中考数学第一轮复习讲义第27讲 与圆有关的位置关系（练习）（解析版）

这是一份中考数学第一轮复习讲义第27讲 与圆有关的位置关系（练习）（解析版），共157页。
TOC \ "1-3" \n \h \z \u
\l "_Tc157544735" 题型01 判断点和圆的位置关系
\l "_Tc157544736" 题型02 根据点和圆的位置关系求半径
\l "_Tc157544737" 题型03 判断直线与圆的位置关系
\l "_Tc157544738" 题型04 根据直线与圆的位置关系求半径
\l "_Tc157544739" 题型05 根据直线与圆的位置关系求点到直线的距离
\l "_Tc157544740" 题型06 求圆平移到与直线相切时圆心坐标
\l "_Tc157544741" 题型07 求圆平移到与直线相切时运动距离
\l "_Tc157544742" 题型08 圆和圆的位置关系
\l "_Tc157544743" 题型09 判断或补全使直线成为切线的条件
\l "_Tc157544744" 题型10 利用切线的性质求线段长
\l "_Tc157544745" 题型11 利用切线的性质求角度
\l "_Tc157544746" 题型12 证明某条直线时圆的切线
\l "_Tc157544747" 题型13 利用切线的性质定理证明
\l "_Tc157544748" 题型14 切线的性质与判定的综合运用
\l "_Tc157544749" 题型15 作圆的切线
\l "_Tc157544750" 题型16 应用切线长定理求解
\l "_Tc157544751" 题型17 应用切线长定理求证
\l "_Tc157544752" 题型18 判断三角形外接圆圆心位置
\l "_Tc157544753" 题型19 求外心坐标
\l "_Tc157544754" 题型20 求特殊三角形外接圆的半径
\l "_Tc157544755" 题型21 由三角形的内切圆求长度
\l "_Tc157544756" 题型22 由三角形的内切圆求角度
\l "_Tc157544757" 题型23 由三角形的内切圆求周长、面积
\l "_Tc157544758" 题型24 求三角形的内切圆半径
\l "_Tc157544759" 题型25 直角三角形周长、面积和内切圆半径的关系
\l "_Tc157544760" 题型26 三角形内心有关的应用
\l "_Tc157544761" 题型27 三角形外接圆与内切圆综合
题型01 判断点和圆的位置关系
1．（2023·广东广州·统考一模）已知⊙O的半径为5，当线段OA=6时，则点A与⊙O的位置关系是（ ）
A．在圆上B．在圆外C．在圆内D．不能确定
【答案】B
【分析】根据点A到圆心的距离大于半径即可求解．
【详解】解：∵OA=6>5，
∴A点在圆外，
故选：B．
【点睛】本题考查了点与圆的位置关系，掌握点到圆心的距离大于半径时点在圆外，等于半径时点在圆上，小于半径时点在圆内是解题的关键．
2．（2023·广东广州·广州大学附属中学校考一模）已知⊙O的半径是8，点P到圆心O的距离d为方程x2-4x-5=0的一个根，则点P在（ ）
A．⊙O的内部B．⊙O的外部
C．⊙O上或⊙O的内部D．⊙O上或⊙O的外部
【答案】A
【分析】先解一元二次方程，得到d值，再比较d与半径8的大小，若d>8，则点P在⊙O的外部，若d2，
∴⊙C1与AB相离；
∵1255，
∴点F在圆O外，点D、E在圆O上，
故选：B．
【点睛】本题主要考查了直角三角形的外接圆圆心在斜边的中点上，以及点与圆的位置关系，解题关键是关键网格的特点找到圆心的位置．
65．（2018·广东汕尾·校考三模）如图所示，要把残破的轮片复制完整，已知弧上的三点A，B，C．

(1)用尺规作图法找出所在圆的圆心；（保留作图痕迹，不写作法）
(2)设△ABC是等腰三角形，底边BC=8cm，腰AB=5cm，求圆片的半径R．
【答案】(1)见解析
(2)256cm
【分析】（1）作两弦的垂直平分线，其交点即为圆心O；
（2）构建直角△BOE，利用勾股定理列方程可得结论．
【详解】（1）解：作法：分别作AB和AC的垂直平分线，设交点为O，则O为所求圆的圆心；

（2）连接AO、BO，AO交BC于E，
∵AB=AC，
∴AE⊥BC，
∴BE=12BC=12×8=4，
在Rt△ABE中，AE=AB2-BE2=52-42=3，
设⊙O的半径为R，在Rt△BEO中，
∴OB2=BE2+OE2，
即R2=42+R-32，
∴R=256，
答：圆片的半径R为256cm．
【点睛】本题综合考查了垂径定理，勾股定理、线段垂直平分线的尺规作图等知识点，要注意作图和解题中垂径定理的应用．
题型19 求外心坐标
66．（2022·山东枣庄·校考一模）如图，在平面直角坐标系中，A0,-3，B2,-1，C2,3．则△ABC的外心坐标为（ ）
A．0,0B．-1,1C．-2,-1D．-2,1
【答案】D
【分析】由BC两点的坐标可以得到直线BC∥y轴，则直线BC的垂直平分线为直线y=1，再由外心的定义可知△ABC外心的纵坐标为1，则设△ABC的外心为P（a，-1），利用两点距离公式和外心的性质得到PA2=a2+1+32=a2+16=PB2=a-22+1+12=a2-4a+8，由此求解即可．
【详解】解：∵B点坐标为（2，-1），C点坐标为（2， 3），
∴直线BC∥y轴，
∴直线BC的垂直平分线为直线y=1，
∵外心是三角形三条边的垂直平分线的交点，
∴△ABC外心的纵坐标为1，
设△ABC的外心为P（a，1），
∴PA2=a2+1+32=a2+16=PB2=a-22+1+12=a2-4a+8，
∴a2+16=a2-4a+8，
解得a=-2，
∴△ABC外心的坐标为（-2， 1），
故选D．
【点睛】本题主要考查了坐标与图形，外心的性质与定义，两点距离公式，解题的关键在于能够熟知外心是三角形三边垂直平分线的交点．
67．（2022·湖北武汉·校考模拟预测）如图，已知平面直角坐标系内三点A（3，0）、B（5，0）、C（0，4），⊙P经过点A、B、C，则点P的坐标为（ ）
A．（6，8）B．（4，5）C．（4，318）D．（4，338）
【答案】C
【分析】先由题意可知，点P在线段AB的垂直平分线上，可确定P的横坐标为4；设点P的坐标为（4，y），如图作PE⊥OB于E，PF⊥OC于F，运用勾股定理求得y即可．
【详解】解：∵⊙P经过点A、B、C，
∴点P在线段AB的垂直平分线上，
∴点P的横坐标为4，
设点P的坐标为（4，y），
作PE⊥OB于E，PF⊥OC于F，
由题意得：42+(y-4)2=12+y2，
解得，y=318，
故选：C．
【点睛】本题考查的是确定圆的条件，解题的关键是理解经过不在同一直线上的三点作圆，圆心是过任意两点的线段的垂直平分线的交点．
68．（2022·广东深圳·统考二模）如图，在单位长度为1的正方形网格中建立直角坐标系，一条圆弧恰好经过网格点A、B、C，请在网格图中进行下列操作（以下结果保留根号）：
(1)利用网格找出该圆弧所在圆的圆心D点的位置，则D点的坐标为_______；
(2)连接AD、CD，若扇形DAC是一个圆锥的侧面展开图，则该圆锥底面半径为_______；
(3)连接AB，将线段AB绕点D旋转一周，求线段AB扫过的面积．
【答案】(1)（2，0）
(2)52
(3)4π
【分析】（1）线段AB与BC的垂直平分线的交点为D；
（2）连接AC，先判断∠ADC=90°，则可求AC的弧长，该弧长即为圆锥底面圆的周长，由此可求底面圆的半径；
（3）设AB的中点为E，线段AB的运动轨迹是以D为圆心DA、DE分别为半径的圆环面积．
【详解】（1）解：过点（2，0）作x轴垂线，过点（5，3）作与BC垂直的线，
两线的交点即为D点坐标，
∴D（2，0），
故答案为：（2，0）；
（2）解：连接AC，
∵A（0，4），B（4，4），C（6，2），
∴AD=25，CD=25，AC=210，
∵AC2＝AD2+CD2，
∴∠ADC＝90°，
∴AC的长=14×2π×25=5π，
∵扇形DAC是一个圆锥的侧面展开图，
∴5π=2πr，
∴r=52，
故答案为：52；
（3）解：设AB的中点为E，
∴E（2，4），
∴DE＝4，
∴S＝π×（AD2﹣DE2）＝4π，
∴线段AB扫过的面积是4π.
,
【点睛】本题考查圆锥的展开图，垂径定理，能够由三点确定圆的圆心位置，理解圆锥展开图与圆锥各部位的对应关系是解题的关键．
题型20 求特殊三角形外接圆的半径
69．（2023·辽宁阜新·统考一模）如图，⊙O是等边△ABC的外接圆，若AB=3，则⊙O的半径是（ ）
A．32B．32C．3D．52
【答案】C
【分析】作直径AD，连接CD，如图，利用等边三角形的性质得到∠B=60°，关键圆周角定理得到∠ACD=90°，∠D=∠B=60°，然后利用含30度的直角三角形三边的关系求解．
【详解】解：作直径AD，连接CD，如图，
∵△ABC为等边三角形，
∴∠B=60°，
∵AD为直径，
∴∠ACD=90°，
∵∠D=∠B=60°，则∠DAC=30°，
∴CD=12AD，
∵AD2=CD2+AC2，即AD2=(12AD)2+32，
∴AD=23，
∴OA=OB=12AD=3．
故选：C．
【点睛】本题考查了三角形的外接圆与外心：三角形外接圆的圆心是三角形三条边垂直平分线的交点，叫做三角形的外心．也考查了等边三角形的性质、圆周角定理和含30度的直角三角形三边的关系．
70．（2022·江苏无锡·无锡市天一实验学校校考模拟预测）已知在△ABC中，AB=AC=5，BC=6，则△ABC的外接圆的半径是 ．
【答案】258
【分析】通过作辅助线AD⊥BC，可将求△ABC外接圆的半径转化为求Rt△BOD的斜边长，再利用等腰三角形的性质即可．
【详解】解：如图，作AD⊥BC，垂足为D，则O一定在AD上，
∴AD=52-32=4，
设OA=r，OB2=OD2+BD2，
即r2=4-r2+32，
解得r=258．
故答案为：258．
【点睛】此题主要考查等腰三角形外接圆半径的求法，正确利用勾股定理以及等腰三角形的性质是解题关键．
71．（2023·江苏镇江·校联考一模）如图1，在平面直角坐标系中，二次函数y=-12x2+bx+c的图像与x轴交于点A-1,0和点B4,0，与y轴交于点C，顶点为点D．
(1)求二次函数表达式和点D的坐标；
(2)连接AC、BC，求△ABC外接圆的半径；
(3)点P为x轴上的一个动点，连接PC，求PC+55PB的最小值；
(4)如图2，点E为对称轴右侧的抛物线上一点，且点E的纵坐标为-3，动点M从点C出发，沿平行于x轴的直线a向右运动，连接EM，过点M作EM的垂线b，记直线b与抛物线对称轴的交点为N，当直线b与直线a重合时运动停止，请直接写出点N的运动总路程．
【答案】(1)y=-12x2+32x+2，32,258
(2)52
(3)855
(4)10940
【分析】（1）把A-1,0和点B4,0代入y=-12x2+bx+c求出b和c的值，即可得出函数表达式，将其化为顶点式，即可求出点D的坐标；
（2）先求出点C的坐标，再根据两点之间的距离公式，求出AC2=5,BC2=20,AB2=25，根据勾股定理逆定理，得出∠ACB=90°，最后根据直角三角形的外心与斜边中点重合，即可求解；
（3）过点P作PM⊥BC于点M，作BC关于x轴的对称线段BC'，
则C'0,-2，点M关于x轴的对称点M'在BC'，PM'⊥BC'，通过证明△BPM∽△BCO，得出PM=55PB，则PC+55PB=PC+PM=PC+PM'
当点C、P、M'三点共线时，PC+55PB取最小值，即为CM″的长度，用等面积法求出CM″的长度即可；
（4）连接NE，先求出点E5,-3，根据D32,258，C0,2，可设Mm,2,N32,n，K32,2，再根据两点之间的距离公式得出KM2，KN2，ME2，NE2，然后根据勾股定理可得：KM2+KN2=MN2=NE2-ME2，即可得出n关于m的表达式10n=2m2-13m+35，将其化为顶点式后可得当m134时，n随m的增大而增大，再求出当0≤m≤134时，点N经过的路程为，以及当134≤m≤5时，点N经过的路程为，即可求解．
【详解】（1）解：把A-1,0和点B4,0代入y=-12x2+bx+c得：
0=-12-b+c0=-8+4b+c，解得：b=32c=2，
∴该二次函数的表达式为：y=-12x2+32x+2，
∵y=-12x2+32x+2=-12x-322+258，
∴点D的坐标为32,258；
（2）解：把x=0代入y=-12x2+32x+2得y=2，
∴C0,2，
∵A-1,0，B4,0，C0,2，
∴AC2=5,BC2=20,AB2=25，
∴AC2+BC2=AB2，
∴∠ACB=90°，
∴△ABC外接圆半径=12AB=12×5=52；
（3）解：过点P作PM⊥BC于点M，作BC关于x轴的对称线段BC'，
则C'0,-2，点M关于x轴的对称点M'在BC'上，PM'⊥BC'，
∵∠CBO=∠PBM,∠PMB=∠COB，
∴△BPM∽△BCO，
∴PMPB=OCBC=225=55，
∴PM=55PB，
∴PC+55PB=PC+PM=PC+PM'
当点C、P、M'三点共线且CM'⊥BC'时，PC+55PB取最小值，即为CM″的长度，
∵S△BCC'=12⋅CC'⋅OB=12⋅BC'⋅CM''，
∴12×4×4=12×25×CM″
∴CM″=855，即PC+55PB的最小值为855．
（4）解：连接NE，
把y=-3代入y=-12x2+32x+2得-3=-12x2+32x+2，
解得：x1=5,x2=-2，
∴E5,-3，
∵D32,258，C0,2，
∴设Mm,2,N32,n，K32,2，
∴KM2=m-322，KN2=2-n2，ME2=5-m2+2+32，NE2=5-322+n+32，
根据勾股定理可得：KM2+KN2=MN2=NE2-ME2，
∴m-322+2-n2=5-322+n+32-5-m2+2+32，
整理得：10n=2m2-13m+35，
∴n=15m2-1310m+72=15m-1342+11180，
∴当m134时，n随m的增大而增大，
∵动点M从点C出发，直线b与直线a重合时运动停止，E5,-3，
∴0≤m≤5，
∵当m=0时，n=72，
当m=134时，n=11180，
当m=5时，n=2，
∴当0≤m≤134时，点N经过的路程为：72-11180=16980，
当134≤m≤5时，点N经过的路程为：2-11180=4980，
∴点N经过的总路程为：16980+4980=21880=10940．
【点睛】本题主要考查了二次函数综合，解题的关键是掌握用待定系数法求解函数表达式，直角三角形外接圆圆心为斜边中点，胡不归问题的解决方法，以及勾股定理和二次函数图象上点的坐标特征和勾股定理．
题型21 由三角形的内切圆求长度
72．（2022·陕西西安·校考模拟预测）在△ABC中，AB＝4，∠C＝45°，则2AC+BC的最大值为 ．
【答案】410.
【分析】根据题意，画出ΔABC的外接圆，当AC1为圆O的直径时，2AC+BC有最大值，由等腰三角形的性质及勾股定理得到BC=4,AC=42，求解即可．
【详解】解：过点B作BD⊥AC于点D，
∵∠C=45°，
∴△BCD为等腰直角三角形，
∴BD=CD，
设BD=CD=a,延长AC至点F，使得CF=a,
作△ABF的外接圆⊙O，过点O作OE⊥AB于点E，则AE=1/2AB=2，∠AOE=∠AFB，
∴OE=4,OA=22+42=25,
∴2AC+BC=2(AC+22BC)=2(AC+CF)=2AF≤2(0A+OF)
∴2AC+BC=2AC+22BC的最大值为2×45=410.
故答案为：410.
【点睛】本题考查三角形的外接圆、圆周角定理、等腰直角三角形的性质，熟练掌握知识点是解题的关键．
73．（2022·四川泸州·二模）如图，△ABC的内切圆⊙O与AB，BC，AC相切于点D，E，F，已知AB＝6，AC＝5，BC＝7，则DE的长是（ ）
A．1277B．1077C．977D．877
【答案】D
【分析】连接OD、OE、OB，OB交DE于H，作AG⊥BC交BC于点G，利用 AB2-BG2=AC2-CG2，求出BG=307，进一步可得AG=1267，求出S△ABC=12AG·BC=66，设⊙O的半径为r，利用S△ABC=126+7+5·r=66，求出r=263，求出BD=4，进一求出OB=2423，再证明OB垂直平分DE，利用面积法可得12HE⋅OB=12OE⋅BE，求得HE长即可求得答案．
【详解】解：连接OD、OE、OB，OB交DE于H，作AG⊥BC交BC于点G，如图，
∵AB＝6，AC＝5，BC＝7，
∴AB2-BG2=AC2-CG2，即62-BG2=52-7-BG2，解得：BG=307，
∴AG=AB2-BG2=1267，
∴S△ABC=12AG·BC=66，
设内切圆的半径为r，
则S△ABC=126+7+5·r=66，解得：r=263，
∵ △ABC的内切圆⊙O与AB，BC，CA分别相切于点D，E，F，
∴∠ODB=∠OEB=90°，
又∵OD=OE， OB=OB，
∴Rt△ODB≌△Rt△OEB，
∴BD=BE，
同理， CE=CF，AD=AF，
∵BE+CE=BC=7，
∴BD+BE+CE+CF=14，
∴2AD=(6+5+7)-14=4，即AD=2，
∴BD=4，
∴OB=BD2+OD2=2423，
∵BE=BD，OE=OD，
∴OB垂直平分DE，
∴DH=EH，OB⊥DE，
∵12HE·OB=12OE·BE，
∴HE=OE⋅BEOB=263×424232=477，
∴DE=2EH=877，
故选：D．
【点睛】本题考查了三角形的内切圆性质，全等三角形的性质与判定，勾股定理，面积法等，正确添加辅助线，灵活运用相关知识是解题的关键．
74．（2022·云南文山·一模）如图，BC是⊙O的直径，点A是⊙O上的一点，点D是△ABC的内心，若BC＝5，AC＝3，则BD的长度为（ ）
A．2B．3C．10D．342
【答案】C
【分析】如图，过点D分别作DE⊥AB于E，DF ⊥BC于F， DH⊥AC于H， 连接AD， CD，求出AB的长，根据内心的性质，求出BE的长，再根据S△ABC = S△ABD + S△BDC + S△ADC，求出DE的长，由勾股定理即可得答案．
【详解】解： 如下图，过点D分别作DE⊥AB于E，DF ⊥BC于F， DH⊥AC于H， 连接AD， CD，
∵BC是⊙O的直径，
∴∠BAC= 90°，
∵BC＝5，AC＝3，
∴AB=BC2-AC2=52-32=4 ，
∵点D是△ABC的内心，
∴ DE= DF= DH，AE= АН，BE= BF，CF= CH，
设BE= x，则BF= x，AE=4- x，CF=5-x，CH=5-x，AН=4-x，
∵AC=3，
∴4-x+5-x=3，
解得：x=3
∴BE=3，
设DE= r，
∵S△ABC = S△ABD + S△BDC + S△ADC，
∴12r(3+4+5)=12×3×4 ，
解得：r= 1，
∴ DE= 1，
在Rt△BDE中，BD=BE2+DE2=32+12=10 ，
故选：C．
【点睛】本题考查了圆的有关性质，内心的性质，勾股定理的应用，解题的关键是作垂线，构造直角．
75．（2023·福建福州·福建省福州延安中学校考二模）如图上，ΔABC中,∠C=90∘,AC=8,BC=6,O为内心，过点O的直线分别与AC、AB相交于D、E，若DE=CD+BE，则线段CD的长为 .
【答案】2或12/12或2
【分析】分析判断出符合题意的DE的情况，并求解即可；
【详解】解：①如图，作DE//BC，OF⊥BC，OG⊥AB，连接OB，则OD⊥AC，
∵DE//BC，
∴∠OBF=∠BOE
∵O为ΔABC的内心，
∴∠OBF=∠OBE，
∴∠BOE=∠OBE
∴BE=OE，
同理，CD=OD，
∴DE=CD+BE，
AB=BC2+AC2=62+82=10
∵O为ΔABC的内心，
∴OF=OD=OG=CD，
∴BF=BG，AD=AG
∴AB=BG+AG=BC-CD+AC-CD=6-CD+8-CD=10
∴CD=2
②如图，作DE⊥AB，
由①知，BE=4，AE=6，
∵∠ACB=∠AED，∠CAB=∠EAD
∴ΔABC∼ΔADE
∴ABAC=ADAE
∴AD=AB⋅AEAC=10×68=152
∴CD=AC-AD=8-152=12
∵DE=AD2-AE2=1522-62=92
∴DE=BE+CD=4+12=92
∴CD=12
故答案为：2或12．
【点睛】本题主要考查三角形内心的性质、勾股定理、三角形的相似，根据题意正确分析出符合题意的情况并应用性质定理进行求解是解题的关键．
题型22 由三角形的内切圆求角度
76．（2022·山东烟台·统考一模）如图，点I是△ABC的内心，若∠I=116°，则∠A等于（ ）
A．50°B．52°C．54°D．56°
【答案】B
【分析】根据三角形内角和定理得到∠IBC+∠ICB＝64°，根据内心的概念得到∠ABC+∠ACB＝128°，根据三角形内角和定理计算即可．
【详解】解：∵∠I＝116°，
∴∠IBC+∠ICB＝64°，
∵点I是△ABC的内心，
∴∠IBC＝12∠ABC，∠ICB＝12∠ACB，
∴∠ABC+∠ACB＝128°，
∴∠A＝180°﹣（∠ABC+∠ACB）＝52°，
故选B．
【点睛】本题考查的是三角形的内心，掌握三角形的内心是三角形三条角平分线的交点是解题的关键．
77．（2022·湖南长沙·长沙市长郡双语实验中学校考一模）如图，△ABC中，∠A=80°，点O是△ABC的内心，则∠BOC的度数为（ ）
A．100°B．160°C．80°D．130°
【答案】D
【分析】由题意，先得到∠ABC+∠ACB=100°，再由内心的性质，得到∠OBC+∠OCB=50°，即可求出∠BOC的度数．
【详解】解：∵∠A=80°，
∴∠ABC+∠ACB=180°-80°=100°，
∵点O是△ABC的内心，
∴BO平分∠ABC，CO平分∠ACB，
∴∠OBC=12∠ABC，∠OCB=12∠ACB，
∴∠OBC+∠OCB=12(∠ABC+∠ACB)=12×100°=50°，
∴∠BOC=180°-50°=130°．
故选：D．
【点睛】本题考查了三角形内心的性质，三角形的内角和定理，角平分线的定义，解题的关键是掌握所学的知识，正确的求出角的度数．
题型23 由三角形的内切圆求周长、面积
78．（2020·贵州遵义·校考模拟预测）如图，△ABC中，AB＝7cm，AC＝8cm，BC＝6cm，点O是△ABC的内心，过点O作EF//AB，与AC、BC分别交于点E、F，则△CEF的周长为（ ）
A．14cmB．15cmC．13cmD．10.5cm
【答案】A
【分析】先根据三角形内心的定义得到AO、BO是∠CAB和∠CBA的角平分线，结合平行线的性质可证明∠EAO＝∠EOA，∠FOB＝∠FBO，于是得到EO＝EA，OF＝FB，故此可得到EF＝AE＋BF，根据三角形的周长公式计算即可．
【详解】解：连接OA、OB．
∵点O是△ABC的内心，
∴AO、BO分别是∠CAB和∠CBA的角平分线．
∴∠EAO＝∠BAO，∠FBO＝∠ABO．
∵EF//BA，
∴∠EOA＝∠OAB，∠FOB＝∠OBA．
∴∠EAO＝∠EOA，∠FOB＝∠FBO．
∴EO＝EA，OF＝FB．
∴EF＝AE＋BF，
∴△CEF的周长＝CE＋CF＋EF＝CE＋EA＋CF＋FB＝CA＋CB＝14，
故选：A．
【点睛】本题主要考查的是三角形的内心、平行线的性质、等腰三角形的判定，明确三角形的内心是三条角平分线的交点是解题的关键．
79．（2018·海南省直辖县级单位·统考一模）如图，甲、乙、丙、丁四位同学从四块全等的等腰直角三角形纸板上裁下四块不同的纸板（阴影部分），他们的具体裁法如下：甲同学：如图1所示裁下一个正方形，面积记为S1；乙同学：如图2所示裁下一个正方形，面积记为S2；丙同学：如图3所示裁下一个半圆，使半圆的直径在等腰Rt△的直角边上，面积记为S3；丁同学：如图所示裁下一个内切圆，面积记为S4则下列判断正确的是（ ）
①S1=S2；②S3=S4；③在S1，S2，S3，S4中，S2最小．
A．①②B．②③C．①③D．①②③
【答案】B
【分析】分别计算结果再比较大小．具体如下：若设四块全等的等腰直角三角形的腰长为1，则斜边长为2，只要把四个图中阴影部分的面积都用等腰直角三角形的腰长表示，就可比较它们的大小．根据直角三角形中斜边上的中线等于斜边的一半，可求图1中S1=14；设图2中正方形的边长为x，根据等腰直角三角形的性质求得x的值，所以可知S2=29；在图3中，设半圆的半径为r，根据切线长定理可求得S3=（32﹣2）π；在图4中，设三角形的内切圆半径为R，根据切线长定理可求得R=1﹣22，所以S4=（32-2）π；根据以上计算的值进行比较即可判断．
【详解】图1中，设四块全等的等腰直角三角形的腰长为1，则斜边长为2，图1中阴影正方形的对角线长为22，S1=14；
图2中，设正方形的边长为x，则3x=2，x=23，S2=29；
图3中，设半圆的半径为r，则1+r=2，r=2﹣1，S3=（32﹣2）π；
图4中，设三角形的内切圆半径为R，则2﹣2R=2，解得：R=1﹣22，S4=（32-2）π；
根据以上计算的值进行比较，S3=S4，在S1，S2，S3，S4中，S2最小，所以正确的是②③．
故选B．
80．（2023·广东江门·统考二模）一个直角三角形的斜边长为8，内切圆半径为1，则这个三角形的周长等于 ．
【答案】18
【分析】首先根据题意画出图形，设AD＝x，则BD＝8−x，由切线长定理得AD＝AF＝x，BD＝BE＝8−x，可证明四边形OECF为正方形，则CE＝CF＝1，再由三角形的周长公式求出这个三角形周长．
【详解】根据题意，作图如下：
即有：AB=8，∠C＝90°，⊙O是△ABC内切圆，
设AD＝x，则BD＝8−x，
∵⊙O是△ABC内切圆，
∴AD＝AF＝x，BD＝BE＝8−x．∠C＝∠OFC＝∠OEC＝90°，OE＝OF，
∴四边形OECF为正方形．
∴CE＝CF＝1．
∴这个三角形周长：AD+DB+BE+CE+CF+FA=2x＋2(8−x)＋2＝18．
故答案为：18．
【点睛】本题考查了三角形的内切圆和内心，以及切线长定理，方程思想与数形结合思想的应用是解题的关键．
81．（2023·河南郑州·河南省实验中学校考一模）如图，等边△ABC内切圆的图形来自我国古代的太极图，等边三角形内切圆中的黑色部分和白色部分关于等边△ABC的内心成中心对称．若等边△ABC的边长为6，则圆中的黑色部分的面积是 ．
【答案】32π
【分析】先作AD⊥BC，作BE⊥AC于点E，AD和BE交于点O，再根据边长求出AD=33，即可求出OD=3，然后根据面积公式即可求出答案．
【详解】作AD⊥BC，作BE⊥AC于点E，AD和BE交于点O，如图所示：
∵等边△ABC的边长为6
∴AB=6，则BD=3，
∵∠ADB=90°，
∴AD=33，
∴OD=13AD=3，
根据太极图的对称性，黑色部分的面积占内切圆面积的一半，
∴S黑=12π·OD2=12π×（3）2
∴S黑=32π，
故答案为：32π
【点睛】本题考查了等边三角形以及三角形的内切圆，解题关键是求出圆的半径．
82．（2022·贵州铜仁·统考三模）已知任意三角形的三边长，如何求三角形面积？
古希腊的几何学家海伦解决了这个问题，在他的著作《度量论》一书中给出了计算公式—海伦公式S=pp-ap-bp-c（其中a，b，c是三角形的三边长，p=a+b+c2，S为三角形的面积），并给出了证明
例如：在△ABC中，a＝3，b＝4，c＝5，那么它的面积可以这样计算：
∵a＝3，b＝4，c＝5
∴p=a+b+c2=6
∴S=pp-ap-bp-c=6×3×2×1=6
事实上，对于已知三角形的三边长求三角形面积的问题，还可用我国南宋时期数学家秦九韶提出的秦九韶公式等方法解决．
根据上述材料，解答下列问题：
如图，在△ABC中，BC＝5，AC＝6，AB＝9
（1）用海伦公式求△ABC的面积；
（2）求△ABC的内切圆半径r．
【答案】（1）102；（2）r=2．
【分析】（1）先根据BC、AC、AB的长求出P，再代入到公式S=pp-ap-bp-c即可求得S的值；
（2）根据公式S=12r（AC+BC+AB），代入可得关于r的方程，解方程得r的值．
【详解】解：（1）∵BC＝5，AC＝6，AB＝9，
∴p=BC+AC+AB2=5+6+92=10，
∴S=pp-ap-bp-c=10×5×4×1=102；
故△ABC的面积102；
（2）∵S=12r（AC+BC+AB），
∴102=12r（5+6+9），
解得：r=2，
故△ABC的内切圆半径r=2．
【点睛】本题主要三角形的内切圆与内心、二次根式的应用，熟练掌握三角形的面积与内切圆半径间的公式是解题的关键．
题型24 求三角形的内切圆半径
83．（2022·贵州铜仁·统考一模）如图，在四边形ABCD中，AB//CD，AB=CD，∠B=60°，AD=83，分别以B和C为圆心，以大于12BC的长为半径作弧，两弧相交于点P和Q，直线PQ与BA延长线交于点E，连接CE，则ΔBCE的内切圆半径是（ ）

A．4B．43C．2D．23
【答案】A
【分析】分别以B和C为圆心，以大于12BC的长为半径作弧，两弧相交于点P和Q，连接P，Q则PQ为BC的垂直平分线，可得EB=EC，又∠B=60°，所以△EBC为等边三角形，作等边三角形EBC的内切圆，设圆心为M，则M在直线PQ上，连接BM，过M作BC垂线垂足为H，在Rt△BMH中，BH=12BC=12AD=43，∠MBH=12∠B=30°，通过解直角三角形可得出MH的值即为△BCE的内切圆半径的长．
【详解】解：有题意得PQ为BC的垂直平分线，
∴EB=EC，
∵∠B=60°，
∴△EBC为等边三角形，
作等边三角形EBC的内切圆，设圆心为M，
∴M在直线PQ上，
连接BM，过M作MH垂直BC于H，垂足为H，
∵AD=83
∴BH=12BC=12AD=43 ，
∵∠MBH=12∠B=30°，
∴在Rt△BMH中,MH=BH×tan30°=43×33=4．
∴ΔBCE的内切圆半径是4．
故选：A．

【点睛】本题考查了线段垂直平分线定理，等边三角形的判定，等边三角形内切圆半径的求法，解直角三角形，解题关键在于理解题意，运用正确的方法求三角形内切圆半径．
84．（2019·福建·校联考二模）如图，ΔABC是一块绿化带，将阴影部分修建为花圃.已知AB=15，AC=9，BC=12，阴影部分是ΔABC的内切圆，一只自由飞翔的小鸟将随机落在这块绿化带上，则小鸟落在花圃上的概率为（ ）.
A．16B．π6C．π8D．π5
【答案】B
【分析】由AB=5，BC=4，AC=3，得到AB2=BC2+AC2，根据勾股定理的逆定理得到△ABC为直角三角形，于是得到△ABC的内切圆半径=4+3-52=1，求得直角三角形的面积和圆的面积，即可得到结论．
【详解】解：∵AB=15，BC=12，AC=9，
∴AB2=BC2+AC2，
∴△ABC为直角三角形，
∴△ABC的内切圆半径=9+12-152=3，
∴S△ABC=12AC•BC=12×9×12=54，
S圆=9π，
∴小鸟落在花圃上的概率=π6 ，
故选B．
【点睛】本题考查几何概率，直角三角形内切圆的半径等于两直角边的和与斜边差的一半及勾股定理的逆定理，解题关键是熟练掌握公式．
85．（2021·江苏苏州·校考一模）已知一个三角形的三边长分别为5、7、8，则其内切的半径为 ．
【答案】3
【分析】如图，AB=7，BC=5，AC=8，内切圆的半径为r，切点为G、E、F，作AD⊥BC于D，设BD=x，则CD=5-x．由AD2=AB2-BD2=AC2-CD2，可得72-x2=82-（5-x）2，解得x=1，推出AD=43，由12•BC•AD=12•（AB+BC+AC）•r，列出方程即可解决问题．
【详解】解：如图，AB=7，BC=5，AC=8，内切圆的半径为r，切点为G、E、F，作AD⊥BC于D，设BD=x，则CD=5-x．
由勾股定理可知：AD2=AB2-BD2=AC2-CD2，
即72-x2=82-（5-x）2，解得x=1，
∴AD=43，
∵12•BC•AD=12•（AB+BC+AC）•r，
12×5×43=12×20×r，
∴r=3，
故答案为：3
【点睛】本题考查三角形的内切圆与内心、勾股定理、三角形的面积等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造直角三角形解决问题，学会利用面积法求内切圆的半径，属于中考常考题型．
题型25 直角三角形周长、面积和内切圆半径的关系
86．（2022·广东梅州·统考二模）如图，在四边形材料ABCD中， AD∥BC ，∠A=90°，AD=9cm，AB=20cm，BC=24cm．现用此材料截出一个面积最大的圆形模板，则此圆的半径是（ ）
A．11013cmB．8cmC．62cmD．10cm
【答案】B
【分析】如图所示，延长BA交CD延长线于E，当这个圆为△BCE的内切圆时，此圆的面积最大，据此求解即可．
【详解】解：如图所示，延长BA交CD延长线于E，当这个圆为△BCE的内切圆时，此圆的面积最大，
∵AD∥BC，∠BAD=90°，
∴△EAD∽△EBC，∠B=90°，
∴EAEB=ADBC，即EAEA+20=924，
∴EA=12cm，
∴EB=32cm，
∴EC=EB2+BC2=40cm，
设这个圆的圆心为O，与EB，BC，EC分别相切于F，G，H，
∴OF=OG=OH，
∵S△EBC=S△EOB+S△COB+S△EOC，
∴12EB⋅BC=12EB⋅OF+12BC⋅OG+12EC⋅OH，
∴24×32=24+32+40⋅OF，
∴OF=8cm，
∴此圆的半径为8cm，
故选B．
【点睛】本题主要考查了三角形内切圆半径与三角形三边的关系，勾股定理，正确作出辅助线是解题的关键．
87．（2022·广东深圳·统考二模）如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝5，⊙O是△ABC的内切圆，半径为2，则图中阴影部分的面积为（ ）
A．30﹣4πB．303-4πC．60﹣16πD．303-16π
【答案】A
【分析】先由切线长定理和勾股定理算出三角形另外两边的长，再根据图中阴影部分的面积=△ABC的面积-⊙O的面积，然后利用三角形的面积公式和圆的面积公式计算即可．
【详解】解：过点O作AB、AC、BC的垂线，垂足分别为D、E、F，如图，
∵OE⊥AC，OF⊥BC，∠C=90°，
∴四边形CEOF是矩形，
∵OE=OF，
∴四边形CEOF是正方形，
∴CE=CF=OE=OF=2，
∵⊙O是△ABC的内切圆，
∴BF=BD，AE=AD=AC-CE=5-2=3，
设BF=BD=x，
在Rt△ABC中，AC2+BC2=AB2，
∴52+(2+x)2=(3+x)2，
解得x=10，
∴BC=12，AB=13，
∴S阴影部分=S△ABC-S⊙O=12×5×12-π×22=30-4π．
故选A．
【点睛】本题主要考查了切线长定理、勾股定理、三角形与圆的面积公式．
题型26 三角形内心有关的应用
88．（2022上·广东河源·九年级校考期末）如图，△ABC的内切圆⊙O与各边相切于D，E，F，且∠FOD=∠EOD=120°，则△ABC是（ ）
A．等腰三角形B．等边三角形
C．直角三角形D．等腰直角三角形
【答案】B
【分析】根据已知易得∠EOF=120°，由切线的性质可得OE⊥AB，OD⊥BC，OF⊥AC，再根据四边形的内角和定理即可求得∠A=∠B=∠C=60°，即可判定△ABC是等边三角形．
【详解】解：∵∠FOD=∠EOD=120°，
∴∠EOF=360°-∠FOD-∠EOD=120°，
∵△ABC的内切圆⊙O与各边相切于D，E，F，
∴OE⊥AB，OD⊥BC，OF⊥AC，
∴∠OEB=∠ODB=∠OEA=∠OFA=∠OFC=∠ODC=90°，
∵四边形内角和为360°，
∴∠A=∠B=∠C=360°-90°-90°-120°=60°，
∴△ABC是等边三角形，
故选：B．
【点睛】本题考查了切线的性质定理、等边三角形的判定和四边形内角和定理，切线的性质：过切点的直径垂直于切线．
89．（2022·江苏·九年级假期作业）已知△ABC中，∠ACB＝90°，CD、CE分别是△ABC中线和高线，则（ ）
A．D点是△ABC的内心B．D点是△ABC的外心
C．E点是△ABC的内心D．E点是△ABC的外心
【答案】B
【分析】根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半，可得D是△ABC的外心，据此即可求解．
【详解】解：在△ABC中，∠ACB＝90°，
∵CD是△ABC中线，
∴D点是△ABC的外心．
故选：B．
【点睛】本题考查了三角形的外心，直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半，掌握以上知识是解题的关键．
90．（2023·吉林长春·统考模拟预测）我国古代数学家赵爽的“弦图”是由四个全等的直角三角形和一个小正方形拼成的一个大正方形（如图所示）．若直角三角形的内切圆半径为3，小正方形的面积为49，则大正方形的面积为 ．
【答案】289
【分析】设直角三角形的三边分别为a,b,c，较长的直角边为a,较短的直角边为b, c为斜边，由切线长定理可得，直角三角形的内切圆的半径等于a+b-c2，即a+b-c=6，根据小正方的面积为49，可得a-b2=49，进而计算c2即a2+b2即可求解．
【详解】解：设四个全等的直角三角形的三边分别为a,b,c，较长的直角边为a,较短的直角边为b, c为斜边，
∵直角三角形的内切圆半径为3，小正方形的面积为49，
∴ a+b-c2=3，a-b2=49，
∴ a+b-c=6①，a-b=7②，
∴a=13+c2,b=c-12，
∵a2+b2=c2③，
∴13+c22+c-122=c2，
解得c=17或c=-5（舍去），
大正方形的面积为c2=172=289，
故答案为：289．
【点睛】本题考查了切线长定理，勾股定理，解一元二次方程，二元一次方程组，掌握直角三角形的内切圆的半径等于a+b-c2是解题的关键．
91．（2024上·广西柳州·九年级统考期末）学校要举办运动会，九（1）班同学正在准备各种道具，小聪同学现有一块三角形的纸片，要在三角形纸片中截下一块圆形纸片做道具，要求截下的圆与三角形的三条边都相切．小聪用A，B，C表示三角形纸片的三个顶点（如图1）．请你按要求完成：
(1)尺规作图：在图1中找出圆心点O（要求：保留作图痕迹，标明字母，不写作法）；
(2)若纸片三边长分别是：BC=8，AC=6，AB=10，⊙O与边AB，BC，CA分别相切于点D，E，F（如图2），求小聪截得的圆形道具的面积．
【答案】(1)见解析
(2)小聪截得的圆形道具的面积是4π
【分析】本题考查三角形内切圆，切线长定理等知识点；
（1）用尺规作∠ACB和∠CAB的角平分线，交点即为圆心点O；
（2）连接OD，OE，OF，根据切线长定理可得CE=CF=OE=r，BE=BD=8-r，AF=AD=6-r，最后根据AB=AD+BD=10列方程求解即可．
【详解】（1）如图所示：点O即为所求；
（2）连接OD，OE，OF，
在△ABC中，BC=6，AC=8，AB=10
∵AB2=BC2+AC2，
∴△ABC是直角三角形，∠C=90∘
∴⊙O是△ABC的内切圆，切点为D，E，F，
∴OD⊥AB，OE⊥BC，OF⊥AC，
BD=BE，AD=AF，CE=CF
∵∠C=∠CEO=∠CFO=90∘，OE=OF
∴四边形ODCE为正方形，
∴设CE=CF=OE=r，
∴BE=BD=8-r，AF=AD=6-r，
∴8-r+6-r=10，
解得r=2，
∴S圆=πr2=4π，
∴小聪截得的圆形道具的面积是4π．
题型27 三角形外接圆与内切圆综合
92．（2023·山东泰安·校考二模）如图，点I为的△ABC内心，连接AI并延长交△ABC的外接圆于点D，若AI=2CD，点E为弦AC的中点，连接EI，IC，若IC=6，ID=5，则IE的长为（ ）
A．5B．4.5C．4D．3.5
【答案】C
【分析】由已知条件可得到ID=BD=DC=5，过点D作DF⊥IC于F，连接EF，可得四边形EIDF为平行四边形，可得IE=DF，即可求出IE的长．
【详解】解：连接BD，如图，
∵I为△ABC的内心，
∴∠BAD=∠CAD，∠ACI=∠ICB
∴BD=CD，
又∵∠DIC=∠DAC+∠ACI，∠ICD=∠ICB+∠BCD，∠DAC=∠BAD=∠BCD，
∴∠DIC=∠ICD，
∴ID=CD，
∴ID=BD=DC=5，
∵AI=2CD，
∴AI=2CD=10，
过点D作DF⊥IC于F，连接EF，
∴IF=FC=12IC=3，
在Rt△IFD中，由勾股定理得，DF=ID2-IF2=52-32=4，
∵点E为弦AC的中点
∴EF为△AIC的中位线，
∴EF∥AD，EF=12AI=5=ID，
∴四边形EIDF为平行四边形，
∴IE=DF=4，
故选C．
【点睛】本题是三角形外接圆和内切圆综合，考查了平行四边形的性质与判定，三角形中位线定理，等腰三角形的性质与判定，内心等等，正确作出辅助线构造平行四边形是解题的关键．
93．（2022·湖北武汉·校考模拟预测）图，⊙O是△ABC的外接圆，点I是△ABC内心，连接AI并延长交⊙O于点D，若AB＝9，BC＝14，CA＝13，则AIAD的值是（ ）
A．37B．59C．411 D．913
【答案】C
【分析】作BM∥AD交CA延长线于点M，连接BI，可得∠ABM=∠BAD，∠CAD=∠M，再由点I是△ABC内心，可得∠BAD=∠CAD，∠ABI=∠IBC，从而得到∠M=∠ABM=∠BAD=∠CAD，AB=AM=9，∠CBD=∠BAD，进而得到BD=ID，再证得△MBC∽△ABD，可得IDAD=711，即可求解．
【详解】：如图，作BM∥AD交CA延长线于点M，连接BI，
∴∠ABM=∠BAD，∠CAD=∠M，
∵点I是△ABC内心，
∴∠BAD=∠CAD，∠ABI=∠IBC，
∴∠M=∠ABM=∠BAD=∠CAD，
∴AB=AM=9，
∴MC=AM+AC=22，
∵∠CBD=∠CAD，
∴∠CBD=∠BAD，
∵∠BAD+∠ABI=∠BID，∠IBC+∠BAD=∠IBD，
∴∠IBD=∠BID，
∴BD=ID，
∵∠D=∠C，
∴△MBC∽△ABD，
∴BCBD=MCAD，
∴14BD=22AD，
∴14ID=22AD，解得：IDAD=711，
∴AIAD=AD-IDAD=1-IDAD=411．
故选：C
【点睛】本题主要考查了三角形的内切圆和外接圆的综合，圆周角定理，相似三角形的判定和性质，作出适当辅助线是解题的关键．
94．（2020·河北邢台·统考模拟预测）如图，在⊙O中，AB=AC，BC＝6，AC=310．I是△ABC的内心，则线段OI的值为（ ）
A．1B．5-10C．10-3D．1310
【答案】B
【分析】连接AO，延长AO交BC于H，连接OB．想办法求出OH，IH即可解决问题．
【详解】解：如图，连接AO，延长AO交BC于H，连接OB．
∵AB=AC，
∴AB=AC，AH⊥BC，
∴BH=CH=3，
∴AH=AC2-CH2=3102-32=9，
设OA=OB=x，
在Rt△BOH中，
∵OB2=OH2+BH2，
∴x2=（9-x）2+32，
∴x=5，
∴OH=AH-AO=9-5=4，
∵S△ABC=12•BC•AH=12•（AB+AC+BC）•IH，
∴IH=6×9310+310+6=10-1，
∴OI=OH-IH=4-（10-1）=5-10，
故选：B．
【点睛】本题主要考查的是三角形的内心和外心、等腰三角形的性质，勾股定理等知识，掌握本题的辅助线的作法是解题的关键．
95．（2021·四川绵阳·统考二模）如图，在△ABC中，∠BAC＝60°，其周长为20，⊙I是△ABC的内切圆，其半径为3，则△BIC的外接圆直径为 .
【答案】1433
【分析】设△BIC的外接圆圆心为O，连接OB，OC，作CD⊥AB于点D，在圆O上取点F，连接FB，FC，作OE⊥BC于点E，设AB＝c，BC＝a，AC＝b，根据三角形内心定义可得S△ABC＝12lr＝12×20×3＝12AB•CD，可得bc＝40，根据勾股定理可得BC＝a＝7，再根据I是△ABC内心，可得IB平分∠ABC，IC平分∠ACB，根据圆内接四边形性质和圆周角定理可得∠BOC＝120°，再根据垂径定理和勾股定理即可求出OB的长．
【详解】解：如图，设△BIC的外接圆圆心为O，连接OB，OC，作CD⊥AB于点D，
在圆O上取点F，连接FB，FC，作OE⊥BC于点E，
设AB＝c，BC＝a，AC＝b，
∵∠BAC＝60°，
∴AD＝12b，
CD＝AC•sin60°＝32b，
∴BD＝AB﹣AD＝c﹣12b，
∵△ABC周长为l＝20，△ABC的内切圆半径为r＝3，
∴S△ABC＝12lr＝12×20×3＝12AB•CD，
∴203=32b•c，
∴bc＝40，
在Rt△BDC中，根据勾股定理，得
BC2＝BD2+CD2，
即a2＝（c﹣12b）2+（32b）2，
整理得：a2＝c2+b2﹣bc，
∵a+b+c＝20，
∴a2＝c2+b2﹣bc＝（b+c）2﹣3bc＝（20﹣a）2﹣3×40，
解得a＝7，
∴BC＝a＝7，
∵I是△ABC内心，
∴IB平分∠ABC，IC平分∠ACB，
∵∠BAC＝60°，
∴∠ABC+∠ACB＝120°，
∴∠IBC+∠ICB＝60°，
∴∠BIC＝120°，
∴∠BFC＝180°﹣120°＝60°，
∴∠BOC＝120°，
∵OE⊥BC，
∴BE＝CE＝72，∠BOE＝60°，
∴OB＝BEsin60°=7232=733.
∴外接圆直径为1433．
故答案为：1433．
【点睛】本题属于圆的综合题，考查了三角形的内切圆与内心，三角形的外接圆与外心，解直角三角形，圆内接四边形的性质，垂径定理，勾股定理，解决本题的关键是综合运用以上知识．属于中考选择题的压轴题，很有难度．
一、单选题
1．（2023·重庆·统考中考真题）如图，AC是⊙O的切线，B为切点，连接OA，OC．若∠A=30°，AB=23，BC=3，则OC的长度是（ ）

A．3B．23C．13D．6
【答案】C
【分析】根据切线的性质及正切的定义得到OB=2，再根据勾股定理得到OC=13．
【详解】解：连接OB，
∵AC是⊙O的切线，B为切点，
∴OB⊥AC，
∵∠A=30°，AB=23，
∴在Rt△OAB中，OB=AB⋅tan∠A=23×33=2，
∵BC=3，
∴在Rt△OBC中，OC=OB2+BC2=13，
故选C．

【点睛】本题考查了切线的性质，锐角三角函数，勾股定理，掌握切线的性质是解题的关键．
2．（2023·重庆·统考中考真题）如图，AB为⊙O的直径，直线CD与⊙O相切于点C，连接AC，若∠ACD=50°，则∠BAC的度数为（ ）

A．30°B．40°C．50°D．60°
【答案】B
【分析】连接OC，先根据圆的切线的性质可得∠OCD=90°，从而可得∠OCA=40°，再根据等腰三角形的性质即可得．
【详解】解：如图，连接OC，

∵直线CD与⊙O相切，
∴OC⊥CD，
∴∠OCD=90°，
∵∠ACD=50°，
∴∠OCA=40°，
∵OA=OC，
∴∠BAC=∠OCA=40°，
故选：B．
【点睛】本题考查了圆的切线的性质、等腰三角形的性质，熟练掌握圆的切线的性质是解题关键．
3．（2023·山东聊城·统考中考真题）如图，点O是△ABC外接圆的圆心，点I是△ABC的内心，连接OB，IA．若∠CAI=35°，则∠OBC的度数为（ ）

A．15°B．17.5°C．20°D．25°
【答案】C
【分析】根据三角形内心的定义可得∠BAC的度数，然后由圆周角定理求出∠BOC，再根据三角形内角和定理以及等腰三角形的性质得出答案．
【详解】解：连接OC，
∵点I是△ABC的内心，∠CAI=35°，
∴∠BAC=2∠CAI=70°，
∴∠BOC=2∠BAC=140°，
∵OB=OC，
∴∠OBC=∠OCB=180°-∠BOC2=180°-140°2=20°，
故选：C．

【点睛】本题主要考查了三角形内心的定义和圆周角定理，熟知三角形的内心是三角形三个内角平分线的交点是解题的关键．
4．（2023·湖北武汉·统考中考真题）如图，在四边形ABCD中，AB∥CD,AD⊥AB，以D为圆心，AD为半径的弧恰好与BC相切，切点为E．若ABCD=13，则sinC的值是（ ）

A．23B．53C．34D．74
【答案】B
【分析】作CF⊥AB延长线于F点，连接DE，根据圆的基本性质以及切线的性质，分别利用勾股定理求解在Rt△DEC和Rt△BFC，最终得到DE，即可根据正弦函数的定义求解．
【详解】解：如图所示，作CF⊥AB延长线于F点，连接DE，

∵AD⊥AB，AB∥CD，
∴∠FAD=∠ADC=∠F=90°，
∴四边形ADCF为矩形，AF=DC，AD=FC，
∴AB为⊙D的切线，
由题意，BE为⊙D的切线，
∴DE⊥BC，AB=BE，
∵ABCD=13，
∴设AB=BE=a，CD=3a，CE=x，
则BF=AF-AB=CD-AB=2a，BC=BE+CE=a+x，
在Rt△DEC中，DE2=CD2-CE2=9a2-x2，
在Rt△BFC中，FC2=BC2-BF2=a+x2-2a2，
∵DE=DA=FC，
∴9a2-x2=a+x2-2a2，
解得：x=2a或x=-3a（不合题意，舍去），
∴CE=2a，
∴DE=CD2-CE2=9a2-4a2=5a，
∴sinC=DEDC=5a3a=53，
故选：B．
【点睛】本题考查圆的切线的判定与性质，解直角三角形，以及正弦函数的定义等，综合性较强，熟练运用圆的相关性质以及切线的性质等是解题关键．
5．（2023·广东广州·统考中考真题）如图，△ABC的内切圆⊙I与BC，CA，AB分别相切于点D，E，F，若⊙I的半径为r，∠A=α，则BF+CE-BC的值和∠FDE的大小分别为（ ）
A．2r，90°-αB．0，90°-αC．2r，90°-α2D．0，90°-α2
【答案】D
【分析】如图，连接IF，IE．利用切线长定理，圆周角定理，切线的性质解决问题即可．
【详解】解：如图，连接IF，IE．
∵△ABC的内切圆⊙I与BC，CA，AB分别相切于点D，E，F，
∴BF=BD，CD=CE，IF⊥AB，IE⊥AC，
∴BF+CE-BC=BD+CD-BC=BC-BC=0，∠AFI=∠AEI=90°，
∴∠EIF=180°-α，
∴∠EDF=12∠EIF=90°-12α．
故选：D．
【点睛】本题考查三角形的内切圆与内心，圆周角定理，切线的性质等知识，解题的关键是掌握切线的性质，属于中考常考题型．
6．（2023·四川泸州·统考中考真题）如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，点D在斜边AB上，以AD为直径的半圆O与BC相切于点E，与AC相交于点F，连接DE．若AC=8，BC=6，则DE的长是（ ）

A．4109B．8109C．8027D．83
【答案】B
【分析】连接OE，AE，首先根据勾股定理求出AB=AC2+BC2=10，然后证明出△BCA∽△BEO，利用相似三角形的性质得到OE=409，BE=103，证明出△DBE∽△EBA，利用相似三角形的性质求出DE=8109．
【详解】如图所示，连接OE，AE，

∵∠C=90°，AC=8，BC=6，
∴AB=AC2+BC2=10，
∵以AD为直径的半圆O与BC相切于点E，
∴OE⊥BC，
∵∠C=90°，
∴∠C=∠OEB=90°，
∴AC∥OE，
∴∠A=∠EOB，
∴△BCA∽△BEO，
∴OEAC=OBAB=BE6，即OE8=10-OE10=BE6，
∴OE=409，BE=103，
∴CE=CB-BE=6-103=83，
∴AE=AC2+CE2=8310，
∵∠OEB=90°，
∴∠OED+∠DEB=90°，
∵∠ODE+∠EAD=90°，∠ODE=∠OED，
∴∠EAD=∠DEB，
又∵∠B=∠B，
∴△DBE∽△EBA，
∴DEAE=BEAB，即DE8310=10310，
∴解得DE=8109．
故选：B．
【点睛】此题考查了圆与三角形综合题，切线的性质定理，相似三角形的性质和判定，勾股定理等知识，解题的关键是熟练掌握以上知识点．
7．（2023·湖北恩施·统考中考真题）如图，等圆⊙O1和⊙O2相交于A，B两点，⊙O1经过⊙O2的圆心O2，若O1O2=2，则图中阴影部分的面积为（ ）
A．2πB．43πC．πD．23π
【答案】D
【分析】先证明△ACO1≌△BCO2，再把阴影部分面积转换为扇形面积，最后代入扇形面积公式即可．
【详解】如图，连接O2B，O1B，
∵等圆⊙O1和⊙O2相交于A，B两点
∴O1O2⊥AB,AC=BC
∵⊙O1和⊙O2是等圆
∴O1A=O1O2=O1B=O2B
∴△O1O2B是等边三角形
∴∠O1O2B=60°
∵∠ACO1=∠BCO2=90°,AC=BC,O1A=O2B
∴△ACO1≌△BCO2
∴S=S△ACO1+S图形BCO1=S△BCO2+S图形BCO1=S扇形BO1O2=60π22360=2π3．
故选：D．
【点睛】本题考查了相交弦定理，全等的判定及性质，扇形的面积公式，转化思想是解题的关键．
8．（2023·山东·统考中考真题）在△ABC中，BC=3,AC=4，下列说法错误的是（ ）
A．1