辽宁省沈阳市五校协作体2024-2025学年高一上学期期末考试数学试卷(含答案)

这是一份辽宁省沈阳市五校协作体2024-2025学年高一上学期期末考试数学试卷(含答案)，共17页。试卷主要包含了选择题，多项选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

一、选择题
1．设集合，，则等于( )
A.B.C.D.
2．已知向量，，若，则( )
A.B.C.D.
3．函数的大致图像为( )
A.
B.
C.
D.
4．已知数据，，且满足，若去掉，后组成一组新数据，则新数据与原数据相比，有可能变大的是( )
A.平均数B.中位数C.极差D.方差
5．如图，矩形中，点E是线段上靠近A的三等分点，点F是线段的中点，则( )
A.B.
C.D.
6．设，若（，），则k的值为( )
A.3B.5C.7D.9
7．已知正实数a、b满足，则的最大值为( )
A.B.C.D.2
8．已知函数是定义域为R的函数，，对任意、，均有，已知m、为关于x的方程的两个解，则关于t的不等式的解集为( )
A.B.C.D.
二、多项选择题
9．若，，则下列说法正确的是( )
A.B.事件A与B不互斥
C.事件A与B相互独立D.事件与B不一定相互独立
10．下列结论中正确的是( )
A.若幂函数的图像经过点，则
B.函数且的图像必过定点
C.函数的单调增区间是
D.若幂函数，则对任意、，都有
11．已知函数关于x的方程有从小到大排列的四个不同的实数根，，，若，则( )
A.B.
C.M的最小值为D.M的最大值为
三、填空题
12．已知函数为奇函数，则函数的图像关于_________对称.
13．如图，中，延长到D，使，当E点在线段上移动时，若，则的最大值是_________.
14．已知，是定义域为R的函数，且是奇函数，是偶函数，满足，若对任意的，都有成立，则实数a的取值范围是_________.
四、解答题
15．随着国家将低空经济纳入战略新兴发展规划，无人机行业迎来前所未有的发展机遇.某无人机厂家为了解所生产的某类型无人机的飞行时长，随机抽取100架该类型无人机进行测试，统计得到如下频率分布表：
(1)估计该类型无人机飞行时长的平均数及第60百分位数（同一组数据用该组区间的中点值为代表，最终结果保留整数）；
(2)记飞行时长大于等于第60百分位数的为优良品，大于等于10且小于第60百分位数的为合格品.从该厂家生产的该类型无人机中按照是否为优良品并用分层抽样的方法抽取5架，再从这5架无人机中随机抽取2架，求至少有一架无人机为优良品的概率.
16．如图，在中，点P满足，O是线段的中点，过点O的直线与边，分别交于点E，F.
(1)若，求的值；
(2)若，，求的最小值.
17．为了增添学习生活的乐趣，甲、乙两人决定进行一场投篮比赛，每次投1个球.先由其中一人投篮，若投篮不中，则换另一人投篮；若投篮命中，则由他继续投篮，当且仅当出现某人连续两次投篮命中的情况，则比赛结束，且此人获胜.经过抽签决定，甲先开始投篮.已知甲每次投篮命中的概率为，乙每次投篮命中的概率为，且两人每次投篮的结果均互不干扰.
(1)求甲、乙投篮总次数不超过4次时，乙获胜的概率；
(2)求比赛结束时，甲恰好投了2次篮的概率.
18．已知函数，.
(1)若存在，使得成立，求实数t的取值范围；
(2)若不等式，对任意的恒成立，求实数b的取值范围.
19．定义一种新的运算“”：，都有.
(1)对于任意实数a，b，c，试判断与的大小关系；
(2)若关于x的不等式的解集中的整数恰有3个，求实数a的取值范围；
(3)已知函数，若对任意的，总存在，使得，求实数m的范围.
参考答案
1．答案：C
解析：由，解得，
所以，
又，
所以.
故选：C
2．答案：A
解析：，，
则，解得，
故，
.
故选：A.
3．答案：D
解析：函数的定义域为全体非零实数，
因为，
所以该函数是奇函数，其图像关于原点对称，排除AB；
而当时，有，
所以，排除C，
故选：D
4．答案：A
解析：由于，
所以原来的极差为，新数据的极差为，故极差变小，
原来和新数据的中位数均为，故中位数不变，
去掉，后，数据波动性变小，故方差变小，
因此可能变大的是平均数，
比如1，3，4，5，6，7，8，9，11，12，
原数据的平均数为6.6，去掉1和12后，
新数据的平均数为，但，故A正确.
故选：A
5．答案：A
解析：依题意①，
②，③，
由②③式解得，，
代入①式得.
故选：A.
6．答案：B
解析：，
而，
故，即，
故选：B.
7．答案：B
解析：∵
∴，
∴，即，
当且仅当时取等号，
故选：B
8．答案：D
解析：因为m、为关于x的方程的两个解，
则，
解得，由韦达定理可得，
因为函数是定义域为R的函数，，
即，
所以，函数的图像关于点对称，
则且，
因为对任意、，
均有，即，
所以，函数在上为增函数，
则该函数在上也为增函数，
从而可知，函数在R上为增函数，
由可得，
解得，所以，，
因此，关于t的不等式的解集为.
故选：D.
9．答案：BC
解析：，故A错误；
又所以事件A与B不互斥，故B正确；
则事件A与B相互独立，故C正确；
因为事件A与B相互独立，
所以事件与B一定相互独立，故D错误.
故选：BC
10．答案：BCD
解析：对于A选项，设幂函数的解析式为，
由题意可得，
解得，则，A错；
对于B选项，因为，
所以，函数且的图像必过定点，B对；
对于C选项，因为内层函数的增区间为，减区间为，
外层函数为减函数，故函数的增区间为，C对；
对于D选项，幂函数，
对任意的，则，
则对任意、，
，
，
所以，
，
所以，，
可得，
所以，，D对.
故选：BCD.
11．答案：AC
解析：
在平面直角坐标系内作出函数的图像，如图.
关于x的方程有从小到大排列的四个不同的实数根，，，
等价于与有四个不同交点,则，显然A正确.
令，则或，所以或，
所以，当时最小，数形结合有，故B不正确.
运用二次函数对称性，可知，
，
当且仅当时取等号，故C正确.
根据图像，
则M无最大值，故D不正确.
故选：AC.
12．答案：
解析：由题意可知函数关于点中心对称，
因为函数由函数向左平移1个单位得到，
所以函数关于点中心对称，
函数由向上平移1个单位得到，
所以函数关于点中心对称，
故答案为：.
13．答案：3
解析：设，
，
又
，
；时t取最大值3
即的最大值为3.
14．答案：
解析：因为是奇函数，是偶函数，
满足，
可得，
联立方程组，
解得，
又因为对任意的，
都有成立，
所以，
所以成立，
构造，
所以由上述过程可得在单调递增，
(i)若，则对称轴，解得；
(ii)若，在单调递增，满足题意；
(iii)若，则对称轴恒成立；
综上可得，，即实数a的取值范围为.
故答案为：.
15．答案：(1)平均数为36，第60百分位数约为39分钟.
(2).
解析：(1)该类型无人机飞行时长的平均数为；
飞行时长在区间的频率为0.3，在的频率为0.65，
则该类型无人机飞行时长的第60百分位数，
由，解得，
所以该类型无人机飞行时长的第60百分位数约为39分钟.
(2)依题意，合格品与优良品的比例为，即为，
则抽取的5架无人机中，合格品有3架，优良品有2架，
所以从这5架无人机中随机抽取2架，
至少有一架无人机为优良品的概率.
16．答案：(1)
(2)
解析：(1)因为，
所以，
因为O是线段的中点，
所以，
又因为，设，
则有，
因为E，O，F三点共线，所以，
解得，即，
所以.
(2)因为，
，
由(1)可知，，
所以，
因为E，O，F三点共线，
所以，即，
所以，
当且仅当，
即，时取等号，
所以的最小值为.
17．答案：(1)
(2)
解析：(1)若甲、乙投篮总次数为2次，则乙不可能获胜；
若甲、乙投篮总次数为3次且乙获胜，
则第一次甲未投中，乙投中第2、3次，
所以；
若甲、乙投篮总次数为4次乙获胜，
则第一次甲投中、第二次甲未投中，乙投中第3、4次，
所以；
记甲、乙投篮总次数不超过4次时且乙获胜为事件A，
则，
所以甲、乙投篮总次数不超过4次时，乙获胜的概率为；
(2)若比赛结束时甲赢得比赛且甲恰好投了2次篮，
则甲连续投中2次，则概率；
若比赛结束时乙赢得比赛，又甲恰好投了2次篮，
①甲投中第一次，第二次甲未投中，乙投中第3、4次，
则；
②甲第一次未投中，第二次乙未投中，
第3次甲未投中，第4、5次乙投中，
则；
④甲第一次未投中，第二次乙投中，
第3次乙未投中，第4甲未投中，第5、6次乙投中，
则；
综上可得比赛结束时，甲恰好投了2次篮的概率.
18．答案：(1)
(2)
解析：(1)∵，由，
∴在有解，
令，所以，
当时；
当m趋向于0或1时t趋向于1，即.
(2)，
即，
令，则，
因为，为增函数，所以，
所以化为对任意的恒成立，
在上单调递减，
当时，取得最大值为，
所以，实数b的取值范围为.
19．答案：(1)；
(2)或；
(3)且.
解析：(1)∵，，
∴，
故
，
∴.
(2)∵，
∴原不等式可化为：，即，
为满足题意，必有，即或①，
令，
由于，结合①可得：，
∴的一个零点在区间，另一个零点在区间，
从而，
即②，
由①②可得：或.
(3)由题意得，，
设，
令，，则，
∴，
∴，
设，
其值域为，
∵，
∴，故的值域为，
根据题意可知：，
∴，
解得：且
飞行时长（分钟）
频率
0.1
0.2
0.35
0.25
0.1