2024-2025学年上海市上大附中高二（上）数学期末试卷及答案解析

这是一份2024-2025学年上海市上大附中高二（上）数学期末试卷及答案解析，共17页。
本卷为试题部分，考生应将试题答案写在答题纸上
一. 填空题（本大题共12题，满分54分，第1~6题每题4分，第7~12题每题5分）考生应在答题纸的相应编号位置直接填写结果．
1. 直线的倾斜角的大小是________．
【答案】##
【解析】
【分析】由方程确定直线的斜率，再由斜率与倾斜角关系求倾斜角.
【详解】由，可得，
所以直线的斜率为，设直线的倾斜角为，
则，又，
.
故答案为：.
2. 已知一个球的表面积为，则该球的半径为_______.
【答案】
【解析】
【分析】利用球的表面积公式，即可求出球的半径.
【详解】由题意，球的表面积为，设球的半径为，
则，解得.
故答案为：3.
3. 若圆锥的底面半径为3，母线长为5，则圆锥的侧面积是________．
【答案】
【解析】
【分析】根据圆锥侧面积公式即可求解.
【详解】圆锥的侧面积.
故答案为：.
4. 若圆与圆外切，则实数__________.
【答案】
【解析】
【分析】根据两圆的位置关系，确定圆心距等于半径和，由此得到方程： ，解方程即可求解.
【详解】圆，圆心，半径为，
圆，圆心，半径，，
因为两圆外切，所以，即，
整理有：，解得：.
故答案为：
5. 已知空间向量，，，若，则______．
【答案】
【解析】
【详解】，
，，，
解得，
故答案为：.
6. 某小组成员的年龄分布茎叶图如图所示，则该小组成员年龄的第25百分位数是________．
【答案】##
【解析】
【分析】根据茎叶图中数据，利用百分位数的定义计算即可.
【详解】因为，所以该小组成员年龄的第25百分位数是，
故答案为：.
7. 在正四面体中，直线与所成角的大小为________．
【答案】
【解析】
【分析】根据空间位置关系直接证明判断即可.
【详解】
如图所示，
取中点，连接，，
由已知为正四面体，
则，均为正三角形，
所以，，
所以平面，
故，
即直线与直线的夹角为，
故答案为：.
8. 某校共有400名学生参加了趣味知识竞赛（满分：150分），且每位学生的竞赛成绩均不低于90分．将这400名学生的竞赛成绩分组如下：，得到的频率分布直方图如图所示，则这400名学生中竞赛成绩不低于120分的人数为__________．
【答案】
【解析】
【分析】由频率分布直方图的面积和为求出，再计算出结果即可.
【详解】由频率分布直方图可知，解得，
这400名学生中竞赛成绩不低于120分的人数为，
故答案为：
9. 已知双曲线的左、右焦点分别为、，双曲线上的点在第一象限，且与双曲线的一条渐近线平行，则的面积为__________．

【答案】
【解析】
【分析】根据题意先求出直线的方程，再与双曲线方程联立求出点的坐标，即可根据三角形的面积公式求出的面积.
【详解】双曲线的焦点，渐近线方程为，
依题意，直线的方程为，
由，解得，则点的坐标为，
所以的面积为.
故答案为：
10. 如图，求一个棱长为的正四面体的体积，可以看成一个棱长为1的正方体截去四个角后得到，类比这种方法，一个三对棱长相等的四面体，其三对棱长分别为，则此四面体的体积为_______；
【答案】2
【解析】
【分析】设四面体所在的长方体棱长分别为a，b，c，则长方体的面对角线长为、、，利用勾股定理列出方程组，求出a，b，c的值，长方体截去四个角，即可求出四面体的体积．
【详解】设四面体所在的长方体棱长分别为a，b，c，则，解得，所以四面体的体积，故答案为2.
【点睛】本题运用类比的方法，考查锥体的体积求法，考查学生逻辑推理，计算化简的能力，难点在于根据题意，类比出四面体体积的求法，即长方体截去四个角后得到的体积，属基础题．
11. 如图，已知，分别是椭圆的左、右焦点，M，N为椭圆上两点，满足，且，则椭圆C的离心率为________．
【答案】
【解析】
【分析】如图，延长，与椭圆交于点L，连接，设可得，在中，用余弦定理可得到，继而得到，即可求解
【详解】设椭圆的半焦距为，
如图，延长，与椭圆交于点L，连接，
由，所以根据对称性可知，，
设，则，，
从而，故，
在中，，所以，
在中，，即，
所以，所以，所以离心率，
故答案为：
12. 已知空间向量、、满足：，，若，则的取值范围为________．
【答案】
【解析】
【分析】根据得到，根据求出，从而得到
【详解】因为，所以，
故，
，
故，
.
故答案为：
【点睛】平面向量解决几何最值问题，通常有两种思路：
①形化，即用平面向量的几何意义将问题转化为平面几何中的最值或取值范围问题，然后根据平面图形的特征直接进行求解；
②数化，即利用平面向量的运算，向量中的不等关系把问题转化为代数中的函数最值与值域，不等式的解集，方程有解等问题，然后利用函数，不等式，方程的有关知识进行求解.
二．选择题（本大题共有4题，满分18分，第13～14题每题4分，第15～16题每题5分）每题有且仅有一个正确选项，考生应在答题纸的相应编号位置将代表正确选项的小方格涂黑．
13. 已知直线：和：，则“”是“直线与直线垂直”的（ ）
A. 充分非必要条件B. 必要非充分条件
C. 充要条件D. 既非充分也非必要条件
【答案】A
【解析】
【分析】利用两直线的方向向量垂直得出两直线垂直的充要条件，即可判断.
【详解】直线、的方向向量分别为、，由解得或5，
故直线与直线垂直的充要条件为或5，故“”是“直线与直线垂直”的充分非必要条件.
故选：A
14. 为直线，为平面，则下列命题中为真命题的是
A. 若，，则 B. 则，，则
C. 若，，则D. 则，，则
【答案】B
【解析】
【分析】根据空间中平面和直线平行和垂直的位置关系可依次通过反例排除，从而得到结果.
【详解】选项：若，则与未必平行，错误
选项：垂直于同一平面的两条直线互相平行，正确
选项：垂直于同一平面的两个平面可能相交也可能平行，错误
选项：可能与平行或相交，错误
本题正确选项：
【点睛】本题考查空间中直线与直线、直线与平面、平面与平面位置关系的相关命题的判定，通常通过反例，采用排除法的方式来得到结果，属于基础题.
15. 对于一个古典概型的样本空间和事件、、、，其中，，，，，，，，则（ ）（注：表示集合的元素个数）
A. 与不互斥B. 与互斥但不对立
C. 与互斥D. 与相互独立
【答案】D
【解析】
【分析】由已知条件结合事件的运算判断事件间的互斥、对立关系，根据的关系判断事件是否独立.
【详解】对于A，因为，，，
则，故A、B互斥，A错误；
对于B，因，所以A、D互斥且对立，B错误；
对于C，因为，，A、D对立，
则，C与D不互斥，C错误；
对于D，由，，，
所以，即A与C相互独立，D正确.
故选：D.
16. 灯笼起源于中国的西汉时期，两千多年来，每逢春节人们便会挂起象征美好团圆意义的红灯笼，营造一种喜庆的氛围.如图1，某球形灯笼的轮廓由三部分组成，上下两部分是两个相同的圆柱的侧面，中间是球面的一部分（除去两个球缺）.如图2，“球缺”是指一个球被平面所截后剩下的部分，截得的圆面叫做球缺的底，垂直于截面的直径被截得的一段叫做球缺的高.已知球缺的体积公式为，其中是球的半径，是球缺的高.已知该灯笼的高为40cm，圆柱的高为4cm，圆柱的底面圆直径为24cm，则该灯笼的体积为（取）（ ）
A B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】由勾股定理求出，则可得，分别求出两个圆柱的体积、灯笼中间完整的球的体积与球缺的体积即可得..
【详解】该灯笼去掉圆柱部分的高为，则，
由圆柱的底面圆直径为24cm，则有，
即，可得，则，
.
故选：A．
三、解答题（本大题共有5题，满分78分）解答下列各题必须在答题纸的相应位置写出必要的步骤．
17. 已知抛物线：的焦点为．
（1）求抛物线的焦点坐标和准线方程；
（2）过焦点直线与抛物线交于、两点，若，求线段AB的长．
【答案】（1）焦点坐标，准线方程为x=−1；
（2）．
【解析】
【分析】（1）由题意，根据所给抛物线的方程进行求解即可；
（2）先根据定义求出点的横坐标，进而可得点的纵坐标，设出直线的方程，将直线的方程与抛物线方程联立，利用韦达定理和焦半径公式求解即可．
【小问1详解】
因为，解得，
则抛物线的焦点坐标F1,0，准线方程为x=−1；
【小问2详解】
不妨设，，
因为，所以，
当x=2时，解得，
不妨令，,
此时直线的方程为，
联立，消去并整理得，
由韦达定理得，
则．
18. 如图，已知在四棱柱中，平面，、分别是、的中点．
（1）求证：平面；
（2）若底面为梯形，，异面直线与所成角为，求三棱锥的体积.
【答案】（1）证明见解析
（2）
【解析】
【分析】（1）先证明平行四边形再应用线面平行的判定定理证明即可；
（2）结合线面垂直判定定理及线面平行判定定理应用三棱锥体积公式计算即可
【小问1详解】
连接交于点，连接，，
在四棱柱中，四边形，为平行四边形，所以为的中点，
又、分别是、的中点，
所以且，且，
所以且，所以四边形为平行四边形，
所以，又平面，平面，所以平面；
【小问2详解】
异面直线与所成角为，则
又因为平面，则平面，
平面，所以，
因为平面，所以平面，
因为，又平面，平面，所以平面，
所以到平面的距离等于到平面的距离，
.
19. 校高一年级共有学生330名，为了解该校高一年级学生的身高情况，学校采用分层随机抽样的方法抽取66名学生，其中女生32名，男生34名，测量他们的身高．
（1）该校高一学生中男、女生各有多少名？
（2）在32名女生身高的数据中，其中一个数据记录有误，错将165cm记录为156cm，由错误数据求得这32个数据的平均数为161cm，方差为23.6875，求原始数据的平均数及方差（平均数结果保留精确值，方差结果精确到0.01）．
【答案】（1）男生共有名，女生共有名．
（2）原始数据的平均数（cm），方差
【解析】
【分析】（1)根据分层抽样步骤，由题中条件，可直接得出结果；
（2）先设原始的32个数据为，根据错误数据的平均数与原始数据平均数之间关系，求出原始数据的平均数；根据错误数据的方差与原始数据的方差之间关系，可求出原始数据的方差.
【详解】（1）该校高一学生中，男生共有名，
女生共有名．
（2）设原始的32个数据为，其中，
由错误数据的平均数，
得原始数据的平均数（cm）．
由，
得，
故．
20. 如图，在四棱锥中，底面为正方形，底面，，且.
（1）求证：；
（2）当为钝角时，求实数的取值范围；
（3）若二面角的大小为，求点到平面的距离.
【答案】（1）证明见解析
（2）
（3）
【解析】
【分析】（1）建立空间直角坐标系，由，即可证明；
（2）首先求出点坐标，即可表示出，，依题意可得，即可求出的取值范围；
（3）利用空间向量法求出二面角二余弦值，即可求出，从而得到平面的法向量，再由向量法求出点到平面的距离.
【小问1详解】
因为底面为正方形，底面，
如图以点为坐标原点，、、分别为轴、轴、轴建立空间直角坐标系，
则，
所以，
因为，
所以；
【小问2详解】
因为，
所以，
所以，，
当为钝角时，，
化简得，解得，
显然不平行，所以；
【小问3详解】
因为，，显然，
设是平面的一个法向量，
则，
令，则，则，
又平面的一个法向量为，
则有，解得，
又由已知，所以.
所以，，
由，
所以点到平面的距离为.
21. 已知椭圆的左、右焦点分别为、，过坐标原点的直线交椭圆于A、两点，点A在第一象限．
（1）若，求点A的坐标；
（2）求的取值范围；
（3）若轴，垂足为，连结并延长交椭圆于点，求面积的最大值．
【答案】（1）
（2）
（3）
【解析】
【分析】（1）设直线，结合椭圆方程整理可得，代入运算求解即可；
（2）根据向量的坐标运算结合椭圆方程可得，结合二次函数求范围即可；
（3）利用点差法可得，利用夹角公式可得，结合（1）中结论求得，并构建函数，利用导数求最值.
【小问1详解】
由椭圆方程可知：，则，
设直线，，
可得，解得，
则，解得，
则，即，所以.
【小问2详解】
因为，
可得，
则，
因为，则，
可得，
所以的取值范围为.
【小问3详解】
设，
由题意可知：，
则，且，
因为点均在椭圆上，则，两式相减得，
整理可得，即，
则，即，可知，
又因为，则，
可得面积
，
设，则，
当时，；当时，；
可知在0,1内单调递增，在1,+∞内单调递减，则，
所以面积的最大值为.
【点睛】方法点睛：与圆锥曲线有关的最值问题的两种解法
1.数形结合法：根据待求值的几何意义，充分利用平面图形的几何性质求解；
2.构建函数法：先引入变量，构建以待求量为因变量的函数，再求其最值，常用基本不等式或导数法求最值(注意：有时需先换元后再求最值)．