2025年中考数学一轮复习学案：4.4 锐角三角函数 （学生版+教师版）

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4.4 锐角三角函数
☆☆☆ 代表必考点，☆☆代表常考点，☆星表示选考点。

夯实基础
考点1 特珠角的三角函数值
1.锐角∠A的正弦、余弦、正切的定义
如图，在 Rt△ABC 中，∠C＝90°。
（1）我们把锐角 A 的对边与_____的比叫做∠A的正弦，记作 sin A 即
sin A==，
（2）我们把锐角A的_____与斜边的比叫做∠A的余弦，记作csA，
cs A==，
（3）我们把锐角A的对边与_____的比叫做 ∠A 的正切，记作 tanA， 即
tan A==．
2.锐角三角函数的定义
sin A、cs A、tan A分别叫做锐角∠A的正弦、余弦、正切，统称为锐角∠A的三角函数．
3. 30°、45°、60°角的三角函数值
4. 通过三角函数值求角度
考点2 直角三角形的边角关系
1. 解直角三角形
由直角三角形中的已知元素，求出其余未知元素的过程，叫作解直角三角形。
注意：在直角三角形中，除直角外有个元素（即3条边、2个锐角），只要知道其中的2个元素（至少有1个是边），就可以求出其余的3个未知元素。
2. 直角三角形中边角关系
在直角三角形ABC中，如果∠C=90°，∠A，∠B，∠C所对的边分别为a，b，c，那么
（1）三边之间的关系为__________（勾股定理）
（2）锐角之间的关系为∠A+∠B=_____
（3）_____角所对直角边等于斜边的一半。
（4）直角三角形斜边上的_____等于斜边的一半。
（5）边角之间的关系为：（三角函数定义）
3. 其他有关公式
（1）==
（2）Rt△面积公式：
（3）直角三角形外接圆的半径，内切圆半径
（4）直角三角形斜边上的高
【方法总结1】解直角三角形的常见类型及一般解法
只要知道五个元素中的两个元素（至少有一个是边），就可以求出余下的三个未知元素.
【方法总结2】当用三角函数定义求角的三角函数值时，首先要判断这个三角形是否为直角三角形，若是，还应明确哪个角是直角，切忌硬套定义式．对于复杂问题，需要构造直角三角形，将所考查的角置身在这个直角三角形中．
方法总结1：结合平面直角坐标系求某角的正弦、余弦、正切，函数值，一般过已知点向x轴或y轴作垂线，构造直角三角形，再结合勾股定理求解。
方法总结2：已知一边及其邻角的正弦、余弦、正切，函数值时，一般需结合方程思想和勾股定理，解决问题。
方法总结3：在没有明确三角形是直角三角形的前提下，首先判定三角形是不是直角三角形，在明确三角形是直角三角形的条件下，再使用锐角三角函数定义进行解证，否则，通过分割或补形法转换成直角三角形。
方法总结4：依据同角或等角的三角函数值相等的性质，将一个的三角函数值用另一个等角的三角函数值替换。
考点3 锐角三角函数的实际应用
1. 仰角和俯角：在进行测量时，从_____看，视线与水平线的夹角叫做仰角；从_____看，视线与水平线的夹角叫做俯角。
2. 方位角：以正南或正北方向为准，正南或正北方向线与目标方向线构成的小于____的角，叫做方位角。如图所示：
3. 坡度，坡角
（1）如图：坡面的铅垂高度（h）和水平长度（l）的比叫做坡面_____.记作i，即i=h/l
（2）坡面与水平面的夹角叫做____，记作α，有i=tanα.
坡度通常写成1∶m的形式，如i=1∶6.
显然，坡度越大，坡角α就越大，坡面就越陡.
4. 利用解直角三角形的知识解决实际问题的一般过程是：
① 将实际问题抽象为数学问题（画出平面图形，转化为解直角三角形的问题）；
② 根据条件的特点，适当选用锐角三角函数等去解直角三角形；
③ 得到数学问题的答案；
④ 得到实际问题的答案．
5. 利用三角函数测高
(1) 测量底部可以到达的物体的高度步骤：
①在测点A安置测倾器，测得M的仰角∠MCE=α；
②量出测点A到物体底部N的水平距离AN=l；
③量出测倾器的高度AC=a，可求出
MN=ME+EN=l·tanα+a.
(2) 测量东方明珠的高度的步骤是怎么样的呢？
①在测点A处安置测倾器，测得此时M的仰角∠MCE=α；
②在测点A与物体之间的B处安置测倾器，测得此时M的仰角∠MDE=β；
③量出测倾器的高度AC=BD=a，以及测点A，B之间的距离 AB=b.根据测量数据，求出物体MN的高度.
考点1 特珠角的三角函数值
【例题1】（2024天津市）的值等于（ ）
A. B. C. D.
【变式练1】（2024大连一模）2sin45°的值等于（ ）
A．1B．C．D．2
【变式练2】（2024大庆一模）计算：cs245°+sin245°=（ ）
A． B．1C．D．
【变式练3】（2024沈阳一模）已知α、β均为锐角，且满足|sinα﹣|+=0，则α+β= ．
考点2 直角三角形的边角关系
【例题2】（2024甘肃临夏）如图，在中，，，则的长是（ ）
A. 3B. 6C. 8D. 9
【变式练1】（2024云南一模）如图，在△ABC中，AD是BC上的高，，
(1) 求证：AC=BD；
(2)若，BC=12，求AD的长．
【变式练2】（2024广西一模）如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，∠B=56°，则∠A的度数为（ ）
A. B. C. D.
考点3 锐角三角函数的实际应用
【例题3】（2024福建省）无动力帆船是借助风力前行的．下图是帆船借助风力航行的平面示意图，已知帆船航行方向与风向所在直线的夹角为，帆与航行方向的夹角为，风对帆的作用力为．根据物理知识，可以分解为两个力与，其中与帆平行的力不起作用，与帆垂直的力仪可以分解为两个力与与航行方向垂直，被舵的阻力抵消；与航行方向一致，是真正推动帆船前行的动力．在物理学上常用线段的长度表示力的大小，据此，建立数学模型：，则______．（单位：）（参考数据：）
【变式练1】（2024长春一模）如图是长春市人民大街下穿隧道工程施工现场的一台起重机的示意图，该起重机的变幅索顶端记为点A，变幅索的底端记为点B，垂直地面，垂足为点D，，垂足为点C．设，下列关系式正确的是（ ）
A. B. C. D.
【变式练2】（2024湖北武汉一模）如图，为了测量山顶铁塔AE的高，小明在27m高的楼CD底部D测得塔顶A的仰角为45°，在楼顶C测得塔顶A的仰角36°52′．已知山高BE为56m，楼的底部D与山脚在同一水平线上，求该铁塔的高AE．(参考数据：sin36°52′≈0.60，tan36°52′≈0.75)
【变式练3】（2024山东烟台一模）如图，某海域中有A，B，C三个小岛，其中A在B的南偏西40°方向，C在B的南偏东35°方向，且B，C到A的距离相等，则小岛C相对于小岛A的方向是（ ）
A. 北偏东70°B. 北偏东75°C. 南偏西70°D. 南偏西20°
【变式练4】（2024江苏扬州一模）如图，垂直于水平面的5G信号塔AB建在垂直于水平面的悬崖边B点处，某测量员从山脚C点出发沿水平方向前行78米到D点（点A，B，C在同一直线上），再沿斜坡DE方向前行78米到E点（点A，B，C，D，E在同一平面内），在点E处测得5G信号塔顶端A的仰角为43°，悬崖BC的高为144.5米，斜坡DE的坡度（或坡比）i＝1：2.4，则信号塔AB的高度约为（ ）
（参考数据：sin43°≈0.68，cs43°≈0.73，tan43°≈0.93）
A．23米B．24米C．24.5米D．25米
考点1. 特珠角的三角函数值
1. （2024深圳）计算：．
考点2. 直角三角形的边角关系
1. （2024云南省）在中，∠B=90°，已知，则的值为（ ）
A. B. C. D.
2. （2024四川达州）如图，由8个全等的菱形组成的网格中，每个小菱形的边长均为2，，其中点，，都在格点上，则的值为（ ）
A. 2B. C. D. 3
3. （2024湖南省）如图，左图为《天工开物》记载的用于春（chōng）捣谷物的工具——“碓（duì）”的结构简图，右图为其平面示意图，已知于点B，与水平线l相交于点O，．若分米，分米．，则点C到水平线l的距离为________分米（结果用含根号的式子表示）．
4. （2024深圳）如图，在中，，，D上一点，且满足，过D作交延长线于点E，则________．
考点3. 锐角三角函数的实际应用
1. （2024深圳）如图，为了测量某电子厂的高度，小明用高的测量仪测得的仰角为，小军在小明的前面处用高的测量仪测得的仰角为，则电子厂的高度为（ ）（参考数据：，，）
A. B. C. D.
2. （2024黑龙江绥化）如图，用热气球的探测器测一栋楼的高度，从热气球上的点测得该楼顶部点的仰角为，测得底部点的俯角为，点与楼的水平距离，则这栋楼的高度为______m（结果保留根号）．
3. （2024江苏盐城）如图，小明用无人机测量教学楼的高度，将无人机垂直上升距地面的点P处，测得教学楼底端点A的俯角为，再将无人机沿教学楼方向水平飞行至点Q处，测得教学楼顶端点B的俯角为，则教学楼的高度约为________m．（精确到，参考数据：，，）

4. （2024广州）2024年6月2日，嫦娥六号着陆器和上升器组合体（简称为“着上组合体”）成功着陆在月球背面．某校综合实践小组制作了一个“着上组合体”的模拟装置，在一次试验中，如图，该模拟装置在缓速下降阶段从点垂直下降到点，再垂直下降到着陆点，从点测得地面点的俯角为，米，米．
（1）求的长；
（2）若模拟装置从点以每秒2米的速度匀速下降到点，求模拟装置从点下降到点的时间．（参考数据：，，）
5. （2024重庆市A）如图，甲、乙两艘货轮同时从港出发，分别向，两港运送物资，最后到达港正东方向的港装运新的物资．甲货轮沿港的东南方向航行海里后到达港，再沿北偏东方向航行一定距离到达港．乙货轮沿港的北偏东方向航行一定距离到达港，再沿南偏东方向航行一定距离到达港．（参考数据：，，）
（1）求，两港之间的距离（结果保留小数点后一位）；
（2）若甲、乙两艘货轮的速度相同（停靠、两港的时间相同），哪艘货轮先到达港？请通过计算说明．
6. （2024重庆市B）如图，，，，分别是某公园四个景点，在的正东方向，在的正北方向，且在的北偏西方向，在的北偏东方向，且在的北偏西方向，千米．（参考数据：，，）

（1）求的长度（结果精确到千米）；
（2）甲、乙两人从景点出发去景点，甲选择的路线为：，乙选择的路线为：．请计算说明谁选择的路线较近？
7. （2024甘肃临夏）乾元塔（图1）位于临夏州临夏市的北山公园内，共九级，为砼框架式结构，造型独特别致，远可眺太子山露骨风月，近可收临夏市城建全貌，巍巍峨峨，傲立苍穹．某校数学兴趣小组在学习了“解直角三角形”之后，开展了测量乾元塔高度的实践活动．为乾元塔的顶端，，点，在点的正东方向，在点用高度为1.6米的测角仪（即米）测得点仰角为，向西平移14.5米至点，测得点仰角为，请根据测量数据，求乾元塔的高度．（结果保留整数，参考数据：，，）
8. （2024甘肃威武）习近平总书记于2021年指出，中国将力争2030年前实现碳达峰、2060年前实现碳中和．甘肃省风能资源丰富，风力发电发展迅速．某学习小组成员查阅资料得知，在风力发电机组中，“风电塔筒”非常重要，它的高度是一个重要的设计参数．于是小组成员开展了“测量风电塔筒高度”的实践活动．如图，已知一风电塔筒垂直于地面，测角仪，在两侧，，点C与点E相距 （点C，H，E在同一条直线上），在D处测得简尖顶点A的仰角为，在F处测得筒尖顶点A的仰角为．求风电塔筒的高度．（参考数据：，，．）
9. （2024贵州省）综合与实践：小星学习解直角三角形知识后，结合光的折射规律进行了如下综合性学习．
【实验操作】
第一步：将长方体空水槽放置在水平桌面上，一束光线从水槽边沿A处投射到底部B处，入射光线与水槽内壁的夹角为；
第二步：向水槽注水，水面上升到的中点E处时，停止注水．（直线为法线，为入射光线，为折射光线．）
【测量数据】
如图，点A，B，C，D，E，F，O，N，在同一平面内，测得，，折射角．
【问题解决】
根据以上实验操作和测量的数据，解答下列问题：
（1）求的长；
（2）求B，D之间的距离（结果精确到0.1cm）．
（参考数据：，，）
考点1. 特珠角的三角函数值
1. = ______.
考点2. 直角三角形的边角关系
1. 如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，AB=10，sin A=.求BC的长和tan B的值．
2. （2022广西贺州）如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，∠B=56°，则∠A的度数为（ ）
A. B. C. D.
3. （2022江苏扬州）在中，，分别为的对边，若，则的值为__________．
4. 如图，已知在Rt△ABC中，∠C＝Rt∠，AB＝5，BC＝3．求AC的长和sinA的值．
考点3. 锐角三角函数的实际应用
1．如图，小明利用学到的数学知识测量大桥主架在水面以上的高度，在观测点处测得大桥主架顶端的仰角为30°，测得大桥主架与水面交汇点的俯角为14°，观测点与大桥主架的水平距离为60米，且垂直于桥面．（点在同一平面内）

（1）求大桥主架在桥面以上的高度；（结果保留根号）；
（2）求大桥主架在水面以上的高度．（结果精确到1米）（参考数据）
2. 如图，岛在A岛的北偏东方向，岛在岛的北偏西方向，则的大小是_____．
3. 如图，为了测量河对岸A，B两点间的距离，数学兴趣小组在河岸南侧选定观测点C，测得A，B均在C的北偏东37°方向上，沿正东方向行走90米至观测点D，测得A在D的正北方向，B在D的北偏西53°方向上．求A，B两点间的距离．参考数据：，，．
4．如图，A，B是海面上位于东西方向的两个观测点，有一艘海轮在C点处遇险发出求救信号，此时测得C点位于观测点A的北偏东45°方向上，同时位于观测点B的北偏西60°方向上，且测得C点与观测点A的距离为25海里．
（1）求观测点B与C点之间的距离；
（2）有一艘救援船位于观测点B的正南方向且与观测点B相距30海里的D点处，在接到海轮的求救信号后立即前往营救，其航行速度为42海里/小时，求救援船到达C点需要的最少时间．
考点分布
考查频率
命题趋势
考点1 特珠角的三角函数值
☆
数学中考中，有关锐角三角函数的部分，每年考查1~2道题,分值为3~10分，通常以选择题、填空题、解答题的形式考查。锐角三角函数的实际应用属于全国各省市必考题，希望复习时强化训练。
考点2 直角三角形的边角关系
☆☆
考点3 锐角三角函数的实际应用
☆☆☆
Rt△ABC中的已知条件
一般解法
两边
两直角边a，b
(1)；
(2)由求出∠A；
(3)∠B=90−∠A.
一直角边a，斜边c
(1)；
(2)由求出∠A；
(3)∠B=90−∠A.
一边一锐角
一直角边a，锐角A
(1)∠B=90−∠A；
(2)；
(3).
斜边c，锐角A
(1)∠B=90−∠A；
(2)a=c·sin A；
(3)b=c·cs A.