衡阳县第四中学2022-2023学年高二下学期期末考试模拟（一）数学试卷（含答案）

这是一份衡阳县第四中学2022-2023学年高二下学期期末考试模拟（一）数学试卷（含答案），共16页。试卷主要包含了选择题，多项选择题，填空题，双空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

衡阳县第四中学2022-2023学年高二下学期期末考试模拟（一）数学试卷
学校：___________姓名：___________班级：___________考号：___________

一、选择题
1、把5个相同的小球分给3个小朋友，使每个小朋友都能分到小球的分法有( )
A.4种 B.6种 C.21种 D.35种
2、已知随机变量，其正态曲线如图所示，若，则( )

A. B. C. D.
3、根据组合数的性质可知，( )
A. B. C. D.
4、将三颗骰子各掷一次，设事件“三个点数都不相同”，“至少出现一个6点”，则等于( )
A. B. C. D.
5、随机变量X，Y满足，且，则与的值分别为( )
A.-3，4 B.3，4 C.4，3 D.4，-3
6、2023年亚运会于2023年9月23日至10月8日在中国浙江杭州举行，杭州亚运会吉祥物是一组承载深厚底蕴和充满活力的机器人，组合名为“江南忆”，出自唐朝诗人白居易的名句“江南忆，最忆是杭州”，融合了杭州的历史人文、自然生态和创新基因.现将编号为1-6的6个吉祥物机器人赠送给：名亚运会志愿者留作纪念，若要求每名志愿者至少获得1个吉祥物且1号和2号吉祥物被赠送给一名志愿者，则不同的赠送方法数为( )
A.36 B.72 C.114 D.150
7、19世纪美国天文学家西蒙·纽康在翻阅对数表时，偶然发现表中以1开头的数出现的频率更高.约半个世纪后，物理学家本·福特又重新发现这个现象，从实际生活得出的大量数据中，以1开头的数出现的频数约为总数的三成，并提出本·福特定律，即在大量b进制随机数据中，以n开头的数出现的概率为，如斐波那契数、阶乘数、素数等都比较符合该定律，后来常有数学爱好者用此定律来检验某些经济数据、选举数据筹大数据的真实性.若，则k的值为( )
A.2 B.3 C.4 D.5
8、若不等式对任意恒成立，则实数m的取值范围是( )
A. B. C. D.以上均不正确
二、多项选择题
9、下列命题正确的是( )
A.在回归分析中，相关指数越小，说明回归效果越好
B.已知若根据列联表得到的观测值为4.1，则有95%的把握认为两个分类变量有关
C.已知由一组样本数据得到的回归直线方程为，且，则这组样本数据中一定有
D.若随机变量，则不论取何值，为定值
10、将4个不同的小球放入3个分别标有1，2，3号的盒子中，不允许有空盒子的放法，关于放法的种数，下列结论正确的有( )
A. B. C. D.18
11、关于及其展开式，下列说法正确的是( )
A.展开式中各项系数和为1
B.展开式中第11项的二项式系数最大
C.展开式中第16项为
D.当时，除以3的余数是1
12、定义在上的函数的导函数为，且对恒成立.下列结论正确的是( )
A.
B.若，，则
C.
D.若，，则
三、填空题
13、若，则__________.
14、甲、乙两支排球队进行比赛，约定先胜3局者获得比赛的胜利，比赛随即结束.每局比赛甲队获胜的概率是，没有平局.假设各局比赛结果相互独立，则甲队以获胜的概率是_________.
15、设某批产品中，编号为1，2，3的三家工厂生产的产品分别占45%，35%，20%，各厂产品的次品率分别为2%，3%，5%.现从中任取一件，则取到的是次品的概率为_________.
四、双空题
16、已知的展开式的各项系数之和为27，则实数_________，展开式中含项的系数是_________.
五、解答题
17、盒子内有3个不同的黑球，5个不同的白球.
(1)将它们全部取出排成一列，3个黑球两两不相邻的排法有多少种？
(2)若取到一个白球记2分，取到一个黑球记1分，从中任取5个球，使总分不少于7分的取法有多少种？
18、在一个袋中装有大小、形状完全相同的3个红球、2个黄球.现从中任取2个球，设随机变量X为取得红球的个数.
(1)求X的分布列；
(2)求X的数学期望和方差.
19、甲、乙两位同学参加诗词大赛，各答3道题，每人答对每道题的概率均为，且各人是否答对每道题互不影响.
(1)用X表示甲同学答对题目的道数，求随机变量X的分布列和数学期望;
(2)设“甲比乙答对的题目数恰好多2”为事件A，求事件A发生的概率.
20、近年来，国资委党委高度重视扶贫开发工作，坚决贯彻落实中央扶贫工作重大决策部署，在各个贫困县全力推进定点扶贫各项工作，并取得了积极成效.某贫困县为了响应国家精准扶贫的号召，特地承包了一块土地，已知土地的使用面积与相应的管理时间的关系如下表所示：
土地使用面积x(单位：亩)
1
2
3
4
5
管理时间y(单位：月)
8
10
13
25
24
并调查了某村位村民参与管理的意愿，得到的部分数据如下表所示：（单位：人）

愿意参与管理
不愿意参与管理
合计
男性村民
150
50

女性村民
50


合计



(1)求出样本相关系数r的大小，并判断管理时间y与土地使用面积是否线性相关(当时，即可认为线性相关);
(2)依据的独立性检验，分析村民的性别与参与管理的意愿是否有关;
(3)以该村的村民的性别与参与管理意愿的情况估计该贫困县的情况，从该贫困县中任取3人，记取到不愿意参与管理的男性村民的人数为X，求X的分布列及数学期望.
参考公式：，
，其中.
临界值表：

0.10
0.05
0.010
0.001

2.706
3.841
6.635
10.828
参考数据：.
21、已知椭圆的右焦点与抛物线的焦点重合.的离心率为，过的右焦点F且垂直于x轴的直线截所得的弦长为4.
(1)求椭圆和抛物线的方程；
(2)过点的直线l与椭圆，交于A，B两点，点B关于x轴的对称点为点E，证明：线AE过定点.
22、设函数，.
（1）若函数存在两个极值点，求实数a的取值范围；
（2）若时，不等式恒成立，求实数a的取值范围.
参考答案
1、答案：B
解析：利用隔板法，相当于在5个球的4个空档里插入2块板子，有种方法.
故选：B.
2、答案：D
解析：由图可知，因为，所以.
故选：D.
3、答案：C
解析：根据组合数的性质得.
4、答案：A
解析：依题意可得，，
则.
故选：A.
5、答案：A
解析：因为，
所以，
，
又，
所以，
所以，
.
故选：A.
6、答案：D
解析：
由题意1号和2号吉祥物被赠送给同一名志愿者，将1号和2号捆绑在一起，然后将5个吉祥物先分为3组，有两类：，再将分好的三组分配给3名志愿者，不同的方法数.
故选：D.
7、答案：B
解析：
，
又，故.
故选：B.
8、答案：C
解析：因为对任意恒成立，
即对任意恒成立，
令，，
则，所以在上单调递增，
依题意对任意恒成立，
即对任意恒成立，
两边取对数可得，所以，
令，则，
所以当时，
当时，
所以在上单调递增，
在上单调递减，所以，
所以，所以，即.
故选：C.
9、答案：BD
解析：对于A：在回归分析中，相关指数越大，说明回归效果越好，故错误；
对于B：由于，则有95%的把握认为两个分类变量有关，故正确；
对于C：当时，，这只是一个预测值，故错误；
对于D：由于，则，结合原则可知正确.
故选：BD.
10、答案：BC
解析：根据题意，4个不同的小球放入3个分别标有1，2，3号的盒子中，且没有空盒子，则三个盒子中有1个盒子中放2个球，剩下的2个盒子中各放1个，有2种解法：
方法一：分2步进行分析：
①先将4个不同的小球分成3组，有种分组方法；
②将分好的3组全排列，对应放到3个盒子中，有种放法.
则没有空盒的放法有种.
方法二：分2步进行分析：
①在4个小球中任选2个，在3个盒子中任选1个，将选出的2个小球放入选出的小盒中，有种情况；
②将剩下的2个小球全排列，放入剩下的2个小盒中，有种放法.
则没有空盒的放法有种.
故选：BC.
11、答案：BD
解析：令，可得展开式中各项系数和为，故A错误;
因为20是偶数，所以展开式中中间项第11项的二项式系数最大，故B正确;
展开式中的第16项为，故C错误；
当时，，
其中能被3整除，所以除以3的余数是1，故D正确.
故选：BD.
12、答案：CD
解析：设函数，
则

因为，
所以，
故在上单调递减，
从而，
整理得，
，故A错误，C正确.
当时，若，
因为在上单调递减，所以，
即，即.
故D正确，从而B不正确.
即结论正确的是CD.
故选：CD.
13、答案：4
解析：由题意可知或，解得.
14、答案：
解析：根据题意，若甲队以获胜，则第五局甲胜，前四局是，
所以所求概率.
15、答案：0.0295
解析：设A表示“取到的是一件次品”，表示“取到的产品是由第家工厂生产的”，
则，，，
，，，
由全概率公式可得：


.
16、答案：2；23
解析：已知的展开式的各项系数之和为27，
令，则，
解得，故该式为，
其展开式中含项的是.
故展开式中含项的系数为23.
17、答案：(1)14400种
(2)56种
解析：(1)首先将5个白球进行排列，然后3个黑球进行插空，则3个黑球两两不相邻的排法有种.
(2)从中任取5个球，使总分不少于7分的取法有4类：5个白球、4个白球1个黑球、3个白球2个黑球、2个白球3个黑球，故共有种.
18、答案：(1)见解析
(2)；
解析：(1)X的可能取值为0，1，2.
，
，
.
则X的分布列为：
X
0
1
2
P



(2)由(1)中分布列可得，
.
19、答案：(1)见解析
(2)
解析：(1)X的可能取值为0，1，2，3.
，
，
，
，
的分布列为
X
0
1
2
3
P




数学期望.
(2)由题意得，事件A包含“甲答对2道，乙答对0道”和“甲答对3道，乙答对1道”两种情况，
.
20、答案：(1)见解析
(2) 见解析
(3)
解析：(1)由题知，，
，
故，
，
，
则，
故管理时间y与土地使用面积x线性相关.
(2)依题意，完善表格如下：(单位：人)

愿意参与管理
不愿意参与管理
合计
男性村民
150
50
200
女性村民
50
50
100
合计
200
100
300
零假设为：村民的性别与参与管理的意愿无关.计算可得:
.
依据的独立性检验，推断不成立，即认为村民的性别与参与管理的意愿有关.
(3)解法一：依题意，X的可能取值为0，1，2，3，从该贫困县中随机抽取一位村民，取到不愿意参与管理的男性村民的概率为，
故，
，
，
.
故X的分布列为
X
0
1
2
3
P




则数学期望.
解法二：依题意，从该贫困县中随机抽取一位村民，取到不愿意参与管理的男性村民的概率为，则，故.
21、答案：(1) ；
(2)
解析：(1)由的离心率为，可得，所以，
因为椭圆的右焦点与抛物线的焦点重合，所以，
过的右焦点F且垂直于x轴的直线截所得的弦长为4，令代入抛物线的方程，
可得，
所以，
即，解得，
所以，，
由可得，
所以椭圆和抛物线的方程分别为：；，
(2)由题意可得直线l的斜率存在且不为0，
设直线l的方程为：，
设，，
由题意可得，
直线与椭圆联立：，
整理可得：，
，
可得，，
直线的方程为：，
可得：



所以当时，，即过定点，
所以可证直线AE过定点.
22、答案：（1）
（2）见解析
解析：（1）由题意得
，
存在两个极值点，
在有两个不等实根，
且且，
即实数a的取值范围为.
（2）方法一：（分类讨论）
当时，，符合题意；
当时，，
①若，对恒成立，
在单调递增，
，符合题意；
②若，则
（ⅰ）当，，恒成立，在单调递减，
只需，
所以；
（ⅱ）当时，，恒成立，在单调递增，
只需，所以均符合题意；
（ⅲ）当时，，当，，
当，，所以在单调递增，在单调递减，
则，而当时，，均成立，
符合题意.
综上所述，.
方法二：（分离参数）恒成立，
设，，则，由在单调递增，得，即，
在单调递增，
所以，
恒成立，
只需.
设，，则，
设，，则，
在单调递减，
，（或者由）
从而得，故在单调递增，
，
.