专题一　微专题5　导数与不等式证明--2025年高考数学大二轮复习课件+讲义+专练

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导数与不等式证明是高考考查的重点内容，在解答题中一般会考查函数的单调性、极值和最值的综合运用，试题难度中等或偏上，若以压轴题出现，则难度较大.
单变量函数不等式的证明
双变量函数不等式的证明
(2)证明：xf(x)≥0.
利用导数证明或判定不等式问题常用方法(1)最值法：通过移项构造新函数或者等价变型构造新函数，求解新函数的最值，从而得出不等关系；(2)适当放缩构造法：根据已知条件适当放缩或利用常见放缩结论，从而判定不等关系；(3)凹凸反转法：把所证不等式转化为两个函数的大小关系，分别求解两个函数的最值，得到不等关系.
(2)若a=0，x>0，证明：f(x)>g'(x).
证明含双参不等式的关键：一是转化，即由已知条件入手，寻找双参所满足的关系式，并把含双参的不等式转化为含单参的不等式；二是构造函数，借助导数，判断函数的单调性，从而求其值；三是回归含双参的不等式的证明，把所求的最值应用到含参的不等式中，即可证得结果.
设m(x)=ex-1+x2-2x，x>1，m'(x)=ex-1+2x-2=ex-1+2(x-1)，当x>1时，m'(x)>0，∴m(x)在(1，+∞)上单调递增.∴m(x)>m(1)=0，∴G'(x)>0，∴G(x)在(1，+∞)上单调递增，G(x)>G(1)=0，由此可证，当x>1时，exln x>e(x-1)成立.
当a0，βα>0，当x∈(0，α)∪(β，+∞)时，f'(x)>0，f(x)在(0，α)，(β，+∞)上单调递增，当x∈(α，β)时，f'(x)1时，证明：exln x>e(x-1).
(2)若x1，x2(x1