2024年数学高考一轮复习双曲线试卷版

这是一份2024年数学高考一轮复习双曲线试卷版，共38页。
1（2023·四川成都·校联考二模）已知直线是双曲线的一条渐近线，且点在双曲线上，则双曲线的方程为（ ）
A．B．
C．D．
【答案】C
【解析】由双曲线，则其渐近线方程为，
由题意可得：，整理可得，
将代入双曲线方程可得：，解得，，
所以双曲线.
故选：C.
2．（2022·全国·高三专题练习）已知F为双曲线：的左焦点，P为的右支上一点，则直线PF的斜率的取值范围为（ ）
A．B．
C．D．
【答案】D
【解析】由已知，设直线PF为，
联立，消去得
根据已知可得方程有一正根一负根，
，
解得故选：D．
3．（2024秋·内蒙古呼和浩特·高三统考开学考试）设A，B为双曲线右支上的两点，若线段AB的中点为，则直线AB的方程是（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【解析】设，
则有，两式相减，得，
因为线段AB的中点为，
所以，
因此由，
即直线AB的斜率为，方程为，
代入双曲线方程中，得，
因为，
所以线段AB存在，
故选：C
4．（2023·全国·专题练习）已知双曲线与直线相交于A、B两点，弦AB的中点M的横坐标为，则双曲线C的渐近线方程为（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【解析】设，，则，由点差法得．
∵，∴，，∴，又，
∴，∴渐近线方程为.
故选：A．
5．（2023秋·浙江宁波 ）过双曲线内一点且斜率为的直线交双曲线于两点，弦恰好被平分，则双曲线的离心率为（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【解析】由题意可得，且，
又因为，所以，
即有，所以，所以，
所以，所以，所以.故选：C.
6．（2023·甘肃定西·统考模拟预测）已知双曲线C：的渐近线方程为，左、右焦点分别为，，过点且斜率为的直线l交双曲线的右支于M，N两点，若的周长为36，则双曲线C的方程为（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【解析】因为双曲线的渐近线方程为，
所以，则双曲线方程为，，，
所以直线为，设，
由，得，
则，
所以，
因为，，
所以，
因为的周长为36，所以，
所以，得，所以双曲线方程为，
故选：D
7．（2024秋·内蒙古呼和浩特·高三统考开学考试）已知双曲线C：，若双曲线C的一条弦的中点为，则这条弦所在直线的斜率为（ ）
A．B．C．1D．
【答案】D
【解析】设该弦为， 设，
则有，两式相减，得，
因为双曲线C的一条弦的中点为，
所以，
因此由，
即这条弦所在直线的斜率为，方程为，
代入双曲线方程中，得，
因为，
所以该弦存在，
故选：D
8．（2023春·河北廊坊）（多选）已知双曲线，则（ ）
A．双曲线E的实轴长为24B．双曲线E的焦距为26
C．双曲线E的渐近线的斜率为D．双曲线E的渐近线的斜率为
【答案】BD
【解析】设双曲线E的焦距为，
因为，，所以，
所以双曲线E的实轴长，焦距，故A错误，B正确；
渐近线的斜率为，故C错误，D正确．
故选：BD
9．（2023春·重庆沙坪坝·高三重庆八中校考阶段练习）（多选）在平面直角坐标系中，已知，过点可作直线与曲线交于，两点，使，则曲线可以是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】BCD
【解析】由题意，根据选项可得，点恰为四个曲线的焦点，
A中，抛物线焦点弦弦长最小值为，故不存在弦长，所以A不正确；
B中，椭圆中，根据椭圆的性质，可得焦点弦弦长取值范围为，
即，而，所以B正确；
C中，若同在右支上，则焦点弦弦长取值范围为，即，
因为，所以C正确；
D中，若在异支上，则焦点弦弦长取值范围为，即，
因为，所以D正确.
故选：BCD.
10（2023春·湖北）（多选）过双曲线的右焦点作直线与该双曲线交于、两点，则（ ）
A．存在四条直线，使
B．与该双曲线有相同渐近线且过点的双曲线的标准方程为
C．若、都在该双曲线的右支上，则直线斜率的取值范围是
D．存在直线，使弦的中点为
【答案】BC
【解析】对于A，由于，所以右焦点为，设直线方程为：.
联立得：，恒成立.
所以，，则，.
所以.
所以，解得，所以只有两条，故A错误；
对于B，双曲线的渐近线为，所以，
过点的双曲线的标准方程为，故B正确；
对于C，若、都在该双曲线的右支上，则，
即，所以，解得.故C正确；
对于D，假设存在直线，使弦的中点为，
设直线的方程为，与联立得：
，恒成立.
所以，
所以，所以直线方程为，但是由于不在直线上，
故不存在这样的直线，故D错误.
故选：BC.
10．（2022秋·山东青岛）（多选）已知双曲线，点，在上，的中点为，则（ ）
A．的渐近线方程为B．的右焦点为
C．与圆没有交点D．直线的方程为
【答案】CD
【解析】对于AB，由双曲线可得，
所以渐近线方程为，右焦点为，故AB不正确；
对于C，联立消可得，代入，解得无实数根，
所以与圆没有交点，故正确；
对于D，设，则，，
两式相减，得，
因为的中点为，所以等式可得，
易得直线的斜率存在，故可得，
则直线为即，
联立双曲线的方程和直线，消去x，可得，
此时，则直线与双曲线有两个交点，符合题意，
故直线l的方程为，故正确.
故选：CD
11．（2023秋·山西忻州·高三校联考开学考试）已知双曲线E：的左、右焦点分别为，，点M在双曲线E上，为直角三角形，O为坐标原点，作，垂足为N，若，则双曲线E的离心率为 .
【答案】
【解析】依题意，为直角三角形，显然，否则与重合，
若，由，得，则为的中点，与矛盾，
于是，即轴，令双曲线半焦距为c，由，得，
因此，，由，得，
显然有，则，即，整理得，
则，而，解得，
所以双曲线E的离心率为.
故答案为：
12．（2023秋·山西朔州·高三怀仁市第一中学校校考阶段练习）已知双曲线的左、右焦点分别为，，过点的直线与双曲线的右支相交于A，B两点，，且的周长为10，则双曲线C的焦距为 ．
【答案】/
【解析】
设，，，
根据双曲线的定义可知：，
可得，
有，解得，
在和中，由余弦定理有
，
解得，
可得双曲线的焦距为．
故答案为：.
13．（2023·全国·课堂例题）如图，已知，为双曲线的焦点，过作垂直于x轴的直线交双曲线于点P，且，则双曲线的渐近线方程为 .

【答案】
【解析】设，，则，解得，
∴.
在中，，则①.
由双曲线的定义，得②.
由①②得.
∵，
∴，即.
∴.
∴双曲线的渐近线方程为.
故答案为：.
14．（2023·湖南长沙·湖南师大附中校考三模）已知双曲线C：的左、右焦点分别为，，点M，N分别为C的渐近线和左支上的动点，且的最小值恰为C的实轴长的2倍，则C的离心率为 .
【答案】
【解析】由双曲线的定义得，所以，
于是.

如图：当M、N、三点共线，且与点M所在的渐近线垂直时，
取得最小值，其最小值就是到渐近线的距离d，
又C的渐近线方程为，所以，故的最小值为b，
从而的最小值为，由题设知，所以，
所以.
故答案为：
15．（2023·湖北襄阳·襄阳四中校考模拟预测）已知双曲线的右焦点为，点坐标为，点为双曲线左支上的动点，且的周长不小于18，则双曲线的离心率的取值范围为 .
【答案】
【解析】由右焦点为，点A坐标为，可得.
因为的周长不小于18，所以的最小值不小于13.
设为双曲线的左焦点，可得，
故，
当三点共线时，取最小值,即，
所以,即.
因为,所以.
又,所以.
故答案为:.
16．（2023秋·陕西西安·高三校联考开学考试）已知双曲线的一个焦点为，点到双曲线的一条渐近线的距离为1，则双曲线的标准方程是 .
【答案】或
【解析】点到双曲线的一条渐近线的距离为
当焦点在轴上时，设双曲线方程为，则其渐近线方程为，
点到双曲线的一条渐近线的距离为1，即，则，
所以此时双曲线的标准方程为；
当焦点在轴上时，设双曲线方程为，则其渐近线方程为，
点到双曲线的一条渐近线的距离为1，即，则，
所以此时双曲线的标准方程为.
综上，双曲线的标准方程为或.
故答案为：或
17．（2023秋·课时练习）直线与双曲线有且只有一个公共点，则实数 ．
【答案】或
【解析】由消去y，整理得，
当时，由得；
又注意到直线恒过点，且渐近线的斜率为时，直线与渐近线平行时也成立．
故答案为：或

18．（2023北京）设P是双曲线的右支上的动点，F为双曲线的右焦点，已知，，则|PA|＋|PF|的最小值为 ；|PB|＋|PF|的最小值为 ．
【答案】 /
【解析】如图：

设双曲线的另一焦点为，则有，，连接，易知点在双曲线内，点B在双曲线外，则；.
故答案为：；.
19．（2023秋·陕西宝鸡）设动点与点之间的距离和点到直线的距离的比值为，记点的轨迹为曲线.
(1)求曲线的方程；
(2)若为坐标原点，直线交曲线于两点，求的面积.
【答案】(1)
(2)
【解析】（1）解：由动点与点之间的距离和到直线：的距离的比值为，
可得，整理得，
即曲线的方程为.
（2）解：联立方程组，整理得，
设，，可得，，
所以，
又由点到直线的距离，
所以的面积.
20．（2022秋·江西南昌）已知双曲线C经过点，且渐近线方程为.
(1)求双曲线C的标准方程；
(2)点A为双曲线C的左顶点，过点作直线交双曲线C于M、N两点，试问，直线AM与直线AN的斜率之和是否为定值？若是，求出该定值，若不是，请说明理由.
【答案】(1)
(2)为定值.
【解析】（1）由渐近线方程为，可设双曲线方程为，
将点代入双曲线方程中可得，
故双曲线方程为
（2）由题意可知：直线有斜率，设其方程为，
联立直线与双曲线方程，
设,则，
由于,则，
将代入可得
由于点在直线上，所以，此时，只需要，即可，因此,故直线AM与直线AN的斜率之和为定值.

1．（2023秋·广东揭阳·高三校考开学考试）已知双曲线为坐标原点，为双曲线的两个焦点，点为双曲线上一点，若，则双曲线的方程可以为（ ）
A．B．
C．D．
【答案】B
【解析】设为双曲线的下焦点，为双曲线的上焦点，
如图所示，过点作于点.

因为，所以，
因为，
所以，所以，
故，得.
因为，所以，故点，
将代入双曲线中，
即，化简得，
，
解得或（舍去），故B项正确.
故选：B.
2．（2023·全国·高二专题练习）已知双曲线的上下焦点分别为，点在的下支上，过点作的一条渐近线的垂线，垂足为，若恒成立，则的离心率的取值范围为（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【解析】如图，过点作渐近线的垂线，垂足为，
设，则点到渐近线的距离.
由双曲线的定义可得，故，
所以，即的最小值为，
因为恒成立，
所以恒成立，即恒成立，
所以，，即，即，
所以，，即，解得.
故选：A.

3．（2023·安徽安庆）过双曲线：的右焦点作双曲线一条渐近线的垂线，垂足为，且与另一条渐近线交于点，若，则双曲线的离心率是（ ）
A．B．或C．D．
【答案】B
【解析】
如图①，当时，设，则，设，双曲线的渐近线方程为，所以，在中，，设
，，，因为，所以，
又，所以，所以，，，，
则，则，且
即，解得，所以
如图②，当时，设，，设，则，，在中，，
设，，，因为，所以，
又，所以，所以，，，，
则，，，所以
，则，所以
，即，解得，所以.
故选：B
4．（2023·全国·高三专题练习）设A，B为双曲线上两点，下列四个点中，可为线段AB中点的是（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【解析】设，则的中点，
可得，
因为在双曲线上，则，两式相减得，
所以.
对于选项A： 可得，则，
联立方程，消去y得，
此时，
所以直线AB与双曲线没有交点，故A错误；
对于选项B：可得，则，
联立方程，消去y得，
此时，
所以直线AB与双曲线没有交点，故B错误；
对于选项C：可得，则
由双曲线方程可得，则为双曲线的渐近线，
所以直线AB与双曲线没有交点，故C错误；
对于选项D：，则，
联立方程，消去y得，
此时，故直线AB与双曲线有交两个交点，故D正确；
故选：D.
5．（2023·湖北·模拟预测）已知双曲线，，过点可做2条直线与左支只有一个交点，与右支不相交，同时可以做2条直线与右支只有一个交点，与左支不相交，则双曲线离心率的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【解析】如图所示，设双曲线的两条渐近线分别为，
由已知易知，若在双曲线内部（如位置），显然作任何直线均与双曲线右支有交点，无法满足题意；
若在双曲线与渐近线之间（如位置），过P所作直线若与双曲线左支相交则必与右支也相交，也无法满足题意；
故P只能在双曲线的渐近线上方，此时过P可做唯一一条与右支相切的直线，也可以作一条与渐近线平行的直线，该两条直线均与左支无交点；
同理也可作出唯一一条与左支相切的直线，及一条与渐近线平行的直线符合要求；
即，
故，
故选：B
6．（2023·宁夏银川·银川一中校考二模）曲线，要使直线与曲线有四个不同的交点，则实数的取值范围是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】B
【解析】由题意得：，即，即曲线上的点为圆上或圆外的点，
由得：或，
由得：或或或，
由此可得曲线的图象如下图所示，
由图象可知：当时，直线与曲线有四个不同交点；
实数的取值范围为.
故选：B.
7．（2023·河南信阳·校联考模拟预测）已知是双曲线上关于原点对称的两点，过点作轴于点，交双曲线于点．设直线的斜率为．则下列说法错误的是（ ）
A．的取值范围是且
B．直线的斜率为
C．直线的斜率为
D．直线与直线的斜率之和的最小值为
【答案】D
【解析】
对于A，是双曲线上关于原点对称的两点，直线与双曲线两支各有一个交点，
直线的斜率在两条渐近线斜率之间，即，
由题意知：不重合，，的取值范围为且，A正确；
对于B，设，则，，
，，B正确；
对于C，设，则，又，
，
由B知：，，C正确；
对于D，，
，即不成立，，D错误.
故选：D.
8．（2023·全国·高三专题练习）已知双曲线上的点到焦点的最小距离为，且与直线无交点，则的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【解析】设双曲线上一点，设点双曲线的右焦点为，
若取最小值，则点在双曲线的右支上，则，
则
，
当且仅当时，等号成立，
联立可得，
因为与直线无交点，则，
即，因为，解得.
故选：B.
9．（2023秋·江西·高三统考开学考试）（多选）已知、是双曲线的左、右焦点，以为圆心，为半径的圆与的一条渐近线切于点，过的直线与交于、两个不同的点，若的离心率，则（ ）
A．
B．的最小值为
C．若，则
D．若、同在的左支上，则直线的斜率
【答案】ACD
【解析】对于A选项，设双曲线的一条渐近线为，即，
则到直线的距离为，
因为以为圆心的圆与相切于点，所以，
因为，即，则，又，即，所以，.
在中，，
在中，，，
，
所以，故A正确；

对于B选项，当直线的斜率为时，、两点分别为双曲线的顶点，则，
又因为，即的最小值不可能为，故B错误；
对于C选项，因为，又，且，所以在的右支上，
所以，所以，故C正确；
对于D选项，当直线的斜率存在时，设直线的方程为，
设点、，
联立，可得，
因为直线与双曲线交于右支的两点，
所以，，解得或，D对.
故选：ACD.
10．（2023·河北唐山·开滦第二中学校考模拟预测）（多选）已知双曲线C：的左、右焦点分别为，，过作直线的垂线，垂足为P，O为坐标原点，且，过P作C的切线交直线于点Q，则（ ）
A．C的离心率为B．C的离心率为
C．△OPQ的面积为D．△OPQ的面积为
【答案】AC
【解析】直线和直线，是双曲线C：的两条渐近线，

设，则有，
又垂直于渐近线，渐近线方程为，，，
，而，，
，
在中，，由正弦定理：，
，，，
，A选项正确；
双曲线C的方程为：，渐近线为，
过点的切线与双曲线切于点，则有，
又，均在双曲线的渐近线上，故设，
又，，
，
当点为切点时，由，切线斜率存在，
设切线方程为，代入双曲线方程，
得
令，得，解得，
过点的切线方程为，
切线方程代入，解得，
切线方程代入，解得，
，
，则C选项正确.
故选：AC
11．（2023春·黑龙江大庆）（多选）设双曲线的右焦点为，若直线与的右支交于两点，且为的重心，则（ ）
A．的离心率的取值范围为
B．的离心率的取值范围为
C．直线斜率的取值范围为
D．直线斜率的取值范围为
【答案】AC
【解析】设为的中点，根据重心性质可得，
因为，则，
因为直线与的右支交于两点，所以点在双曲线右支内部，
故有，解得，
当直线斜率不存在时，的中点在轴上，
故三点不共线，不符合题意舍，
设直线斜率为，设，
所以，，
因为在双曲线上，所以，
两式相减可得：，
即，
即有成立，
即有，因为不共线，
即，即，即，
所以的离心率的取值范围为，
因为
，
因为，即，
所以，
所以.
故选：AC
12．（2023秋·上海浦东新·高三上海市实验学校校考开学考试）设分别是双曲线的左、右焦点，为坐标原点，第一象限内的点在的右支上，且，则的内心坐标为 ．
【答案】/
【解析】由题意知，，，所以，即，，
所以，，
过作交延长线于点H，如图所示，

所以，，
又因为，所以，
所以点P轨迹方程为（且），
，则，
所以，，
设的内心为G，内切圆分别与、、相切于点M、N、E，则设，，，如图所示，

由双曲线的定义知，，即，①
又因为，②
所以由①②得：，，
所以，即，
所以设，
由等面积法可得，
即，解得，即
所以的内心坐标为.
故答案为：.
13．（2023秋·江苏南通·高三统考阶段练习）过点能作双曲线的两条切线，则该双曲线离心率的取值范围为 .
【答案】
【解析】当过点的直线的斜率不存在时，直线的方程为，
由可得，故直线与双曲线相交，不合乎题意；
当过点的直线的斜率存在时，设直线方程为，即，
联立可得，
因为过点能作双曲线的两条切线，
则，可得，
由题意可知，关于的二次方程有两个不等的实数根，
所以，，可得，
又因为，即，因此，关于的方程没有的实根，
所以，且，解得，即，
当时，，
当时，，
综上所述，该双曲线的离心率的取值范围是.
故答案为：.
14．（2023·江苏苏州·校联考三模）已知双曲线，过其右焦点的直线与双曲线交于、两点，已知，若这样的直线有条，则实数的取值范围是 .
【答案】
【解析】记，若直线与轴重合，此时，；
若直线轴时，将代入双曲线方程可得，此时，
当时，则，此时，；当，可得，则，
所以，双曲线的实轴长和通径长不可能同时为；
当直线与轴不重合时，记，则点，
设直线的方程为，其中，设点、，
联立可得，
由题意可得，可得，
，
由韦达定理可得，，
所以，
，即，
所以，关于的方程由四个不等的实数解.
当时，即当时，可得，
可得，整理可得，因为，解得；
当时，即当，可得，
可得，整理可得，可得.
综上所述，.
故答案为：.
15．（2023秋·浙江·高三浙江省春晖中学校联考阶段练习）已知双曲线的左、右顶点分别为、，为双曲线上异于、的任意一点，直线、的斜率乘积为．双曲线的焦点到渐近线的距离为1．
(1)求双曲线的方程；
(2)设不同于顶点的两点、在双曲线的右支上，直线、在轴上的截距之比为．试问直线是否过定点？若是，求出该定点坐标；若不是，请说明理由．
【答案】(1)
(2)过定点，定点坐标为
【解析】（1）设，
由可得，又，
，
又焦点到其一条渐近线的距离为，解得：．
所以双曲线的方程：.
（2）设直线的方程为，如图，

由得，
，
，直线，则直线在轴上的截距为，
直线，则直线在轴上的截距为，
由题得：，又，
所以．
所以，则，
，
，
，化简得：或．
若，直线过顶点，舍去．．
则直线的方程为，
所以直线过定点．
16．（2023秋·云南昆明·高三昆明一中校考阶段练习）已知双曲线的左右焦点分别为，点在双曲线上，若，且双曲线焦距为4．
(1)求双曲线的方程；
(2)如果为双曲线右支上的动点，在轴负半轴上是否存在定点使得？若存在，求出点的坐标；若不存在，说明理由．
【答案】(1)
(2)存在，坐标为
【解析】（1）因为点在双曲线上，
所以由双曲线的定义可得①，
又双曲线焦距即，且③，
①②③联立解得，
所以双曲线的方程为.
（2）假设存在点满足题设条件，由题目可知，

设为双曲线右支上一点，
当时，，因为，
所以，于是，所以，即，
当时，，，
因为，所以，
将代入并整理得，
所以，解得，即，
综上，满足条件的点存在，其坐标为.
17．（2023秋·陕西汉中·高三统考阶段练习）已知双曲线：的焦距为，且焦点到近线的距离为1.
(1)求双曲线的标准方程；
(2)若动直线与双曲线恰有1个公共点，且与双曲线的两条渐近线分别交于两点，为坐标原点，证明：的面积为定值.
【答案】(1)
(2)证明见解析
【解析】（1）依题意得，，一条渐近线为，即，右焦点为，
所以，即，，所以，
所以，
所以双曲线的标准方程为.
（2）当直线的斜率不存在时，若动直线与双曲线恰有1个公共点，则直线经过双曲线的顶点，不妨设，又渐近线方程为，
将代入，得，将代入，得，
则，.
当直线的斜率存在，设直线，且，
联立，消去并整理得，
因为动直线与双曲线恰有1个公共点，
所以，得，
设动直线与的交点为，与的交点为，
联立，得，同理得，
则
因为原点到直线的距离，
所以，
又因为，所以，即，
故的面积为定值，且定值为.

18．（2023春·上海闵行）在平面直角坐标系xOy中，已知双曲线：．
(1)求出双曲线的渐近线方程；
(2)过的左顶点引的一条渐近线的平行线，求该直线与另一条渐近线及x轴围成的三角形的面积；
(3)设斜率为1的直线l交于P，Q两点，若l与圆相切，求证：．
【答案】(1)
(2)
(3)证明见详解
【解析】（1）由双曲线：，即，
可知，且焦点在x轴上，
所以渐近线方程为，即.
（2）由（1）可知：的左顶点为，
不妨令过且与渐近线的平行的直线方程为，
联立方程，解答，
即直线与的交点坐标为，
所以围成的三角形的面积.

（3）圆的圆心为，半径，
设直线l的方程为，即，且，
则，可得，即，
联立方程，消去y可得，
可得，且，
又因为，
则，
所以，即.

19．（2023·全国·课堂例题）设F是双曲线：的左焦点，经过F的直线与相交于M，N两点．
(1)若M，N都在双曲线的左支上，求面积的最小值．
(2)是否存在x轴上一点P，使得为定值?若存在，求出点P的坐标；若不存在，说明理由．
【答案】(1)
(2)存在这样的定点
【解析】（1）设直线MN的方程为，，．
由可得，
由根与系数的关系可知，①．
此时．
原点O到直线MN的距离为，
此时．
由M，N都在双曲线的左支上知，，得，
令，则，
由于，所以当，即时，此时取最大值，则，
当，即时，等号成立．
（2）假设存在这样的定点．
当直线的斜率不为0时，由（1）知
②．
将①代入②可得，
此时要想为定值，则，得，从而．
即存在这样的定点满足题意．
当直线的斜率为0时，易知，若，则，满足题意.综上，存在满足题意．