衡阳县第四中学2024-2025学年高二上学期11月期中考试数学（B）试卷(含答案)

这是一份衡阳县第四中学2024-2025学年高二上学期11月期中考试数学（B）试卷(含答案)，共12页。试卷主要包含了选择题，多项选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

一、选择题
1．如图,在四棱柱的上底面ABCD中,,则下列向量相等的是( )
A.与B.与C.与D.
2．已知空间向量,,且,则( )
A.10B.6C.4D.
3．过下列两点,的直线的斜率为( )
A.1B.0C.-1D.不存在
4．圆的圆心到直线的距离为( )
A.2B.C.1D.
5．平面内点P到,的距离之和是10,则动点P的轨迹方程是( )
A.B.C.D.
6．已知直线l的方向向量是,平面的一个法向量是,则l与的位置关系是( )
A.B.
C.l与相交但不垂直D.或
7．已知圆与圆外切,则r的值为( )
A.1B.5C.9D.21
8．已知直线与圆相交于A,B两点,则的最小值为( )
A.B.C.D.
二、多项选择题
9．已知的三个顶点,,,则下列说法正确的是( )
A.直线AC的斜率为
B.直线AB的倾斜角为锐角
C.BC边的中点坐标为
D.BC边上的中线所在的直线方程为
10．已知圆与直线,下列选项正确的是( )
A.圆的圆心坐标为B.直线过定点
C.直线与圆相交且所截最短弦长为D.直线与圆可以相离
11．如图,在正方体中,E,F分别为的中点,则( )
A.
B.平面
C.平面
D.直线DF与直线CE所成角的余弦值为
三、填空题
12．已知直线，直线．若，则实数a的值为______．
13．方程表示焦点在x轴上的椭圆,则实数k的取值范围是__________.
14．欧拉于1765年在他的著作《三角形的几何学》中首次提出定理：三角形的重心、垂心和外心共线，这条线称之为三角形的欧拉线.已知，，，且为圆内接三角形，则的欧拉线方程为________.
四、解答题
15．求满足题意的直线方程:
（1）求过点,斜率是直线的斜率的的直线方程;
（2）求过点,且在x轴上的截距等于在y轴上截距的直线方程.
16．已知圆C上有两个点，，且AB为直径.
（1）求圆C的方程；
（2）已知，求过点P且与圆C相切的直线方程.
17．分别求符合下列条件的椭圆的标准方程：
(1)过点，且与椭圆有相同的焦点．
(2)经过两点，．
18．如图,在正方体中,E为的中点,F为的中点.
（1）求证:平面;
（2）求直线,所成角的余弦值.
19．如图,在四棱锥中,底面是正方形,侧棱底面,,E是的中点,作交于点F.
（1）求证:平面;
（2）求平面与平面的夹角的大小.
参考答案
1．答案：D
解析：因为,则四边形是平行四边形,结合题图,
,A错误;
,B错误;
与方向不相同,C错误;
,D正确.
故选:D.
2．答案：C
解析：因为,所以,即,,则.故选:C.
3．答案：A
解析：由斜率的坐标计算公式可知过两点，的直线的斜率为.
故选：A.
4．答案：D
解析：圆心为，点到直线的距离为.故选D.
5．答案：B
解析:由题意,
平面内点P到,的距离之和是10,
动点P的轨迹为椭圆,焦点在轴上,
,,解得:,
,
轨迹方程为:,
故选:B.
6．答案：D
解析：
7．答案：A
解析：因为圆与圆外切,
所以,解得.
故选:A
8．答案：D
解析：依题意,得圆心,半径,直线恒过定点.,点D在圆C内部,的值最小时,直线AB与CD垂直.又,.故选D.
9．答案：CD
解析：对于A,直线AC的斜率为,故A错误;
对于B,直线AB的斜率为,所以直线AB的倾斜角为钝角,故B错误;
对于C,设BC边的中点为,则,,即点,故C正确;
对于D,BC边上的中线AD所在的直线方程为,整理得,故D正确.
故选:CD.
10．答案：AC
解析：对于A中,由圆,
可得圆的圆心坐标为,半径为,所以A正确;
对于B中,由直线,可化为,
令,解得,,所以直线恒过点,所以B不正确;
对于C中,由圆心坐标为和定点,可得,
根据圆的性质,当直线与CP垂直时,直线与圆相交且所截的弦长最短,
则最短弦长为,所以C正确;
对于D中,由直线恒过定点,且,即点在圆内,所以直线与圆相交,所以D不正确.
故选:AC.
11．答案：AD
解析：以点D为原点,建立如图所示的空间直角坐标系,设,
则,,,,,.
,,,.
A选项,因为,所以,A正确.
B选项,设平面的法向量为,
则,
令得,,,故,
因为,
所以与不垂直,则直线DF与平面不平行,B错误.
C选项,若平面,则.
因为,所以直线BF与直线不垂直,矛盾,C错误.
D选项,,D正确.
故选:AD
12．答案：1或
解析：因为直线，
直线，且，
所以，
解得或.
故答案为：1或.
13．答案：
解析：由题意可得解得,故实数k的取值范围是.
故答案为：.
14．答案：/
解析：依题意，解得，
所以圆，即，故圆心坐标为，
即的外心坐标为，又的重心坐标为，
又点、均在直线上，所以的欧拉线方程为.
故答案为：
15．答案：（1）
（2）或
解析：（1）斜率是直线的斜率的的直线斜率,
利用斜截式可得:,化为一般式:.
（2）直线经过原点时满足条件,可得直线方程为:,即;
直线不经过原点时,截距不为0,
设直线方程为:,把点代入可得:,解得,
化为一般式:;
综上:所求直线为或.
16．答案：（1）
（2）
解析：（1）因为圆C的直径为AB，故其圆心为，
其半径为，
故圆C的方程为：.
（2）因为，故P在圆C上，连接PC，
而直线的斜率：，故圆C在P处的切线的斜率为，
故所求切线的方程为：.
17．答案：(1)
(2)
解析：(1)因为所求的椭圆与椭圆的焦点相同，所以其焦点在x轴上，且．
设所求椭圆的标准方程为．
因为所求椭圆过点，所以有①
又，②
由①②解得．
故所求椭圆的标准方程为．
(2)设椭圆方程为，且，在椭圆上，
所以，则椭圆方程.
18．答案：（1）证明见解析;
（2）
解析：（1）证明:连
几何体为正方体,
,
,平面,平面,平面;
（2）以D为坐标原点,向量,,方向分别为x,y,z轴建立如图所示空间直角坐标系.
令,可得点D的坐标为,点E的坐标为,点F的坐标为,点B的坐标为,
,
,所成角的余弦值为.
19．答案：（1）证明见解析
（2）
解析：（1）建立如图所示的空间直角坐标系,设.
依题意得,,,,
所以,,
故.
所以.
由已知,且,,平面,
所以平面.
（2）已知,由（1）可知平面平面,所以,故是平面与平面的夹角.
设点F的坐标为,则,
因为,所以,
即,,,
设,则,
所以,点F的坐标为,即,
又点E的坐标为,所以,
所以,
又为锐角,所以,即平面与平面的夹角大小为.