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第27讲 与圆有关的位置关系（27题型）（练习）-2024年中考数学一轮复习练习（全国通用）
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这是一份第27讲 与圆有关的位置关系（27题型）（练习）-2024年中考数学一轮复习练习（全国通用），文件包含第27讲与圆有关的位置关系练习原卷版docx、第27讲与圆有关的位置关系练习解析版docx等2份试卷配套教学资源，其中试卷共198页， 欢迎下载使用。
2、学会运用数形结合思想。数形结合思想是指从几何直观的角度,利用几何图形的性质研究数量关系，寻求代数问题的解决方法（以形助数），或利用数量关系来研究几何图形的性质，解决几何问题（以数助形）的一种数学思想。
3、要学会抢得分点。一道中考数学压轴题解不出来，不等于“一点不懂、一点不会”，要将整道题目解题思路转化为得分点。
4、学会运用等价转换思想。在研究数学问题时，我们通常是将未知问题转化为已知的问题，将复杂的问题转化为简单的问题，将抽象的问题转化为具体的问题，将实际问题转化为数学问题。
5、学会运用分类讨论的思想。如果不注意对各种情况分类讨论，就有可能造成错解或漏解，纵观近几年的中考压轴题分类讨论思想解题已成为新的热点。
6、转化思想:体现在数学上也就是要把难的问题转化为简单的问题，把不熟悉的问题转化为熟悉的问题，把未知的问题转化为已知的问题。
第27讲 与圆有关的位置关系
目 录
TOC \ "1-3" \n \h \z \u
\l "_Tc157506560" 题型01 判断点和圆的位置关系
\l "_Tc157506561" 题型02 根据点和圆的位置关系求半径
\l "_Tc157506562" 题型03 判断直线与圆的位置关系
\l "_Tc157506563" 题型04 根据直线与圆的位置关系求半径
\l "_Tc157506564" 题型05 根据直线与圆的位置关系求点到直线的距离
\l "_Tc157506565" 题型06 求圆平移到与直线相切时圆心坐标
\l "_Tc157506566" 题型07 求圆平移到与直线相切时运动距离
\l "_Tc157506567" 题型08 圆和圆的位置关系
\l "_Tc157506568" 题型09 判断或补全使直线成为切线的条件
\l "_Tc157506569" 题型10 利用切线的性质求线段长
\l "_Tc157506570" 题型11 利用切线的性质求角度
\l "_Tc157506571" 题型12 证明某条直线时圆的切线
\l "_Tc157506572" 题型13 利用切线的性质定理证明
\l "_Tc157506573" 题型14 切线的性质与判定的综合运用
\l "_Tc157506574" 题型15 作圆的切线
\l "_Tc157506575" 题型16 应用切线长定理求解
\l "_Tc157506576" 题型17 应用切线长定理求证
\l "_Tc157506577" 题型18 判断三角形外接圆圆心位置
\l "_Tc157506578" 题型19 求外心坐标
\l "_Tc157506580" 题型20 求特殊三角形外接圆的半径
\l "_Tc157506581" 题型21 由三角形的内切圆求长度
\l "_Tc157506582" 题型22 由三角形的内切圆求角度
\l "_Tc157506583" 题型23 由三角形的内切圆求周长、面积
\l "_Tc157506584" 题型24 求三角形的内切圆半径
\l "_Tc157506585" 题型25 直角三角形周长、面积和内切圆半径的关系
\l "_Tc157506586" 题型26 三角形内心有关的应用
\l "_Tc157506587" 题型27 三角形外接圆与内切圆综合
\l "_Tc157506589"
题型01 判断点和圆的位置关系
1．（2023·广东广州·统考一模）已知⊙O的半径为5，当线段OA=6时，则点A与⊙O的位置关系是（ ）
A．在圆上B．在圆外C．在圆内D．不能确定
2．（2023·广东广州·广州大学附属中学校考一模）已知⊙O的半径是8，点P到圆心O的距离d为方程x2−4x−5=0的一个根，则点P在（ ）
A．⊙O的内部B．⊙O的外部
C．⊙O上或⊙O的内部D．⊙O上或⊙O的外部
3．（2023·新疆乌鲁木齐·统考一模）在Rt△ABC中，∠C=90°,BC=8,tanA=2，以点A为圆心，半径为8的圆记作圆A，那么下列说法正确的是（ ）
A．点C在圆A内，点B在圆A外
B．点C在圆A上，点B在圆A外
C．点C、B都在圆A内
D．点C、B都在圆A外
题型02 根据点和圆的位置关系求半径
4．（2022·山东枣庄·校考一模）点P是非圆上一点，若点P到⊙O上的点的最小距离是4cm，最大距离是9cm，则⊙O的半径是 ．
5．（2023·四川成都·统考二模）已知P是⊙O内一点（点P不与圆心O重合），点P到圆上各点的距离中，最小距离与最大距离是关于x的一元二次方程ax2−12ax−20=0的两个实数根，则⊙O的直径为 ．
6．（2023·上海·校考一模）如图，矩形ABCD中，AB=8，AD=6，以A为圆心，r为半径作⊙A，使得点D在圆内，点C在圆外，则半径r的取值范围是 ．
题型03 判断直线与圆的位置关系
7．（2022·安徽蚌埠·统考一模）如图，在平面直角坐标系中，以1.5为半径的圆的圆心P的坐标为(0,2)，将⊙P沿y轴负方向平移1.5个单位长度，则x轴与⊙P的位置关系是（ ）
A．相交B．相切C．相离D．无法确定
8．（2022·山东青岛·统考一模）如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，sinB=45，AC=5cm，以点C为圆心，以2cm的长为半径作圆，则⊙C与AB的位置关系是（ ）
A．相离B．相交C．相切D．相切或相交
9．（2021·上海崇明·统考二模）已知同一平面内有⊙O和点A与点B，如果O的半径为3cm，线段OA＝5cm，线段OB＝3cm，那么直线AB与⊙O的位置关系为（ ）
A．相离B．相交C．相切D．相交或相切
题型04 根据直线与圆的位置关系求半径
10．（2023·上海虹口·校联考二模）如图，在矩形ABCD中，对角线AC与BD相交于点O，AB=5，BC=12．分别以点O、D为圆心画圆，如果⊙O与直线AD相交、与直线CD相离，且⊙D与⊙O内切，那么⊙D的半径长r的取值范围是（ ）
A．1211．（2021·浙江宁波·统考一模）如图，在RtΔABC中，∠C=90°,∠B=30°,AC=2，以C为圆心，r为半径作圆．若该圆与线段AB只有一个交点，则r的取值范围为 ．
12．（2022·湖北襄阳·统考一模）在平面直角坐标系中，已知点A的坐标为3,1，若⊙A与坐标轴有三个公共点，则⊙A的半径为 ．
题型05 根据直线与圆的位置关系求点到直线的距离
13．（2023·江苏淮安·统考一模）已知⊙O的半径为5，直线l与⊙O有2个公共点，则点O到直线l的距离可能是（ ）
A．3B．5C．7D．9
14．（2020·河北唐山·统考二模）已知⊙O的半径为5，直线AB与⊙O有公共点，则圆心O到直线AB的距离不可能为（ ）
A．5B．5.5C．4.5D．1
15．（2022·北京·统考二模）在平面直角坐标系xOy中，给出如下定义：若点P在图形M上，点Q在图形N上，如果PQ两点间的距离有最小值，那么称这个最小值为图形M,N的“近距离”，记为d(M,N)．特别地，当图形M与图形N有公共点时，d(M,N)=0．
已知A（－4，0），B（0，4），C（4，0），D（0，－4），
（1）d（点A，点C）＝________，d（点A，线段BD）＝________；
（2）⊙O半径为r，
① 当r ＝ 1时，求 ⊙O与正方形ABCD的“近距离”d（⊙O，正方形ABCD）；
② 若d（⊙O，正方形ABCD）＝1，则r ＝___________．
（3）M 为x轴上一点，⊙M的半径为1，⊙M与正方形ABCD的“近距离”d（⊙M，正方形ABCD）＜1，请直接写出圆心M的横坐标 m的取值范围．
题型06 求圆平移到与直线相切时圆心坐标
16．（2020·辽宁盘锦·统考二模）如图，半径r=22的⊙M在x轴上平移，且圆心M在x轴上，当⊙M与直线y=x+2相切时，圆心M的坐标为（ ）
A．(0，0)B．(2，0)C．（-6，0）D．(2，0) 或（-6，0）
17．（2022·河南南阳·统考一模）如图，直线y=−34x−3交x轴于点A，交y轴于点B，点P是x轴上一动点，以点P为圆心，以1个单位长度为半径作⊙P，当⊙P与直线AB相切时，点P的坐标是（）
A．−73,0B．−73,0或−173,0
C．−37,0D．−37,0或−317,0
18．（2022·安徽滁州·校考一模）如图，直线l与x轴、y轴分别相交于点A、B，已知B（0，3），∠BAO=30°，点P的坐标为(1,0)，⊙P与y轴相切于点O，若将⊙P沿x轴向左移动，当⊙P与该直线相交时，横坐标为整数的点P的坐标 ．
题型07 求圆平移到与直线相切时运动距离
19．（2021上·吉林四平·九年级统考期末）如图，⊙O的半径OC=10cm，直线l⊥OC，垂足为H，且l交⊙O于A，B两点，AB=16cm，则l沿OC所在直线向下平移 cm时与⊙O相切．
20．（2020·九年级单元测试）已知⊙O是以坐标原点为圆心，半径为1，函数y=x与⊙O交于点A、B，点Px,0在x轴上运动，过点P且与OA平行的直线与⊙O有公共点，则x的范围是 .
21．（2020上·全国·九年级期末）如图所示，在平面直角坐标系xOy中，半径为2的⊙P的圆心P的坐标为（-3，0），将⊙P沿x轴正方向平移，使⊙P与y轴相切，求平移的距离．
题型08 圆和圆的位置关系
22．（2023·吉林四平·校联考三模）如图，已知长方形ABCD中，AB=4,AD=3，圆B的半径为1，圆A与圆B内切，则点C,D与圆A的位置关系是（ ）
A．点C在圆A外，点D在圆A内B．点C在圆A外，点D在圆A外
C．点C在圆A上，点D在圆A内D．点C在圆A内，点D在圆A外
23．（2022·上海徐汇·统考二模）已知两圆相交，当每个圆的圆心都在另一个圆的圆外时，我们称此两圆的位置关系为“外相交”．已知两圆“外相交”，且半径分别为2和5，则圆心距的取值可以是（ ）
A．4B．5C．6D．7
24．（2021·四川绵阳·一模）如图，⊙O1的直径AB长度为12，⊙O2的直径为8，∠AO1O2＝30°，⊙O2沿直线O1O2平移，当⊙O2平移到与⊙O1和AB所在直线都有公共点时，令圆心距O1O2＝x，则x的取值范围是（ ）
A．2≤x≤10B．4≤x≤16C．4≤x≤43D．2≤x≤8
25．（2021·山东青岛·统考一模）【问题提出】用n个圆最多能把平面分成几个区域？
【问题探究】为了解决上面的数学问题，我们采取一般问题特殊化的策略，先从最简单情形入手，再逐次递进，最后猜想得出结论．
探究一：如图1，一个圆能把平面分成2个区域．
探究二：用2个圆最多能把平面分成几个区域？
如图2，在探究一的基础上，为了使分成的区域最多，应使新增加的圆与前1个圆有2个交点，将新增加的圆分成2部分，从而增加2个区域，所以，用2个圆最多能把平面分成4个区域．
探究三：用3个圆最多能把平面分成几个区域？
如图3，在探究二的基础上，为了使分成的区域最多，应使新增加的圆与前2个圆分别有2个交点，将新增加的圆分成2×2=4部分，从而增加4个区域，所以，用3个圆最多能把平面分成8个区域．
（1）用4个圆最多能把平面分成几个区域？
仿照前面的探究方法，写出解答过程，不需画图．
（2）【一般结论】用n个圆最多能把平面分成几个区域？
为了使分成的区域最多，应使新增加的圆与前(n−1)个圆分别有2个交点，将新增加的圆分成______________部分，从而增加___________________个区域，所以，用n个圆最多能把平面分成__________________个区域．（将结果进行化简）
（3）【结论应用】
①用10个圆最多能把平面分成_________个区域；
②用___________个圆最多能把平面分成422个区域．
题型09 判断或补全使直线成为切线的条件
26．（2020·安徽芜湖·校联考三模）如图，在平面直角坐标系中，过格点A，B，C作一圆弧，点B与下列格点的连线中，能够与该圆弧相切的是( )
A．点(0，3)B．点(1，3)C．点(6，0)D．点(6，1)
27．（2019下·九年级课时练习）在Rt△ABC中，∠C=90°，AB=10，AC=8，以C为圆心作⊙C与AB相切，则⊙C的半径长为（ ）
A．8B．4C．9.6D．4.8
28．（2022·吉林长春·吉林大学附属中学校考一模）如图，已知∠AOB=30°，M为OB边上任意一点，以M为圆心，2cm为半径作⊙M，当OM= cm时，⊙M与OA相切.
29．（2019下·九年级课时练习）Rt△ABC的斜边AB=5cm，直角边AC=3cm，圆心为C，半径为2cm和3cm的两个圆⊙C1和⊙C2与直线AB有怎样的位置关系？半径为多少时，AB与⊙C相切？
题型10 利用切线的性质求线段长
30．（2023·山东泰安·统考一模）如图，AB是⊙O的直径，C为⊙O上一点，过点C的切线与AB的延长线交于点P，若AC=PC=33，则PB的长为（ ）
A．3B．32C．23D．3
31．（2023·重庆九龙坡·重庆市育才中学校考一模）在Rt△ABC中，∠C=90°，点O是斜边AB边上一点，以O为圆心，OA为半径作圆，⊙O恰好与边BC相切于点D，连接AD．若AD=BD，⊙O的半径为3，则CD的长度为（ ）
A．94B．332C．3D．23
32．（2023·内蒙古乌兰察布·校考模拟预测）如图，在半径为10cm和6cm的两个同心圆中，大圆的弦AB与小圆相切于点C，则弦AB的长为 cm．
33．（2022·浙江衢州·统考二模）如图，在矩形ABCD中，AB=6，BC=8，E为AD上一点，且AE=2，F为BC边上的动点，以为EF直径作⊙O，当⊙O与矩形的边相切时，BF的长为 ．
题型11 利用切线的性质求角度
34．（2022·广西南宁·校联考一模）如图，⊙O与正五边形ABCDE的两边AE,CD相切于A,C两点，则∠AOC的度数是（ ）
A．144°B．130°C．129°D．108°
35．（2023·山东泰安·统考一模）如图，AB、AC是⊙O的弦，过点A的切线交CB的延长线于点D，若∠BAD=35°，则∠C= °．
36．（2023·山东德州·统考三模）如图，在△ABC中，∠B=90°，⊙O过点A、C，与AB交于点D，与BC相切于点C，若∠A=32°，则∠ADO=
37．（2023·江苏连云港·校考一模）如图，射线AB与⊙O相切于点B，经过圆心O的射线AC与⊙O相交于点D、C，连接BC，若∠A=40°，则∠ACB= °．
题型12 证明某条直线时圆的切线
38．（2023·江苏淮安·统考一模）如图，在△ ABC中，∠ABC =45°，AB=AC，以AB为直径的⊙O与边BC交于点D．
(1)判断直线AC与⊙O的位置关系，并说明理由；
(2)若AB=4，求图中阴影部分的面积．
39．（2023·云南昆明·校考一模）如图，△ABC内接于⊙O，AB，CD是⊙O的直径，E是DB延长线上一点，且∠DEC=∠ABC．
(1)求证：CE是⊙O的切线；
(2)若DE=45，AC=2BC，求线段CE的长．
40．（2023·江苏淮安·统考三模）如图，在△ABC中，AB=AC，∠BAC=120°，点O在BC边上，⊙O经过点A和点B，且与BC边相交于点E．
(1)试判断直线AC与⊙O的位置关系，并说明理由；
(2)若CE=3，求⊙O的半径．
41．（2023·黑龙江齐齐哈尔·统考模拟预测）如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，以BC为直径的⊙O交AB于点D，E是AC的中点．
(1)判断直线DE与⊙O的位置关系，并说明理由；
(2)若∠BCD=30°，AE=53，求阴影部分的面积；
题型13 利用切线的性质定理证明
42．（2023·福建福州·福建省福州杨桥中学校考模拟预测）AB是⊙O的直径，C是⊙O上一点，OD⊥BC，垂足为D，过点A作⊙O的切线，与DO的延长线相交于点E．
(1)如图1，求证∠B=∠E；
(2)如图2，连接AD，若⊙O的半径为2，OE=3，求AD的长．
43．（2023·陕西铜川·统考一模）如图，AB是⊙O的直径，AM是⊙O的切线，AC、CD是⊙O的弦，且CD⊥AB，垂足为E，连接BD并延长，交AM于点P．
(1)求证：∠CAB=∠APB；
(2)若⊙O的半径r=5,AC=8，求线段PD的长．
44．（2023·甘肃酒泉·统考一模）如图，AB是⊙O的直径，AC是⊙O的弦，AD平分∠CAB交⊙O于点D，过点D作⊙O的切线EF，交AB的延长线于点E，交AC的延长线于点F．
(1)求证：AF⊥EF；
(2)若CF=1，AC=2，AB=4，求BE的长．
45．（2020·北京·统考模拟预测）如图，AB为⊙O的直径，C为BA延长线上一点，CD是⊙O的切线，D为切点，OF⊥AD于点E，交CD于点F．
（1）求证：∠ADC=∠AOF；
（2）若sinC=13，BD=8，求EF的长．
题型14 切线的性质与判定的综合运用
46．（2020·山东德州·统考二模）如图，AB是△ABC外接圆的直径，O为圆心，CH⏊AB，垂足为H，且∠PCA=∠ACH， CD平分∠ACB，交⊙O于点D，连接BD，AP=2．
（1）判断直线PC是否为⊙O的切线，并说明理由；
（2）若∠P=30°，求AC、BC、BD的长．
（3）若tan∠ACP=12，求⊙O半径．
47．（2020·甘肃酒泉·统考二模）如图，已知BC是⊙O的直径，AC切⊙O于点C，AB交O于点D，E为AC的中点，连接CD，DE．
（1）求证：DE是⊙O的切线；
（2）若BD=4，CD=3，求AC的长．
48．（2023·云南楚雄·统考一模）如图，在△ABC中，AB=AC，以AC为直径作⊙O交BC于点D，过点D作DE⊥AB，垂足为E，延长BA交⊙O于点F．
(1)求证：DE是⊙O的切线
(2)若AEDE=23,AF=10，求⊙O的半径．
49．（2021·广东韶关·统考一模）如图，AC为⊙O的直径，B为AC延长线上一点，且∠BAD＝∠ABD＝30°，BC＝1，AD为⊙O的弦，连接BD，连接DO并延长交⊙O于点E，连接BE交⊙O于点M．
(1)求证：直线BD是⊙O的切线；
(2)求⊙O的半径OD的长；
(3)求线段BM的长．
题型15 作圆的切线
50．（2022·北京海淀·人大附中校考模拟预测）已知：⊙O和圆外一点P，求作：过点P的⊙O的切线．
作法：①连接OP；
②分别以O，P为圆心，大于12OP长为半径画弧，两弧交于M，N两点，连接MN，交OP于点C．
③以C为圆心，OC长为半径作⊙C，交⊙O于点A，B；
④作直线PA，PB．
所以直线PA，PB为⊙O的切线．
(1)使用直尺和圆规，依作法补全图形（保留作图痕迹）；
(2)完成下面的证明．
证明：连接MP，MO，NP，NO，OA，OB．
∵ MP=MO，NP=NO，
∴MN是线段OP的______（______）（填推理的依据）．
∴ CP=CO．
∵OP为⊙O的直径，A，B在⊙C上
∴ ∠OAP=∠OBP=90°（______）（填推理的依据）．
∴半径OA⊥AP，半径OB⊥BP．
∴直线PA，PB为⊙O的切线（______）（填推理的依据）．
51．（2023·山东青岛·统考三模）已知：如图，在△ABC中，∠ACB=90°．求作：⊙O，使圆心O在斜边AB上，经过点B且与边AC相切于点E．（用直尺、圆规作图，不写作法，但要保留作图痕迹．）
52．（2023·江苏南京·统考二模）如图，已知菱形ABCD．求作⊙O，使得⊙O与菱形的四条边都相切要求：（1）用直尺和圆规作图；（2）保留作图的痕迹，写出必要的文字说明．
53．（2023·福建莆田·统考二模）（1）如图1，Rt△ABC中，∠ABC=90°，AO平分∠BAC交BC于点O，以OB为半径作⊙O．判断直线AC是否为⊙O的切线，并说明理由；
（2）如图2，某湿地公园内有一条四边形ABCD型环湖路，∠ABC=90°．现要修一条圆弧形水上栈道，要求该圆弧形水上栈道所在的⊙O，圆心在BC上且与AB，CD相切．求作⊙O．（要求：尺规作图，不写作法，保留作图痕迹）
题型16 应用切线长定理求解
54．（2022·江西·模拟预测）如图，PA、PB分别与⊙O相切于点A、B，连接PO并延长与⊙O交于点C、D，若CD=12，PA=8，则sin∠ADB的值为（ ）
A．45B．35C．34D．43
55．（2022·浙江杭州·统考一模）如图，PA、PB是⊙O的切线，A、B为切点，连接OB、AB，若∠ABO=25°，则∠APB的度数为（ ）
A．50°B．55°C．65°D．70°
56．（2023·北京西城·北师大实验中学校考三模）如图，PA､PB切⊙O于A､B，若∠APB=60∘,⊙O的半径为3，则线段PO的长度为（ ）
A．53B．6C．8D．10
57．（2021·湖北随州·一模）如图：PA切⊙O于A，PB切⊙O于B，OP交⊙O于C，下列结论中错误的是（ ）
A．∠APO=∠BPOB．PA=PBC．AB⊥OPD．C是PO的中点
题型17 应用切线长定理求证
58．（2022·四川成都·统考二模）已知：如图，PA，PB是⊙O的两条切线，A，B是切点，BC是直径，AB交PO于点M，⊙O的半径为3，PA=4．
(1)求证：AC∥PO；
(2)求AC的长
59．（2023·湖北武汉·校联考模拟预测）已知⊙O的圆心在BC上，AC、AB分别为⊙O的切线，切点分别为C、D，⊙O交BC另一点E．
(1)求证：DE∥AO；
(2)若AC=6，AB=10，求DE的长．
60．（2021·河北唐山·统考二模）如图，△ABC是直角三角形，以斜边AB为直径作半圆，半圆的圆心为O，过A、C两点作半圆的切线，交点为D，连接DO交AC于点E．
(1)求证：OD∥BC；
(2)若AC＝2BC，求证：AB＝AD．
61．（2022·辽宁大连·统考一模）如图，PA，PB是⊙O的两条切线，切点分别为A，B．连接OP交⊙O于点C，连接AC，BC．
(1)求证：C是AB的中点；
(2)若AC=OC=2，求AP的长．
题型18 判断三角形外接圆圆心位置
62．（2023·河北邢台·统考一模）如图，在由小正方形组成的网格中，点A，B，C，D，E，F，O均在格点上．下列三角形中，外心不是点O的是（ ）
A．△ABCB．△ABDC．△ABED．△ABF
63．（2023·北京昌平·统考二模）船航行的海岸附近有暗礁，为了使船不触上暗礁，可以在暗礁的两侧建立两座灯塔.只要留心从船上到两个灯塔间的角度不超过一定的大小，就不用担心触礁.如图所示的网格是正方形网格，点A,B,C,D,P,M,N是网格线交点，当船航行到点P的位置时，此时与两个灯塔M,N间的角度（∠MPN的大小）一定无触礁危险.那么，对于A,B,C,D四个位置，船处于___________时，也一定无触礁危险.（ ）
A．位置AB．位置BC．位置CD．位置D
64．（2023·广东汕尾·统考二模）如图，在5×5的正方形网格中（小正方形的连长为1），有6个点A、B、C、D、E、F，若过A、B、C三点作圆O，则点D、E、F三点中在圆O外的有（ ）个
A．0B．1C．2D．3
65．（2018·广东汕尾·校考三模）如图所示，要把残破的轮片复制完整，已知弧上的三点A，B，C．
(1)用尺规作图法找出所在圆的圆心；（保留作图痕迹，不写作法）
(2)设△ABC是等腰三角形，底边BC=8cm，腰AB=5cm，求圆片的半径R．
题型19 求外心坐标
66．（2022·山东枣庄·校考一模）如图，在平面直角坐标系中，A0,−3，B2,−1，C2,3．则△ABC的外心坐标为（ ）
A．0,0B．−1,1C．−2,−1D．−2,1
67．（2022·湖北武汉·校考模拟预测）如图，已知平面直角坐标系内三点A（3，0）、B（5，0）、C（0，4），⊙P经过点A、B、C，则点P的坐标为（ ）
A．（6，8）B．（4，5）C．（4，318）D．（4，338）
68．（2022·广东深圳·统考二模）如图，在单位长度为1的正方形网格中建立直角坐标系，一条圆弧恰好经过网格点A、B、C，请在网格图中进行下列操作（以下结果保留根号）：
(1)利用网格找出该圆弧所在圆的圆心D点的位置，则D点的坐标为_______；
(2)连接AD、CD，若扇形DAC是一个圆锥的侧面展开图，则该圆锥底面半径为_______；
(3)连接AB，将线段AB绕点D旋转一周，求线段AB扫过的面积．
题型20 求特殊三角形外接圆的半径
69．（2023·辽宁阜新·统考一模）如图，⊙O是等边△ABC的外接圆，若AB=3，则⊙O的半径是（ ）
A．32B．32C．3D．52
70．（2022·江苏无锡·无锡市天一实验学校校考模拟预测）已知在△ABC中，AB=AC=5，BC=6，则△ABC的外接圆的半径是 ．
71．（2023·江苏镇江·校联考一模）如图1，在平面直角坐标系中，二次函数y=−12x2+bx+c的图像与x轴交于点A−1,0和点B4,0，与y轴交于点C，顶点为点D．
(1)求二次函数表达式和点D的坐标；
(2)连接AC、BC，求△ABC外接圆的半径；
(3)点P为x轴上的一个动点，连接PC，求PC+55PB的最小值；
(4)如图2，点E为对称轴右侧的抛物线上一点，且点E的纵坐标为−3，动点M从点C出发，沿平行于x轴的直线a向右运动，连接EM，过点M作EM的垂线b，记直线b与抛物线对称轴的交点为N，当直线b与直线a重合时运动停止，请直接写出点N的运动总路程．
题型21 由三角形的内切圆求长度
72．（2022·陕西西安·校考模拟预测）在△ABC中，AB＝4，∠C＝45°，则2AC+BC的最大值为 ．
73．（2022·四川泸州·二模）如图，△ABC的内切圆⊙O与AB，BC，AC相切于点D，E，F，已知AB＝6，AC＝5，BC＝7，则DE的长是（ ）
A．1277B．1077C．977D．877
74．（2022·云南文山·一模）如图，BC是⊙O的直径，点A是⊙O上的一点，点D是△ABC的内心，若BC＝5，AC＝3，则BD的长度为（ ）
A．2B．3C．10D．342
75．（2023·福建福州·福建省福州延安中学校考二模）如图上，ΔABC中,∠C=90∘,AC=8,BC=6,O为内心，过点O的直线分别与AC、AB相交于D、E，若DE=CD+BE，则线段CD的长为 .
题型22 由三角形的内切圆求角度
76．（2022·山东烟台·统考一模）如图，点I是△ABC的内心，若∠I=116°，则∠A等于（ ）
A．50°B．52°C．54°D．56°
77．（2022·湖南长沙·长沙市长郡双语实验中学校考一模）如图，△ABC中，∠A=80°，点O是△ABC的内心，则∠BOC的度数为（ ）
A．100°B．160°C．80°D．130°
题型23 由三角形的内切圆求周长、面积
78．（2020·贵州遵义·校考模拟预测）如图，△ABC中，AB＝7cm，AC＝8cm，BC＝6cm，点O是△ABC的内心，过点O作EF//AB，与AC、BC分别交于点E、F，则△CEF的周长为（ ）
A．14cmB．15cmC．13cmD．10.5cm
79．（2018·海南省直辖县级单位·统考一模）如图，甲、乙、丙、丁四位同学从四块全等的等腰直角三角形纸板上裁下四块不同的纸板（阴影部分），他们的具体裁法如下：甲同学：如图1所示裁下一个正方形，面积记为S1；乙同学：如图2所示裁下一个正方形，面积记为S2；丙同学：如图3所示裁下一个半圆，使半圆的直径在等腰Rt△的直角边上，面积记为S3；丁同学：如图所示裁下一个内切圆，面积记为S4则下列判断正确的是（ ）
①S1=S2；②S3=S4；③在S1，S2，S3，S4中，S2最小．
A．①②B．②③C．①③D．①②③
80．（2023·广东江门·统考二模）一个直角三角形的斜边长为8，内切圆半径为1，则这个三角形的周长等于 ．
81．（2023·河南郑州·河南省实验中学校考一模）如图，等边△ABC内切圆的图形来自我国古代的太极图，等边三角形内切圆中的黑色部分和白色部分关于等边△ABC的内心成中心对称．若等边△ABC的边长为6，则圆中的黑色部分的面积是 ．
82．（2022·贵州铜仁·统考三模）已知任意三角形的三边长，如何求三角形面积？
古希腊的几何学家海伦解决了这个问题，在他的著作《度量论》一书中给出了计算公式—海伦公式S=pp−ap−bp−c（其中a，b，c是三角形的三边长，p=a+b+c2，S为三角形的面积），并给出了证明
例如：在△ABC中，a＝3，b＝4，c＝5，那么它的面积可以这样计算：
∵a＝3，b＝4，c＝5
∴p=a+b+c2=6
∴S=pp−ap−bp−c=6×3×2×1=6
事实上，对于已知三角形的三边长求三角形面积的问题，还可用我国南宋时期数学家秦九韶提出的秦九韶公式等方法解决．
根据上述材料，解答下列问题：
如图，在△ABC中，BC＝5，AC＝6，AB＝9
（1）用海伦公式求△ABC的面积；
（2）求△ABC的内切圆半径r．
题型24 求三角形的内切圆半径
83．（2022·贵州铜仁·统考一模）如图，在四边形ABCD中，AB//CD，AB=CD，∠B=60°，AD=83，分别以B和C为圆心，以大于12BC的长为半径作弧，两弧相交于点P和Q，直线PQ与BA延长线交于点E，连接CE，则ΔBCE的内切圆半径是（ ）
A．4B．43C．2D．23
84．（2019·福建·校联考二模）如图，ΔABC是一块绿化带，将阴影部分修建为花圃.已知AB=15，AC=9，BC=12，阴影部分是ΔABC的内切圆，一只自由飞翔的小鸟将随机落在这块绿化带上，则小鸟落在花圃上的概率为（ ）.
A．16B．π6C．π8D．π5
85．（2021·江苏苏州·校考一模）已知一个三角形的三边长分别为5、7、8，则其内切的半径为 ．
题型25 直角三角形周长、面积和内切圆半径的关系
86．（2022·广东梅州·统考二模）如图，在四边形材料ABCD中， AD∥BC ，∠A=90°，AD=9cm，AB=20cm，BC=24cm．现用此材料截出一个面积最大的圆形模板，则此圆的半径是（ ）
A．11013cmB．8cmC．62cmD．10cm
87．（2022·广东深圳·统考二模）如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝5，⊙O是△ABC的内切圆，半径为2，则图中阴影部分的面积为（ ）
A．30﹣4πB．303−4πC．60﹣16πD．303−16π
题型26 三角形内心有关的应用
88．（2022上·广东河源·九年级校考期末）如图，△ABC的内切圆⊙O与各边相切于D，E，F，且∠FOD=∠EOD=120°，则△ABC是（ ）
A．等腰三角形B．等边三角形
C．直角三角形D．等腰直角三角形
89．（2022·江苏·九年级假期作业）已知△ABC中，∠ACB＝90°，CD、CE分别是△ABC中线和高线，则（ ）
A．D点是△ABC的内心B．D点是△ABC的外心
C．E点是△ABC的内心D．E点是△ABC的外心
90．（2023·吉林长春·统考模拟预测）我国古代数学家赵爽的“弦图”是由四个全等的直角三角形和一个小正方形拼成的一个大正方形（如图所示）．若直角三角形的内切圆半径为3，小正方形的面积为49，则大正方形的面积为 ．
91．（2024上·广西柳州·九年级统考期末）学校要举办运动会，九（1）班同学正在准备各种道具，小聪同学现有一块三角形的纸片，要在三角形纸片中截下一块圆形纸片做道具，要求截下的圆与三角形的三条边都相切．小聪用A，B，C表示三角形纸片的三个顶点（如图1）．请你按要求完成：
(1)尺规作图：在图1中找出圆心点O（要求：保留作图痕迹，标明字母，不写作法）；
(2)若纸片三边长分别是：BC=8，AC=6，AB=10，⊙O与边AB，BC，CA分别相切于点D，E，F（如图2），求小聪截得的圆形道具的面积．
题型27 三角形外接圆与内切圆综合
92．（2023·山东泰安·校考二模）如图，点I为的△ABC内心，连接AI并延长交△ABC的外接圆于点D，若AI=2CD，点E为弦AC的中点，连接EI，IC，若IC=6，ID=5，则IE的长为（ ）
A．5B．4.5C．4D．3.5
93．（2022·湖北武汉·校考模拟预测）图，⊙O是△ABC的外接圆，点I是△ABC内心，连接AI并延长交⊙O于点D，若AB＝9，BC＝14，CA＝13，则AIAD的值是（ ）
A．37B．59C．411 D．913
94．（2020·河北邢台·统考模拟预测）如图，在⊙O中，AB=AC，BC＝6，AC=310．I是△ABC的内心，则线段OI的值为（ ）
A．1B．5−10C．10−3D．1310
95．（2021·四川绵阳·统考二模）如图，在△ABC中，∠BAC＝60°，其周长为20，⊙I是△ABC的内切圆，其半径为3，则△BIC的外接圆直径为 .
一、单选题
1．（2023·重庆·统考中考真题）如图，AC是⊙O的切线，B为切点，连接OA，OC．若∠A=30°，AB=23，BC=3，则OC的长度是（ ）
A．3B．23C．13D．6
2．（2023·重庆·统考中考真题）如图，AB为⊙O的直径，直线CD与⊙O相切于点C，连接AC，若∠ACD=50°，则∠BAC的度数为（ ）
A．30°B．40°C．50°D．60°
3．（2023·山东聊城·统考中考真题）如图，点O是△ABC外接圆的圆心，点I是△ABC的内心，连接OB，IA．若∠CAI=35°，则∠OBC的度数为（ ）
A．15°B．17.5°C．20°D．25°
4．（2023·湖北武汉·统考中考真题）如图，在四边形ABCD中，AB∥CD,AD⊥AB，以D为圆心，AD为半径的弧恰好与BC相切，切点为E．若ABCD=13，则sinC的值是（ ）
A．23B．53C．34D．74
5．（2023·广东广州·统考中考真题）如图，△ABC的内切圆⊙I与BC，CA，AB分别相切于点D，E，F，若⊙I的半径为r，∠A=α，则BF+CE−BC的值和∠FDE的大小分别为（ ）
A．2r，90°−αB．0，90°−αC．2r，90°−α2D．0，90°−α2
6．（2023·四川泸州·统考中考真题）如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，点D在斜边AB上，以AD为直径的半圆O与BC相切于点E，与AC相交于点F，连接DE．若AC=8，BC=6，则DE的长是（ ）
A．4109B．8109C．8027D．83
7．（2023·湖北恩施·统考中考真题）如图，等圆⊙O1和⊙O2相交于A，B两点，⊙O1经过⊙O2的圆心O2，若O1O2=2，则图中阴影部分的面积为（ ）
A．2πB．43πC．πD．23π
8．（2023·山东·统考中考真题）在△ABC中，BC=3,AC=4，下列说法错误的是（ ）
A．1C．△ABC内切圆的半径r<1D．当AB=7时，△ABC是直角三角形
9．（2023·湖北·统考中考真题）如图，在3×3的正方形网格中，小正方形的顶点称为格点，顶点均在格点上的图形称为格点图形，图中的圆弧为格点△ABC外接圆的一部分，小正方形边长为1，图中阴影部分的面积为（ ）
A．52π−74B．52π−72C．54π−74D．54π−72
10．（2023·黑龙江哈尔滨·统考中考真题）如图，AB是⊙O的切线，A为切点，连接OA﹐点C在⊙O上，OC⊥OA，连接BC并延长，交⊙O于点D，连接OD．若∠B=65°，则∠DOC的度数为（ ）
A．45°B．50°C．65°D．75°
11．（2023·四川攀枝花·统考中考真题）已知△ABC的周长为l，其内切圆的面积为πr2，则△ABC的面积为（ ）
A．12rlB．12πrlC．rlD．πrl
12．（2023·湖南湘西·统考中考真题）如图，AB为⊙O的直径，点P在AB的延长线上，PC，PD与⊙O相切，切点分别为C，D．若AB=10,PC=12，则sin∠CAD等于（ ）
A．125B．1312C．135D．1213
13．（2023·四川德阳·统考中考真题）如图，⊙O的直径AB=10，DE是弦，AB⊥DE，CEB=EBD，sin∠BAC=35，AD的延长线与CB的延长线相交于点F，DB的延长线与OE的延长线相交于点G，连接CG．下列结论中正确的个数是（ ）
①∠DBF=3∠DAB；
②CG是⊙O的切线；
③B，E两点间的距离是10；
④DF=11109．
A．1B．2C．3D．4
二、填空题
14．（2023·上海·统考中考真题）在△ABC中AB=7,BC=3,∠C=90°，点D在边AC上，点E在CA延长线上，且CD=DE，如果⊙B过点A，⊙E过点D，若⊙B与⊙E有公共点，那么⊙E半径r的取值范围是 ．
15．（2023·湖北·统考中考真题）如图，在△ABC中，∠ACB=70°，△ABC的内切圆⊙O与AB，BC分别相切于点D，E，连接DE，AO的延长线交DE于点F，则∠AFD= ．
16．（2023·黑龙江·统考中考真题）矩形ABCD中，AB=3,AD=9，将矩形ABCD沿过点A的直线折叠，使点B落在点E处，若△ADE是直角三角形，则点E到直线BC的距离是 ．
17．（2023·江苏镇江·统考中考真题）《九章算术》中记载：“今有勾八步，股一十五步．问勾中容圆，径几何？”译文：现在有一个直角三角形，短直角边的长为8步，长直角边的长为15步．问这个直角三角形内切圆的直径是多少？书中给出的算法译文如下：如图，根据短直角边的长和长直角边的长，求得斜边的长．用直角三角形三条边的长相加作为除数，用两条直角边相乘的积再乘2作为被除数，计算所得的商就是这个直角三角形内切圆的直径．根据以上方法，求得该直径等于 步．（注：“步”为长度单位）
18．（2023·江苏泰州·统考中考真题）小明对《数书九章》中的“遥度圆城”问题进行了改编：如图，一座圆形城堡有正东、正南、正西和正北四个门，出南门向东走一段路程后刚好看到北门外的一颗大树，向树的方向走9里到达城堡边，再往前走6里到达树下．则该城堡的外围直径为 里．
19．（2023·山东泰安·统考中考真题）为了测量一个圆形光盘的半径，小明把直尺、光盘和三角尺按图所示放置于桌面上，并量出AB=4cm，则这张光盘的半径是 cm．（精确到0.1cm．参考数据：3≈1．73）
三、解答题
20．（2023·江西·统考中考真题）如图，在△ABC中，AB=4，∠C=64°，以AB为直径的⊙O与AC相交于点D，E为ABD上一点，且∠ADE=40°．
(1)求BE的长；
(2)若∠EAD=76°，求证：CB为⊙O的切线．
21．（2023·云南·统考中考真题）如图，BC是⊙O的直径，A是⊙O上异于B、C的点．⊙O外的点E在射线CB上，直线EA与CD垂直，垂足为D，且DA⋅AC=DC⋅AB．设△ABE的面积为S1,△ACD的面积为S2．
(1)判断直线EA与⊙O的位置关系，并证明你的结论；
(2)若BC=BE,S2=mS1，求常数m的值．
22．（2023·江苏连云港·统考中考真题）如图，在△ABC中，AB=AC，以AB为直径的⊙O交边AC于点D，连接BD，过点C作CE∥AB．
(1)请用无刻度的直尺和圆规作图：过点B作⊙O的切线，交CE于点F；（不写作法，保留作图痕迹，标明字母）
(2)在（1）的条件下，求证：BD=BF．
23．（2023·甘肃兰州·统考中考真题）如图，△ABC内接于⊙O，AB是⊙O的直径，BC=BD，DE⊥AC于点E，DE交BF于点F，交AB于点G，∠BOD=2∠F，连接BD．
(1)求证：BF是⊙O的切线；
(2)判断△DGB的形状，并说明理由；
(3)当BD=2时，求FG的长．
24．（2023·湖南·统考中考真题）如图，点A，B，C在⊙O上运动，满足AB2=BC2+AC2，延长AC至点D，使得∠DBC=∠CAB，点E是弦AC上一动点（不与点A，C重合），过点E作弦AB的垂线，交AB于点F，交BC的延长线于点N，交⊙O于点M（点M在劣弧AC上）．
(1)BD是⊙O的切线吗？请作出你的判断并给出证明；
(2)记△BDC，△ABC，△ADB的面积分别为S1，S2，S，若S1⋅S=S22，求tanD2的值；
(3)若⊙O的半径为1，设FM=x，FE⋅FN⋅1BC⋅BN+1AE⋅AC=y，试求y关于x的函数解析式，并写出自变量x的取值范围．
25．（2023·广东深圳·统考中考真题）如图，在单位长度为1的网格中，点O，A，B均在格点上，OA=3，AB=2，以O为圆心，OA为半径画圆，请按下列步骤完成作图，并回答问题：
①过点A作切线AC，且AC=4（点C在A的上方）；
②连接OC，交⊙O于点D；
③连接BD，与AC交于点E．
(1)求证：BD为⊙O的切线；
(2)求AE的长度．
26．（2023·江苏扬州·统考中考真题）如图，在△ABC中，∠ACB=90°，点D是AB上一点，且∠BCD=12∠A，点O在BC上，以点O为圆心的圆经过C、D两点．
(1)试判断直线AB与⊙O的位置关系，并说明理由；
(2)若sinB=35,⊙O的半径为3，求AC的长．
27．（2022·四川凉山·统考中考真题）如图，已知半径为5的⊙M经过x轴上一点C，与y轴交于A、B两点，连接AM、AC，AC平分∠OAM，AO＋CO＝6
(1)判断⊙M与x轴的位置关系，并说明理由；
(2)求AB的长；
(3)连接BM并延长交圆M于点D，连接CD，求直线CD的解析式．
28．（2022·湖北荆门·统考中考真题）如图，已知扇形AOB中，∠AOB＝60°，半径R＝3．
(1)求扇形AOB的面积S及图中阴影部分的面积S阴；
(2)在扇形AOB的内部，⊙O1与OA，OB都相切，且与弧AB只有一个交点C，此时我们称⊙O1为扇形AOB的内切圆，试求⊙O1的面积S1．
2、学会运用数形结合思想。数形结合思想是指从几何直观的角度,利用几何图形的性质研究数量关系，寻求代数问题的解决方法（以形助数），或利用数量关系来研究几何图形的性质，解决几何问题（以数助形）的一种数学思想。
3、要学会抢得分点。一道中考数学压轴题解不出来，不等于“一点不懂、一点不会”，要将整道题目解题思路转化为得分点。
4、学会运用等价转换思想。在研究数学问题时，我们通常是将未知问题转化为已知的问题，将复杂的问题转化为简单的问题，将抽象的问题转化为具体的问题，将实际问题转化为数学问题。
5、学会运用分类讨论的思想。如果不注意对各种情况分类讨论，就有可能造成错解或漏解，纵观近几年的中考压轴题分类讨论思想解题已成为新的热点。
6、转化思想:体现在数学上也就是要把难的问题转化为简单的问题，把不熟悉的问题转化为熟悉的问题，把未知的问题转化为已知的问题。
第27讲 与圆有关的位置关系
目 录
TOC \ "1-3" \n \h \z \u
\l "_Tc157506560" 题型01 判断点和圆的位置关系
\l "_Tc157506561" 题型02 根据点和圆的位置关系求半径
\l "_Tc157506562" 题型03 判断直线与圆的位置关系
\l "_Tc157506563" 题型04 根据直线与圆的位置关系求半径
\l "_Tc157506564" 题型05 根据直线与圆的位置关系求点到直线的距离
\l "_Tc157506565" 题型06 求圆平移到与直线相切时圆心坐标
\l "_Tc157506566" 题型07 求圆平移到与直线相切时运动距离
\l "_Tc157506567" 题型08 圆和圆的位置关系
\l "_Tc157506568" 题型09 判断或补全使直线成为切线的条件
\l "_Tc157506569" 题型10 利用切线的性质求线段长
\l "_Tc157506570" 题型11 利用切线的性质求角度
\l "_Tc157506571" 题型12 证明某条直线时圆的切线
\l "_Tc157506572" 题型13 利用切线的性质定理证明
\l "_Tc157506573" 题型14 切线的性质与判定的综合运用
\l "_Tc157506574" 题型15 作圆的切线
\l "_Tc157506575" 题型16 应用切线长定理求解
\l "_Tc157506576" 题型17 应用切线长定理求证
\l "_Tc157506577" 题型18 判断三角形外接圆圆心位置
\l "_Tc157506578" 题型19 求外心坐标
\l "_Tc157506580" 题型20 求特殊三角形外接圆的半径
\l "_Tc157506581" 题型21 由三角形的内切圆求长度
\l "_Tc157506582" 题型22 由三角形的内切圆求角度
\l "_Tc157506583" 题型23 由三角形的内切圆求周长、面积
\l "_Tc157506584" 题型24 求三角形的内切圆半径
\l "_Tc157506585" 题型25 直角三角形周长、面积和内切圆半径的关系
\l "_Tc157506586" 题型26 三角形内心有关的应用
\l "_Tc157506587" 题型27 三角形外接圆与内切圆综合
\l "_Tc157506589"
题型01 判断点和圆的位置关系
1．（2023·广东广州·统考一模）已知⊙O的半径为5，当线段OA=6时，则点A与⊙O的位置关系是（ ）
A．在圆上B．在圆外C．在圆内D．不能确定
2．（2023·广东广州·广州大学附属中学校考一模）已知⊙O的半径是8，点P到圆心O的距离d为方程x2−4x−5=0的一个根，则点P在（ ）
A．⊙O的内部B．⊙O的外部
C．⊙O上或⊙O的内部D．⊙O上或⊙O的外部
3．（2023·新疆乌鲁木齐·统考一模）在Rt△ABC中，∠C=90°,BC=8,tanA=2，以点A为圆心，半径为8的圆记作圆A，那么下列说法正确的是（ ）
A．点C在圆A内，点B在圆A外
B．点C在圆A上，点B在圆A外
C．点C、B都在圆A内
D．点C、B都在圆A外
题型02 根据点和圆的位置关系求半径
4．（2022·山东枣庄·校考一模）点P是非圆上一点，若点P到⊙O上的点的最小距离是4cm，最大距离是9cm，则⊙O的半径是 ．
5．（2023·四川成都·统考二模）已知P是⊙O内一点（点P不与圆心O重合），点P到圆上各点的距离中，最小距离与最大距离是关于x的一元二次方程ax2−12ax−20=0的两个实数根，则⊙O的直径为 ．
6．（2023·上海·校考一模）如图，矩形ABCD中，AB=8，AD=6，以A为圆心，r为半径作⊙A，使得点D在圆内，点C在圆外，则半径r的取值范围是 ．
题型03 判断直线与圆的位置关系
7．（2022·安徽蚌埠·统考一模）如图，在平面直角坐标系中，以1.5为半径的圆的圆心P的坐标为(0,2)，将⊙P沿y轴负方向平移1.5个单位长度，则x轴与⊙P的位置关系是（ ）
A．相交B．相切C．相离D．无法确定
8．（2022·山东青岛·统考一模）如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，sinB=45，AC=5cm，以点C为圆心，以2cm的长为半径作圆，则⊙C与AB的位置关系是（ ）
A．相离B．相交C．相切D．相切或相交
9．（2021·上海崇明·统考二模）已知同一平面内有⊙O和点A与点B，如果O的半径为3cm，线段OA＝5cm，线段OB＝3cm，那么直线AB与⊙O的位置关系为（ ）
A．相离B．相交C．相切D．相交或相切
题型04 根据直线与圆的位置关系求半径
10．（2023·上海虹口·校联考二模）如图，在矩形ABCD中，对角线AC与BD相交于点O，AB=5，BC=12．分别以点O、D为圆心画圆，如果⊙O与直线AD相交、与直线CD相离，且⊙D与⊙O内切，那么⊙D的半径长r的取值范围是（ ）
A．12
12．（2022·湖北襄阳·统考一模）在平面直角坐标系中，已知点A的坐标为3,1，若⊙A与坐标轴有三个公共点，则⊙A的半径为 ．
题型05 根据直线与圆的位置关系求点到直线的距离
13．（2023·江苏淮安·统考一模）已知⊙O的半径为5，直线l与⊙O有2个公共点，则点O到直线l的距离可能是（ ）
A．3B．5C．7D．9
14．（2020·河北唐山·统考二模）已知⊙O的半径为5，直线AB与⊙O有公共点，则圆心O到直线AB的距离不可能为（ ）
A．5B．5.5C．4.5D．1
15．（2022·北京·统考二模）在平面直角坐标系xOy中，给出如下定义：若点P在图形M上，点Q在图形N上，如果PQ两点间的距离有最小值，那么称这个最小值为图形M,N的“近距离”，记为d(M,N)．特别地，当图形M与图形N有公共点时，d(M,N)=0．
已知A（－4，0），B（0，4），C（4，0），D（0，－4），
（1）d（点A，点C）＝________，d（点A，线段BD）＝________；
（2）⊙O半径为r，
① 当r ＝ 1时，求 ⊙O与正方形ABCD的“近距离”d（⊙O，正方形ABCD）；
② 若d（⊙O，正方形ABCD）＝1，则r ＝___________．
（3）M 为x轴上一点，⊙M的半径为1，⊙M与正方形ABCD的“近距离”d（⊙M，正方形ABCD）＜1，请直接写出圆心M的横坐标 m的取值范围．
题型06 求圆平移到与直线相切时圆心坐标
16．（2020·辽宁盘锦·统考二模）如图，半径r=22的⊙M在x轴上平移，且圆心M在x轴上，当⊙M与直线y=x+2相切时，圆心M的坐标为（ ）
A．(0，0)B．(2，0)C．（-6，0）D．(2，0) 或（-6，0）
17．（2022·河南南阳·统考一模）如图，直线y=−34x−3交x轴于点A，交y轴于点B，点P是x轴上一动点，以点P为圆心，以1个单位长度为半径作⊙P，当⊙P与直线AB相切时，点P的坐标是（）
A．−73,0B．−73,0或−173,0
C．−37,0D．−37,0或−317,0
18．（2022·安徽滁州·校考一模）如图，直线l与x轴、y轴分别相交于点A、B，已知B（0，3），∠BAO=30°，点P的坐标为(1,0)，⊙P与y轴相切于点O，若将⊙P沿x轴向左移动，当⊙P与该直线相交时，横坐标为整数的点P的坐标 ．
题型07 求圆平移到与直线相切时运动距离
19．（2021上·吉林四平·九年级统考期末）如图，⊙O的半径OC=10cm，直线l⊥OC，垂足为H，且l交⊙O于A，B两点，AB=16cm，则l沿OC所在直线向下平移 cm时与⊙O相切．
20．（2020·九年级单元测试）已知⊙O是以坐标原点为圆心，半径为1，函数y=x与⊙O交于点A、B，点Px,0在x轴上运动，过点P且与OA平行的直线与⊙O有公共点，则x的范围是 .
21．（2020上·全国·九年级期末）如图所示，在平面直角坐标系xOy中，半径为2的⊙P的圆心P的坐标为（-3，0），将⊙P沿x轴正方向平移，使⊙P与y轴相切，求平移的距离．
题型08 圆和圆的位置关系
22．（2023·吉林四平·校联考三模）如图，已知长方形ABCD中，AB=4,AD=3，圆B的半径为1，圆A与圆B内切，则点C,D与圆A的位置关系是（ ）
A．点C在圆A外，点D在圆A内B．点C在圆A外，点D在圆A外
C．点C在圆A上，点D在圆A内D．点C在圆A内，点D在圆A外
23．（2022·上海徐汇·统考二模）已知两圆相交，当每个圆的圆心都在另一个圆的圆外时，我们称此两圆的位置关系为“外相交”．已知两圆“外相交”，且半径分别为2和5，则圆心距的取值可以是（ ）
A．4B．5C．6D．7
24．（2021·四川绵阳·一模）如图，⊙O1的直径AB长度为12，⊙O2的直径为8，∠AO1O2＝30°，⊙O2沿直线O1O2平移，当⊙O2平移到与⊙O1和AB所在直线都有公共点时，令圆心距O1O2＝x，则x的取值范围是（ ）
A．2≤x≤10B．4≤x≤16C．4≤x≤43D．2≤x≤8
25．（2021·山东青岛·统考一模）【问题提出】用n个圆最多能把平面分成几个区域？
【问题探究】为了解决上面的数学问题，我们采取一般问题特殊化的策略，先从最简单情形入手，再逐次递进，最后猜想得出结论．
探究一：如图1，一个圆能把平面分成2个区域．
探究二：用2个圆最多能把平面分成几个区域？
如图2，在探究一的基础上，为了使分成的区域最多，应使新增加的圆与前1个圆有2个交点，将新增加的圆分成2部分，从而增加2个区域，所以，用2个圆最多能把平面分成4个区域．
探究三：用3个圆最多能把平面分成几个区域？
如图3，在探究二的基础上，为了使分成的区域最多，应使新增加的圆与前2个圆分别有2个交点，将新增加的圆分成2×2=4部分，从而增加4个区域，所以，用3个圆最多能把平面分成8个区域．
（1）用4个圆最多能把平面分成几个区域？
仿照前面的探究方法，写出解答过程，不需画图．
（2）【一般结论】用n个圆最多能把平面分成几个区域？
为了使分成的区域最多，应使新增加的圆与前(n−1)个圆分别有2个交点，将新增加的圆分成______________部分，从而增加___________________个区域，所以，用n个圆最多能把平面分成__________________个区域．（将结果进行化简）
（3）【结论应用】
①用10个圆最多能把平面分成_________个区域；
②用___________个圆最多能把平面分成422个区域．
题型09 判断或补全使直线成为切线的条件
26．（2020·安徽芜湖·校联考三模）如图，在平面直角坐标系中，过格点A，B，C作一圆弧，点B与下列格点的连线中，能够与该圆弧相切的是( )
A．点(0，3)B．点(1，3)C．点(6，0)D．点(6，1)
27．（2019下·九年级课时练习）在Rt△ABC中，∠C=90°，AB=10，AC=8，以C为圆心作⊙C与AB相切，则⊙C的半径长为（ ）
A．8B．4C．9.6D．4.8
28．（2022·吉林长春·吉林大学附属中学校考一模）如图，已知∠AOB=30°，M为OB边上任意一点，以M为圆心，2cm为半径作⊙M，当OM= cm时，⊙M与OA相切.
29．（2019下·九年级课时练习）Rt△ABC的斜边AB=5cm，直角边AC=3cm，圆心为C，半径为2cm和3cm的两个圆⊙C1和⊙C2与直线AB有怎样的位置关系？半径为多少时，AB与⊙C相切？
题型10 利用切线的性质求线段长
30．（2023·山东泰安·统考一模）如图，AB是⊙O的直径，C为⊙O上一点，过点C的切线与AB的延长线交于点P，若AC=PC=33，则PB的长为（ ）
A．3B．32C．23D．3
31．（2023·重庆九龙坡·重庆市育才中学校考一模）在Rt△ABC中，∠C=90°，点O是斜边AB边上一点，以O为圆心，OA为半径作圆，⊙O恰好与边BC相切于点D，连接AD．若AD=BD，⊙O的半径为3，则CD的长度为（ ）
A．94B．332C．3D．23
32．（2023·内蒙古乌兰察布·校考模拟预测）如图，在半径为10cm和6cm的两个同心圆中，大圆的弦AB与小圆相切于点C，则弦AB的长为 cm．
33．（2022·浙江衢州·统考二模）如图，在矩形ABCD中，AB=6，BC=8，E为AD上一点，且AE=2，F为BC边上的动点，以为EF直径作⊙O，当⊙O与矩形的边相切时，BF的长为 ．
题型11 利用切线的性质求角度
34．（2022·广西南宁·校联考一模）如图，⊙O与正五边形ABCDE的两边AE,CD相切于A,C两点，则∠AOC的度数是（ ）
A．144°B．130°C．129°D．108°
35．（2023·山东泰安·统考一模）如图，AB、AC是⊙O的弦，过点A的切线交CB的延长线于点D，若∠BAD=35°，则∠C= °．
36．（2023·山东德州·统考三模）如图，在△ABC中，∠B=90°，⊙O过点A、C，与AB交于点D，与BC相切于点C，若∠A=32°，则∠ADO=
37．（2023·江苏连云港·校考一模）如图，射线AB与⊙O相切于点B，经过圆心O的射线AC与⊙O相交于点D、C，连接BC，若∠A=40°，则∠ACB= °．
题型12 证明某条直线时圆的切线
38．（2023·江苏淮安·统考一模）如图，在△ ABC中，∠ABC =45°，AB=AC，以AB为直径的⊙O与边BC交于点D．
(1)判断直线AC与⊙O的位置关系，并说明理由；
(2)若AB=4，求图中阴影部分的面积．
39．（2023·云南昆明·校考一模）如图，△ABC内接于⊙O，AB，CD是⊙O的直径，E是DB延长线上一点，且∠DEC=∠ABC．
(1)求证：CE是⊙O的切线；
(2)若DE=45，AC=2BC，求线段CE的长．
40．（2023·江苏淮安·统考三模）如图，在△ABC中，AB=AC，∠BAC=120°，点O在BC边上，⊙O经过点A和点B，且与BC边相交于点E．
(1)试判断直线AC与⊙O的位置关系，并说明理由；
(2)若CE=3，求⊙O的半径．
41．（2023·黑龙江齐齐哈尔·统考模拟预测）如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，以BC为直径的⊙O交AB于点D，E是AC的中点．
(1)判断直线DE与⊙O的位置关系，并说明理由；
(2)若∠BCD=30°，AE=53，求阴影部分的面积；
题型13 利用切线的性质定理证明
42．（2023·福建福州·福建省福州杨桥中学校考模拟预测）AB是⊙O的直径，C是⊙O上一点，OD⊥BC，垂足为D，过点A作⊙O的切线，与DO的延长线相交于点E．
(1)如图1，求证∠B=∠E；
(2)如图2，连接AD，若⊙O的半径为2，OE=3，求AD的长．
43．（2023·陕西铜川·统考一模）如图，AB是⊙O的直径，AM是⊙O的切线，AC、CD是⊙O的弦，且CD⊥AB，垂足为E，连接BD并延长，交AM于点P．
(1)求证：∠CAB=∠APB；
(2)若⊙O的半径r=5,AC=8，求线段PD的长．
44．（2023·甘肃酒泉·统考一模）如图，AB是⊙O的直径，AC是⊙O的弦，AD平分∠CAB交⊙O于点D，过点D作⊙O的切线EF，交AB的延长线于点E，交AC的延长线于点F．
(1)求证：AF⊥EF；
(2)若CF=1，AC=2，AB=4，求BE的长．
45．（2020·北京·统考模拟预测）如图，AB为⊙O的直径，C为BA延长线上一点，CD是⊙O的切线，D为切点，OF⊥AD于点E，交CD于点F．
（1）求证：∠ADC=∠AOF；
（2）若sinC=13，BD=8，求EF的长．
题型14 切线的性质与判定的综合运用
46．（2020·山东德州·统考二模）如图，AB是△ABC外接圆的直径，O为圆心，CH⏊AB，垂足为H，且∠PCA=∠ACH， CD平分∠ACB，交⊙O于点D，连接BD，AP=2．
（1）判断直线PC是否为⊙O的切线，并说明理由；
（2）若∠P=30°，求AC、BC、BD的长．
（3）若tan∠ACP=12，求⊙O半径．
47．（2020·甘肃酒泉·统考二模）如图，已知BC是⊙O的直径，AC切⊙O于点C，AB交O于点D，E为AC的中点，连接CD，DE．
（1）求证：DE是⊙O的切线；
（2）若BD=4，CD=3，求AC的长．
48．（2023·云南楚雄·统考一模）如图，在△ABC中，AB=AC，以AC为直径作⊙O交BC于点D，过点D作DE⊥AB，垂足为E，延长BA交⊙O于点F．
(1)求证：DE是⊙O的切线
(2)若AEDE=23,AF=10，求⊙O的半径．
49．（2021·广东韶关·统考一模）如图，AC为⊙O的直径，B为AC延长线上一点，且∠BAD＝∠ABD＝30°，BC＝1，AD为⊙O的弦，连接BD，连接DO并延长交⊙O于点E，连接BE交⊙O于点M．
(1)求证：直线BD是⊙O的切线；
(2)求⊙O的半径OD的长；
(3)求线段BM的长．
题型15 作圆的切线
50．（2022·北京海淀·人大附中校考模拟预测）已知：⊙O和圆外一点P，求作：过点P的⊙O的切线．
作法：①连接OP；
②分别以O，P为圆心，大于12OP长为半径画弧，两弧交于M，N两点，连接MN，交OP于点C．
③以C为圆心，OC长为半径作⊙C，交⊙O于点A，B；
④作直线PA，PB．
所以直线PA，PB为⊙O的切线．
(1)使用直尺和圆规，依作法补全图形（保留作图痕迹）；
(2)完成下面的证明．
证明：连接MP，MO，NP，NO，OA，OB．
∵ MP=MO，NP=NO，
∴MN是线段OP的______（______）（填推理的依据）．
∴ CP=CO．
∵OP为⊙O的直径，A，B在⊙C上
∴ ∠OAP=∠OBP=90°（______）（填推理的依据）．
∴半径OA⊥AP，半径OB⊥BP．
∴直线PA，PB为⊙O的切线（______）（填推理的依据）．
51．（2023·山东青岛·统考三模）已知：如图，在△ABC中，∠ACB=90°．求作：⊙O，使圆心O在斜边AB上，经过点B且与边AC相切于点E．（用直尺、圆规作图，不写作法，但要保留作图痕迹．）
52．（2023·江苏南京·统考二模）如图，已知菱形ABCD．求作⊙O，使得⊙O与菱形的四条边都相切要求：（1）用直尺和圆规作图；（2）保留作图的痕迹，写出必要的文字说明．
53．（2023·福建莆田·统考二模）（1）如图1，Rt△ABC中，∠ABC=90°，AO平分∠BAC交BC于点O，以OB为半径作⊙O．判断直线AC是否为⊙O的切线，并说明理由；
（2）如图2，某湿地公园内有一条四边形ABCD型环湖路，∠ABC=90°．现要修一条圆弧形水上栈道，要求该圆弧形水上栈道所在的⊙O，圆心在BC上且与AB，CD相切．求作⊙O．（要求：尺规作图，不写作法，保留作图痕迹）
题型16 应用切线长定理求解
54．（2022·江西·模拟预测）如图，PA、PB分别与⊙O相切于点A、B，连接PO并延长与⊙O交于点C、D，若CD=12，PA=8，则sin∠ADB的值为（ ）
A．45B．35C．34D．43
55．（2022·浙江杭州·统考一模）如图，PA、PB是⊙O的切线，A、B为切点，连接OB、AB，若∠ABO=25°，则∠APB的度数为（ ）
A．50°B．55°C．65°D．70°
56．（2023·北京西城·北师大实验中学校考三模）如图，PA､PB切⊙O于A､B，若∠APB=60∘,⊙O的半径为3，则线段PO的长度为（ ）
A．53B．6C．8D．10
57．（2021·湖北随州·一模）如图：PA切⊙O于A，PB切⊙O于B，OP交⊙O于C，下列结论中错误的是（ ）
A．∠APO=∠BPOB．PA=PBC．AB⊥OPD．C是PO的中点
题型17 应用切线长定理求证
58．（2022·四川成都·统考二模）已知：如图，PA，PB是⊙O的两条切线，A，B是切点，BC是直径，AB交PO于点M，⊙O的半径为3，PA=4．
(1)求证：AC∥PO；
(2)求AC的长
59．（2023·湖北武汉·校联考模拟预测）已知⊙O的圆心在BC上，AC、AB分别为⊙O的切线，切点分别为C、D，⊙O交BC另一点E．
(1)求证：DE∥AO；
(2)若AC=6，AB=10，求DE的长．
60．（2021·河北唐山·统考二模）如图，△ABC是直角三角形，以斜边AB为直径作半圆，半圆的圆心为O，过A、C两点作半圆的切线，交点为D，连接DO交AC于点E．
(1)求证：OD∥BC；
(2)若AC＝2BC，求证：AB＝AD．
61．（2022·辽宁大连·统考一模）如图，PA，PB是⊙O的两条切线，切点分别为A，B．连接OP交⊙O于点C，连接AC，BC．
(1)求证：C是AB的中点；
(2)若AC=OC=2，求AP的长．
题型18 判断三角形外接圆圆心位置
62．（2023·河北邢台·统考一模）如图，在由小正方形组成的网格中，点A，B，C，D，E，F，O均在格点上．下列三角形中，外心不是点O的是（ ）
A．△ABCB．△ABDC．△ABED．△ABF
63．（2023·北京昌平·统考二模）船航行的海岸附近有暗礁，为了使船不触上暗礁，可以在暗礁的两侧建立两座灯塔.只要留心从船上到两个灯塔间的角度不超过一定的大小，就不用担心触礁.如图所示的网格是正方形网格，点A,B,C,D,P,M,N是网格线交点，当船航行到点P的位置时，此时与两个灯塔M,N间的角度（∠MPN的大小）一定无触礁危险.那么，对于A,B,C,D四个位置，船处于___________时，也一定无触礁危险.（ ）
A．位置AB．位置BC．位置CD．位置D
64．（2023·广东汕尾·统考二模）如图，在5×5的正方形网格中（小正方形的连长为1），有6个点A、B、C、D、E、F，若过A、B、C三点作圆O，则点D、E、F三点中在圆O外的有（ ）个
A．0B．1C．2D．3
65．（2018·广东汕尾·校考三模）如图所示，要把残破的轮片复制完整，已知弧上的三点A，B，C．
(1)用尺规作图法找出所在圆的圆心；（保留作图痕迹，不写作法）
(2)设△ABC是等腰三角形，底边BC=8cm，腰AB=5cm，求圆片的半径R．
题型19 求外心坐标
66．（2022·山东枣庄·校考一模）如图，在平面直角坐标系中，A0,−3，B2,−1，C2,3．则△ABC的外心坐标为（ ）
A．0,0B．−1,1C．−2,−1D．−2,1
67．（2022·湖北武汉·校考模拟预测）如图，已知平面直角坐标系内三点A（3，0）、B（5，0）、C（0，4），⊙P经过点A、B、C，则点P的坐标为（ ）
A．（6，8）B．（4，5）C．（4，318）D．（4，338）
68．（2022·广东深圳·统考二模）如图，在单位长度为1的正方形网格中建立直角坐标系，一条圆弧恰好经过网格点A、B、C，请在网格图中进行下列操作（以下结果保留根号）：
(1)利用网格找出该圆弧所在圆的圆心D点的位置，则D点的坐标为_______；
(2)连接AD、CD，若扇形DAC是一个圆锥的侧面展开图，则该圆锥底面半径为_______；
(3)连接AB，将线段AB绕点D旋转一周，求线段AB扫过的面积．
题型20 求特殊三角形外接圆的半径
69．（2023·辽宁阜新·统考一模）如图，⊙O是等边△ABC的外接圆，若AB=3，则⊙O的半径是（ ）
A．32B．32C．3D．52
70．（2022·江苏无锡·无锡市天一实验学校校考模拟预测）已知在△ABC中，AB=AC=5，BC=6，则△ABC的外接圆的半径是 ．
71．（2023·江苏镇江·校联考一模）如图1，在平面直角坐标系中，二次函数y=−12x2+bx+c的图像与x轴交于点A−1,0和点B4,0，与y轴交于点C，顶点为点D．
(1)求二次函数表达式和点D的坐标；
(2)连接AC、BC，求△ABC外接圆的半径；
(3)点P为x轴上的一个动点，连接PC，求PC+55PB的最小值；
(4)如图2，点E为对称轴右侧的抛物线上一点，且点E的纵坐标为−3，动点M从点C出发，沿平行于x轴的直线a向右运动，连接EM，过点M作EM的垂线b，记直线b与抛物线对称轴的交点为N，当直线b与直线a重合时运动停止，请直接写出点N的运动总路程．
题型21 由三角形的内切圆求长度
72．（2022·陕西西安·校考模拟预测）在△ABC中，AB＝4，∠C＝45°，则2AC+BC的最大值为 ．
73．（2022·四川泸州·二模）如图，△ABC的内切圆⊙O与AB，BC，AC相切于点D，E，F，已知AB＝6，AC＝5，BC＝7，则DE的长是（ ）
A．1277B．1077C．977D．877
74．（2022·云南文山·一模）如图，BC是⊙O的直径，点A是⊙O上的一点，点D是△ABC的内心，若BC＝5，AC＝3，则BD的长度为（ ）
A．2B．3C．10D．342
75．（2023·福建福州·福建省福州延安中学校考二模）如图上，ΔABC中,∠C=90∘,AC=8,BC=6,O为内心，过点O的直线分别与AC、AB相交于D、E，若DE=CD+BE，则线段CD的长为 .
题型22 由三角形的内切圆求角度
76．（2022·山东烟台·统考一模）如图，点I是△ABC的内心，若∠I=116°，则∠A等于（ ）
A．50°B．52°C．54°D．56°
77．（2022·湖南长沙·长沙市长郡双语实验中学校考一模）如图，△ABC中，∠A=80°，点O是△ABC的内心，则∠BOC的度数为（ ）
A．100°B．160°C．80°D．130°
题型23 由三角形的内切圆求周长、面积
78．（2020·贵州遵义·校考模拟预测）如图，△ABC中，AB＝7cm，AC＝8cm，BC＝6cm，点O是△ABC的内心，过点O作EF//AB，与AC、BC分别交于点E、F，则△CEF的周长为（ ）
A．14cmB．15cmC．13cmD．10.5cm
79．（2018·海南省直辖县级单位·统考一模）如图，甲、乙、丙、丁四位同学从四块全等的等腰直角三角形纸板上裁下四块不同的纸板（阴影部分），他们的具体裁法如下：甲同学：如图1所示裁下一个正方形，面积记为S1；乙同学：如图2所示裁下一个正方形，面积记为S2；丙同学：如图3所示裁下一个半圆，使半圆的直径在等腰Rt△的直角边上，面积记为S3；丁同学：如图所示裁下一个内切圆，面积记为S4则下列判断正确的是（ ）
①S1=S2；②S3=S4；③在S1，S2，S3，S4中，S2最小．
A．①②B．②③C．①③D．①②③
80．（2023·广东江门·统考二模）一个直角三角形的斜边长为8，内切圆半径为1，则这个三角形的周长等于 ．
81．（2023·河南郑州·河南省实验中学校考一模）如图，等边△ABC内切圆的图形来自我国古代的太极图，等边三角形内切圆中的黑色部分和白色部分关于等边△ABC的内心成中心对称．若等边△ABC的边长为6，则圆中的黑色部分的面积是 ．
82．（2022·贵州铜仁·统考三模）已知任意三角形的三边长，如何求三角形面积？
古希腊的几何学家海伦解决了这个问题，在他的著作《度量论》一书中给出了计算公式—海伦公式S=pp−ap−bp−c（其中a，b，c是三角形的三边长，p=a+b+c2，S为三角形的面积），并给出了证明
例如：在△ABC中，a＝3，b＝4，c＝5，那么它的面积可以这样计算：
∵a＝3，b＝4，c＝5
∴p=a+b+c2=6
∴S=pp−ap−bp−c=6×3×2×1=6
事实上，对于已知三角形的三边长求三角形面积的问题，还可用我国南宋时期数学家秦九韶提出的秦九韶公式等方法解决．
根据上述材料，解答下列问题：
如图，在△ABC中，BC＝5，AC＝6，AB＝9
（1）用海伦公式求△ABC的面积；
（2）求△ABC的内切圆半径r．
题型24 求三角形的内切圆半径
83．（2022·贵州铜仁·统考一模）如图，在四边形ABCD中，AB//CD，AB=CD，∠B=60°，AD=83，分别以B和C为圆心，以大于12BC的长为半径作弧，两弧相交于点P和Q，直线PQ与BA延长线交于点E，连接CE，则ΔBCE的内切圆半径是（ ）
A．4B．43C．2D．23
84．（2019·福建·校联考二模）如图，ΔABC是一块绿化带，将阴影部分修建为花圃.已知AB=15，AC=9，BC=12，阴影部分是ΔABC的内切圆，一只自由飞翔的小鸟将随机落在这块绿化带上，则小鸟落在花圃上的概率为（ ）.
A．16B．π6C．π8D．π5
85．（2021·江苏苏州·校考一模）已知一个三角形的三边长分别为5、7、8，则其内切的半径为 ．
题型25 直角三角形周长、面积和内切圆半径的关系
86．（2022·广东梅州·统考二模）如图，在四边形材料ABCD中， AD∥BC ，∠A=90°，AD=9cm，AB=20cm，BC=24cm．现用此材料截出一个面积最大的圆形模板，则此圆的半径是（ ）
A．11013cmB．8cmC．62cmD．10cm
87．（2022·广东深圳·统考二模）如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝5，⊙O是△ABC的内切圆，半径为2，则图中阴影部分的面积为（ ）
A．30﹣4πB．303−4πC．60﹣16πD．303−16π
题型26 三角形内心有关的应用
88．（2022上·广东河源·九年级校考期末）如图，△ABC的内切圆⊙O与各边相切于D，E，F，且∠FOD=∠EOD=120°，则△ABC是（ ）
A．等腰三角形B．等边三角形
C．直角三角形D．等腰直角三角形
89．（2022·江苏·九年级假期作业）已知△ABC中，∠ACB＝90°，CD、CE分别是△ABC中线和高线，则（ ）
A．D点是△ABC的内心B．D点是△ABC的外心
C．E点是△ABC的内心D．E点是△ABC的外心
90．（2023·吉林长春·统考模拟预测）我国古代数学家赵爽的“弦图”是由四个全等的直角三角形和一个小正方形拼成的一个大正方形（如图所示）．若直角三角形的内切圆半径为3，小正方形的面积为49，则大正方形的面积为 ．
91．（2024上·广西柳州·九年级统考期末）学校要举办运动会，九（1）班同学正在准备各种道具，小聪同学现有一块三角形的纸片，要在三角形纸片中截下一块圆形纸片做道具，要求截下的圆与三角形的三条边都相切．小聪用A，B，C表示三角形纸片的三个顶点（如图1）．请你按要求完成：
(1)尺规作图：在图1中找出圆心点O（要求：保留作图痕迹，标明字母，不写作法）；
(2)若纸片三边长分别是：BC=8，AC=6，AB=10，⊙O与边AB，BC，CA分别相切于点D，E，F（如图2），求小聪截得的圆形道具的面积．
题型27 三角形外接圆与内切圆综合
92．（2023·山东泰安·校考二模）如图，点I为的△ABC内心，连接AI并延长交△ABC的外接圆于点D，若AI=2CD，点E为弦AC的中点，连接EI，IC，若IC=6，ID=5，则IE的长为（ ）
A．5B．4.5C．4D．3.5
93．（2022·湖北武汉·校考模拟预测）图，⊙O是△ABC的外接圆，点I是△ABC内心，连接AI并延长交⊙O于点D，若AB＝9，BC＝14，CA＝13，则AIAD的值是（ ）
A．37B．59C．411 D．913
94．（2020·河北邢台·统考模拟预测）如图，在⊙O中，AB=AC，BC＝6，AC=310．I是△ABC的内心，则线段OI的值为（ ）
A．1B．5−10C．10−3D．1310
95．（2021·四川绵阳·统考二模）如图，在△ABC中，∠BAC＝60°，其周长为20，⊙I是△ABC的内切圆，其半径为3，则△BIC的外接圆直径为 .
一、单选题
1．（2023·重庆·统考中考真题）如图，AC是⊙O的切线，B为切点，连接OA，OC．若∠A=30°，AB=23，BC=3，则OC的长度是（ ）
A．3B．23C．13D．6
2．（2023·重庆·统考中考真题）如图，AB为⊙O的直径，直线CD与⊙O相切于点C，连接AC，若∠ACD=50°，则∠BAC的度数为（ ）
A．30°B．40°C．50°D．60°
3．（2023·山东聊城·统考中考真题）如图，点O是△ABC外接圆的圆心，点I是△ABC的内心，连接OB，IA．若∠CAI=35°，则∠OBC的度数为（ ）
A．15°B．17.5°C．20°D．25°
4．（2023·湖北武汉·统考中考真题）如图，在四边形ABCD中，AB∥CD,AD⊥AB，以D为圆心，AD为半径的弧恰好与BC相切，切点为E．若ABCD=13，则sinC的值是（ ）
A．23B．53C．34D．74
5．（2023·广东广州·统考中考真题）如图，△ABC的内切圆⊙I与BC，CA，AB分别相切于点D，E，F，若⊙I的半径为r，∠A=α，则BF+CE−BC的值和∠FDE的大小分别为（ ）
A．2r，90°−αB．0，90°−αC．2r，90°−α2D．0，90°−α2
6．（2023·四川泸州·统考中考真题）如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，点D在斜边AB上，以AD为直径的半圆O与BC相切于点E，与AC相交于点F，连接DE．若AC=8，BC=6，则DE的长是（ ）
A．4109B．8109C．8027D．83
7．（2023·湖北恩施·统考中考真题）如图，等圆⊙O1和⊙O2相交于A，B两点，⊙O1经过⊙O2的圆心O2，若O1O2=2，则图中阴影部分的面积为（ ）
A．2πB．43πC．πD．23π
8．（2023·山东·统考中考真题）在△ABC中，BC=3,AC=4，下列说法错误的是（ ）
A．1
9．（2023·湖北·统考中考真题）如图，在3×3的正方形网格中，小正方形的顶点称为格点，顶点均在格点上的图形称为格点图形，图中的圆弧为格点△ABC外接圆的一部分，小正方形边长为1，图中阴影部分的面积为（ ）
A．52π−74B．52π−72C．54π−74D．54π−72
10．（2023·黑龙江哈尔滨·统考中考真题）如图，AB是⊙O的切线，A为切点，连接OA﹐点C在⊙O上，OC⊥OA，连接BC并延长，交⊙O于点D，连接OD．若∠B=65°，则∠DOC的度数为（ ）
A．45°B．50°C．65°D．75°
11．（2023·四川攀枝花·统考中考真题）已知△ABC的周长为l，其内切圆的面积为πr2，则△ABC的面积为（ ）
A．12rlB．12πrlC．rlD．πrl
12．（2023·湖南湘西·统考中考真题）如图，AB为⊙O的直径，点P在AB的延长线上，PC，PD与⊙O相切，切点分别为C，D．若AB=10,PC=12，则sin∠CAD等于（ ）
A．125B．1312C．135D．1213
13．（2023·四川德阳·统考中考真题）如图，⊙O的直径AB=10，DE是弦，AB⊥DE，CEB=EBD，sin∠BAC=35，AD的延长线与CB的延长线相交于点F，DB的延长线与OE的延长线相交于点G，连接CG．下列结论中正确的个数是（ ）
①∠DBF=3∠DAB；
②CG是⊙O的切线；
③B，E两点间的距离是10；
④DF=11109．
A．1B．2C．3D．4
二、填空题
14．（2023·上海·统考中考真题）在△ABC中AB=7,BC=3,∠C=90°，点D在边AC上，点E在CA延长线上，且CD=DE，如果⊙B过点A，⊙E过点D，若⊙B与⊙E有公共点，那么⊙E半径r的取值范围是 ．
15．（2023·湖北·统考中考真题）如图，在△ABC中，∠ACB=70°，△ABC的内切圆⊙O与AB，BC分别相切于点D，E，连接DE，AO的延长线交DE于点F，则∠AFD= ．
16．（2023·黑龙江·统考中考真题）矩形ABCD中，AB=3,AD=9，将矩形ABCD沿过点A的直线折叠，使点B落在点E处，若△ADE是直角三角形，则点E到直线BC的距离是 ．
17．（2023·江苏镇江·统考中考真题）《九章算术》中记载：“今有勾八步，股一十五步．问勾中容圆，径几何？”译文：现在有一个直角三角形，短直角边的长为8步，长直角边的长为15步．问这个直角三角形内切圆的直径是多少？书中给出的算法译文如下：如图，根据短直角边的长和长直角边的长，求得斜边的长．用直角三角形三条边的长相加作为除数，用两条直角边相乘的积再乘2作为被除数，计算所得的商就是这个直角三角形内切圆的直径．根据以上方法，求得该直径等于 步．（注：“步”为长度单位）
18．（2023·江苏泰州·统考中考真题）小明对《数书九章》中的“遥度圆城”问题进行了改编：如图，一座圆形城堡有正东、正南、正西和正北四个门，出南门向东走一段路程后刚好看到北门外的一颗大树，向树的方向走9里到达城堡边，再往前走6里到达树下．则该城堡的外围直径为 里．
19．（2023·山东泰安·统考中考真题）为了测量一个圆形光盘的半径，小明把直尺、光盘和三角尺按图所示放置于桌面上，并量出AB=4cm，则这张光盘的半径是 cm．（精确到0.1cm．参考数据：3≈1．73）
三、解答题
20．（2023·江西·统考中考真题）如图，在△ABC中，AB=4，∠C=64°，以AB为直径的⊙O与AC相交于点D，E为ABD上一点，且∠ADE=40°．
(1)求BE的长；
(2)若∠EAD=76°，求证：CB为⊙O的切线．
21．（2023·云南·统考中考真题）如图，BC是⊙O的直径，A是⊙O上异于B、C的点．⊙O外的点E在射线CB上，直线EA与CD垂直，垂足为D，且DA⋅AC=DC⋅AB．设△ABE的面积为S1,△ACD的面积为S2．
(1)判断直线EA与⊙O的位置关系，并证明你的结论；
(2)若BC=BE,S2=mS1，求常数m的值．
22．（2023·江苏连云港·统考中考真题）如图，在△ABC中，AB=AC，以AB为直径的⊙O交边AC于点D，连接BD，过点C作CE∥AB．
(1)请用无刻度的直尺和圆规作图：过点B作⊙O的切线，交CE于点F；（不写作法，保留作图痕迹，标明字母）
(2)在（1）的条件下，求证：BD=BF．
23．（2023·甘肃兰州·统考中考真题）如图，△ABC内接于⊙O，AB是⊙O的直径，BC=BD，DE⊥AC于点E，DE交BF于点F，交AB于点G，∠BOD=2∠F，连接BD．
(1)求证：BF是⊙O的切线；
(2)判断△DGB的形状，并说明理由；
(3)当BD=2时，求FG的长．
24．（2023·湖南·统考中考真题）如图，点A，B，C在⊙O上运动，满足AB2=BC2+AC2，延长AC至点D，使得∠DBC=∠CAB，点E是弦AC上一动点（不与点A，C重合），过点E作弦AB的垂线，交AB于点F，交BC的延长线于点N，交⊙O于点M（点M在劣弧AC上）．
(1)BD是⊙O的切线吗？请作出你的判断并给出证明；
(2)记△BDC，△ABC，△ADB的面积分别为S1，S2，S，若S1⋅S=S22，求tanD2的值；
(3)若⊙O的半径为1，设FM=x，FE⋅FN⋅1BC⋅BN+1AE⋅AC=y，试求y关于x的函数解析式，并写出自变量x的取值范围．
25．（2023·广东深圳·统考中考真题）如图，在单位长度为1的网格中，点O，A，B均在格点上，OA=3，AB=2，以O为圆心，OA为半径画圆，请按下列步骤完成作图，并回答问题：
①过点A作切线AC，且AC=4（点C在A的上方）；
②连接OC，交⊙O于点D；
③连接BD，与AC交于点E．
(1)求证：BD为⊙O的切线；
(2)求AE的长度．
26．（2023·江苏扬州·统考中考真题）如图，在△ABC中，∠ACB=90°，点D是AB上一点，且∠BCD=12∠A，点O在BC上，以点O为圆心的圆经过C、D两点．
(1)试判断直线AB与⊙O的位置关系，并说明理由；
(2)若sinB=35,⊙O的半径为3，求AC的长．
27．（2022·四川凉山·统考中考真题）如图，已知半径为5的⊙M经过x轴上一点C，与y轴交于A、B两点，连接AM、AC，AC平分∠OAM，AO＋CO＝6
(1)判断⊙M与x轴的位置关系，并说明理由；
(2)求AB的长；
(3)连接BM并延长交圆M于点D，连接CD，求直线CD的解析式．
28．（2022·湖北荆门·统考中考真题）如图，已知扇形AOB中，∠AOB＝60°，半径R＝3．
(1)求扇形AOB的面积S及图中阴影部分的面积S阴；
(2)在扇形AOB的内部，⊙O1与OA，OB都相切，且与弧AB只有一个交点C，此时我们称⊙O1为扇形AOB的内切圆，试求⊙O1的面积S1．
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