2024-2025学年广东省揭阳市惠来县八年级（上）期末数学试卷

这是一份2024-2025学年广东省揭阳市惠来县八年级（上）期末数学试卷，共20页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
1．（3分）已知点P的坐标为（2﹣a，2a﹣1），且点P到两坐标轴的距离相等，则点P的坐标是（ ）
A．（1，1）B．（1，﹣1）
C．（3，﹣3）D．（1，1）或（3，﹣3）
2．（3分）下列计算正确的是（ ）
A．B．C．D．
3．（3分）下列命题是真命题的是（ ）
A．两点之间直线最短
B．相等的角是对顶角
C．若|a|＝|b|，则a＝b
D．若（a﹣1）2+（b+2）2＝0，则a＝1且b＝﹣2
4．（3分）甲、乙、丙、丁四人各进行20次射击测试，他们的平均成绩相同，方差分别是，＝0.6，，，则射击成绩最稳定的是（ ）
A．甲B．乙C．丙D．丁
5．（3分）若用图象法解二元一次方程组时所画的图象如图所示，则该方程组的解是（ ）
A．B．C．D．
6．（3分）如图，CE是△ABC的外角∠ACD的平分线，且∠B＝50°，∠E＝30°，CE交BA的延长线于点E，则∠BAC的度数是（ ）
A．60°B．90°C．110°D．130°
7．（3分）我国古代《算法统宗》里有这样一首诗：“我问开店李三公，众客都来到店中，一房七客多六客，一房八客一房空．”诗中后面两句的意思是：如果一间客房住7人，那么有6人无房可住；如果一间客房住8人，那么就空出一间客房，若设该店有客房x间，房客y人，则列出关于x、y的二元一次方程组正确的是（ ）
A．B．
C．D．
8．（3分）如图所示，两个体积不等的圆柱形水杯，大小水杯口均朝上，现往大水杯中均匀注水，注水过程中小水杯始终在原来位置，设水面上升高度为h，注水时间为t，下列图象能正确反应注水高度随时间变化关系（ ）
A．B．
C．D．
9．（3分）如图，三个正比例函数的图象分别对应的解析式是：①y＝ax，②y＝bx，③y＝cx，下列用“＜”表示a，b，c的不等关系正确的是（ ）
A．a＜b＜cB．c＜a＜bC．c＜b＜aD．a＜c＜b
10．（3分）如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，分别以各边为直径作半圆，图中阴影部分在数学史上称为“希波克拉底月牙”，当AC＝4，BC＝2时，则阴影部分的面积为（ ）
A．4B．4πC．8πD．8
二、填空题（共5小题，满分15分，每小题3分）
11．（3分）在平面直角坐标系中，直线y＝﹣2x+2经过点（a，b），则代数式2a+b＝ ．
12．（3分）关于x、y的方程组，则x+y的值为 ．
13．（3分）如图，直线a、b被直线c、d所截，若∠1＝∠2＝∠3＝60°，则∠4的大小是 度．
14．（3分）若a、b均为整数，当x＝﹣1时，代数式x2+ax+b的值为0，则ab的算术平方根为 ．
15．（3分）一组数据1，3，5，x的平均数与中位数相同，则x的值是 ．
三、解答题（一）（本大题3小题，每小题8分，共24分）
16．（8分）（1）计算：；
（2）解二元一次方程组：．
17．（8分）如图，点B，E，C，F在一条直线上，AC与DE相交于点O，AB＝DE，AB∥DE，BE＝CF．
（1）求证：AC∥DF；
（2）若∠B＝65°，∠F＝35°，求∠EOC的度数．
18．（8分）已知y﹣1与x+3成正比例，当x＝﹣1时，y＝3．
（1）求出y与x的函数关系式；
（2）设点（a，﹣2）在这个函数的图象上，求a的值．
（3）试判断点（﹣2，5）是否在此函数图象上，说明理由．
四、解答题（二）（本大题3小题，每小题9分，共27分）
19．（9分）美丽服装店购进A，B两种新式服装共25件，合计花费1900元，已知这两种服装的进价，标价如表所示．
（1）请利用二元一次方程组求这两种服装各购进的件数；
（2）如果A种服装按标价出售，B种服装按标价的8折出售，那么这批服装全部售完后，美丽服装店一共可获利多少元？
20．（9分）为进一步巩固提升文明城市创建成果，常态长效推进文明城市建设，长安区某中学举办了“文明长安，你我同行”的知识竞赛．经过对100名竞赛者成绩的分析，得到如图所示的两幅不完整的统计图（A：59分及以下；B：60～69分；C：70～79分；D：80～89分；E：90～100分），观察统计图，完成下列问题：
（1）成绩在59分及以下的有 人，在80～89分的有 人；
（2）补全条形统计图；
（3）在扇形统计图中，成绩在“60～69分”部分所对应的圆心角的度数是多少？
21．（9分）综合与实践
【问题情境】我们知道两个数的和为2，这两个数的平均数为1，按照这样简单的数学知识，我们给出一个新的数学概念，请仔细阅读理解，并且解答一些问题，若a+b＝2，则a与b的平均数是1，我们称a与b是关于1的平衡数．例如，3与﹣1是关于1的平衡数．
【思考尝试】
（1）4与 是关于1的平衡数；与 是关于1的平衡数；
【实践探究】
（2）m与n是关于1的平衡数，同时，m+3与2n﹣1也是关于1的平衡数，求m与n的值；
【拓展延伸】
（3）若，试判断与是否是关于1的平衡数，并说明理由．
五、解答题（三）（本大题2小题，每小题12分，共24分）
22．（12分）如图，已知直线l：y＝kx+b与x轴交于A（﹣3，0）、与y轴交于B点，且经过（1，8），在y轴上有一点C（0，3），动点D从点A以每秒1个单位的速度沿x轴向右移动，设动点D的移动时间为t秒．
（1）求k、b的值；
（2）当t为何值时△COD≌△AOB，并求此时点D的坐标；
（3）求△COD的面积S与动点D的移动时间t之间的函数关系式．
23．（12分）综合运用
【问题情景】
如图1，AB∥DC，点P在直线AB，CD之间，连接AP，CP．∠BAP＝60°，∠DCP＝20°，求∠APC的度数．小明的思路如下：先过点P作PE∥AB，再根据平行线的性质即可得到∠APE＝∠BAP，∠CPE＝∠DCP，进而得到∠APC＝∠APE+∠CPE＝∠BAP+∠DCP＝60°+20°＝80°．
【问题解决】
（1）如图2，AB∥DC，点P在直线AB，CD之间，连接AP，CP，∠BAP与∠DCP的平分线相交于点K．若∠APC＝88°，则∠AKC＝ ．
（2）在（1）的条件下，若∠APC＝α，求∠AKC的度数．
（3）如图3，AB∥DC，点P落在DC外，∠BAP与∠DCP的平分线相交于点K，若∠APC＝α，∠AKC＝β，试判断α和β存在的数量关系，并说明理由．
2024-2025学年广东省揭阳市惠来县八年级（上）期末数学试卷
参考答案与试题解析
一、选择题（共10小题，满分30分，每小题3分）
1．（3分）已知点P的坐标为（2﹣a，2a﹣1），且点P到两坐标轴的距离相等，则点P的坐标是（ ）
A．（1，1）B．（1，﹣1）
C．（3，﹣3）D．（1，1）或（3，﹣3）
【解答】解：∵点P的坐标为（2﹣a，2a﹣1），且点P到两坐标轴的距离相等，
∴|2a﹣1|＝|2﹣a|，
即2a﹣1＝2﹣a或2a﹣1＝﹣（2﹣a），
解得：a＝1或a＝﹣1，
∴点P的坐标是（1，1）或（3，﹣3）．
故选：D．
2．（3分）下列计算正确的是（ ）
A．B．C．D．
【解答】解：A．3与不能合并，所以A选项不符合题意；
B． ÷＝＝＝3，所以B选项符合题意；
C． ×＝＝，所以C选项不符合题意；
D 3﹣＝2，所以D选项不符合题意；
故选：B．
3．（3分）下列命题是真命题的是（ ）
A．两点之间直线最短
B．相等的角是对顶角
C．若|a|＝|b|，则a＝b
D．若（a﹣1）2+（b+2）2＝0，则a＝1且b＝﹣2
【解答】解：A、两点之间线段最短，两点之间直线最短是假命题，不符合题意；
B、相等的角不一定是对顶角，相等的角是对顶角是假命题，不符合题意；
C、若|a|＝|b|，则a＝±b，若|a|＝|b|，则a＝b是假命题，不符合题意；
D、若（a﹣1）2+（b+2）2＝0，则a＝1且b＝﹣2，原选项是真命题，符合题意；
故选：D．
4．（3分）甲、乙、丙、丁四人各进行20次射击测试，他们的平均成绩相同，方差分别是，＝0.6，，，则射击成绩最稳定的是（ ）
A．甲B．乙C．丙D．丁
【解答】解：∵s甲2＝0.8，s乙2＝0.6，s丙2＝0.9，s丁2＝1.0，
∴S乙2＜S甲2＜S丙2＜S丁2，
∴射击成绩最稳定的是乙；
故选：B．
5．（3分）若用图象法解二元一次方程组时所画的图象如图所示，则该方程组的解是（ ）
A．B．C．D．
【解答】解：观察图象可知两条直线的交点坐标为（﹣1，2），
所以二元一次方程组的解是．
故选：A．
6．（3分）如图，CE是△ABC的外角∠ACD的平分线，且∠B＝50°，∠E＝30°，CE交BA的延长线于点E，则∠BAC的度数是（ ）
A．60°B．90°C．110°D．130°
【解答】解：∵∠B＝50°，∠E＝30°，
∴∠DCE＝∠B+∠E＝80°，
∵CE是∠ACD的平分线，
∴∠ACD＝2∠DCE＝160°，
∴∠BAC＝∠ACD﹣∠B＝160°﹣50°＝110°．
故选：C．
7．（3分）我国古代《算法统宗》里有这样一首诗：“我问开店李三公，众客都来到店中，一房七客多六客，一房八客一房空．”诗中后面两句的意思是：如果一间客房住7人，那么有6人无房可住；如果一间客房住8人，那么就空出一间客房，若设该店有客房x间，房客y人，则列出关于x、y的二元一次方程组正确的是（ ）
A．B．
C．D．
【解答】解：设该店有客房x间，房客y人，
根据题意得：，
故选：D．
8．（3分）如图所示，两个体积不等的圆柱形水杯，大小水杯口均朝上，现往大水杯中均匀注水，注水过程中小水杯始终在原来位置，设水面上升高度为h，注水时间为t，下列图象能正确反应注水高度随时间变化关系（ ）
A．B．
C．D．
【解答】解：开始往大水杯中均匀注水时，水面上升高度升高得快，向小杯中注入水时水面停止上升，小水杯满后注入水的升高速度变慢，
故选：C．
9．（3分）如图，三个正比例函数的图象分别对应的解析式是：①y＝ax，②y＝bx，③y＝cx，下列用“＜”表示a，b，c的不等关系正确的是（ ）
A．a＜b＜cB．c＜a＜bC．c＜b＜aD．a＜c＜b
【解答】解：作直线x＝1如图所示，
则点A坐标为（1，b），点B坐标为（1，a），点C坐标为（1，c），
结合A，B，C三个点的位置可知，
c＜a＜b．
故选：B．
10．（3分）如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，分别以各边为直径作半圆，图中阴影部分在数学史上称为“希波克拉底月牙”，当AC＝4，BC＝2时，则阴影部分的面积为（ ）
A．4B．4πC．8πD．8
【解答】解：由勾股定理得，AB2＝AC2+BC2＝20，
则阴影部分的面积＝×AC×BC+×π×（）2+×π×（）2﹣×π×（）2
＝×2×4+×π××（AC2+BC2﹣AB2）
＝4，
故选：A．
二、填空题（共5小题，满分15分，每小题3分）
11．（3分）在平面直角坐标系中，直线y＝﹣2x+2经过点（a，b），则代数式2a+b＝ 2 ．
【解答】解：∵直线y＝﹣2x+2经过点（a，b），
∴b＝﹣2a+2，
∴2a+b＝2；
故答案为：2．
12．（3分）关于x、y的方程组，则x+y的值为 ﹣3 ．
【解答】解：将两个方程相加得：3x+3y＝﹣9，
则x+y＝﹣3，
故答案为：﹣3．
13．（3分）如图，直线a、b被直线c、d所截，若∠1＝∠2＝∠3＝60°，则∠4的大小是 120 度．
【解答】解：∵∠1＝∠3，
∴a∥b，
∵∠2＝60°，
∴∠3+∠5＝180°﹣60°＝120°，
∵a∥b，
∴∠4＝∠3+∠5＝120°．
故答案为：120．
14．（3分）若a、b均为整数，当x＝﹣1时，代数式x2+ax+b的值为0，则ab的算术平方根为 ．
【解答】解：当x＝﹣1时，代数式x2+ax+b的值为0，
∴（﹣1）2+a（﹣1）+b＝0，
6﹣2+a﹣a+b＝0，
∵a、b均为整数，
∴6﹣a+b＝0，﹣2+a＝0，
∴a＝2，b＝﹣4，
∴ab＝2﹣4＝，
∴则ab的算术平方根为：＝，
故答案为：．
15．（3分）一组数据1，3，5，x的平均数与中位数相同，则x的值是 ﹣1或3或7 ．
【解答】解：一组数据1，3，5，x，
这组数据的平均数为，
当x＜1时，这组数据的中位数为，
∴，
解得x＝﹣1；
当1≤x≤5时，这组数据的中位数为，
∴，
解得x＝3；
当x＞5时，这组数据的中位数为，
∴，
解得x＝7；
综上所述，x的值是﹣1或3或7．
故答案为：﹣1或3或7．
三、解答题（一）（本大题3小题，每小题8分，共24分）
16．（8分）（1）计算：；
（2）解二元一次方程组：．
【解答】解：（1）原式＝
＝；
（2），
①×3+②得11x＝22，
解得x＝2，
把x＝2代入①得y＝﹣1，
∴原二元一次方程组的解为．
17．（8分）如图，点B，E，C，F在一条直线上，AC与DE相交于点O，AB＝DE，AB∥DE，BE＝CF．
（1）求证：AC∥DF；
（2）若∠B＝65°，∠F＝35°，求∠EOC的度数．
【解答】证明：（1）∵AB∥DE，
∴∠B＝∠DEF，
∵BE＝CF，
∴BE+EC＝CF+EC，
∴BC＝EF，
在△ABC和△DEF中，
，
∴△ABC≌△DEF（SAS），
∴∠ACB＝∠F，
∴AC∥DF；
（2）解：由（1）得∠B＝∠DEF，∠ACB＝∠F，
∴∠DEF＝∠B＝65°，∠ACB＝∠F＝35°，
在△EOC中，∠DEF+∠ACB+∠EOC＝180°，
∴∠EOC＝180°﹣∠DEF﹣∠ACB＝180°﹣65°﹣35°＝80°．
18．（8分）已知y﹣1与x+3成正比例，当x＝﹣1时，y＝3．
（1）求出y与x的函数关系式；
（2）设点（a，﹣2）在这个函数的图象上，求a的值．
（3）试判断点（﹣2，5）是否在此函数图象上，说明理由．
【解答】解：（1）根据题意，设y﹣1＝k（x+3），
∵当x＝﹣1时，y＝3，
∴3﹣1＝k（﹣1+3），
解得：k＝1，
∴y﹣1＝x+3，即y＝x+4，
∴y与x的函数关系式为y＝x+4；
（2）将点（a，﹣2）代入y＝x+4得：﹣2＝a+4，
解得：a＝﹣6；
（3）当x＝﹣2时，y＝﹣2+4＝2≠5，
则点（﹣2，5）不在此函数的图象上．
四、解答题（二）（本大题3小题，每小题9分，共27分）
19．（9分）美丽服装店购进A，B两种新式服装共25件，合计花费1900元，已知这两种服装的进价，标价如表所示．
（1）请利用二元一次方程组求这两种服装各购进的件数；
（2）如果A种服装按标价出售，B种服装按标价的8折出售，那么这批服装全部售完后，美丽服装店一共可获利多少元？
【解答】解：（1）设购进x件A种服装，y件B种服装，
根据题意，得，
解方程组，得．
答：购进15件A种服装，10件B种服装；
（2）根据题意，得（100﹣60）×15+（160×0.8﹣100）×10
＝（100﹣60）×15+（128﹣100）×10
＝40×15+28×10
＝600+280
＝880（元）．
答：这批服装全部售完后，美丽服装店一共可获利880元．
20．（9分）为进一步巩固提升文明城市创建成果，常态长效推进文明城市建设，长安区某中学举办了“文明长安，你我同行”的知识竞赛．经过对100名竞赛者成绩的分析，得到如图所示的两幅不完整的统计图（A：59分及以下；B：60～69分；C：70～79分；D：80～89分；E：90～100分），观察统计图，完成下列问题：
（1）成绩在59分及以下的有 10 人，在80～89分的有 35 人；
（2）补全条形统计图；
（3）在扇形统计图中，成绩在“60～69分”部分所对应的圆心角的度数是多少？
【解答】解：（1）成绩在59分及以下的有：100×10%＝10（人），
在80～89分的有：100×35%＝35（人）；
故答案为：10；35；
（2）条形统计图如图所示．
（3）在扇形统计图中，“60﹣69分”部分所对应的圆心角的度数是：360°×＝72°．
21．（9分）综合与实践
【问题情境】我们知道两个数的和为2，这两个数的平均数为1，按照这样简单的数学知识，我们给出一个新的数学概念，请仔细阅读理解，并且解答一些问题，若a+b＝2，则a与b的平均数是1，我们称a与b是关于1的平衡数．例如，3与﹣1是关于1的平衡数．
【思考尝试】
（1）4与 ﹣2 是关于1的平衡数；与 ﹣3+ 是关于1的平衡数；
【实践探究】
（2）m与n是关于1的平衡数，同时，m+3与2n﹣1也是关于1的平衡数，求m与n的值；
【拓展延伸】
（3）若，试判断与是否是关于1的平衡数，并说明理由．
【解答】解：（1）由题意得，4+（﹣2）＝2，5﹣+（﹣3+）＝2，
∴4与﹣2是关于1的平衡数，5﹣与﹣3+是关于1的平衡数；
故答案为：﹣2，﹣3+；
（2）∵m与n是关于1的平衡数，m+3与2n﹣1也是关于1的平衡数，
∴，
解得；
（3）不是，
∵（m+）×（1﹣）＝m﹣m+﹣3，
又∵（m+）×（1﹣）＝﹣5+3，
∴m﹣m+﹣3＝﹣5+3，
∴m﹣m＝﹣2+2，
即 m（1﹣）＝﹣2（1﹣），
∴m＝﹣2，
∴（m+）+（5﹣）＝（﹣2+）+（5﹣）＝3，
∴（﹣2+）与（5﹣）不是关于1的平衡数．
五、解答题（三）（本大题2小题，每小题12分，共24分）
22．（12分）如图，已知直线l：y＝kx+b与x轴交于A（﹣3，0）、与y轴交于B点，且经过（1，8），在y轴上有一点C（0，3），动点D从点A以每秒1个单位的速度沿x轴向右移动，设动点D的移动时间为t秒．
（1）求k、b的值；
（2）当t为何值时△COD≌△AOB，并求此时点D的坐标；
（3）求△COD的面积S与动点D的移动时间t之间的函数关系式．
【解答】解：（1）将 （﹣3，0），（1，8）代入y＝kx+b得：，
解得：；
即k＝2，b＝6；
（2）∵k＝2，b＝6，
∴y＝2x+6，
令x＝0，则y＝6，
∴B（0，6），
∴OB＝6，
∵A（﹣3，0），
∴OA＝3，
∵△COD≌△AOB，
∴OD＝OB＝6，
∴D（6，0），
∴AD＝OA+OD＝3+6＝9，
∴t＝9，
∴t＝9s时△COD≌△AOB，
此时D的坐标为（6，0）；
（3）当D在x轴上运动时△COD是直角三角形，
∵C（3，0），
∴OC＝3，
当0≤t＜3时，OA＝3，AD＝t，
∴OD＝3﹣t，
∴S＝DO×OC＝×（3﹣t）×3＝﹣t；
当t≥3时，OA＝3，AD＝t，
∴OD＝t﹣3
∴S＝DO×OC＝×（t﹣3）×3＝﹣+t；
即S＝．
23．（12分）综合运用
【问题情景】
如图1，AB∥DC，点P在直线AB，CD之间，连接AP，CP．∠BAP＝60°，∠DCP＝20°，求∠APC的度数．小明的思路如下：先过点P作PE∥AB，再根据平行线的性质即可得到∠APE＝∠BAP，∠CPE＝∠DCP，进而得到∠APC＝∠APE+∠CPE＝∠BAP+∠DCP＝60°+20°＝80°．
【问题解决】
（1）如图2，AB∥DC，点P在直线AB，CD之间，连接AP，CP，∠BAP与∠DCP的平分线相交于点K．若∠APC＝88°，则∠AKC＝ 44° ．
（2）在（1）的条件下，若∠APC＝α，求∠AKC的度数．
（3）如图3，AB∥DC，点P落在DC外，∠BAP与∠DCP的平分线相交于点K，若∠APC＝α，∠AKC＝β，试判断α和β存在的数量关系，并说明理由．
【解答】解：（1）如图，过K作KE∥AB，
∵AB∥CD，
∴KE∥AB∥CD，
∴∠AKE＝∠BAK，∠CKE＝∠DCK，
∴∠AKC＝∠AKE+∠CKE＝∠BAK+∠DCK，
过P作PF∥AB，
同理可得∠APC＝∠BAP+∠DCP，
∵∠BAP 与∠DCP的角平分线相交于点K，
∴，，
∴，
∴，
∵∠APC＝88°，
∴，
故答案为：44°．
（2）根据解析（1）可知，
∵∠APC＝α，
∴；
（3）α＝2β，理由如下：
如图，过K作KE∥AB，
∵AB∥CD，
∴KE∥AB∥CD，
∴∠BAK＝∠AKE，∠DCK＝∠CKE，
∴∠AKC＝∠AKE﹣∠CKE＝∠BAK﹣∠DCK，
过P作PF∥AB，
同理可得∠APC＝∠BAP﹣∠DCP，
∵∠BAP 与∠DCP的角平分线相交于点K，
∴，，
∴，
∴2∠AKC＝∠APC，
∵∠APC＝α，∠AKC＝β，
∴α＝2β．类型价格
A型
B型
进价（元/件）
60
100
标价（元/件）
100
160
题号
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
答案
D
B
D
B
A
C
D
C
B
A
类型价格
A型
B型
进价（元/件）
60
100
标价（元/件）
100
160