湖南省长沙市浏阳市重点校联考2024届高三下学期期中测试数学试卷

这是一份湖南省长沙市浏阳市重点校联考2024届高三下学期期中测试数学试卷，共9页。

注意事项：
1.答题前，考生务必用黑色碳素笔将自己的姓名、准考证号、考场号、座位号在答题卡上填写清楚。
2.考生必须把所有的答案填写在答题卡上，答在试卷上的答案无效。
3.选择题每小题选出答案后，用 2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案选项框涂黑。如需改动,用橡皮擦擦干净后，再选涂其它答案选项框，不要填涂和勾划无关选项。其他试题用黑色碳素笔作答，答案不要超出给定的答题框。
一、单选题(本大题共8小题，每题5分，共40分，每小题只有一个选项符合题意)
1．已知复数满足，则的虚部为（ ）
A．B．C．3D．
2．已知集合，，则（ ）
A．B．C．D．
3．已知是定义在上的函数，则“是上的偶函数”是“都是上的偶函数”的（ ）
A．充分不必要条件B．必要不充分条件
C．充要条件D．既不充分也不必要条件
4．在平行四边形中，已知，且，则向量与的夹角的余弦值为（ ）
A．B．0C．D．
5．讲桌上放有两摞书，一摞3本，另一摞4本，现要把这7本不同的书发给7个学生，每位学生一本书，每次发书只能从其中一摞取最上面的一本书，则不同取法的种数为（ ）
A．20B．30C．35D．210
6．函数的部分图象大致如图，则图象的一条对称轴为（ ）
B．C．D．
7．设，，，，则（ ）
A．B．
C．D．
8．在四棱锥中，平面，且二面角的大小为，．若点均在球的表面上，则球的体积的最小值为（ ）
A．B．C．D．
二、多选题(本大题共 4 小题，每题5分，共 20 分，每小题有多个选项符合题意，全部选对得 5分，部分选对的得2分，有选错的得0分)
9．已知在数列中，，，则下列结论正确的是（ ）
A．是等差数列B．是递增数列
C．是等差数列D．是递增数列
10．医用口罩面体分为内、中、外三层，内层为亲肤材质，中层为隔离过滤层，外层为特殊材料抑菌层.根据国家质量监督检验标准，医用口罩的过滤率是重要的指标，根据长期生产经验，某企业在生产线状态正常情况下生产的医用口罩的过滤率（ ）
，（，，）
A．
B．
C．
D．假设生产状态正常，记表示抽取的100只口罩中过滤率大于的数量，则
11．已知直线经过抛物线的焦点，且与交于、两点（其中），与的准线交于点，若，则下列结论正确的为（ ）
A．B．
C．D．为中点
12．已知函数，设，若对任意不相等的正数，，恒有，则实数的取值可能是（ ）
A．B．C．D．
三、填空题(本大题共4小题，每题5分，共20分)
13．已知，则 ．
14．在中，，是线段上一点，若，则实数的值为 .
15．已知函数，的定义域均为，且，．若的图象关于直线对称，且，有四个结论①；②4为的周期；③的图象关于对称；④，正确的是______（填写题号）．
16．已知双曲线方程是，过的直线与双曲线右支交于，两点（其中点在第一象限），设点、分别为、的内心，则的范围是 .
四、解答题(本大题共6 小题，共 70分，17题为10分，18-22每题12分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤)
17．设等比数列的前项和为，已知，.
(1)求数列的通项公式；
(2)设，求数列的前项和.
18．记△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且 3c=3acsB-asinB ．
(1)求A的大小；
(2)若A的角平分线交BC于D，且AD＝3，求△ABC面积的最小值．
19．如图，在四棱锥中，底面为正方形，平面，为线段的中点，且.
（1）求证：平面；
（2）求平面与平面所成锐二面角的余弦值.
20．厂家在产品出厂前，需对产品做检验，第一次检测厂家的每件产品合格的概率为，如果合格，则可以出厂；如果不合格，则进行技术处理，处理后进行第二次检测.每件产品的合格率为，如果合格，则可以出厂，不合格则当废品回收.
求某件产品能出厂的概率；
若该产品的生产成本为元/件，出厂价格为元/件，每次检测费为元/件，技术处理每次元/件，回收获利元/件.假如每件产品是否合格相互独立，记为任意一件产品所获得的利润，求随机变量的分布列与数学期望.
21．欧几里德生活的时期，人们就发现椭圆有如下的光学性质:从椭圆的一个焦点射出的光线，经椭圆内壁反射后必经过该椭圆的另一焦点.现有椭圆，长轴长为，从的左焦点发出的一条光线，经内壁上一点反射后恰好与轴垂直，且.
(1)求的方程;
(2)设点，若斜率不为0的直线与交于点均异于点，且在以MN为直径的圆上，求到距离的最大值.
22．已知函数.
（1）若，函数的极大值为，求实数的值；
（2）若对任意的，，在上恒成立，求实数的取值范围.
参考答案
1-12CBABCDBC CD ACD BD ACD
13．.
14．
15．①②③④
16．
17．（1）设等比数列的公比为，
①，，
当时，有，
当时，②，
由①②得，即，
，，
，
得
（2）由（1）得，则，
，，
，
．
18．(1)由正弦定理，得 3sinC=3sinAcsB-sinAsinB ，
得 3sinA+B=3sinAcsB+3csAsinB=3sinAcsB-sinAsinB ，
得 3csAsinB=-sinAsinB ，
因为 A,B∈0,π∴sinB≠0 ，所以 tanA=-3 ，即 A=2π3 .
(2)因为 S△ABC=12bcsin2π3=12b⋅ADsinπ3+12c⋅ADsinπ3 ，
所以 bc=3b+3c .
因为 bc=3b+3c≥6bc ，即 bc≥36 （当且仅当b＝c＝6时，等号成立），
所以 S△ABC=34bc≥93 ．故△ABC面积的最小值为 93 .
19．
(1)连接交于，连接，
因为四边形为正方形，所以为的中点，
又因为为线段的中点，所以，
因为平面，平面，
所以平面；
(2) 以为原点，以向量所在直线为轴，
过作的垂线为轴建立空间直角坐标系（如图）
则,
因为，所以，，
则，
在中：可知：，
又因为为线段的中点，所以，
设平面的法向量为，则
即令，则，，
即，
又因为平面的法向量，
设平面与平面所成锐二面角为，
则，
所以平面与平面所成锐二面角的余弦值为
20．
解：设事件为“某件产品第一次检验合格”，事件为“某件产品第二次检验合格”，则，
.
所以某件产品能够出厂的概率.
由已知，若该产品不合格，则，
该产品经过第二次检验才合格，则，
该产品第一次检验合格，则，
所以的所有可能取值为，400，600.
，
，
.
的分布列为
元.
21．（1）不妨设是的右焦点,
则轴,
又,
,
不妨设点,则,
又,
的方程为.
（2）设,直线的方程为,
由，整理得,
则
故,
点在以MN为直径的圆上,
，
，
,
,
即,
整理得:,
,
或,
当时,直线,过定点,
易知点在椭圆内,
当时,直线,过定点,
此时定点为点，两点中的一个与点重合,所以舍去,
直线方程:, 且直线恒过定点
点到的距离最大值为.
22．
（1）由题意，
.
①当时，，
令，得；，得，
所以在单调递增单调递减.
所以的极大值为，不合题意.
②当时，，
令，得；，得或，
所以在单调递增，，单调递减.
所以的极大值为，得.
综上所述.
（2）令，
当时，，
故上递增，
原问题上恒成立
①当时，，，，
此时，不合题意.
②当时，令，，
则，其中，，
令，则在区间上单调递增
（ⅰ）时，，
所以对，，从而在上单调递增，
所以对任意，，
即不等式在上恒成立.
（ⅱ）时，由，及在区间上单调递增，
所以存在唯一的使得，且时，.
从而时，，所以在区间上单调递减，
则时，，即，不符合题意.
综上所述，.