2025年中考数学一轮复习学案：4.3 全等三角形（学生版+教师版）

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4.3 全等三角形
☆☆☆ 代表必考点，☆☆代表常考点，☆星表示选考点。
夯实基础
考点1. 全等三角形的判定与性质
1．全等三角形的性质：全等三角形的对应___、对应_____相等．
结论：一个图形经过平移、翻折、旋转后，位置变化了，但形状、大小都没有改变，即平移、翻折、旋转前后的图形全等。
【温馨提醒】找两个全等三角形的对应元素常用方法有：
1.两个全等的三角形经过一定的转换可以重合．一般是平移、翻转、旋转的方法。
2.根据位置元素来找：有相等元素，它们就是对应元素，然后再依据已知的对应元素找出其余的对应元素．
3.全等三角形对应角所对的边是对应边；两个对应角所夹的边也是对应边．
4.全等三角形对应边所对的角是对应角；两条对应边所夹的角是对应角．
2. 理解并牢记三角形全等的五种判定方法
判定方法1：“边边边”或“SSS”判定方法
___边对应相等的两个三角形全等。
几何符号语言：
在△ABC和△A′B′C′中，
则△ABC≌△ A′B′C′(SSS)
注意：作一个角等于已知角的方法
已知：∠AOB 求作：∠A′0′B′，使∠A′0′B′=∠AOB.
作法：
1.以O为圆心，任意长为半径画弧，分别交OA，OB于点C，D；
2.画一条射线O′A′，以O′为圆心，OC长为半径画弧，交O′A′于点C′；
3.以C′为圆心，CD长为半径画弧，与第2步中所画的弧交于点D′；
4.过点D′画射线O′B′，则∠A′0′B′=∠AOB.
思考：为什么这样作出的∠A′O′B′和∠AOB是相等的？
在△OCD和△O′C′D′中，
∴△OCD ≌△O′C′D′(SSS)，
∴∠AOB=∠A′O′B′.
判定方法2：“边角边”或“SAS”判定方法
___边和它们的___分别相等的两个三角形全等.
几何符号语言：
在△ABC和△A′B′C′中，
则△ABC≌△A′B′C′(SAS)
判定方法3：“角边角”或“ASA”判定方法
有____角和它们_____对应相等的两个三角形全等.
几何符号语言：
在△ABC和△A′B′C′中，
则△ABC≌△A′B′C′(ASA)
判定方法4：“角角边”或“AAS”判定方法
____角分别相等且其中一组等角的____相等的两个三角形全等(可以简写成“角角边”或“AAS”).
几何符号语言：
在△ABC和△A′B′C′中，
则△ABC≌△A′B′C′(AAS)
判定方法5：直角三角形“HL”判定方法
____边和一条直角边分别相等的两个直角三角形全等(可以简写成“斜边、直角边”或“HL”).
几何符号语言：
在Rt△ABC和Rt△A′B′C′中，
则Rt△ABC≌Rt△ A′B′C′（HL）
注意：证明两个三角形全等的书写步骤
1.准备条件：证全等时要用的条件要先证好；
2.指明范围：写出在哪两个三角形中；
3.摆齐根据：摆出三个条件用大括号括起来；
4.写出结论：写出全等结论.
考点2. 全等三角形的实际应用
1. 可以利用三角形全等知识求物体的长度、高度、距离、面积等。
2. 利用全等三角形可以测量一些不易测量的距离和长度，还可对某些因素作出判断，一般采用以下步骤：
（1）先明确实际问题；
（2）根据实际抽象出几何图形；
（3）经过分析，找出证明途径；
（4）书写证明过程.
【易错点提示】证明两三角形全等或利用它证明线段或角的相等的基本方法步骤
（1）确定已知条件（包括隐含条件，如公共边、公共角、对顶角、角平分线、中线、高、等腰三角形、等所隐含的边角关系），
（2）回顾三角形判定，搞清我们还需要什么，
（3）正确地书写证明格式.
考点3.角的平分线（重要补充）
1. 角平分线的概念
从一个角的顶点引出一条射线，把这个角分成两个相等的角，这条射线叫做这个角的角平分线.
∵ ∠1=∠2
∴ BD是∠ABC的平分线
2.用尺规作角的平分线方法.
已知：∠AOB. 求作：∠AOB的平分线.
作法：
1.以O为圆心，适当长为半径画弧，交OA于点M，交OB于点N.
2.分别以M，N为圆心，大于MN的长为半径画弧，两弧在∠AOB内部相交于点C.
3.画射线OC.
则：射线OC即为所求.
请你说明OC为什么是∠AOB的平分线.
证明：在△OMC与△ONC中，
∴△OMC≌△ONC (SSS)
∴∠AOC=∠BOC
即OC是∠AOB的角平分线.
3. 角平分线的性质
角平分线上的点到角的两边的距离相等。
几何语言：
∵ 点P在∠AOB的平分线上，且PD⊥OA，PE⊥OB.
∴ PD=PE
4. 角的平分线判定定理
角的内部到角的两边的距离相等的点在角的平分线上.
应用所具备的条件：(1)点在角的内部；(2)该点到角两边的距离相等.
定理的作用：判断点是否在角平分线上.(证明两角相等).
几何符号语言：
∵ PD⊥OA，PE⊥OB，PD=PE
∴ 点P在∠AOB的平分线上(或∠AOC=BOC)
【方法技巧指导】三角形中作辅助线的常用方法
（1）在利用三角形三边关系证明线段不等关系时，若直接证不出来，可连接两点或延长某边构成三角形，使结论中出现的线段在一个或几个三角形中，再运用三角形三边的不等关系证明.
（2）在用三角形的外角大于任何和它不相邻的内角时如直接证不出来时，可连接两点或延长某边，构造三角形，使求证的大角在某个三角形的外角的位置上，小角处于这个三角形的内角位置上，再用外角定理.
（3）有角平分线时，通常在角的两边截取相等的线段，构造全等三角形.
（4）有以线段中点为端点的线段时，常延长加倍此线段，构造全等三角形。
（5）有三角形中线时，常延长加倍中线，构造全等三角形。
（6）截长补短法作辅助线。
（7）延长已知边构造三角形.
（8）连接四边形的对角线，把四边形的问题转化成为三角形来解决。
（9）有和角平分线垂直的线段时，通常把这条线段延长。
（10）连接已知点，构造全等三角形。
（11）取线段中点构造全等三有形。
考点1. 全等三角形的判定与性质
【例题1】（2024江苏连云港）如图，与相交于点，，．
（1）求证：；
（2）用无刻度的直尺和圆规作图：求作菱形，使得点M在上，点N在上．（不写作法，保留作图痕迹，标明字母）
【变式练1】（2024成都一模）如图，四边形ABCD是菱形，点E，F分别在BC，DC边上，添加以下条件不能判定△ABE≌△ADF的是（ ）
A．BE＝DFB．∠BAE＝∠DAFC．AE＝ADD．∠AEB＝∠AFD
【变式练2】（2024哈尔滨一模）如图，△ABC≌△DEC，点A和点D是对应顶点，点B和点E是对应顶点，过点A作AF⊥CD，垂足为点F，若∠BCE＝65°，则∠CAF的度数为（ ）
A．30°B．25°C．35°D．65°
【变式练3】（2024山东济宁一模）如图，四边形ABCD中，∠BAC＝∠DAC，请补充一个条件 ，使△ABC≌△ADC．
考点2. 全等三角形的实际应用
【例题2】（2024云南）如图，两根长均为12米的绳子一端系在旗杆上，旗杆与地面垂直，另一端分别固定在地面上的木桩上，两根木桩离旗杆底部的距离相等吗？
【变式练1】（2024四川攀枝花一模）为测量一池塘两端A，B之间的距离，两位同学分别设计了以下两种不同的方案．
方案Ⅰ：如图，先在平地
上取一个可以直接到达点A，B的点O，连接AO并延长到点C，连接BO并延长到点D，并使CO＝AO，DO＝BO，连接DC，最后测出DC的长即可；

方案Ⅱ：如图，先确定直线AB，过点B作直线BE⊥AB，在直线BE上找可以直接到达点A的一点D，连接DA，作DC＝DA，交直线AB于点C，最后测量BC的长即可．

下列说法正确的是（ ）
A．Ⅰ，Ⅱ都不可行B．Ⅰ，Ⅱ都可行
C．Ⅰ可行，Ⅱ不可行D．Ⅰ不可行，Ⅱ可行
考点1 全等三角形的判定与性质
1. （2024安徽省）在凸五边形中，，，F是的中点．下列条件中，不能推出与一定垂直的是（ ）
A. B.
C. D.


2. （2024四川成都市）如图，，若，，则的度数为______．
3. （2024江苏盐城）已知：如图，点A、B、C、D在同一条直线上，，．
若________，则．
请从①；②；③这3个选项中选择一个作为条件（写序号），使结论成立，并说明理由．
4. （2024云南省）如图，在和中，，，．
求证：．
5. （2024四川乐山）知：如图，平分，．求证：．
6. （2024四川南充）如图，在中，点D为边的中点，过点B作交的延长线于点E．
（1）求证：．
（2）若，求证：
7. （2024四川内江）如图，点、、、在同一条直线上，，，
（1）求证：；
（2）若，，求的度数．
8.（2024湖南长沙） 如图，点C在线段上，，，．
（1）求证：；
（2）若，求的度数．
9. （2024江苏苏州） 如图，中，，分别以B，C为圆心，大于长为半径画弧，两弧交于点D，连接，，，与交于点E．
（1）求证：；
（2）若，，求的长．
考点2 全等三角形的实际应用
1．（2024•宁夏）校园内有一块四边形的草坪造型，课外活动小组实地测量，并记录数据，根据造型画如图的四边形ABCD，其中AB＝CD＝2米，AD＝BC＝3米，∠B＝30°．
（1）求证：△ABC≌△CDA；
（2）求草坪造型的面积．
考点1 全等三角形的判定与性质
1．（2023•凉山州）如图，点E、点F在BC上，BE＝CF，∠B＝∠C，添加一个条件，不能证明△ABF≌△DCE的是（ ）
A．∠A＝∠DB．∠AFB＝∠DECC．AB＝DCD．AF＝DE
2．（2023•重庆）如图，在Rt△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝AC，点D为BC上一点，连接AD．过点B作BE⊥AD于点E，过点C作CF⊥AD交AD的延长线于点F．若BE＝4，CF＝1，则EF的长度为 ．
3．（2020•齐齐哈尔）如图，已知在△ABD和△ABC中，∠DAB＝∠CAB，点A、B、E在同一条直线上，若使△ABD≌△ABC，则还需添加的一个条件是 ．（只填一个即可）
4．（2022•鄂尔多斯）如图，∠AOE＝15°，OE平分∠AOB，DE∥OB交OA于点D，EC⊥OB，垂足为C．若EC＝2，则OD的长为（ ）
A．2B．2C．4D．4+2
5．（2023•衢州）已知：如图，在△ABC和△DEF中，B，E，C，F在同一条直线上．下面四个条件：
①AB＝DE；②AC＝DF；③BE＝CF；④∠ABC＝∠DEF．
（1）请选择其中的三个条件，使得△ABC≌△DEF（写出一种情况即可）．
（2）在（1）的条件下，求证：△ABC≌△DEF．
6．（2022•长沙）如图，AC平分∠BAD，CB⊥AB，CD⊥AD，垂足分别为B，D．
（1）求证：△ABC≌△ADC；
（2）若AB＝4，CD＝3，求四边形ABCD的面积．
7．（2020无锡）如图，已知AB∥CD，AB＝CD，BE＝CF．
求证：（1）△ABF≌△DCE；
（2）AF∥DE．
8．（2020•温州）如图，在△ABC和△DCE中，AC＝DE，∠B＝∠DCE＝90°，点A，C，D依次在同一直线上，且AB∥DE．
（1）求证：△ABC≌△DCE．
（2）连结AE，当BC＝5，AC＝12时，求AE的长．
9.（2021无锡）已知：如图，AC，DB相交于点O，AB＝DC，∠ABO＝∠DCO．
求证：（1）△ABO≌△DCO；
（2）∠OBC＝∠OCB．
10. 如图，D是△ABC的边AB上一点，CF∥AB，DF交AC于E点，DE＝EF．
（1）求证：△ADE≌△CFE；
（2）若AB＝5，CF＝4，求BD的长．
11．（2022•北京）在△ABC中，∠ACB＝90°，D为△ABC内一点，连接BD，DC，延长DC到点E，使得CE＝DC．
（1）如图1，延长BC到点F，使得CF＝BC，连接AF，EF．若AF⊥EF，求证：BD⊥AF；
（2）连接AE，交BD的延长线于点H，连接CH，依题意补全图2．若AB2＝AE2+BD2，用等式表示线段CD与CH的数量关系，并证明．
考点2 全等三角形的实际应用
1. 如图，有一湖的湖岸在A、B之间呈一段圆弧状，A、B间的距离不能直接测得．你能用已学过的知识或方法设计测量方案，求出A、B间的距离吗？
考点分布
考查频率
命题趋势
考点1 全等三角形的判定与性质
☆☆☆
数学中考中，有关全等三角形的部分，每年考查1~2道题,分值为3~10分，通常以选择题、 解答题的形式考查。特别是在考查综合知识探索类实践类试题里渗透考查三角形全等。也有的省市在解答题专门命制证明三角形全等和求值的试题。
考点2 全等三角形的实际应用
☆☆