吉林省八校联考2024-2025学年高二上学期1月期末考试数学试卷(含答案)

这是一份吉林省八校联考2024-2025学年高二上学期1月期末考试数学试卷(含答案)，共19页。试卷主要包含了选择题，多项选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

一、选择题
1．直线的倾斜角是( )
A.B.C.D.
2．如图所示,在平行六面体中,M为与的交点.若,,,则下列向量中与相等的向量是( )
A.B.C.D.
3．如图,在正方体中,M,N分别为,的中点,异面直线MN与所成角为( )
A.B.C.D.
4．九连环是我国从古至今广泛流传的一种益智游戏,它用九个圆环相连成串,以解开为胜.据明代杨慎《丹铅总录》记载:“两环互相贯为一,得其关捩,解之为二,又合而为一“.在某种玩法中,用表示解下个圆环所需的移动最少次数,若.且,则解下6个环所需的最少移动次数为( )
A.13B.16C.31D.64
5．已知双曲线与椭圆的焦点重合,则以椭圆E的短轴端点为顶点,且与双曲线C具有相同渐近线的双曲线方程为( )
A.B.C.D.
6．平行直线与之间的距离为,则m,n的可能值为( )
A.,B.,C.,D.,
7．如图，在直三棱柱中，为腰长为1的等腰直角三角形，且，侧面为正方形，为平面内一动点，则的最小值是( )
A.B.C.D.
8．已知点Q在以,为左、右焦点的椭圆内,延长与椭圆交于点P,满足,若,则该椭圆离心率取值范围是( )
A.B.C.D.
二、多项选择题
9．已知椭圆上一点P,、分别为左、右焦点,,的面积为S,则下列选项正确的是( )
A.若,则
B.若,则满足题意的点P有四个
C.椭圆C内接矩形周长的最大值为
D.若为钝角三角形,则
10．如图,一个结晶体的形状为平行六面体,其中,以顶点A为端点的三条棱长均为6,且它们彼此的夹角都是,则下列说法中正确的是( )
A.B.
C.向量与的夹角是D.与AC所成角的余弦值为
11．在数列中，，，则以下结论正确的为( )
A.数列为等差数列
B.
C.当取最大值时，n的值为51
D.当数列的前n项和取得最大值时，n的值为49或51
三、填空题
12．圆和圆的公切线条数为________.
13．已知，，直线，，且，则的最小值为_________.
14．如图1所示，古筝有多根弦，每根弦下有一个雁柱，雁柱用于调整音高和音质.图2是根据图1绘制的古筝弦及其雁柱的简易平面图.在图2中，每根弦都垂直于x轴，相邻两根弦间的距离为1，雁柱所在曲线的方程为，第n根弦(，从左数首根弦在y轴上，称为第0根弦)分别与雁柱曲线和直线交于点和，则________.(参考数据：取.)
四、解答题
15．已知直角的直角顶点为A在y轴上，直角边AB所在直线的方程为，点，满足.
(1)求AC边所在直线的方程；
(2)求外接圆的方程；
(3)求BC边所在直线的方程；
(4)若动圆P过点，且与的外接圆外切，求动圆P的圆心的轨迹方程
16．已知F为抛物线的焦点，O为坐标原点，过焦点F作一条直线交C于A，B两点，点M在C的准线l上，且直线MF的斜率为-1，的面积为1.
(1)求抛物线C的方程；
(2)试问在l上是否存在定点N，使得直线NA与NB的斜率之和等于直线NF斜率的平方？若存在，求出点N的坐标；若不存在，请说明理由；
17．在三棱锥,底面是边长为4的正三角形,平面平面,且．
（1）若,求证：平面平面;
（2）若底面,垂足为O,,求平面与平面夹角的余弦值．
18．已知等差数列满足,,等比数列满足,.
（1）求数列,的通项公式;
（2）令,求证:,其中.
19．已知椭圆，左顶点分别为A，上顶点为B，左右焦点分别为，，P为椭圆上一点，最大值为3，的面积为.
(1)求椭圆方程；
(2)已知直线过与椭圆C交与M，N两点（M在N上方），且，若，求直线斜率的值范围
参考答案
1．答案：D
解析：由得,
故倾斜角满足为,,
故.
故选:D
2．答案：A
解析：由题意可得:
.
故选:A.
3．答案：B
解析：连结,,因为在正方体中,M,N分别为,的中点,
所以,
因此,异面直线与所成角即为直线与所成角,即,显然为.
故选:B
4．答案：C
解析：,,
,,,,
,
所以解下6个环所需的最少移动次数为31.
故选:C.
5．答案：B
解析：由题意且,则,则双曲线C的方程为.
以椭圆E的短轴端点为顶点的双曲线可设为,
若与双曲线C具有相同渐近线,则,即.
故所求双曲线的方程为,即.
故选:B.
6．答案：A
解析：将直线化为,显然,
依题意可得,即,只有,满足题意.
故选:A.
7．答案：A
解析：由题意，以C为坐标原点，所在的直线分别为轴，
建立如图所示的空间直角坐标系，
则，
所以，
设A关于平面的对称点为，
则，
设平面的法向量，
则即
令，则，
所以，
所以A与到平面的距离，
即①，
又，所以②，
所以由①②得，
又由可得，
所以，
所以，
当且仅当三点共线时取等号，
所以的最小值为.
故选A.
8．答案：C
解析：如下图所示:
由题意可知,,设,则,
由椭圆定义可得,,
在中,由勾股定理可得,
即,即,
因为点Q在椭圆C内,则,
又因为,所以,
令,是一条开口向上的抛物线,对称轴为,
所以在上单调递增,
若方程在内有实根,则,
得,所以,
因为点Q在椭圆内,且,则,即,
所以,,因此.
故选:C.
9．答案：AC
解析：对于A选项,在椭圆C中,,,则,
由椭圆的定义可得,,且、,
设,,且,,
在中,由余弦定理可得,
所以,,
所以,,
所以,,
因为,则,所以,,解得,A对;
对于B选项,设,则,且,解得,
此时点P为椭圆短轴的顶点,故满足条件的点P只有两个,B错;
对于C选项,设椭圆C内接矩形的一个顶点为,
则椭圆C内接矩形周长为,
其中为锐角,且,
由得,
当时,,此时椭圆C的内接矩形周长取最大值为,故C正确;
对于D选项,若为钝角,,,
则
,解得,所以,,
此时,;
若为钝角,且,,
则,可得,
又因为,所以,,则,可得,
此时,;
当为钝角时,同理可知.
因此,S的取值范围是,D错.
故选:AC.
10．答案：AB
解析：因为以顶点A为端点的三条棱长均为6,且它们彼此的夹角都是,
所以,
,
则,所以A正确;
,则,
故,所以B正确;
显然为等边三角形,则.
因为,且向量与的夹角是,所以与的夹角也是,所以C不正确;
因为,,
所以,,
,
所以,所以D不正确.
故选:AB
11．答案：ACD
解析：对于A，由，得，
两式作差得，即，所以数列为等差数列，故A正确；
对于B，令，知，故B错误；
对于C，由等差数列的性质知，即，又，
可得公差，所以，知数列的前51项为正，从第52项开始为负，当取最大值时，n的值为51，故C正确；
对于D，由数列的前51项为正，从第52项开始为负，又，
知，，，所以数列前49项和最大，
又，所以数列前51项和最大，当时，，
所以当或51时，的前n项和取得最大值，D正确.
故选：ACD.
12．答案：4
解析：圆,圆,
,,
圆心距,
而两圆半径之和,
两个圆相离,则这两个圆的公切线有4条.
故答案为:4.
13．答案：
解析：因为，所以，即，
因为，，所以，
当且仅当，即，时等号成立，
所以的最小值为8.
故答案为：8.
14．答案：
解析：由条件可得①，|
所以②，
①-②得：
，所以.
15．答案：(1)
(2)
(3)
(4)
解析：(1)由AB边所在直线的方程为
且直角的直角顶点为A在y轴上，
可得，直线AC的斜率为-3，
AC边所在直线的方程为；
(2)点A的坐标为，且，
则为斜边上的中点，
即为外接圆的圆心，
则，
从而外接圆的方程为；
(3)外接圆的方程为
与直角边AB所在直线相交，
可得，
BC边所在直线即为BM，方程为.
(4)动圆P过点N，|PN|是该圆的半径，
又动圆P与圆M外切，
则，
即，
故点P的轨迹是以M、N为焦点，
实轴长为的双曲线的左支，
实半轴长，半焦距，
∴虚半轴长，
从而动圆P的圆心的轨迹方程为
16．答案：(1)
(2)或；理由见解析
解析：(1)，
则，.
即抛物线C的方程为.
(2)设直线的方程为，
点，点，点N（-1，n）
由题意，
即，
可得，
可得，
联立直线与抛物线，
可得，
则，.
代入原式可得，
解得或，
即存在定点或.
17．答案：（1）证明见解析
（2）
解析：（1）取AC的中点H,则,连接HP、HB,由,得,
又平面平面,平面PAC,所以平面ABC,
由,平面ABC,得,,
以H为原点,方向为x轴,方向为y轴,方向为z轴,建立空间坐标系,
由题意可得,,
则,,,,,
有,,
设平面PAB和平面PBC的一个法向量分别为,,
则,
令,,得,,,,
所以,有,
即,故平面平面．
（2）由（1）知,若,则,,,,
有,,,,
设平面、平面一个法向量分别为,,
则,,
令,,得,,,
所以,,
设平面与平面夹角为,得,
所以平面与平面夹角的余弦值为．
18．答案：（1）,
（2）证明见解析.
解析：（1）由题意,,
在等差数列中,设
解得:
等比数列中,设,
,解得:
（2）由题意及（1）得,,,,
在中,
设,
当n为奇数时,
在中,
在中,
解得:
当n为偶数时,
同理可得,
综上,.
19．答案：(1)
(2)
解析：(1)由题意在椭圆中，
最大值为3，的面积为.
∴，
解得：
∴椭圆方程为：
(2)由题意及(1)得
在椭圆中，，
直线过与椭圆C交与M，N两点（M在N上方），
且，，
当直线斜率不存在时，显然不成立
当直线斜率存在时设为，，，
由，得
联立
消去x得；
则，且
可知，
代入中
得：，
因为当时，不成立，
则
则，且M在N上方
即.