2025年中考数学一轮复习学案：5.1 圆的有关概念和性质 （学生版+教师版）

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5.1 圆的有关概念和性质
☆☆☆ 代表必考点，☆☆代表常考点，☆星表示选考点。

夯实基础
考点1. 圆的有关概念及性质
（一）圆的定义和性质
1.圆的旋转定义：在一个平面内，线段OA绕它固定的一个端点O旋转一周，另一个端点__所形成的图形叫做圆．以点O为圆心的圆，记作“⊙O”，读作“圆O”.
2.圆的集合定义：圆心为O、半径为r的圆可以看成是所有到定点O的距离___定长r的点的集合．
3.圆心与半径：固定的端点O叫做圆心，线段OA叫做半径，一般用r表示．
4.圆的对称性：
（1）圆是______图形，经过圆心的每一条直线都是它的对称轴；
（2）圆是以圆心为对称中心的_______图形。
【注意】（1）圆心相同且半径相等的圆叫做______；
（2）圆心相同，半径不相等的两个圆叫做_______；
（3）半径相等的圆叫做______。
（二）与圆有关的概念
1. 弦的概念：连结圆上任意两点的_____叫做弦(如图中的AC)。
2. 直径的概念：经过______的弦叫做直径（如图中的AB）。
【注意1】（1）直径是同一圆中最长的弦。（2）直径长度等于半径长度的2倍。
3.弧的概念：圆上任意两点间的_____叫做圆弧，简称弧。以A、B为端点的弧记作 ，读作“圆弧AB”或“弧AB”．
4.等弧的概念：在同圆或等圆中，能够互相_____的弧叫做等弧。
5.半圆的概念：圆的任意一条_____的两个端点把圆分成两条弧，每一条弧都叫做半圆。
6.优弧的概念：在一个圆中______半圆的弧叫做优弧。如图中的 ；
7.劣弧的概念：_____半圆的弧叫做劣弧。如图中的。
8.圆的周长公式：c＝2πr．
9.圆的面积公式：S＝πr2
【注意2】对圆的认识需要注意的几个问题
（1）在一个圆中可以画出无数条弦和直径．
（2）直径是弦，但弦不一定是直径．
（3）在同一个圆中，直径是最长的弦．
（4）半圆是弧，但弧不一定是半圆．弧有长度和度数，规定半圆的度数为180°，劣弧的度数小于180°，优弧的度数大于180°．
（5）在同圆或等圆中能够互相重合的弧是等弧，度数或长度相等的弧不一定是等弧．
考点2. 垂径定理及其计算
1. 垂径定理:垂直于弦的______平分弦,并且平分弦所对的____条弧.
∵ CD是直径，CD⊥AB，
∴ AE=BE,
【温馨提示】垂径定理是圆中一个重要的定理,三种语言要相互转化,形成整体,才能运用自如.
2. 垂径定理的推论：
推论1：1）平分弦（不是直径）的____垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧；
2）弦的________经过圆心，并且平分弦所对的两条弧；
3）平分弦所对的一条弧的直径垂直平分弦，并且平分弦所对的______弧。
推论2：圆的两条_____弦所夹的弧相等。
3.涉及垂径定理时辅助线的添加方法
在圆中有关弦长a,半径r, 弦心距d（圆心到弦的距离），弓形高h的计算题时，常常通过连半径或作弦心距构造直角三角形，利用垂径定理和勾股定理求解.

4.垂径定理的应用
解决应用垂径定理的圆问题，基本思路就是利用勾股定理构造方程。
考点3. 圆周角定理及圆内接多边形
（一）弧、弦、圆心角的关系问题
1.圆心角的定义
（1）顶点在_____的角,叫圆心角，如∠AOB .
（2）圆心角 ∠AOB 所对的弧为
（3）圆心角 ∠AOB所对的弦为AB.
注意：对于任意给定一个圆心角，都对应出现三个量：即圆心角、弧、弦。
2.圆心角、弧、弦之间的关系
定理：在同圆或等圆中，如果圆心角相等，那么圆心角所对的_____相等， 圆心角所对的____相等。
推论：（1）在同圆或等圆中，如果弧相等，那么弧所对的______相等，弧所对的____相等。
（2）在同圆或等圆中，如果弦相等，那么弦所对应的_____相等，弦所对应的____相等，弦所对应的_____相等。
（二）圆周角定理
1.圆周角的定义
_____在圆上，并且两边都与圆_____的角叫做圆周角.
2.圆周角定理及其推论
圆周角定理：一条弧所对的圆周角等于它所对的______的一半．
如图，连接BO,CO,得圆心角∠BOC.试猜想∠BAC与∠BOC存在怎样的数量关系.
圆周角定理推论：（1）在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角_____．
（2）直径所对的圆周角是直角．
3.圆周角与圆心角的关系中圆心的位置存在的情形
（1）圆心O在∠BAC的一边上（如图甲）
（2）圆心O 在∠BAC的 内部（如图乙）
（3）圆心O在∠BAC的外部（如图丙）
甲 乙 丙
4.圆周角和直径的关系
半圆或直径所对的圆周角都相等，都等于______.
【方法总结】在圆中，如果有直径，一般要找直径所对的圆周角，构造直角三角形解题．
（三）圆内接四边形
如果一个多边形所有_____都在同一个圆上，这个多边形叫做圆内接多边形，这个圆叫做这个多边形的外接圆.

推论1：圆的内接四边形的对角______.
推论2：圆的内接四边形的任何一个外角都_____它的内对角.
注意：圆内接四边形的性质是沟通角相等关系的重要依据．
【易错点提示】
考点1. 圆的有关概念及性质
【例题1】（原创）下列对圆的说法中，错误的是（ ）
A．半圆是弧B．半径相等的圆是等圆
C．过圆心的线段是直径D．直径是弦
【变式练1】（2024湖南一模）下列命题中正确的有( )
①弦是圆上任意两点之间的部分；②半径是弦；③直径是最长的弦；④弧是半圆，半圆是弧
A．1个B．2个C．3个D．4个
【变式练2】（2024福建一模）已知AB是半径为5的圆的一条弦，则AB的长不可能是（ ）
A．4B．8C．10D．12
考点2. 垂径定理及其计算
【例题2】（2024江西省）如图，是的直径，，点C在线段上运动，过点C的弦，将沿翻折交直线于点F，当的长为正整数时，线段的长为______．
【变式练1】（2024西藏一模）在中，直径AB＝15，弦DE⊥AB于点C．若OC：OB＝3 ：5，则DE的长为（ ）
A．6B．9C．12D．15
【变式练2】（2024山西一模）为了测量一个铁球的直径，将该铁球放入工件槽内，测得的有关数据如图所示（单位：cm），则该铁球的直径为（ ）
A．12cmB．10cmC．8cmD．6cm
考点3. 圆周角定理及圆内接多边形
【例题3】（2024甘肃临夏）如图，是直径，，则（ ）
A.B. C. D.
【变式练1】（2024甘肃一模）如图，△ABC内接于⊙O，CD是⊙O的直径，∠ACD＝40°，则
∠B=（ ）
A. 70°B. 60°C. 50°D. 40°
【变式练2】（2024安徽一模）如图，四边形ABCD内接于⊙O，点P为边AD上任意一点（点P不与点A，D重合）连接CP．若∠B＝120°，则∠APC的度数可能为（ ）
A．30°B．45°C．50°D．65°
考点1. 圆的有关概念及性质
1．（2024内蒙古包头）已知中最长的弦为12厘米，则此圆半径为 厘米．
2．（2024云南）下列判断正确的个数有（ ）
①直径是圆中最大的弦；
②长度相等的两条弧一定是等弧；
③半径相等的两个圆是等圆；
④弧分优弧和劣弧；
⑤同一条弦所对的两条弧一定是等弧．
A．1个B．2个C．3个D．4个
考点2. 垂径定理及其计算
1. （2024内蒙古赤峰）如图，是的直径，是的弦，半径，连接，交于点E，，则的度数是（ ）
A. B. C. D.
2. （2024四川凉山）数学活动课上，同学们要测一个如图所示的残缺圆形工件的半径，小明的解决方案是：在工件圆弧上任取两点，连接，作的垂直平分线交于点，交于点，测出，则圆形工件的半径为（ ）
A. B. C. D.
考点3. 圆周角定理及圆内接多边形
1. （2024湖南省）如图，，为的两条弦，连接，，若，则的度数为（ ）

A. B. C. D.
2. （2024甘肃威武）如图，点A，B，C在上，，垂足为D，若，则的度数是（ ）
A. B. C. D.
3. （2024四川广元）如图，已知四边形是的内接四边形，为延长线上一点，，则等于（ ）
A. B. C. D.
4. （2024吉林省）如图，四边形内接于，过点B作，交于点E．若，则的度数是（ ）
A. B. C. D.
5. （2024武汉市）如图，四边形内接于，，，，则的半径是（ ）
A. B. C. D.
6. （2024江苏连云港）如图，是圆的直径，、、、的顶点均在上方的圆弧上，、的一边分别经过点A、B，则__________．

考点1. 圆的有关概念及性质
1．如图，AB是⊙O的直径，，∠COB＝40°，则∠A的度数是（ ）
A．50°B．55°C．60°D．65°
考点2. 垂径定理及其计算
1.如图，AB是⊙O的直径，弦CD⊥AB于点E，CD＝2OE，则∠BCD的度数为（ ）
A．15°B．22.5°C．30°D．45°
2．如图，弦AB⊥OC，垂足为点C，连接OA，若OC＝4，AB＝6，则sinA等于（ ）
A．B．C．D．
3. 赵州桥是当今世界上建造最早，保存最完整的中国古代单孔敞肩石拱桥．如图，主桥拱呈圆弧形，跨度约为37m，拱高约为7m，则赵州桥主桥拱半径R约为（ ）
A．20mB．28mC．35mD．40m
4. 如图，A、B、C是上的点，，垂足为点D，且D为OC的中点，若，则BC的长为___________．
5．如图是一个圆形餐盘的正面及其固定支架的截面图，凹槽ABCD是矩形．当餐盘正立且紧靠支架于点A，D时，恰好与BC边相切，则此餐盘的半径等于 cm．
考点3. 圆周角定理及圆内接多边形
1. 如图，点A，B，C在⊙O上，∠BAC＝54°，则∠BOC的度数为（ ）
A．27°B．108°C．116°D．128°
2. 如图，点A，B，C是⊙O上的三点．若∠AOC＝90°，∠BAC＝30°，则∠AOB的大小为（ ）
A．25°B．30°C．35°D．40°
3. 如图，在⊙O中，AB是直径，弦AC的长为5cm，点D在圆上且∠ADC＝30°，则⊙O的半径为 cm．
4. 如图，AB是的直径，弦CD交AB于点E，连接AC，AD．若，则______°
5. 如图，⊙O的直径AB经过弦CD的中点H，若cs∠CDB＝，BD＝5，则⊙O的半径为_______．
6．如图所示，AB是⊙O的直径，C、D、E是⊙O上的点，若，∠E＝70°，则∠ABC的度数（ ）
A．30°B．40°C．50°D．60°
7. 如图，四边形ABCD内接于⊙O，E为BC延长线上一点．若∠DCE＝65°，则∠BOD的度数
是（ ）
A．65°B．115°C．130°D．140°
8．如图，AB是⊙O的直径，弦CD交AB于点E，连接AC，AD．若∠D＝62°，则∠BAC＝ ．
9. 如图，在⊙O内接四边形ABCD中，若∠ABC＝100°，则∠ADC＝ °．
10．已知：如图，在△ABC中，AB＝AC，以腰AB为直径作半圆O，分别交BC，AC于点D，E．
（1）求证：BD＝DC．
（2）若∠BAC＝40°，求所对的圆心角的度数．
11．如图，AB是⊙O的直径，C是的中点，CE⊥AB于点E，BD交CE于点F．
（1）求证：CF＝BF；
（2）若CD＝6，AC＝8，求⊙O的半径及CE的长．
12．如图，AB是⊙O的直径，点C，D是⊙O上的点，且OD∥BC，AC分别与BD．OD相交于点E，F．
（1）求证：点D为弧AC的中点；
（2）若DF＝4，AC＝16，求⊙O的直径．
13．如图，AB是⊙O的直径，点C为圆上一点，AC＝4，D是弧AC的中点，AC与BD交于点E．若E是BD的中点，则BC的长为（ ）
A．5B．3C．2D．1
考点分布
考查频率
命题趋势
考点1 圆的有关概念及性质
☆
数学中考中，有关圆的概念与性质部分，每年考查1~2道题,分值为3~6分，通常以选择题、 填空题的形式考查。对于这部分的复习需要学生熟练掌握圆的概念和性质、垂径定理、圆周角定理及圆内接多边形。特别是圆周角定律及圆内接多边形是每年都涉及。
考点2 垂径定理及其计算
☆☆
考点3 圆周角定理及圆内接多边形
☆☆☆