2024年数学高考一轮复习双曲线试卷

这是一份2024年数学高考一轮复习双曲线试卷，共25页。试卷主要包含了判断直线与双曲线交点个数的方法，弦长公式，常用设法，双曲线的渐近线的相关结论等内容，欢迎下载使用。

一.双曲线的定义
平面内与两个定点F1，F2的距离差的绝对值等于非零常数(小于|F1F2|)的点的轨迹叫双曲线.这两个定点叫双曲线的焦点，两焦点间的距离叫做双曲线的焦距.其数学表达式：集合P＝{M|||MF1|－|MF2||＝2a}，|F1F2|＝2c，其中a，c为常数且a>0，c>0.
(1)若ac，则集合P为空集.
二．双曲线的标准方程和几何性质
三.等轴双曲线
实轴和虚轴等长的双曲线叫做等轴双曲线，其渐近线方程为y＝±x，离心率为e＝eq \r(2).
四．直线与双曲线的位置关系和弦长
1.判断直线与双曲线交点个数的方法：将直线方程代入双曲线方程，消元，得关于x或y的一元二次方程．当二次项系数等于0时，直线与双曲线相交于某支上一点，这时直线平行于一条渐近线；当二次项系数不等于0时，用判别式Δ来判定．
2.弦长公式
设直线y＝kx＋b与双曲线交于A(x1，y1)，B(x2，y2)，则|AB|＝ eq \r(1＋k2)|x1－x2|＝eq \r(1＋k2)·eq \r(（x1＋x2）2－4x1x2).
一．求标准方程
1.定义法：根据双曲线的定义确定a2，b2的值，再结合焦点位置，求出双曲线方程，即“先定型，再定量”
2.待定系数法：先确定焦点在x轴还是y轴上，设出标准方程，再由条件确定a2，b2的值，即“先定型，再定量”，如果焦点的位置不好确定，可将双曲线的方程设为eq \f(x2,m2)－eq \f(y2,n2)＝λ(λ≠0)或mx2－ny2＝1(mn>0)，再根据条件求解．
3.常用设法：①与双曲线eq \f(x2,a2)－eq \f(y2,b2)＝1共渐近线的方程可设为eq \f(x2,a2)－eq \f(y2,b2)＝λ(λ≠0)；
②若双曲线的渐近线方程为y＝±eq \f(b,a)x，则双曲线的方程可设为eq \f(x2,a2)－eq \f(y2,b2)＝λ(λ≠0)．
二.求双曲线离心率或其取值范围的方法
1.直接求出a，c的值，利用离心率公式直接求解.
2.列出含有a，b，c的齐次方程(或不等式)，借助于b2＝a2－c2消去b，转化为含有e的方程(或不等式)求解.
3.双曲线eq \f(x2,a2)－eq \f(y2,b2)＝1(a＞0，b＞0)的渐近线可由eq \f(x2,a2)－eq \f(y2,b2)＝0即得两渐近线方程eq \f(x,a)±eq \f(y,b)＝0.
4.双曲线的渐近线的相关结论
(1)若双曲线的渐近线方程为y＝±eq \f(b,a)x(a＞0，b＞0)，即eq \f(x,a)±eq \f(y,b)＝0，则双曲线的方程可设为eq \f(x2,a2)－eq \f(y2,b2)＝λ(λ≠0).
(2)双曲线的焦点到其渐近线的距离等于虚半轴长b.
(3)双曲线eq \f(x2,a2)－eq \f(y2,b2)＝1(a＞0，b＞0)的渐近线y＝±eq \f(b,a)x的斜率k与离心率e的关系：e＝eq \r(1＋\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(b,a)))\s\up12(2))＝eq \r(1＋k2).
三.圆锥曲线的焦点三角形的相关结论
(1)焦点三角形：椭圆上的点P(x0，y0)与两焦点构成的△PF1F2叫做焦点三角形，∠F1PF2＝θ，△PF1F2的面积为S，则在椭圆eq \f(x2,a2)＋eq \f(y2,b2)＝1(a＞b＞0)中
①当P为短轴端点时，θ最大.
②S＝eq \f(1,2)|PF1||PF2|·sin θ＝b2tan eq \f(θ,2)＝c|y0|，当|y0|＝b时，即点P为短轴端点时，S取最大值，最大值为bc.
③焦点三角形的周长为2(a＋c).
若P是双曲线上不同于实轴两端点的任意一点，F1，F2分别为双曲线的左、右焦点，则S△PF1F2＝eq \f(b2,tan \f(θ,2))，其中θ为∠F1PF2.
考点一 双曲线的定义及应用
【例1-1】（2023·陕西渭南）如果双曲线上一点到它的右焦点的距离是，那么点到它的左焦点的距离是（ ）
A．B．C．或D．不确定
【答案】C
【解析】设双曲线的左、右焦点为，则；则，
由双曲线定义可得，即，
所以或，由于，故点到它的左焦点的距离是或，故选：C
【例1-2】（2023·广东潮州）已知，分别为双曲线的左、右焦点，为双曲线内一点，点A在双曲线的右支上，则的最小值为（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【解析】因为，所以要求的最小值，
只需求的最小值.
如图,连接交双曲线的右支于点.当点A位于点处时，
最小，最小值为.
故的最小值为.

故选：C
【例1-3】（2023·江苏 ）设点P在双曲线上，为双曲线的两个焦点，且，则的周长等于 ， ．
【答案】 22
【解析】在双曲线中，实半轴长，半焦距，则，
显然，又，解得，
所以的周长等于，
.
故答案为：22；
【一隅三反】
1．（2023·江苏）（多选）设分别是双曲线的左、右焦点，若点P在双曲线上，且，则（ ）
A．5B．3
C．7D．6
【答案】BC
【解析】由双曲线的定义可知，即，所以或．故选：BC．
2．（2023秋·江西南昌·高三南昌市外国语学校校考阶段练习）已知是双曲线的左焦点，是双曲线右支上的动点，则的最小值为 .
【答案】
【解析】由题意知，.
设双曲线的右焦点为，
由是双曲线右支上的点，则，
则，
当且仅当三点共线时，等号成立.
又，则.
所以，的最小值为.
故答案为：.

3．（2023·全国· 课堂例题）P为双曲线右支上一点，M，N分别是圆和上的点，则的最大值为 .
【答案】5
【解析】双曲线的两个焦点，分别为两圆的圆心，

两圆的半径分别为，，易知，，
故的最大值为.
故答案为：5
考点二 双曲线的标准方程
【例2-1】（2023秋·课时练习）已知点，曲线上的动点到的距离之差为6，则曲线方程为（ ）
A．B．
C．D．
【答案】A
【解析】由题意可得,
由双曲线定义可知，所求曲线方程为双曲线一支，且,即，
所以.
又因为焦点在轴上，所以曲线方程为.
故选:A.
【例2-2】（2024秋·浙江·高三舟山中学校联考开学考试）已知等轴双曲线经过点，则的标准方程为（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【解析】设双曲线的方程为（），
代入点，得，
故所求双曲线的方程为，
其标准方程为．
故选：A．
【例2-3】（2023·江苏 ）下列选项中的曲线与共焦点的双曲线是（ ）
A．B．1
C．1D．1
【答案】D
【解析】双曲线的焦点在x轴上，半焦距，
对于A，方程，即，是焦点在x轴上的双曲线，而半焦距为，A不是；
对于B，C，方程、都是焦点在y轴上的双曲线，BC不是；
对于D，方程是焦点在x轴上的双曲线，半焦距为，D是.
故选：D
【一隅三反】
（2023·江苏）根据下列条件，求双曲线的标准方程：
(1)，经过点；
(2)与双曲线1有相同的焦点，且经过点；
(3)过点P，Q且焦点在坐标轴上．
(4)两个焦点的坐标分别是,双曲线上的点与两焦点的距离之差的绝对值等于；
(5)焦点在轴上，经过点和点．
(6)虚轴长为12，离心率为；
(7)焦点在x轴上，离心率为，且过点；
(8)顶点间距离为6，渐近线方程为y＝±x.
(9)以直线为渐近线，过点；
(10)与椭圆有公共焦点，离心率为.
【答案】(1)．(2)(3)(4)(5)(6)或
(7)(8)或(9)(10)
【解析】（1）由，
当焦点在x轴上时，设所求双曲线的标准方程为，
把点A的坐标代入，得，不符合题意；
当焦点在y轴上时，设所求双曲线的标准方程为，
把点A的坐标代入，得．
故所求双曲线的标准方程为．
（2）法一：∵双曲线1的焦点在轴上，∴设所求双曲线的标准方程为，
∴，即． ①
∵双曲线经过点，∴．②
由①②得，故双曲线的标准方程为．
法二：设所求双曲线的方程为．
∵双曲线过点，∴，
解得或（舍去）．
故双曲线的标准方程为．
（3）设双曲线的方程为．
∵点在双曲线上，
∴，解得，
故双曲线的标准方程为．
（4）由已知得，即,
∵，∴.∵焦点在轴上，∴所求的双曲线的标准方程是;
（5）设双曲线的方程为，则,
∴双曲线方程为.
（6）设双曲线的标准方程为或.
由题意知，且，
，，
∴双曲线的标准方程为或；
（7），，.
又∵焦点在轴上，
∴设双曲线的标准方程为，.
把点代入方程，解得.
∴双曲线的标准方程为.
（8）设以为渐近线的双曲线方程为（），
当时，，，得；
当时，，，得；
∴双曲线的标准方程为或.
（9）方法一：由题意可设所求双曲线方程为，
由题意，得解得，
故所求双曲线的标准方程为；
方法二：由题意可设所求双曲线方程为，
将点的坐标代入方程解得，
故所求双曲线的标准方程为；
（10）方法一：由椭圆方程可得焦点坐标为，，
即且焦点在x轴上，
设双曲线的标准方程为，
因为，所以，则，
故所求双曲线的标准方程为；
方法二：因为椭圆焦点在x轴上，所以可设双曲线的标准方程为，
因为，所以，解得，
故所求双曲线的标准方程为.
考点三 离心率与渐近线
【例3-1】（2023·福建泉州·统考模拟预测）已知双曲线的焦距为，则的渐近线方程是（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【解析】由题意得：，解得：，
即双曲线的方程为，所以的渐近线方程是.故选：A.
【例3-2】（2023·河南·校联考二模）已知双曲线：的左､右焦点分别是，，是双曲线上的一点，且，，，则双曲线的离心率是（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【解析】设双曲线的半焦距为.
由题意，点在双曲线的右支上，，，
由余弦定理得，
解得，即，，
根据双曲线定义得，
解得，
故双曲线的离心率.
故选：D
【例3-3】（2023秋·广东·高三校联考阶段练习）已知双曲线C：（，），斜率为的直线l过原点O且与双曲线C交于P，Q两点，且以PQ为直径的圆经过双曲线的一个焦点，则双曲线C的离心率为（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【解析】设双曲线C的左焦点，右焦点为，P为第二象限上的点，
连接PF，，QF，，
根据双曲线的性质和直线l的对称性知，四边形为平行四边形.
因为以PQ为直径的圆经过双曲线的一个焦点，
所以，即四边形为矩形，
由直线l的斜率为，得，
又，则是等边三角形，所以.
在中，，则，故，
又由双曲线定义知，所以，
则.
故选：B.
【一隅三反】
1．（2023·广西桂林）双曲线的渐近线方程是（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【解析】化已知双曲线的方程为标准方程，
可知焦点在y轴，且a＝3，b＝2，故渐近线方程为.故选：A．
2．（2023春·新疆巴音郭楞）设、分别是双曲线的左、右焦点，过作轴的垂线与相交于、两点，若为正三角形，则的离心率为（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【解析】设，因为轴，则点、关于轴对称，则为线段的中点，

因为为等边三角形，则，所以，，
所以，，则，
所以，，则，
因此，该双曲线的离心率为.
故选：D.
3．（2023·江西·江西师大附中校考三模）已知是双曲线C：的左焦点，，直线与双曲线有且只有一个公共点，则双曲线的离心率为（ ）
A．B．C．2D．
【答案】B
【解析】双曲线的渐近线为，
又，，所以直线的斜率为，
因为直线与双曲线有且只有一个公共点，所以根据双曲线的几何性质，
直线与双曲线的一条渐进线平行，所以，即，
所以，又，所以，
所以，解得或（舍去），所以，
故选：B
考点四 直线与双曲线的位置关系
【例4-1】（2023湖南）已知双曲线，直线，试确定实数k的取值范围，使：
(1)直线l与双曲线有两个公共点；
(2)直线l与双曲线有且只有一个公共点；
(3)直线l与双曲线没有公共点．
【答案】(1)或或；
(2)或
(3)或
【解析】（1）联立，
消整理得，（*）
因为直线l与双曲线C有两个公共点，
所以，整理得
解得： 或或.
（2）当即时，直线l与双曲线的渐近线平行，
方程（*）化为，故方程（*）有唯一实数解，
即直线与双曲线相交，有且只有一个公共点，满足题意．
当时， 因为直线l与双曲线C仅有一个公共点，
则，解得；
综上，或.
（3）因为直线l与双曲线C没有公共点，
所以，
解得： 或.
【一隅三反】
1．（2022·全国·高三专题练习）已知直线与双曲线有两个不同的交点，则的取值可以是（ ）
A．B．C．1D．
【答案】B
【解析】双曲线的渐近线方程为，
直线与双曲线有两个不同的交点，又直线过原点
则则的取值可以是.故选：B．
2．（2023·重庆·统考二模）已知点和双曲线，过点且与双曲线只有一个公共点的直线有（ ）
A．2条B．3条C．4条D．无数条
【答案】A
【解析】由题意可得，双曲线的渐近线方程为，点是双曲线的顶点.
①若直线的斜率不存在时，直线的方程为，此时，直线与双曲线只有一个公共点，合乎题意；
②若直线的斜率存在，则当直线平行于渐近线时，直线与双曲线只有一个公共点.
若直线的斜率为，则直线的方程为，此时直线为双曲线的一条渐近线，不合乎题意.
综上所述，过点与双曲线只有一个公共点的直线共有条.
故选：A.
3．（2023·四川遂宁·射洪中学校考模拟预测）已知双曲线的右焦点为，点，若直线与只有一个交点，则（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【解析】双曲线可得，，，
所以双曲线的渐近线方程为，右焦点为，
因为直线与只有一个交点，所以直线与双曲线的渐近线平行，
所以，解得.
故选：B.
4（2023·四川成都·四川省成都市玉林中学校考模拟预测）过点且与双曲线有且只有一个公共点的直线有（ ）条．
A．0B．2C．3D．4
【答案】D
【解析】由双曲线得其渐近线方程为．
①过点且分别与渐近线平行的两条直线与双曲线有且仅有一个交点；
②设过点且与双曲线相切的直线为，联立，
化为得到，解得．
则切线分别与双曲线有且仅有一个公共点．
综上可知：过点且与双曲线仅有一个公共点的直线共有4条．
故选:.
考点五 弦长与中点弦
【例5-1】（2023·全国·课堂例题）过双曲线的右焦点F作倾斜角为30°的直线，交双曲线于A，B两点，则弦长 ．
【答案】8
【解析】由双曲线，得，，
焦点为，倾斜角，
法一：直线斜率，直线方程为，
联立消得，，
由韦达定理知，
代入弦长公式，
得.
法二：.
故答案为：8.
【例5-2】（2023·山东·模拟预测）过双曲线的左焦点作直线，与双曲线交于两点，若，则这样的直线有（ ）
A．1条B．2条C．3条D．4条
【答案】D
【解析】由题意得双曲线左焦点，当直线垂直于横轴时，不符合题意，双曲线渐近线方程为；
故可设，
与双曲线联立可得，
，
由弦长公式知，
则或.
故存在四条直线满足条件.
故选：D
【例5-3】（2023·福建）已知双曲线过点作一直线交双曲线于A、B两点，并使P为AB的中点，则直线AB的斜率为（ ）
A．3B．4
C．5D．6
【答案】D
【解析】设，，则有与，两式相减得：，即，
又因为为AB的中点，所以，得到，
即直线AB的斜率为6.
故选：D.
【一隅三反】
1．（2023·安徽）过点的直线与双曲线相交于两点，若是线段的中点，则直线的方程是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】A
【解析】设，则，
两式相减得直线的斜率为，
又直线过点，
所以直线的方程为，
经检验此时与双曲线有两个交点.
故选：A
2．（2023春·河南周口 ）过点作斜率为1的直线，交双曲线于A，B两点，点M为AB的中点，则该双曲线的离心率为（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【解析】设点，
则有，两式做差后整理得，
由已知，
，又，
，
得
故选：B
3．（2023河北）经过点作直线交双曲线于两点，且为中点．
(1)求直线的方程．
(2)求线段的长．
【答案】(1)
(2)
【解析】（1）设，
代入双曲线方程得，
两式相减得，即，
因为为的中点，所以，
所以，所以直线的斜率为
所以的方程为，即，
经验证符合题意，
所以直线的方程为；
（2）将代入中得，
故，
所以
.
考点六 直线与双曲线的综合运用
【例6】（2023秋·安徽）已知双曲线C：（，）的离心率为2，在C上.
(1)求双曲线C的方程；
(2)不经过点P的直线l与C相交于M，N两点，且，求证：直线l过定点.
【答案】(1)
(2)证明见解析
【解析】（1）由已知得：，则，
又因为在C上，则，
解得，，
所以双曲线C的方程为.
（2）若直线l的斜率存在，设直线l的方程为，，，
联立方程，消去y得，
由已知，则，且，
可得，，
又因为，
由可得：，
整理得：，
则，
可得，则，
由已知l不经过点，故，
所以，即，
可得l：，过定点；
若直线l的斜率不存在，设，，
可得，
由可得：，
又因为，解得，满足条件，
综上所述：故直线l过定点.

【一隅三反】
1．（2023秋·江苏南京·高三南京市第九中学校考阶段练习）已知双曲线的一条渐近线方程为，虚轴长为2.
(1)求双曲线的方程；
(2)设直线与双曲线交于，两点，点关于轴的对称点为点，求证：直线恒过定点.
【答案】(1)
(2)证明见解析
【解析】（1）由已知得，，解得，.
双曲线的方程为：.
（2）将代入，得，.
因与有两个交点，所以，，且.
设，，
则，，
从而.
根据对称性可知，如果直线过定点，则所过定点必在轴上，
不妨设为，则，.
过定点，即对恒成立.
即，
即.
因为，，
所以.
所以.
代入上式得，，.
上式对恒成立，当且仅当，
即直线恒过定点.
2．（2023秋·辽宁鞍山·高三统考阶段练习）已知双曲线的渐近线方程为，且经过点．
(1)求双曲线的方程；
(2)点在直线上，、分别为双曲线的左、右顶点，直线、分别与双曲线交于、两点．求证：直线过定点．
【答案】(1)
(2)证明见解析
【解析】（1）由题意，可得，∴双曲线.
（2）法一：设直线，代入，得，
，则有，
直线，直线，
由直线、的交点在上得，
即：，
，
∴恒成立，
若，
将代入得，
∴过双曲线的顶点，与题意不符，故舍去，∴，
直线过定点.
法二：设，则设直线，
由，得，记，
则和是该方程的两个根，则，
由，得，
记，则2和是该方程的两个根，
则，
则直线的斜率：
∴，
令，，
故直线过定点.

标准方程
eq \f(x2,a2)－eq \f(y2,b2)＝1(a＞0，b＞0)
eq \f(y2,a2)－eq \f(x2,b2)＝1(a＞0，b＞0)
性质
图形
焦点
F1(－c，0)，F2(c，0)
F1(0，－c)，F2(0，c)
焦距
|F1F2|＝2c
范围
x≤－a或x≥a，y∈R
y≤－a或y≥a，x∈R
对称性
对称轴：坐标轴；对称中心：原点
顶点
A1(－a，0)，A2(a，0)
A1(0，－a)，A2(0，a)
轴
实轴：线段A1A2，长：2a；虚轴：线段B1B2，
长：2b；实半轴长：a，虚半轴长：b
离心率
e＝eq \f(c,a)∈(1，＋∞)
渐近线
y＝±eq \f(b,a)x
y＝±eq \f(a,b)x
a，b，c关系
c2＝a2＋b2(c＞a＞0，c＞b＞0)