湖南省多校联考2024-2025学年高二上学期期末考试数学试卷(含答案)

这是一份湖南省多校联考2024-2025学年高二上学期期末考试数学试卷(含答案)，共15页。试卷主要包含了选择题，多项选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

一、选择题
1．若,则( )
A.B.C.D.
2．已知集合,,则( )
A.B.C.D.
3．已知向量,,且,则实数( )
A.B.C.5D.10
4．已知,直线,,若,则( )
A.B.C.D.
5．设为等差数列的前n项和,若,则( )
A.10B.15C.21D.38
6．已知圆与,动圆M与圆内切,且与圆外切,则动圆圆心M的轨迹方程为( )
A.B.C.D.
7．如图,在长方体中,,,M为棱的中点,P是线段上的动点,则下列式子的值为定值的是( )
A.B.C.D.
8．已知过点可以作曲线的两条切线,则实数a的取值范围是( )
A.B.C.D.
二、多项选择题
9．某快递公司2020—2024年的快递业务量及其增长率如图所示,则( )
A.该公司2020—2024年快递业务量逐年上升
B.该公司2020—2024年快递业务量的极差为68.5亿件
C.该公司2020—2024年快递业务量的增长率的中位数为29.9%
D.该公司2020—2024年快递业务量的增长率的平均数为21.58%
10．记等比数列的公比为q,前n项积为,已知,,,则( )
A.B.
C.的最大值为D.
11．已知函数及其导函数的定义域均是,是的唯一零点,且,则( )
A.B.
C.D.
三、填空题
12．若,则________.
13．记数列的前n项和为,且满足,则________.
14．已知,分别为双曲线的左、右焦点,O为坐标原点,以点为圆心且与C的渐近线相切的圆与C在第一象限交于点A,B为的中点,若,则C的渐近线的斜率为________.
四、解答题
15．已知函数的最小正周期为,且的图象关于点对称.
（1）求的解析式;
（2）若,且,求的值.
16．记数列的前n项和为,已知.
（1）证明:是等差数列;
（2）若,证明:.
17．如图,在四棱锥中,是边长为2的等边三角形,,,.
（1）求证:平面;
（2）若,且,求平面与平面夹角的余弦值.
18．已知椭圆的左、右焦点分别为,,抛物线的焦点与重合,点G是C与E在第一象限的交点,且.
（1）求E的方程.
（2）设过点的直线l与E交于点M,N,交C于点A,B,且A,B,M,N互不重合.
（ⅰ）若l的倾斜角为,求的值;
（ⅱ）若P为C的准线上一点,设PA,PB,PF2的斜率分别为,,,证明:为和的等差中项.
19．已知函数,.
（1）若,求曲线在点处的切线方程;
（2）若对任意,不等式恒成立,求a的值;
（3）若实数m,n满足,证明:.
参考答案
1．答案：A
解析：根据题意,,
则.
故选:A
2．答案：C
解析：,
故,
故.
故选:C
3．答案：C
解析：由已知可得:,
因为,所以有,解之得:.
故选:C.
4．答案：B
解析：由直线与垂直,
得,即,解得,
而,所以.
故选:B
5．答案：D
解析：因为,所以,
则,即,所以,则,
因此.
故选:D
6．答案：B
解析：圆的圆心,半径,
圆的圆心,半径,设动圆的半径为r,
由动圆M与圆内切,且与圆外切,得,
则,因此点M的轨迹为以,为焦点,长轴长的椭圆,
而焦距,即,,则短半轴长,
所以动圆圆心M的轨迹方程为.
故选:B.
7．答案：D
解析：由题意得,,,,
,
.
A.如图,过点P作于点N,
对于A,由向量数量积的几何意义得,
由于点P是动点,所以不是定值,所以不是定值,故选项A错误;
对于B,,
由于点P是动点,所以不是定值,所以不是定值,故选项B错误;
对于C,,由于不是定值,故选项C错误;
对于D,由于向量在向量上的投影向量为,所以为定值.
故选:D.
8．答案：B
解析：由得,
设过点的直线与曲线切于点,
则切线斜率为,
所以切线方程为
因为切线过点,
所以,整理得,
因为过点的切线有两条,
所以方程有两不同实根,
因此,解得或,
即实数a的取值范围是.
故选:B
9．答案：ABD
解析：对A:由图可知:2020—2024年快递业务量逐年上升,故A正确;
对B:2020—2024年快递业务量的极差为:（亿件）,故B正确;
对C:因为增长率从小到大排序,即2.1%,19.4%,25.3%,29.9%,31.2%,
则中位数为25.3%,故C错误;
对D:由,故D正确.
故选:ABD
10．答案：BD
解析：因为,所以,一个大于1,一个小于1,
因为,若公比,则,都大于等于1,矛盾,所以,A不正确;
因为,所以,即,
所以数列是正项递减数列,可得,所以的最大值为,C不正确;
,B正确;
因为,所以,D正确.
故选:BD.
11．答案：AB
解析：令,则,由题意知,
所以,即在上单调递减,所以,,故A正确,C错误.
又是的唯一零点,所以,又在上单调递减,
所以,,即,,故B正确,D错误.
故选:AB.
12．答案：2
解析：由,得,则,,
所以.
故答案为:2
13．答案：
解析：因为,所以,两式作差得,
即,则,
又,即,
所以数列是以为首项,以为公比的等比数列
因此.
故答案为:
14．答案：
解析：由题意,双曲线的一条渐近线为,则点到渐近线的距离,即圆的半径为b,连接,则,
由双曲线的定义知,所以,
在中,O为的中点,B为的中点,所以,
,则为.
在中,,
在中,,
因为,所以,所以,
所以渐近线斜率.
故答案为:
15．答案：（1）
（2）
解析：（1）因为的最小正周期,所以,
因为的图象关于点对称,所以,即,
所以,,又,所以,
故.
（2）,
所以,
又,所以,从而,
所以.
16．答案：（1）证明见解析
（2）证明见解析
解析：（1）,
又,
两式相减可得,
,
,
是以为公差的等差数列.
（2）由已知得.
,
.
.
17．答案：（1）证明见解析
（2）
解析：（1）因为是边长为2的等边三角形,且,
所以,.
又,所以.
此时,所以.
又,,平面,平面,
所以平面;
（2）取的中点O,连接并延长交于E,则,
又,,平面,平面,
所以平面,平面,所以,
再由（1）可知平面,平面,故,
又,,平面,
所以平面,可得,,两两互相垂直,
故以O为原点,,,所在的直线分别为x,y,z轴,建立如图所示的空间直角坐标系,
则,,,
因为,所以,
所以,,,
设平面的一个法向量为,
则,令,可得;
设平面的一个法向量为,
则,令,可得.
因为,
所以平面与平面夹角的余弦值为.
18．答案：（1）
（2）（ⅰ）;
（ⅱ）证明见解析
解析：（1）由已知得C的焦点为,即,所以.①
因为,由抛物线的定义可得,所以.
代入E的方程可得.②
由①②解得,,所以E的方程为.
（2）设,,,.
（ⅰ）因为直线l的倾斜角为45°,所以,直线l的方程为.
联立整理得,则,
所以.
联立整理得,
则,,
所以.
所以.
（ⅱ）由题意知,,
设,且直线AB的方程为.
联立整理得,显然,
则,,
所以,,,
,
又,即,
所以为和的等差中项.
19．答案：（1）
（2）
（3）证明见解析
解析：（1）若,则,定义域为,
,
则,又,
所以曲线在点处的切线方程为.
（2）,令,得,
当时,,当时,,
在上单调递减,在上单调递增,
所以,
要使恒成立,需满足.
设,
则,令,得,
当时,,当时,,
在上单调递增,在上单调递减,
所以,
故,当且仅当时等号成立,
若满足,必有,
故.
（3）要证明,
即证明,
令,由,得,不等式化为.
由（2）知,当时,,当且仅当时取等号,
所以,整理得,从而成立;
同理,要证明,即证明,
即.
令,因为,所以,
所以在上单调递减,所以,
即,整理得,从而成立.
综上,.