辽宁省重点高中沈阳市郊联体2024-2025学年高一上学期期末考试数学试卷(含答案)

这是一份辽宁省重点高中沈阳市郊联体2024-2025学年高一上学期期末考试数学试卷(含答案)，共15页。试卷主要包含了选择题，多项选择题，填空题，双空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

一、选择题
1．若,则的化简结果是( )
A.1B.C.D.
2．若对任意，，则称A为“影子关系”集合，下列集合为“影子关系”集合的是( )
A.B.C.D.
3．某烟花爆竹厂从20万件同类产品中随机抽取了100件进行质检,发现其中有5件不合格,那么请你估计该厂这20万件产品中合格产品约有( )
A.1万件B.18万件C.19万件D.2万件
4．已知,,,则( )
A.B.C.D.
5．“韦神”数学兴趣小组有4名男生和2名女生,从中任选2名同学参加数学公式推导比赛,下列各对事件中互斥而不对立的是( )
A.至少有1名男生与全是男生;
B.至少有1名男生与全是女生;
C.恰有1名男生与恰有2名男生;
D.至少有1名男生与至少有1名女生.
6．从2,4,8中任取两个不同的数,分别记作a,b,则使为整数的概率是( )
A.B.C.D.
7．已知函数在区间上对任意的,都满足,则实数a的取值范围是( ).
A.B.C.D.
8．已知,是函数的图象上两个不同的点,则( )
A.B.C.D.
二、多项选择题
9．学校“校园歌手”唱歌比赛,现场8位评委对选手A的评分分别为15,16,18,20,20,22,24,25.按比赛规则,计算选手最后得分时,要先去掉评委评分中的最高分和最低分,则( )
A.剩下的6个样本数据与原样本数据的平均数不变
B.剩下的6个样本数据与原样本数据的极差不变
C.剩下的6个样本数据与原样本数据的中位数不变
D.剩下的6个样本数据的35%分位数大于原样本数据的35%分位数
10．下列命题中,正确的是( )
A.若,则
B.若,,则
C.若,则
D.若,,则
11．定义区间的长度为,记函数（其中）的定义域A的长度为,则下列说法正确的有( )
A.
B.的值域为
C.在上单调递增
D.给定常数,当时,的最小值为
三、填空题
12．某高中高一年级有学生1440人,高二年级有学生1600人,高三年级有学生1760人.现用分层抽样的方法,从这三个年级学生中抽取n人了解他们的学习情况,其中在高二年级抽取了100人,则________.
13．函数的单调递增区间为________.
四、双空题
14．已知函数,,且方程有两个不同的解,则实数m的取值范围为________,关于x的方程解的个数为________.
五、解答题
15．已知集合,.
（1）若,求;
（2）若存在正实数m,使得“”是“”成立的充分不必要条件,求正实数m的取值范围.
16．某企业计划将某项新技术应用到某种电子仪器生产中去,为了研究市场的反应,该企业计划用一年时间进行试产、试销.通过市场分析发现,生产此款电子仪器全年需投入固定成本280万元,每生产x（千个）电子仪器,需另投入成本万元,且,假设每千个电子仪器售价定为800万元,且全年内生产的电子仪器当年能全部销售完.
（1）求出全年的利润（万元）关于年产量x（千个）函数关系式（利润=销售额-成本）;
（2）当全年产量为多少千个时,该企业所获利润最大?最大利润是多少万元?
17．2024年奥运会在巴黎举行,中国代表团获得了40枚金牌,27枚银牌,24枚铜牌,共91枚奖牌,取得了境外举办奥运会的最好成绩,运动员的拼搏精神给人们留下了深刻印象.为了增加学生对奥运知识的了解,弘扬奥运精神,某校组织高二年级学生进行了奥运知识能力测试.根据测试成绩,将所得数据按照,,,,,分成6组,其频率分布直方图如图所示.
（1）求a值和该样本的第75百分位数;
（2）试估计本次奥运知识能力测试成绩的平均分;
（3）该校准备对本次奥运知识能力测试成绩不及格（60分以下）的学生,采用按比例分配的分层随机抽样方法抽出5名同学,再从抽取的这5名同学中随机抽取2名同学进行情况了解,求这2名同学分数在,各一人的概率.
18．已知定义域为R的函数是奇函数.
（1）求a,b的值;
（2）判断的单调性并用定义证明;
（3）若存在,使成立,求k的取值范围.
19．若函数在定义域内存在实数,使得成立,则称函数有“飘移点”.
（1）函数是否有“飘移点”?请说明理由;
（2）证明:函数在上有“飘移点”;
（3）若函数在上有“飘移点”,求实数a的取值范围.
参考答案
1．答案：C
解析：由,得,
所以.
故选:C.
2．答案：D
解析：对于选项A：因为，但，不符合题意，故A错误；
对于选项B：因为，但无意义，不符合题意，故B错误；
对于选项C：例如，但，不符合题意，故C错误，
对于选项D：对任意，均有，符合题意，故D正确；
故选：D.
3．答案：C
解析：由题意合格率为,
因此合格品件数约为（万件）,
故选:C.
4．答案：A
解析：,,,,,所以.
故选:A.
5．答案：C
解析：对于A项,事件至少有1名男生包括恰有1名男生和全是男生两种情况,故A项错误;
对于B项,事件至少有1名男生包括恰有1名男生和全是男生两种情况,与事件全是女生是互斥对立事件,故B项错误;
对于C项,事件恰有1名男生指恰有1名男生和1名女生,与事件恰有2名男生是互斥事件,但不是对立事件,故C项正确;
对于D项,事件至少有1名男生包括恰有1名男生和全是男生两种情况,事件至少有1名女生包括恰有1名女生和全是女生两种情况,两个事件有交事件恰有1名男生和1名女生,故D项错误.
故选:C.
6．答案：B
解析:由条件可知,得到不同的对数为,,,
,,,共6个对数,其中为整数的有2个,
所以概率.
故选:B
7．答案：C
解析：由题意,函数在区间上单调递减,
则,解得,
即实数a的取值范围是.
故选:C.
8．答案：D
解析：对于A、C,因为,所以,故A,C错误;
对于B、D,由题意知,因为函数是增函数,所以,即,
结合基本不等式,,
因为是增函数,所以,故D正确,B错误;
故选:D.
9．答案：ACD
解析：对于A中,8个数据的平均分为,
去掉最高分和最低分后数据的平均分为,所以A正确;
对于B中,去掉最高分和最低分之前,8个数据的极差为,
去掉最高分和最低分后,6个数据的极差为,所以B错误;
对于C中,去掉最高分和最低分之前,8个数据的中位数为20,
去掉最高分和最低分后,6个数据的中位数为,所以C正确;
对于D中,由,所以8个数据的分位数为18,
去掉最高分和最低分后,可得,所以6个数据的分位数为20,
所以D正确.
故选:ACD.
10．答案：BD
解析：对于A,由,但,故A错;
对于B,,又,
所以,即,故B正确;
对于C,由,即,故C错;
对于D,由且,故,故D正确.
故选:BD.
11．答案：ACD
解析：A选项,,其中,解得,
故,A正确;
B选项,,,当且仅当,即时,等号成立,
又,故的值域为,B错误;
C选项,任取,且,
则
,
又,且,故,
故,即,
故在上单调递增,C正确;
D选项,和C选项同理,由定义法可知,在上单调递减,
结合C选项知,给定常数,当时,单调递增,
当时,单调递减,
故的最小值为或,
其中,,
又
,
由于,,,,
所以,即,
所以的最小值为,D正确.
故选:ACD
12．答案：300
解析:利用分层抽样的方法从三个年级中抽取了n人进行问卷调查,其中高二年级抽取了100人,高二年级共有1600人,
则每个学生被抽到的概率为,
可得,解得（人）,
故答案为:300.
13．答案：
解析：由,解得,
要求函数的单调递增区间,
则应求函数的单调递减区间,
易知函数的单调递减区间为,
结合定义域可得函数的单调递增区间为.
故答案为:.
14．答案：;4
解析：①由题意可知,直线与函数的图象有两个不同的交点,如下图所示:
由图可知,当时,直线与函数的图象有两个不同的交点,故;
②方程中,设,
即,即函数与直线的交点问题,
作出函数的图象如下图所示:
因为,函数与有3个交点,
即有三个根、、,其中、、,
再结合图象可知,方程有2个不同的根,方程有个根,
方程有1个根,
综上所述,方程有4个不同的解.
故答案为:;.
15．答案：（1）
（2）
解析：（1）由题意得,即,解得,
所以;
当时,,所以.
（2）因为“”是“”成立的充分不必要条件,则A是B的真子集,
所以且（两个“”不能同时成立）,解得.
所以实数m的取值范围是.
16．答案：（1）
（2）全年产量为100千个时,该企业所获利润最大,最大利润是8970万元
解析：（1）当时,
,
当时,
,
所以
（2）若,则,
当时,;
若,则,
当且仅当,即时,等号成立,此时.
因为,
所以当全年产量为100千个时,该企业所获利润最大,最大利润是8970万元.
17．答案：（1）0.030,第75百分位数为82
（2）平均分为71
（3）
解析：（1）由题意可得:,
解得:;
因为,,
所以该样本的第75百分位数在区间,
所以设该样本的第75百分位数为x,则可得方程:
,
解得:,
即该样本的第75百分位数为82.
（2）因为,
故估计本次奥运知识能力测试成绩的平均分为71.
（3）采用分层抽样从和抽取5名同学,
因为,
则应在成绩为的学生中抽取2人,记为a,b;
在成绩为的学生中抽取3人,记为A,B,C;
再从抽取的这5名同学中随机抽取2名同学有如下结果,
,,,,,
,,,,共10种可能结果;
其中在40,50,各一人的共6种;
所以所求概率,
则这2名同学分数在,各一人的概率为.
18．答案：（1）,;
（2）函数在R上是减函数,证明见解析;
（3）
解析：（1）因为函数是定义在R上的奇函数,
所以,即,所以,
又因为,所以,
将代入,整理得,
当时,有,即恒成立,
又因为当时,有,所以,所以.
经检验符合题意,所以,.
（2）由（1）知:函数,
函数在R上是减函数.
设任意,,且,
则
由,可得,又,
则,则,
则函数在R上是减函数.
（3）因为存在,使成立,
又因为函数是定义在R上的奇函数,
所以不等式可转化为,
又因为函数在R上是减函数,
所以,所以,
令,
由题意可知:问题等价转化为,
又因为,所以.
19．答案：（1）函数没有“飘移点”,理由见解析
（2）证明见解析
（3）
解析：（1）函数没有“飘移点”.理由如下:
对于,则,整理得,
,则该方程无解,
函数没有“飘移点”.
（2）函数在上有“飘移点”,理由如下:
在上有“飘移点”,
因此有,
即成立,化简,即成立,
记,则在上连续不断,且,,
在内存在零点,则方程在内存在实根,
故函数在上有“飘移点”.
（3）对于,则,
即,
,则,
令,则,
,
又,当且仅当,即时等号成立,
则,
,即,
故实数a的取值范围为.