第19届亚运会会徽“潮涌”的主题图形融合了扇面、钱塘江、钱江潮头、赛道、互联网符号及象征亚奥理事会的太阳图形六个元素，其中扇面造型代表了江南厚重的人文底蕴．已知某纸扇的扇环如图所示，经测量（长度单位为cm），侧边两条线段的延长线交于同心圆的圆心，且圆心角为（扇环）的面积是（ ）
A．B．C．D．
9．函数的图象大致为（ ）
A．B．
C．D．
10．已知f（x）＝，g（x）＝f（x）+x+m（x）存在两个零点，则m的取值范围是（ ）
A．[﹣1，+∞）B．[﹣1，0）C．[0，+∞）D．[1，+∞）
二、填空题
11．的值是 ．
12．已知扇形的面积为9，圆心角为2rad，则扇形的弧长为 ．
13．已知，则＝ ．
14．函数y＝的定义域为 ．
15．若函数满足对任意的实数x1≠x2都有成立，则实数a的取值范围是 ．
三、解答题
16．计算：
（1）；
（2）；
（3）．
17．已知，且α为第二象限角．
（1）求csα，tanα的值；
（2）化简，并求值．
18．函数f（x）＝ax2+bx+1（a，b∈R）．
（1）若f（x）＜0的解集是{x|x＜﹣2，或x＞3}的解集；
（2）当a＞0时，求关于x的不等式f（x）+（a﹣b+1）x＞0的解集．
19．已知实数a＞0，且满足不等式33a+2＞34a+1．
（1）解不等式lga（3x+2）＜lga（8﹣5x）；
（2）若函数f（x）＝lga（x+2）﹣lga（x﹣1）在区间[2，4]上有最小值﹣1，求实数a的值．
20．已知函数是定义在R上的奇函数．
（1）求实数k的值；
（2）若f（1）＜0，不等式，求实数t的取值范围．
2024-2025学年天津市津南区小站一中高一（上）第三次段考数学试卷（12月份）
参考答案与试题解析
一、选择题
1．已知集合A＝{x|3﹣2x＞0}，B＝{﹣1，0，1，2，3}（ ）
A．{﹣1，0，1}B．{﹣1，0，1，2}C．{1，2，3}D．{2，3}
【分析】求解不等式化简A，再由交集运算的定义得答案．
【解答】解：∵A＝{x|3﹣2x＞7}＝{x|x＜}，B＝{﹣6，0，1，4，
则A∩B＝{x|x＜}∩{﹣7，0，1，4，0，1}．
故选：A．
【点评】本题考查不等式的解法，考查交集及其运算，是基础题．
2．命题“对∀x∈R，都有sinx≤﹣1”的否定为（ ）
A．对∀x∈R，都有A⇒BB．对∀x∈R，都有sinx≤﹣1
C．∃x0∉R，使得sinx0＞﹣1D．∃x0∈R，使得sinx0＞﹣1
【分析】根据全称命题与特称命题的否定关系即可求解．
【解答】解：因为命题“对∀x∈R，都有sinx≤﹣1”为全称命题，
则其否定为特称命题，即：∃x0∈R，有sinx7＞﹣1，
故选：D．
【点评】本题考查了全称命题与特称命题的否定关系，属于基础题．
3．已知角θ的终边过点（﹣3，4），则cs（π﹣θ）＝（ ）
A．B．C．D．
【分析】根据三角函数的定义求出csθ，再计算cs（π﹣θ）．
【解答】解：因为角θ的终边过点P（﹣3，4），
所以r＝＝5，
所以csθ＝＝﹣，
所以cs（π﹣θ）＝﹣csθ＝．
故选：D．
【点评】本题考查了任意角三角函数的定义与诱导公式应用问题，是基础题．
4．设θ∈R，则“θ＝，是“sinθ＝（ ）
A．必要不充分条件
B．充分不必要条件
C．充要条件
D．既不充分也不必要条件
【分析】根据充分条件和必要条件的定义分别进行判断即可．
【解答】解：设θ∈R，若“θ＝时＝”故“θ＝”，
若“sinθ＝”则“θ＝，k∈Z+2kπ；
故：“sinθ＝”不能推出“θ＝，
由充要条件可判断：θ∈R，“θ＝”的充分不必要条件，
故选：B．
【点评】本题考查了充要条件的判定，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．
5．函数的零点所在区间为（ ）
A．B．（1，e）C．（e，e2）D．（e2，e3）
【分析】先确定函数的单调性，再根据零点存在定理判断即可．
【解答】解：因为函数，
在（0，+∞）上为单调递增函数，
又因为f（e）＝7﹣＜04）＝2﹣＞4，
所以f（x）的零点位于（e，e2）．
故选：C．
【点评】本题考查了函数零点存在定理，属于基础题．
6．已知a＝2.30.2，b＝lg230.2，c＝lg232.2，则a，b，c的大小关系是（ ）
A．b＜a＜cB．c＜b＜aC．b＜c＜aD．c＜a＜b
【分析】直接利用指数函数、对数函数的单调性比较大小．
【解答】解：因为2.35.2＞2.50＝1，lg237.2＜lg231＝8，
lg231＝0＜lg233.2＜lg2323＝1，
所以a＞4，b＜0，
所以b＜c＜a．
故选：C．
【点评】本题考查了指数函数、对数函数单调性的应用，考查了函数思想，属于基础题．
7．已知2m＝9n＝6，则＝（ ）
A．lg618B．lg65C．1D．2
【分析】由2m＝9n＝6，可得m＝lg26，n＝lg96，然后代入中计算即可．
【解答】解：由2m＝9n＝3，可得m＝lg26，n＝lg56，
所以．
故选：C．
【点评】本题主要考查了指数式与对数式的互化，考查了对数的运算性质，属于基础题．
8．杭州第19届亚运会会徽“潮涌”的主题图形融合了扇面、钱塘江、钱江潮头、赛道、互联网符号及象征亚奥理事会的太阳图形六个元素，其中扇面造型代表了江南厚重的人文底蕴．已知某纸扇的扇环如图所示，经测量（长度单位为cm），侧边两条线段的延长线交于同心圆的圆心，且圆心角为（扇环）的面积是（ ）
A．B．C．D．
【分析】根据扇环的面积＝大扇形的面积﹣小扇形的面积，求解即可．
【解答】解：根据扇环的上、下两条弧分别是半径为30和10的弧，
是扇环的面积是S＝××302﹣××104＝（cm2）．
故选：A．
【点评】本题考查了扇形的面积计算问题，是基础题．
9．函数的图象大致为（ ）
A．B．
C．D．
【分析】利用函数的奇偶性排除选项，结合函数值对应点判断即可．
【解答】解：函数是偶函数、C，当x＞1时，排除选项B．
故选：D．
【点评】本题考查函数的图象的判断，是基础题．
10．已知f（x）＝，g（x）＝f（x）+x+m（x）存在两个零点，则m的取值范围是（ ）
A．[﹣1，+∞）B．[﹣1，0）C．[0，+∞）D．[1，+∞）
【分析】由题意可得g（x）＝0，即f（x）＝﹣x﹣m有两个不等实根，即有函数y＝f（x）和直线y＝﹣x﹣m有两个交点，作出y＝f（x）的图象和直线y＝﹣x﹣m，平移直线即可得到所求范围．
【解答】解：g（x）＝f（x）+x+m，若g（x）存在两个零点，
可得g（x）＝0，即f（x）＝﹣x﹣m有两个不等实根，
即有函数y＝f（x）和直线y＝﹣x﹣m有两个交点，
作出y＝f（x）的图象和直线y＝﹣x﹣m，
当﹣m≤1，即m≥﹣7时，
故选：A．
【点评】本题考查函数的零点个数问题解法，注意运用转化思想和数形结合思想，考查指数函数、对数函数的图象和运用，属于中档题．
二、填空题
11．的值是 ﹣ ．
【分析】利用诱导公式及特殊角的三角函数值即可得解．
【解答】解：＝sin（3π＝﹣．
故答案为：﹣．
【点评】本题主要考查了诱导公式及特殊角的三角函数值的应用，属于基础题．
12．已知扇形的面积为9，圆心角为2rad，则扇形的弧长为 6 ．
【分析】根据已知条件，结合扇形的面积公式，以及弧长公式，即可求解．
【解答】解：设扇形的弧长为l，半径为r，
扇形的面积为9，圆心角为2rad，
则，解得r＝3（负值舍去），
故l＝2×2＝6．
故答案为：7．
【点评】本题主要考查扇形的面积公式，以及弧长公式，属于基础题．
13．已知，则＝ ．
【分析】由已知利用诱导公式即可计算得解．
【解答】解：∵，可得：csα＝．
∴＝csα＝．
故答案为：．
【点评】本题主要考查了诱导公式在三角函数化简求值中的应用，属于基础题．
14．函数y＝的定义域为 （﹣1，1） ．
【分析】根据函数成立的条件即可求函数的定义域．
【解答】解：要使函数有意义，则，
即，即，
即﹣8＜x＜1，
即函数的定义域为（﹣1，8），
故答案为：（﹣1，1）
【点评】本题主要考查函数的定义域的求解，要求熟练掌握常见函数成立的条件．
15．若函数满足对任意的实数x1≠x2都有成立，则实数a的取值范围是 [4，8） ．
【分析】由题意可得，由函数的单调性分析可得函数f（x）为R上的单调增函数，由此可得关于a的不等式组求解．
【解答】解：由题意，若函数6≠x2都有成立，
则f（x）为R上的增函数，
则有，解得4≤a＜4．
∴实数a的取值范围是[4，8）．
故答案为：[7，8）．
【点评】本题考查分段函数的单调性及应用，考查化归与转化思想，是中档题．
三、解答题
16．计算：
（1）；
（2）；
（3）．
【分析】（1）根据对数的运算法则直接计算得到答案；
（2）根据指数幂的运算法则直接计算得到答案；
（3）根据三角函数的运算法则直接计算得到答案．
【解答】解：（1）
＝
＝
＝2﹣6
＝﹣7；
（2）
＝
＝
＝；
（3）
＝
＝
＝
＝．
【点评】本题考查了对数的运算法则，指数幂的运算法则以及三角函数的运算法则的应用，属于基础题．
17．已知，且α为第二象限角．
（1）求csα，tanα的值；
（2）化简，并求值．
【分析】（1）直接根据同角三角函数关系结合角度范围得到答案；
（2）化简得到原式＝，代入数据计算得到答案．
【解答】解：（1）因为，α为第二象限角，
所以，
可得；
（2）．
【点评】本题考查了诱导公式以及同角三角函数基本关系式在三角函数求值中的应用，考查了计算能力和转化思想，属于基础题．
18．函数f（x）＝ax2+bx+1（a，b∈R）．
（1）若f（x）＜0的解集是{x|x＜﹣2，或x＞3}的解集；
（2）当a＞0时，求关于x的不等式f（x）+（a﹣b+1）x＞0的解集．
【分析】（1）不等式f（x）＜0可化为ax2+bx+1＜0，利用不等式的解集与对应方程的关系求出a、b，代入不等式中求解即可；
（2）不等式可化为（x+）（x+1）＞0，讨论a与1的大小，即可写出不等式的解集．
【解答】解：（1）由函数f（x）＝ax2+bx+1，得不等式f（x）＜4可化为ax2+bx+1＜8，
所以﹣2和3是方程ax7+bx+1＝0的解，由根与系数的关系知，
，解得a＝﹣；
所以不等式可化为﹣x6+x+，
即x2﹣x﹣6＜0，解得﹣1＜x＜6，
所以该不等式的解集为{x|﹣1＜x＜2}；
（2）不等式f（x）+（a﹣b+2）x＞0可化为ax2+（a+8）x+1＞0，
即（ax+2）（x+1）＞0，
因为a＞5，所以不等式化为（x+，
当a＝1时，不等式为（x+7）2＞0，解得x≠﹣7；
当0＜a＜1时，﹣＜﹣1，x＜﹣；
当a＞6时，﹣＞﹣1，x＜﹣7或x＞﹣；
综上，a＝1时；
4＜a＜1时，不等式的解集为{x|x＜﹣；
a＞4时，不等式的解集为{x|x＜﹣1或x＞﹣}．
【点评】本题考查了一元二次不等式的解法与应用问题，是中档题．
19．已知实数a＞0，且满足不等式33a+2＞34a+1．
（1）解不等式lga（3x+2）＜lga（8﹣5x）；
（2）若函数f（x）＝lga（x+2）﹣lga（x﹣1）在区间[2，4]上有最小值﹣1，求实数a的值．
【分析】（1）由不等式33a+2＞34a+1．得：3a+2＞4a+1，0＜a＜1，利用函数y＝lgax在x＞0时单调递减．可得，解得x范围．
（2），令，当x∈[2，4]时，可得，由0＜a＜1，根据y＝lgat的对数函数在定义域内的单调性即可得出．
【解答】解：（1）由不等式33a+4＞34a+8得：3a+2＞6a+1，∴0＜a＜7，
∴函数y＝lgax在x＞0时单调递减．
∵lga（3x+7）＜lga（8﹣5x），
∴，解得．
（2）
令，当x∈[5，x﹣1∈[1，，
∴，∴
∵0＜a＜7，
∴y＝lgat的对数函数在定义域内递减
∴f（x）min＝lga4＝﹣1，∴．
【点评】本题考查了指数函数与对数函数函数的单调性、不等式与不等式组的解法，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．
20．已知函数是定义在R上的奇函数．
（1）求实数k的值；
（2）若f（1）＜0，不等式，求实数t的取值范围．
【分析】（1）利用奇函数的定义得到关于k的等式，再求出k的值即可；
（2）由f（1）＜0求出a的范围，判定f（x）的单调性，将原不等式转化为恒成立，再求出t的范围．
【解答】解：（1）因为f（x）为奇函数，所以．
（2）由，解得﹣1＜a＜3，所以0＜a＜1．
任取x3，x2∈R且x1＜x5，
则，
因为x1，x2∈R且x5＜x2，所以，，
所以，所以f（x）为R上的减函数．
所以恒成立等价于，
令，则．
因为sinx∈[﹣1，1]，2]，
所以t2+2t﹣2＞0，解得t＞1或t＜﹣6，
所以t的取值范围为{t|t＞1或t＜﹣3}．
【点评】本题考查了函数的奇偶性，利用定义判断函数的单调性和利用不等式恒成立求参数的取值范围，考查了转化思想，属中档题．
题号
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
答案
A
D
D
B
C
C
C
A
D
A