浙江省宁波市九校2024-2025学年高一上学期期末联考数学试题（Word版附答案）

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1．D2．C3．A4．D5．B6．C7．B8．C
8．解析：由题意知，，所以，又因为，所以. 当时，，因为，所以，此时，经检验，在上不单调，舍去；当时，，因为，所以，此时，经检验，在上单调递减. 故选C.
二、多选题
9．AC10．ABD11．ABD
三、填空题
12．313．14．
14．解析：因为，
所以，
所以是偶函数. 由复合函数的单调性可知，在上单调递增，
所以等价于，即，即.
当时，恒成立，所以；当时，恒成立，所以. 综上，.
四、解答题
15．解：
（1）原式；6分
（2）因为，所以，8分
又，所以，9分
原式.13分
16．解：
（1），2分
当时，，3分
；6分
（2），.8分
当时，，；10分
当时，即.13分
.15分
17．解：
（1），2分
，，，
又，，4分
，令，，得，，
所以的单调递增区间为，.7分
（2）由题意可得，，9分
则
，，12分
，.15分
18．解：
（1）当时，，所以4分
（2）令，6分
恒成立，即恒成立，8分
所以10分
（3）由（1）知，在上的最大值为4，11分
所以对任意恒成立，即，12分
令，
①，即时，在上单调递增，
所以，
所以，所以；13分
②，即时，在上递减，在上递增，
所以，
所以，所以；14分
③，即时，在上递减，在上递增，
所以，
所以，所以；15分
④，即时，在上单调递减，
所以，
所以，所以.16分
综上，.17分
19．已知和都是定义在上的函数，若它们满足如下性质：
①为奇函数，为偶函数；
②(,)；
则称为类正弦函数，为类余弦函数.
（1）求类正弦函数和类余弦函数的解析式；
（2）求证：
（i）；（ii）；
（3）解关于的不等式：，其中为非零常数.
解析：
（1）由性质②知，所以，
由性质①知，，所以，
解得，.6分（各3分）
（2）（i）证明：8分
（ii）证明：
10分
（3）由（2）知，原式等价于，
令
则原式等价于，12分（因式分解）
①时，无解；
②时，，又，所以，即，
解得，
i）若，解集为；
ii）若，解集为
③时，，无解；
④时，，无解；
⑤时，，又，所以，即，
解得，
i）若，解集为；
ii）若，解集为.
综上，或时，无解；13分
且时，解集为；
且时，解集为；15分
且时，解集为；
且时，解集为17分