河南省周口市太康县第一高级中学2023-2024学年高一上学期1月月考 数学试题（含解析）

这是一份河南省周口市太康县第一高级中学2023-2024学年高一上学期1月月考 数学试题（含解析），共19页。
一、选择题；本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1．已知全集，集合，，则等于（ ）
A．B．
C．D．
2．若sinx＜0，且sin（csx）＞0，则角是
A．第一象限角B．第二象限角C．第三象限角D．第四象限角
3．若函数的值域为，则a的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
4．已知，则的大小关系是（ ）
A．B．
C．D．
5． 已知是定义在上的偶函数，且当时，若对任意实数，都有恒成立，则实数的取值范围是（ ）
A．B．
C．D．
6．已知函数满足对任意的实数都有成立，则实数的取值范围为（ ）
A．B．C．D．
7．已知的值域为R，那么实数a的取值范围是（ ）
A．B．
C．D．
8．高斯是德国著名的数学家，近代数学奠基者之一，享有“数学王子”的称号，用其名字命名的“高斯函数”为：设，用表示不超过的最大整数，则称为高斯函数，例如：，已知函数，则函数的值域为（ ）
A．B．
C．D．
二、选择题；本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得5分，有选错的得0分，部分选对的得2分．
9．下列函数中，定义域为的函数是（ ）
A．B．
C．D．
10．下列说法正确的是（ ）
A．若，则
B．若，，则
C．若，，则
D．若，则
11．已知是第一象限角，且，则下列关系正确的是（ ）
A．B．
C．D．
12．设函数，对关于的方程，下列说法正确的是（ ）
A．当时，方程有3个实根
B．当时，方程有5个不等实根
C．若方程有2个不等实根，则
D．若方程有6个不等实根，则
三、填空题；本题共4小题，每小题5分，共20分
13．已知，则的值为 ．
14．已知函数的最小正周期是，且的图象过点，则的图象的对称中心坐标为 .
15．如图，在中， ，以为圆心、为半径作圆弧交于点．若圆弧等分的面积，且弧度，则= .
16．对任意，一元二次不等式都成立，则实数k的取值范围为______．
四、解答题；本题共6个小题，共70分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．
17．在平面直角坐标系中,角的顶点为坐标原点,始边为的非负半轴,终边经过点.
(1)求的值;
(2)求的值.
18．已知函数.
(1)求的最小正周期；
(2)求的最大值和对应的取值；
(3)求在的单调递增区间.
19．已知定义在上的奇函数，在时，且．
(1)求在上的解析式；
(2)若，常数，解关于的不等式．
20．已知函数是奇函数，且.
(1)求a，b的值；
(2)证明函数在上是增函数.
21．已知函数．
(1)若函数有唯一零点，求实数的取值范围；
(2)若对任意实数，对任意，恒有成立，求正实数的取值范围．
22．若函数对定义域内的每一个值，在其定义域内都存在唯一的，使成立，则称该函数为“依赖函数”.
（1）判断函数是否为“依赖函数”，并说明理由；
（2）若函数在定义域上为“依赖函数”，求的取值范围；
（3）已知函数在定义域上为“依赖函数”，若存在实数：，使得对任意的，不等式都成立，求实数的最大值.
1．B
【解析】化简集合，求出补集，再根据交集的概念运算求解可得结果.
【详解】，或，
所以.
故选：B
2．D
【分析】根据三角函数角的范围和符号之间的关系进行判断即可．
【详解】∵﹣1≤csx≤1，且sin（csx）＞0，
∴0＜csx≤1，
又sinx＜0，
∴角x为第四象限角，
故选D．
【点睛】本题主要考查三角函数中角的象限的确定，根据三角函数值的符号去判断象限是解决本题的关键．
3．A
【分析】首先求出当时，的值域，再根据已知条件可求出时的范围，得出关于的不等式组，解不等式组即可求解.
【详解】当时，为单调递增函数，此时，
若函数的值域为，
则当时，的值域应包含，
所以时，为单调递增函数，且，
即解得，
所以a的取值范围是：，
故选：A
【点睛】思路点睛：分段函数的值域应为两段值域的并集，根据已知条件转化为时的范围，根据一次函数性质可得满足条件的不等式组.
4．C
【分析】根据对数及指数的运算即可得解.
【详解】，
所以.
故选：C.
5．A
【分析】探讨给定函数在上的单调性，结合偶函数的性质脱去法则“f”，再借助一次函数的性质求解作答.
【详解】依题意，当时，，在上单调递增，
又是定义在上的偶函数，即有在上单调递减，且它的图像关于轴对称，
对，，
于是得，两边平方整理得，令，
因此，解得或，
所以实数的取值范围是.
故选：A
6．B
【分析】利用函数单调性建立不等式组，然后求参数的取值范围.
【详解】由函数满足对任意的实数都有成立，
所以在上单调递减，
由题意，得，
解得，
故选：B．
7．A
【分析】求出函数在上的取值集合，再根据给定的值域确定函数在上的取值集合，列式求解作答.
【详解】当时，函数在上单调递增，其取值集合为，而函数的值域为R，
因此函数在上的取值集合包含，
当时，函数在上的值为常数，不符合要求，
当时，函数在上单调递减，取值集合是，不符合要求，
于是得，函数在上单调递增，取值集合是，则，解得，
所以实数a的取值范围是.
故选：A
8．A
【分析】根据三角函数的性质及函数的单调性可得函数的值域，再根据高斯函数的定义求出的值域即得.
【详解】当时，，，
所以，
当时，单调递减，
所以；
综上，，
所以函数的值域为.
故选：A.
9．AC
【分析】根据基本初等函数的定义域逐项分析即得.
【详解】对于A， 函数的定义域为，符合题意；
对于B，函数的定义域为，不符合题意
对于C，函数的定义域为，符合题意；
对于D，函数的定义域为R，不符合题意.
故选：AC.
10．AD
【分析】通过不等式性质证明选项正确或通过反例判断选项错误即可.
【详解】对于A，∵，∴，∴，∴，
∴，∴，故选项A正确；
对于B，当，，，时，有，，
但此时，，，故选项B错误；
对于C，当，，时，有，，
但此时，，，故选项C错误；
对于D，∵，∴，∴，
∴，∴，
由不等式的同向可加性，由和可得，故选项D正确.
故选：AD.
11．BC
【分析】由题意可知，利用特殊值可以排除AD选项，再根据同角三角函数的基本关系判断BC即可.
【详解】是第一象限角，且，
当时，
此时，所以A错误；
易知，，所以，
又因为，即，所以，即C正确；
又因为，所以，
因此，即，故B正确；
取，则，所以D不成立.
故选：BC.
12．ABD
【分析】根据分段函数解析式可画出函数图象，再利用一元二次方程根的分布情况研究的根的个数，对选项逐一判断即可.
【详解】由函数可知，图象如下：
对于A，当时，
方程即为，
即，所以
而，由图可知与有三个交点，即方程有3个不同的实根.故A正确；
对于B，当时，方程为，即
解得或；
时，由图可知与有三个交点，即此时方程有3个不同的实根，
时，由图可知与有两个交点，即此时方程有2个不同的实根；
综合可知，当时，方程有5个不等实根；即B正确；
对于C，令，则方程等价成；
由图可知，若方程有2个不等实根，包括以下三种情况，
①方程只有一根，且
则，即或
由A可知，时不合题意，舍去；
当时，此时，方程只有一根，不合题意；
②方程只有一根，且，
由①知，此时也不符合题意；
③方程有两个不相等的实数根，且或 或
令
若，需满足解得，不合题意；
若，需满足，解得,即
若，需满足，解得，不合题意；
综上可知，若方程有2个不等实根，则；故C错误；
对于D，若方程有6个不等实根，则需满足方程有两个不相等的实数根，且；
则需满足解得
即可得；故D正确.
故选：ABD
【点睛】关键点点睛：根据分段函数的函数性质画出分段函数的图象，由方程根的个数并结合函数图象从而确定根的分布情况，确定根的取值范围，进而确定参数的取值范围.
13．
【分析】根据两角和与差的正弦、余弦公式展开后将弦化切即可求解.
【详解】.
故答案为：.
14．
【分析】根据周期确定的值，再由的图象过点确定值，从而函数解析式确定，再根据正弦函数的对称中心可解得答案.
【详解】由题意函数的最小正周期是，
可知，
再由的图象过点，可得，
则,故,
所以由知：，所以，
令，可得，
所以的图象的对称中心坐标为，
故答案为：
15．
【详解】设扇形的半径为，则扇形的面积为，直角三角形中， ， ，面积为，由题意得，∴，∴，故答案为.
点睛：本题考查扇形的面积公式及三角形的面积公式的应用，考查学生的计算能力，属于基础题；设出扇形的半径，求出扇形的面积，再在直角三角形中求出高，计算直角三角形的面积，由条件建立等式，解此等式求出与的关系，即可得出结论.
16．
【分析】由二次不等式恒成立结合图象即可求解
【详解】因为对任意，一元二次不等式都成立，
所以，
解得，
所以实数k的取值范围为
17．(1)
(2)
【分析】(1)根据角终边经过点,得出的值,即可求出;
(2)根据诱导公式进行化简,代入角的三角函数值即可.
【详解】（1）解:由题知角终边经过点,
,
,
,
,
;
（2）由(1)知,
则原式
.
18．(1)；
(2)当时，函数有最大值；
(3).
【分析】（1）根据正弦型函数的周期公式即得；
（2）根据正弦函数的图象和性质即得；
（3）根据正弦函数的单调性结合条件即得.
【详解】（1）因为函数，
所以的最小正周期为；
（2）因为，
由，可得，
当时，函数有最大值；
（3）由，可得，
又，
函数的单增区间为.
19．(1)
(2)
【分析】（1）根据奇函数定义以及函数在上的解析式，结合即可写出在上的解析式；（2）将不等式转化成，再利用换元法以及，解出的取值范围即可得不等式的解集.
【详解】（1）∵是上的奇函数且时，，
∴当时，，
又由于为奇函数，∴，∴，
又，，∴，
综上所述，当时，
（2）时，，当时，，
，即，所以，
设，不等式变为，
∵，∴，
∴．
而当时，，且，
又在上单调递增，
所以，所以，
∴，即
所以．
综上可知，不等式的解集是．
20．(1)，
(2)证明见解析
【分析】（1）由奇函数的性质可知，可求出b的值，再利用可求出a的值.
（2）利用定义法证明函数的单调性即可.
【详解】（1）∵函数是奇函数，∴，
∴，
∴，
∴，
又∵，∴，
∴.
（2）由（1）得，
任取，，且，
∴，
∵，∴，，，
∴，即，
∴函数在上是增函数.
21．(1)
(2)
【分析】（1）将函数有唯一零点转化成方程有唯一解的问题，对二次项系数进行分类讨论即可；
（2）由复合函数单调性可知，函数为上的减函数，将恒成立转化成在上恒成立，讨论对称轴与区间的位置关系，求出其在区间上的最小值，使最小值大于等于0即可求得正实数的取值范围.
【详解】（1）函数有唯一零点，
即①有唯一零点，即有唯一零点，
当时，，解得，符合题意；
当时，方程为一元二次方程，其
当时，，方程有两个相等的实数根，符合题意；
当时，，方程有两个不等的实数根，；
若为①的解，则，解得；
若为①的解，则，解得；
要使①有唯一实数解，则．
综上，实数的取值范围为．
（2）函数，其中内部函数在上为减函数，外部函数为增函数，
由复合函数性质知为上的减函数，
，，
不等式转化为，
即转化为，
即
令，，即．
二次函数对称轴为，由，开口向上
（i）当时，，函数在上单调递减，
，解得，不符合题意，舍去；
（ii）当时，，函数在上单调递减，在上单调递增，
，即，解得，
即；
（iii）当时，，函数在上单调递增，
，解得，
即；
综上可知，正实数的取值范围．
【点睛】关键点点睛：本题第二小问的关键是将“对任意，恒有成立”进行等价转化，只需满足，再利用函数的单调性，即可将问题转化成不等式在上恒成立的问题，再讨论二次函数对称轴与区间的位置关系即可求得参数的取值范围.
22．（1）不是“依赖函数”，理由见解析；（2）；（3）最大值为.
【解析】（1）由“依赖函数”的定义进行判断即可；
（2）先根据题意得到，解得：，再由，解出，根据的范围即可求出的取值范围；
（3）根据题意分，，考虑在上单调性，再根据“依赖函数”的定义即可求得的值，代入得恒成立，由判别式，即可得到，再令函数在的单调性，求得其最值，可求得实数的最大值.
【详解】（1）对于函数的定义域内存在，则无解，
故不是“依赖函数”.
（2）因为在上递增，故，即，，
由，故，得，
从而在上单调递增，故.
（3）①若，故在上最小值为0，此时不存在，舍去；
②若，故在上单调递减，
从而，解得(舍)或，
从而存在.使得对任意的，有不等式都成立，
即恒成立，
由，得.
由，可得，
又在单调递减，故当时，，
从而，解得，
综上，故实数的最大值为.
【点睛】方法点睛：不等式恒成立问题常见方法：
① 分离参数恒成立(即可)或恒成立（即可）；
② 数形结合( 图象在 上方即可)；
③ 讨论最值或恒成立.