2023-2024学年河南省驻马店市平舆县九年级上学期期末模拟数学试卷（解析版）

这是一份2023-2024学年河南省驻马店市平舆县九年级上学期期末模拟数学试卷（解析版），共19页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
一、选择题（共10小题，满分30分，每小题3分）
1. 下列图形中，既是轴对称图形，又是中心对称图形的是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】B
【解析】A、原图是轴对称图形，不是中心对称图形，故此选项不合题意；
B、原图既是中心对称图形，又是轴对称图形，故此选项符合题意；
C、原图不是中心对称图形，是轴对称图形，故此选项不合题意；
D、原图是中心对称图形，不是轴对称图形，故此选项不合题意；故选：B．
2. 下列事件属于必然事件的是（ ）
A. 足球比赛中梅西罚进点球
B. 小强在校运会上100米比赛的成绩为5秒
C. 今年宁波的冬天不下雪
D. 实心的铁球会在水中下沉
【答案】D
【解析】A、足球比赛中梅西罚进点球是随机事件；
B、小强在校运会上100米比赛的成绩为5秒中是不可能事件；
C、今年宁波的冬天不下雪是随机事件；
D、实心的铁球会在水中下沉是必然事件，故选：D．
3. 如图，点是的八等分点．若，四边形的周长分别为a，b，则下列正确的是( )

A. B.
C. D. a，b大小无法比较
【答案】A
【解析】连接，

∵点是的八等分点，即
∴，
∴
又∵的周长为，
四边形的周长为，
∴
在中有
∴
故选A．
4. 如图，已知矩形ABCD的四个顶点都在双曲线y＝上，BC＝2AB，则矩形ABCD的面积为（ ）
A. 18B. 32C. 36D. 72
【答案】B
【解析】过B点作MN∥y轴，AM∥x轴∥CN，
设点A（m，），（m＞0），
根据矩形和双曲线的对称性可得，B（，m），C（﹣m，﹣），
∵矩形ABCD中，∠ABC＝90°，
∴∠CBN+∠ABM＝∠CBN+∠BCN，
∴∠ABM＝∠BCN，
∵∠AMB＝∠BNC＝90°，
∴△ABM∽△BCN，
∴＝＝，
∴2BM＝CN，
∴2（﹣m）＝（+m），
解得m＝，
∴A（，），B（3，），
由两点间距离公式可得，AB＝＝4，
∴BC＝2AB＝8，
∴矩形ABCD的面积＝AB×AD＝4×8＝32，
故选：B．
5. 判断方程的根的情况是（ ）
A. 有两个相等的实数根B. 有两个不相等的实数根
C. 没有实数根D. 只有一个实数根
【答案】B
【解析】∵，
∴方程有两个不相等的实数根．
故选：B．
6. 如图，的弦、的延长线交圆外于点，若，，则的大小是（ ）
A. 20°B. 25°C. 30°D. 50°
【答案】C
【解析】∵∠AOC=100°，∠ABC与∠AOC所对弧为同弧，∴∠ABC=∠AOC=50°，
∵∠ABC为△BCE的外角，∴∠E=∠ABC-∠BCE=50°-20°=30°．
故选：C．
7. 如图，已知AD为角平分线，交于E，如果，那么等于（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】∵，∴，∴，
故选：D．
8. 如图，抛物线（）经过点，对称轴为直线．下列结论：①；②；③对于任意实数，总有；④对于的每一个确定值，若一元二次方程（为常数，且）的根为整数，则的值有且只有三个，其中正确的结论是（ ）
A. 1个B. 2个C. 3个D. 4个
【答案】D
【解析】∵抛物线开口向下，a＜0；
∵抛物线的对称轴为直线x1＜0，
∴b＜0；
∵抛物线与y轴的交点在x轴上方，
∴c＞0，
∴abc＞0，故①正确；
∵抛物线的对称轴为直线x＝-1，
∴1，
∴b＝2a，
∵经过点
∴当x＝2时，y＝4a+2b+c＝0，
∴4a+4a+c＝0，
∴8a+c＝0，
故②正确；
∴当x＝-1时，y最大，即对于任意实数m有a-b+c≥am2+bm+c，
∴am2+bm≤a-b，
∴
故③正确；
∵抛物线的对称轴是直线x＝-1，与x轴的一个交点是（2，0），
∴抛物线与x轴的另个交点是（﹣4，0），
∵b＝2a，8a+c＝0
∴y＝ax2+2ax﹣8a＝a（x+1）2﹣9a（a＜0），
∴顶点坐标为（-1，﹣9a），
由图象得当0＜y≤﹣9a时，﹣4＜x＜2，其中x为整数时，x＝-3，-2，-1，0，1，
又∵x＝-3与x＝1时，关于直线x＝-1轴对称
∴存在P使得根为x＝-3与x＝1；
又∵x＝-2与x＝0时，关于直线x＝-1轴对称
∴存在P使得根为x＝-2与x＝0；
当x＝-1时，直线y＝p恰好过抛物线顶点．
存在P使得根为x＝-1
所以P值可以有3个．故④正确；
故选：D．
9. 抛物线，函数y的最小值与最大值的和是（ ）
A. 1B. 10C. 18D. 20
【答案】D
【解析】∵抛物线为，
∴抛物线开口向下，顶点，对称轴为，
又∵抛物线x的取值范围为，
∴，，
∴函数y的最小值与最大值的和为，
故选D．
10. 如图，边长为1的正六边形放置于平面直角坐标系中，边在x轴正半轴上，顶点F在y轴正半轴上，将正六边形绕坐标原点O逆时针旋转，每次旋转，那么经过2023次旋转后，顶点D的坐标为（ ）
A. B.
C. D.
【答案】C
【解析】连接，，如图，
在正六边形中，，，
∴，，，
∴，
∴，
∴，
，
在中，，，
，
，
，
点的坐标为，
将正六边形绕坐标原点逆时针旋转，每次旋转，
次一个循环，
，
经过2023次旋转后，顶点的坐标与第三次旋转后得到的的坐标相同，
过点作轴于P，
∴，
由旋转可知，，
∴，
∴
，
∵点在第四象限，∴点的坐标为，
经过2023次旋转后，顶点的坐标为，
故选：C．
二、填空题（共5小题，满分15分，每小题3分）
11. 若点关于原点的对称的点Q的坐标为，则_____．
【答案】
【解析】点关于原点的对称的点Q的坐标为，
∴，，
解得：，，
∴．
故答案为：．
12. 反比例函数的图象经过点，那么______．
【答案】
【解析】将点代入解析式，得，
解得：，
故答案为．
13. 已知圆锥的底面直径为6cm，母线长为4cm，那么圆锥的侧面积为__．
【答案】12πcm2
【解析】圆锥的侧面积6π×4=12π（cm2）．
故答案为12πcm2．
14. 航天飞机从某个时间t秒开始，其飞行高度为（单位：英尺），对人而言不低于31000英尺时会感觉到失重，则整个过程中能体会到失重感觉的时间为_______秒．
【答案】30
【解析】依题意，得：，
解得：，，
∴整个过程中能体会到失重感觉的时间为（秒）．
故答案为：30．
15. 如图，矩形的边在的边上，点在边AB上，点在边上，的面积是40，的面积是，则的值为_____．
【答案】2
【解析】∵矩形的边在的边上，
∴，
∴，
∵，，
∴，∴，∴，
∴整理得2，∴的值是2，
故答案为：2．
三、解答题（共8小题，满分75分）
16. 如图，在平面直角坐标系中，已知的三个顶点的坐标分别为，，．

（1）若经过平移后得到，已知点的坐标为，画出，并写出点的坐标；
（2）将绕着点O按逆时针方向旋转得到，画出，并写出点的坐标；
（3）求出（2）中点A旋转到点所经过的路径长．
解：（1）如图，

∵点的对应点，∴横坐标，纵坐标，
∴点即，
（2）如图，旋转90°点的坐标为，

（3）如图，点旋转到点 所经过路径是弧长，
由旋转性质可知，，，
∴点旋转到点所经过的弧长为．
17. 在平面直角坐标系中，已知抛物线，我们把横、纵坐标都是整数的点叫做整点．
（1）将该抛物线与直线所围成的封闭区域（不含边界） 记为，求内整点的个数；
（2）将抛物线沿x轴翻折得到新的抛物线，将原抛物线与新抛物线围成的封闭区域（包含边界）记为，求内整点的个数；
（3）将抛物线向左平移个单位长度，再向下平移个单位长度后，得到一个新抛物线，将新抛物线，与双曲线，直线围成的封闭区域（不含边界）记为，求内整点的个数．
解：（1）画出抛物线与直线如解图所示，
此时， 内(不含边界)的整点有，2,0，2,1，，，，，共个，
∴内整点的个数为：；
（2）抛物线沿轴翻折得到新的抛物线，
画出抛物线与抛物线，如图所示，两抛物线交点为1,0，，
此时，内(包含边界)的整点有1,0，，2,0，2,1，共个，
∴内整点的个数为：；
（3）如图示：抛物线向左平移个单位长度，再回下平移个单位长度后得到新抛物线，
画出新抛物线与双曲线及直线，如图所示，
此时，内(不含边界)的整点为，0,2，0,1，，，，1,0，，，2,1，2,0，共个，
∴内整点的个数为：．
18. 如图，是的直径，是的一条弦，，直线为的切线，交的延长线于点，连接、、．

（1）求证：；
（2）连接，延长交于点，延长交于点．当为的中点时，求证：；
（3）若的半径为6，在（2）的条件下，求图中阴影部分面积．
（1）证明：连接，如图1，

图1
∵直线为的切线，
∴，
∵是的直径，
∴，
∴，，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴；
（2）证明：如图2，

图2
∵，
∴，
∴，
∵，为的中点，
∴垂直平分，
∴，
∴是等边三角形，
∴，
∴，
由（1），，
∴，
∴；
（3）解：如图3，

图3
由（1），由（2），
∴，
∴，
在与中，，
∴，
∴，
∴四边形是平行四边形，
∵，
∴四边形是菱形，
∴是等边三角形，
∴，，
．
19. 如图，一次函数的图像与反比例函数的图像相交于A，B两点，与x轴，y轴分别交于C，D两点，，过点A作轴于点E，若点C是的中点，且点A的横坐标为．
（1）求该反比例函数和一次函数的解析式；
（2）连接，求的面积．
解：（1）∵轴于点E，点C是的中点，且点A的横坐标为，
∴，，
∵中，，
∴，
∴，
∴，，
∵，则，而，
∴，
∴，
∵直线与x轴、y轴分别交于C、D两点，
∴，解得，
∴一次函数解析式为，
把点A的坐标代入，可得，
∴反比例函数解析式为；
（2）由（1）得：，，
∴．
20. 育光中学为美化校园，准备在东西长、南北宽的长方形土地上，修筑分别为东西与南北方向两条宽度相等的长方形水泥道路，余下部分作为花坛，并且使花坛的总面积为．
（1）请为学校设计出尽可能多的方案，并对各方案的优劣进行说明（画出草图）；
（2）如果设道路的宽为，列出各种方案中关于x的方程，并求出x的值．
解：（1）方案如图：
方案①具有一般性，其他四种方案具有特殊性，从美学的角度方案③最出色，方案③④都具有对称性．
（2）方案①可列出方程，
解得，(舍去)；
方案②可列出方程，
解得(舍去)；
方案③可列出方程，
解得，(舍去)；
方案④可列出方程，
解得，(舍去)；
方案⑤可列出方程，
解得，(舍去)；
的值都等于．
21. 如图，在等边三角形中，点D、E、F分别在边、、上，且．找出图中所有相似的三角形（不要求证明）．
解：∵是等边三角形，
∴，，
又∵，
∴．
在和中，，
∴，
∴．
同理：，
∴，，
∴是等边三角形，
∴，，
∴．
22. 如图，点是直线与反比例函数图象的两个交点，轴，垂足为点已知，连接．
求反比例函数和直线的表达式：
和的面积分别为求．
解：由点在反比例函数图象上，
反比例函数的解析式为，
将点代入得，，
设直线的表达式为，，解得，
直线的表达式为；
由点坐标得点到的距离为，，
设与轴的交点为可得如图：
，
由点知点到的距离分别为，3，
，.
23. 如图，在平面直角坐标系中，一次函数的图像与反比例函数的图像交于点和点．
（1）求反比例函数的表达式和的值；
（2）当时，根据图像直接写出不等式的解集；
（3）若经过点的抛物线的顶点为，求该抛物线的解析式．（结果用一般形式表示）
解：（1）∵一次函数的图像与反比例函数的图像交于点，
∴，即，
∴反比例函数的表达式为，
∵点在反比例函数上，
∴，
∴．
∴反比例函数的表达式为，．
（2）不等式的解集为：或．
（3）∵抛物线的顶点为，
∴设抛物线的解析式为，
∵抛物线经过，
∴，解得，
∴抛物线的解析式是，
即．
∴该抛物线的解析式为．