广州市第五中学2025届九年级上学期10月月考数学试卷(含解析)

这是一份广州市第五中学2025届九年级上学期10月月考数学试卷(含解析)，共24页。试卷主要包含了选择题，解答题等内容，欢迎下载使用。
一、选择题（每题只有一个正确答案，把正确的答案填在下列对应的答题框内，每题3分，共30分）
1. 下列方程中是一元二次方程的是（ ）
A. B.
C. D.
答案：A
解：A中方程是一元二次方程，符合题意；
B中方程是一次方程，故不是一元二次方程，不符合题意；
C中方程不是整式方程，故不是一元二次方程，不符合题意；
D中方程是二元方程，不是一元二次方程，不符合题意；
故选：A．
2. 已知是方程的一个根，则k的值（ ）
A. 5B. 7C. D.
答案：D
解：由题意得：
把代入方程中，
则，
，
，
故选：D．
3. 将抛物线向左平移3单位，再向下平移2个单位，得到的抛物线是（ ）
A. B.
C. D.
答案：C
解：将抛物线向左平移3单位，再向下平移2个单位，
得到的抛物线是．
故选：C．
4. 一元二次方程的解为，，则、分别为（ ）
A. 2、1B. 2、C. 、D. 、1
答案：C
解：一元二次方程的两个根分别为，，
∴，．
故选：C．
5. 抛物线与轴交点个数为（ ）．
A. B. C. D.
答案：B
解：当时，，
∵，
∴抛物线与轴交点只有个，
故选：．
6. 设，，，是抛物线上的三点，则y1，y2，y3的大小关系为（ ）
A y1＞y2＞y3B. y1＞y3＞y2C. y3＞y2＞y1D. y3＞y1＞y2
答案：D
解：函数的解析式是，
对称轴是直线，
点关于对称轴的点是，
那么点、、都在对称轴的左边，而对称轴左边随的增大而减小，
于是．
故选：D．
7. 王老师购买了2304张签名卡，在毕业典礼上，他向每位同学赠送了一张签名卡，每位同学间也互赠了一张签名卡，签名卡恰好用完，设班级有x名学生，则下列方程成立的是（ ）
A. B.
C. D.
答案：C
解：设班级有x名学生，由题意，得：；
故选C．
8. 如图，在用一坐标中，函数y＝ax2+bx（a≠0）与y＝ax+b的图象大致是（ ）
A. B.
C. D.
答案：D
解：A.由抛物线可知a＞0，b＜0，由直线可知a＞0，b＞0，故本选项错误；
B.由抛物线可知a＞0，由直线可知a＜0，故本选项错误；
C.由抛物线可知a＜0，由直线可知a＞0，故本选项错误；
D.由抛物线可知a＞0，b＞0，由直线可知a＞0，b＞0，且交x轴于同一点，故本选项正确．
故选：D．
9. 如图，在等腰△ABC中，AB＝AC＝4cm，∠B＝30°，点P从点B出发，以cm/s的速度沿BC方向运动到点C停止，同时点Q从点B出发，以1cm/s的速度沿BA﹣AC方向运动到点C停止，若△BPQ的面积为y（cm2），运动时间为x（s），则下列最能反映y与x之间函数关系的图象是（ ）
A. B.
C. D.
答案：D
解：作AH⊥BC于H，
∵AB＝AC＝4cm，
∴BH＝CH，
∵∠B＝30°，
∴AH＝AB＝2，BH＝,AH＝2，
∴BC＝2BH＝4，
∵点P运动的速度为cm/s，Q点运动的速度为1cm/s，
∴点P从B点运动到C需4s，Q点运动到C需8s，
当0≤x≤4时，作QD⊥BC于D，如图1，BQ＝x，BP＝x，
在Rt△BDQ中，DQ＝BQ＝x，
∴y＝•x•x＝x2，
当4＜x≤8时，作QD⊥BC于D，如图2，CQ＝8﹣x，BP＝4
Rt△BDQ中，DQ＝CQ＝（8﹣x），
∴y＝•（8﹣x）•4＝﹣x+8，
综上所述，y＝．
故选：D．
10. 如图，抛物线的对称轴是．下列结论：①；②；③；④，正确的有（ ）
A. 4个B. 3个C. 2个D. 1个
答案：B
解：根据题意，则，，
∵，
∴，
∴，故①错误；
由抛物线与x轴有两个交点，则，故②正确；
∵，
令时，，
∴，故③正确；
在中，
令时，则，
令时，，
由两式相加，得，故④正确；
∴正确的结论有：②③④，共3个；
故选：B．
二．填空题（每题3分，共18分）
11. 二次函数的顶点坐标为________
答案：
解：由顶点式可知的顶点为．
故答案：．
12. 关于x的方程有两个相等的实数根，则________
答案：0
解；∵关于x的方程有两个相等的实数根，
∴，
∴，
故答案为：0．
13. 如图，在长为28米，宽为10米的矩形空地上修建如图所示的道路（图中的阴影部分），余下部分铺设草坪，要使得草坪的面积为243平方米，设道路的宽为x米，则所列方程为_________．
答案：
解：依题意，道路的宽为米，
铺设草坪面积等于长为米、宽米的矩形面积．
草坪的面积为243平方米，
．
故答案为：．
14. 如图，已知抛物线与直线交于两点，则关于x的不等式的解集是________．
答案：
解：由图象可知，当时，抛物线位于直线上方，
∴不等式的解集是：，
故答案为：
15. 二次函数的图象如图，点O为坐标原点，点A在y轴的正半轴上，点B、C在二次函数的图象上，四边形OBAC为菱形，且∠OBA=120°，则菱形OBAC的面积为______．

答案：
解：连接BC与AO交于点D，
∵四边形OBAC为菱形
∴AO⊥BC，
∵∠OBA=120°
∴∠AOB=30°，
∵B的坐标为(1，)，
∴OA=2OD=2，BC=2BD=2，
∴菱形的面积=×AO×BC=×2×2=2.
故答案为：
考点：二次函数的性质
16. 如图，在矩形中，，点E是的中点，连接，点M是上一动点，取的中点为N，连接，则的最小值是________．
答案：
以点为原点，建立平面直角坐标系，如下图所示：
在矩形中，，点是的中点，
，
∴，
直线的函数解析式为，
设点的坐标为，
点是上一动点，
，
点是的中点，
，
由两点之间的距离公式得：，
由二次函数的性质得：在内，随的增大而增大，
则当时，取得最小值，最小值为36，
因此，的最小值为，
故答案为：．
三、解答题
17. 解方程：
（1）
（2）
答案：（1）
（2）
【小问1详解】
解：∵，
∴，
∴，
∴或，
解得；
【小问2详解】
解：∵，
∴，
∴或，
解得．
18. 已知抛物线．

（1）该抛物线的对称轴是___________，顶点坐标是___________；
（2）画出该抛物线的图象；
（3）若该抛物线上两点的横坐标满足，试比较与的大小．
答案：（1）直线，
（2）见解析 （3）
【小问1详解】
解：∵，
∴该抛物线的对称轴是直线，顶点坐标是，
故答案为：直线，；
【小问2详解】
解：列表：
描点、画图象如图：
【小问3详解】
解：由（2）中图象，当时，函数值y随x的增大而减小，
∵，
∴．
19. 某公司今年1月份的生产成本是400万元，由于改进技术，生产成本逐月下降，3月份的生产成本是361万元．假设该公司2、3、4月每个月生产成本的下降率都相同．
（1）求每个月生产成本的下降率；
（2）请你预测4月份该公司的生产成本．
答案：（1）每个月生产成本的下降率为5%；（2）预测4月份该公司的生产成本为342.95万元．
（1）设每个月生产成本的下降率为x，
根据题意得：400（1﹣x）2=361，
解得：x1=0.05=5%，x2=1.95（不合题意，舍去）．
答：每个月生产成本的下降率为5%；
（2）361×（1﹣5%）=342.95（万元），
答：预测4月份该公司的生产成本为342.95万元．
20. 如图，抛物线经过坐标原点O和点A，点A在x轴上．
（1）求此抛物线的解析式
（2）抛物线的顶点为B，连接，，求；
（3）若点C在抛物线上，且，求点C的坐标．
答案：（1）
（2）1 （3）或
【小问1详解】
解：把代入得：，
∴抛物线解析式为，
【小问2详解】
解：∵抛物线解析式为，
∴顶点B的坐标为；
在中，当时，，
解得：，，
∴，
∴
∴；
【小问3详解】
解：设C点坐标为，
∵，
∴，
即或，
解方程得：
，，
∴C点坐标为或，
方程无实数解，
综上所述，C点坐标为或．
21. 已知、是一元二次方程方程的两个实数根；
（1）求k的取值范围；
（2）若、满足，求实数k的值．
答案：（1）
（2）
【小问1详解】
解：根据题意得：，
解得；
【小问2详解】
解：根据题意得：，，
∴，
，
，
，
，
整理得，，
∴，
解得或，
又∵，
∴．
22. 某市农副产品销售公司的某农副产品的年产量不超过100万件，该产品的生产费用y（万元）与年产量x（万件）的函数图象是顶点为原点的抛物线的一部分（如图①所示）；该产品的销售单价z（元/件）与年销售量x（万件）之间的函数图像是如图2所示的一条线段，生产出的产品都能在当年销售完，达到产销平衡，所获毛利润为w万元（毛利润销售额生产费用）
（1）求出y与x以及z与x之间的函数关系式；
（2）求w与x之间的函数关系式；
（3）由于受资金的影响，今年投入生产的费用不会超过490万元，求今年可获得最大毛利润．
答案：（1），
（2）
（3）今年最多可获得毛利润万元
【小问1详解】
解：图①可得函数经过点，
设抛物线的解析式为，
将点代入得：，
解得：，
故y与x之间的关系式为，
图②可得：函数经过点，，
设，则，
解得：，
故z与x之间的关系式为；
【小问2详解】
解：，
∴w与x之间的函数关系式为；
【小问3详解】
解：令，得，
解得：（负值舍去），
由图象可知，当时，
，
∵，
∴当时，w随x的增大而增大，
∵，
∴当时，w有最大值，
答：今年最多可获得毛利润万元．
23. 如果关于一元二次方程有两个实数根，其中一个实数根是另一个实数根的2倍，那么称这样的方程是“倍根方程”．例如一元二次方程的两个根是，则方程是“倍根方程”．
（1）通过计算，判断是否是“倍根方程”．
（2）若关于x的方程是“倍根方程”，求代数式的值；
（3）已知关于x的一元二次方程（是常数）是“倍根方程”，请直接写出的值．
答案：（1）是 （2）26或5
（3）13或
【小问1详解】
，
，
，
所以，
则方程是“倍根方程”；
【小问2详解】
，
或，
解得，
∵是“倍根方程”，
∴，
当时，；
当时，，
综上所述，代数式的值为26或5；
【小问3详解】
根据题意，设方程的根的两根分别为，
根据根与系数的关系得 ，
解得 或，
∴m的值为13或．
24. 如图，二次函数的图像与x轴交于A，B两点，与y轴交于点C，点A的坐标为，且，E是线段上的一个动点，过点E作直线垂直于x轴交直线和抛物线分别于点D、F．
（1）求抛物线的解析式；
（2）设点E的横坐标为m．当m为何值时，线段有最大值，并写出最大值为多少；
（3）若点P是直线上的一个动点，在坐标平面内是否存在点Q，使以点P、Q、B、C为顶点的四边形是菱形？若存在，请直接写出点Q的坐标；若不存在，请说明理由．
答案：（1）
（2）当时，有最大值，且最大值为
（3）存在，或或或
【小问1详解】
解：∵二次函数的图像与轴交于两点，与轴交于点，点的坐标为，
∴，
∵，
∴，则，
把A-4,0，代入二次函数解析式得，
，
解得，，
∴二次函数解析式为；
【小问2详解】
解：由（1）可知，二次函数解析式为，且A-4,0，，
∴设直线所在直线的解析式为y=kx+bk≠0，
∴，
解得，，
∴直线的解析式为，
∵点的横坐标为，直线垂直于轴交直线和抛物线分别于点，
∴点的横坐标为，
∴，，
∴，
∴当时，有最大值，且最大值为；
【小问3详解】
解：∵二次函数的图像与轴交于两点，且A-4,0，
∴令时，，则，，
∴，且
∵直线的解析式为，点P是直线上的一个动点，
∴设
∴，，
∴当时
∴
∴
∴，
∴当时，
∴
∴如图所示，当四边形是菱形时
∴
∴
∴
∴；
当时，
∴
∴如图所示，当四边形是菱形时
∴
∴
∴
∴；
∴时
∴
∴
∴
∴
∴
∴如图所示，四边形是菱形
∴
∴
∴
∴；
当时，
∴
∴
∴或（舍去）
∴当时，
∴
∴如图所示，四边形是菱形
∴
∴
∴
∴；
综上所述，存在点使得以点为顶点的四边形是菱形，且Q的坐标为或或或．
25. 平面直角坐标系中，抛物线过点，，，顶点不在第一象限，线段上有一点，设的面积为，的面积为，．
（1）用含的式子表示；
（2）求点的坐标；
（3）若直线与抛物线的另一个交点的横坐标为，求在时的取值范围（用含的式子表示）．
答案：（1）；（2）或；（3）当时，有＜
解：（1）把代入：，


（2）
抛物线为：
抛物线的对称轴为：
顶点不在第一象限，
顶点在第四象限，
如图，设＜ 记对称轴与的交点为，
则

，





当＞同理可得：
综上：或
（3）

当，设为：

解得：
为

消去得：
由根与系数的关系得：
解得：

当时，
当时，
当时，，
当时，有＜
当，由于抛物线开口向上，情况不存在
综上：当时，有＜
…
…
…
…
…
0
1
2
3
…
…
2
3
2
…