2025年中考数学一轮复习精品讲义第27讲 与圆有关的位置关系（2份，原卷版+解析版）

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TOC \ "1-3" \n \h \z \u \l "_Tc157357295" 一、考情分析
二、知识建构
\l "_Tc157357296" 考点一 点、直线与圆的位置关系
\l "_Tc157357297" 题型01 判断点和圆的位置关系
\l "_Tc157357298" 题型02 根据点和圆的位置关系求半径
\l "_Tc157357299" 题型03 判断直线与圆的位置关系
\l "_Tc157357300" 题型04 根据直线与圆的位置关系求半径
\l "_Tc157357301" 题型05 根据直线与圆的位置关系求点到直线的距离
\l "_Tc157357302" 题型06 求圆平移到与直线相切时圆心坐标
\l "_Tc157357303" 题型07 求圆平移到与直线相切时运动距离
\l "_Tc157357304" 题型08 根据直线与圆的位置关系求交点个数
\l "_Tc157357305" 题型09 圆和圆的位置关系
\l "_Tc157357306" 考点二 切线的性质与判定
\l "_Tc157357307" 题型01 判断或补全使直线成为切线的条件
\l "_Tc157357308" 题型02 利用切线的性质求线段长
\l "_Tc157357309" 题型03 利用切线的性质求角度
\l "_Tc157357310" 题型04 证明某条直线时圆的切线
\l "_Tc157357311" 类型一 由公共点：连半径，证垂直
\l "_Tc157357312" 类型二 无公共点：作垂直，证半径
\l "_Tc157357313" 题型05 利用切线的性质定理证明
\l "_Tc157357314" 题型06 切线的性质与判定的综合运用
\l "_Tc157357315" 题型07 作圆的切线
\l "_Tc157357316" 题型08 应用切线长定理求解
\l "_Tc157357317" 题型09 应用切线长定理求证
\l "_Tc157357318" 考点三 三角形内切圆与外接圆
\l "_Tc157357319" 题型01 判断三角形外接圆圆心位置
\l "_Tc157357320" 题型02 求外心坐标
\l "_Tc157357321" 题型03 已知外心的位置判断三角形形状
\l "_Tc157357322" 题型04 求特殊三角形外接圆的半径
\l "_Tc157357323" 题型05 由三角形的内切圆求长度
\l "_Tc157357324" 题型06 由三角形的内切圆求角度
\l "_Tc157357325" 题型07 由三角形的内切圆求周长、面积
\l "_Tc157357326" 题型08 求三角形的内切圆半径
\l "_Tc157357327" 题型09 直角三角形周长、面积和内切圆半径的关系
\l "_Tc157357328" 题型10 圆外切四边形模型
\l "_Tc157357329" 题型11 三角形内心有关的应用
\l "_Tc157357330" 题型12 三角形外接圆与内切圆综合
考点一 点、直线与圆的位置关系
1. 点和圆的位置关系
已知⊙O的半径为r，点P到圆心O的距离为d，则：
【说明】掌握已知点的位置，可以确定该点到圆心的距离与半径的关系，反过来已知点到圆心的距离与半径的关系，可以确定该点与圆的位置关系．
2. 直线和圆的位置关系
设⊙O的半径为r，圆心O到直线l的距离为d，则直线和圆的位置关系如下表：
【小技巧】判断点与圆之间的位置关系，将该点的圆心距与半径作比较即可．
3. 圆和圆之间的位置关系
设⊙O1、⊙O2的半径分别为r、R（其中R>r），两圆圆心距为d，则两圆位置关系如下表：
1. 由于圆是轴对称和中心对称图形，当题目中未给出具体图形时，要结合题意画出符合题意的图形，并进行分类讨论，否则比较容易漏解．
2. 经过一个点作圆,圆心的位置具有任意性；经过两个点作圆,圆心的位置就有了规律性,即圆心位于两点连线的垂直平分线上.
3. 直线和圆的位置关系可以转化为直线与圆的公共点的个数来研究；也可转化为圆心到直线的距离d与半径r的大小关系来研究，这两个角度的论述其实是等价的.
4. 圆与圆之间的有些位置关系有两种情况，做题时要分类讨论，防止漏解：①两圆没有交点：外离或内含；②两圆有一个交点：外切或内切；③两圆有两个交点：两圆心在公共弦同侧或异侧．
题型01 判断点和圆的位置关系
【例1】（2022·广东广州·统考一模）平面直角坐标系中，⊙O的圆心在原点，半径为5，则点P0,4与⊙O的位置关系是（ ）
A．点P在⊙O内B．点P在⊙O上C．点P在⊙O外D．无法确定
【变式1-1】（2022·广东广州·统考一模）A，B两个点的坐标分别为（3，4），（﹣5，1），以原点O为圆心，5为半径作⊙O，则下列说法正确的是（ ）
A．点A，点B都在⊙O上B．点A在⊙O上，点B在⊙O外
C．点A在⊙O内，点B在⊙O上D．点A，点B都在⊙O外
【变式1-2】（2022·江苏扬州·校联考一模）若⊙O的半径为5cm，点A到圆心O的距离为4cm，那么点A与⊙O的位置关系是：点A在⊙O ．（填“上”、“内”、“外”）
题型02 根据点和圆的位置关系求半径
【例2】（2023·湖北襄阳·统考一模）如图，在△ABC中，∠ACB=90°，AB=5，BC=4．以点A为圆心，r为半径作圆，当点C在⊙A内且点B在⊙A外时，r的值可能是（ ）
A．2B．3C．4D．5
【变式2-1】（2022·江苏扬州·统考一模）如图，矩形ABCD中，AB=3，BC=4，点P是平面内一点，以P、B、C为顶点的三角形是等腰三角形，则PD的最小值为（ ）
A．45B．1C．75D．2.5
【变式2-2】（2022·山东枣庄·校考一模）点P是非圆上一点，若点P到⊙O上的点的最小距离是4cm，最大距离是9cm，则⊙O的半径是 ．
【变式2-3】（2022·上海静安·统考二模）如图，已知矩形ABCD的边AB=6，BC=8，现以点A为圆心作圆，如果B、C、D至少有一点在圆内，且至少有一点在圆外，那么⊙A半径r的取值范围是 ．
题型03 判断直线与圆的位置关系
【例3】（2023·广东广州·华南师大附中校考一模）如图，RtΔABC中，∠C=90°，AB=5，csA=45，以点B为圆心，r为半径作⊙B，当r=3时，⊙B与AC的位置关系是（ ）
A．相离B．相切C．相交D．无法确定
【变式3-1】（2023·江西南昌·统考一模）如图是“光盘行动”的宣传海报，图中餐盘与筷子可看成直线和圆的位置关系是（ ）
A．相切B．相交C．相离D．平行
【变式3-2】（2023·新疆乌鲁木齐·统考一模）如图，已知Rt△ABC中，∠C=90°，tanA=34．D、E分别是边BC、AB上的点，DE∥AC，且BD=2CD．如果⊙E经过点A，且与⊙D外切，那么⊙D与直线AC的位置关系是（ ）
A．相离B．相切C．相交D．不能确定
【变式3-3】（2023·四川内江·威远中学校校考一模）已知平面直角坐标系中，点P（x0,y0）和直线Ax＋By＋C＝0（其中A，B不全为0），则点P到直线Ax＋By＋C＝0的距离d可用公式d=Ax0+By0+CA2+B2来计算．
例如：求点P（1，2）到直线y＝2x＋1的距离，因为直线y＝2x＋1可化为2x－y＋1＝0，其中A＝2，B＝－1，C＝1，所以点P（1，2）到直线y＝2x＋1的距离为：d=Ax0+By0+CA2+B2=2×1+（-1）×2+122+(-1)2=15=55．
根据以上材料，解答下列问题：
（1）求点M（0，3）到直线y=3x+9的距离；
（2）在（1）的条件下，⊙M的半径r ＝ 4，判断⊙M与直线y=3x+9的位置关系，若相交，设其弦长为n，求n的值；若不相交，说明理由．
题型04 根据直线与圆的位置关系求半径
【例4】（2023·重庆开州·统考一模）如图，OA是⊙О的一条半径，点P是OA延长线上一点，过点P作⊙O的切线PB，点B为切点． 若PA=1，PB=2，则半径OA的长为（ ）
A．43B．32C．85D．3
【变式4-1】（2023·上海浦东新·校考三模）在平面直角坐标系中，以点A4,3为圆心、以R为半径作圆A与x轴相交，且原点O在圆A的外部，那么半径R的取值范围是（ ）
A．0【变式4-2】（2023·上海嘉定·统考二模）如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，AB=13， sinA=513，以点C为圆心，R为半径作圆，使A、B两点一点在圆内，一点在圆外，那么R的取值范围是 ．
【变式4-3】（2020·河北石家庄·石家庄市第五十中学校考模拟预测）在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝3，BC＝4．点O为边AB上一点（不与A重合）⊙O是以点O为圆心，AO为半径的圆．当⊙O与三角形边的交点个数为3时，则OA的范围（ ）
A．0＜OA≤158或2.5≤OA＜5B．0＜OA<158或OA＝2.5
C．OA＝2.5D．OA＝2.5或158
【变式4-4】（2020·江苏盐城·统考模拟预测）在矩形ABCD中，AB=8，BC=6.点O为对角线AC上一点（不与A重合），⊙O是以点O为圆心，AO为半径的圆.当⊙O与矩形各边的交点个数为5个时，半径OA的范围是 .
【变式4-5】（2021·浙江宁波·统考一模）如图，在RtΔABC中，∠C=90°,∠B=30°,AC=2，以C为圆心，r为半径作圆．若该圆与线段AB只有一个交点，则r的取值范围为 ．
【变式4-6】（2020·上海金山·统考一模）如图，已知RtΔABC中，∠C=90∘，AC=3，BC=4，如果以点C为圆心的圆与斜边AB有公共点，那么⊙C的半径r的取值范围是（ ）
A．0≤r≤125B．125≤r≤3C．125≤r≤4D．3≤r≤4
题型05 根据直线与圆的位置关系求点到直线的距离
【例5】（2021·江苏无锡·统考一模）如图，⊙C的圆心C的坐标为1,1，半径为1，直线l的表达式为y=-2x+6，P是直线l上的动点，Q是⊙C上的动点，则PQ的最小值是（ ）
A．355-1B．655-1C．355D．655
【变式5-1】（2020·福建福州·校考模拟预测）已知⊙O的半径为3，点O到直线m的距离为d，若直线m与⊙O公共点的个数为2个，则d可取（ ）
A．0B．3C．3.5D．4
题型06 求圆平移到与直线相切时圆心坐标
【例6】（2023·山东日照·日照市田家炳实验中学校考一模）如图，已知⊙P的半径为1，圆心P在抛物线y＝12x2﹣1上运动，当⊙P与x轴相切时，圆心P的坐标为 ．
【变式6-1】（2020·辽宁盘锦·统考二模）如图，半径r=22的⊙M在x轴上平移，且圆心M在x轴上，当⊙M与直线y=x+2相切时，圆心M的坐标为（ ）
A．(0，0)B．(2，0)C．（-6，0）D．(2，0) 或（-6，0）
题型07 求圆平移到与直线相切时运动距离
【例7】（2020·四川凉山·统考模拟预测）如图，在半径为5cm的⊙O中，直线l交⊙O于A、B两点，且弦AB＝8cm，要使直线l与⊙O相切，则需要将直线l向下平移( )
A．1cmB．2cmC．3cmD．4cm
【变式7-1】（2022上·河北唐山·九年级统考期末）如图，在平面直角坐标系中，半径为2的圆P的圆心P的坐标为（-3，0），将圆P沿x轴的正方向平移，使得圆P与y轴相切，则平移的距离为（ ）
A．1B．3或6C．3D．1或5
【变式7-2】（2022上·福建南平·九年级顺昌县第一中学校考阶段练习）如图，直线AB、CD相交于点O，∠AOC=30°，半径为1cm的圆的圆心P在直线AB上，且与点O的距离为8cm，若点P以1cm/s的速度由A向B的方向运动，当运动时间t为 时，⊙P与直线CD相切．
【变式7-3】（2020·江苏扬州·统考二模）直线l经过点A (4，0)，B(0，2)，若⊙M的半径为1，圆心M在y在轴上，当⊙M与直线l相切时，则点M的坐标 ．
【变式7-4】（2018·吉林·统考一模）等腰Rt△ABC和⊙O如图放置，已知AB=BC=1，∠ABC=90°，⊙O的半径为1，圆心O与直线AB的距离为5．
（1）若△ABC以每秒2个单位的速度向右移动，⊙O不动，则经过多少时间△ABC的边与圆第一次相切？
（2）若两个图形同时向右移动，△ABC的速度为每秒2个单位，⊙O的速度为每秒1个单位，则经过多少时间△ABC的边与圆第一次相切？
（3）若两个图形同时向右移动，△ABC的速度为每秒2个单位，⊙O的速度为每秒1个单位，同时△ABC的边长AB、BC都以每秒0.5个单位沿BA、BC方向增大．△ABC的边与圆第一次相切时，点B运动了多少距离？
题型08 根据直线与圆的位置关系求交点个数
【例8】（2020·广东·统考一模）在平面直角坐标系中，圆心O的坐标为（-3，4），以半径r在坐标平面内作圆，
（1）当r 时，圆O与坐标轴有1个交点；
（2）当r 时，圆O与坐标轴有2个交点；
（3）当r 时，圆O与坐标轴有3个交点；
（4）当r 时，圆O与坐标轴有4个交点；
题型09 圆和圆的位置关系
【例9】（2022·上海崇明·统考二模）Rt△ABC中，已知∠C=90°,BC=3,AC=4，以点A、B、C为圆心的圆分别记作圆A、圆B、圆C，这三个圆的半径长都是2，那么下列结论中，正确的是（ ）
A．圆A与圆C相交B．圆B与圆C外切
C．圆A与圆B外切D．圆A与圆B外离．
【变式9-1】（2023·新疆乌鲁木齐·统考一模）已知在Rt△ABC中，∠C=90°，ctA=65，那么以边AC长的32倍为半径的圆A与以BC为直径的圆的位置关系是（ ）
A．外切B．相交C．内切D．内含
【变式9-2】（2022·湖北武汉·统考一模）如图，在平面内⊙O1，⊙O2，⊙O3两两外切，其中⊙O1的半径为8，⊙O2，⊙O3的半径都为5．用一张半径为R的圆形纸片把这三个圆完全覆盖，则R的最小值为（ ）
A．403B．10C．13D．15
【变式9-3】（2021·上海松江·统考二模）已知⊙O的半径OA长为3，点B在线段OA上，且OB＝2，如果⊙B与⊙O有公共点，那么⊙B的半径r的取值范围是（ ）
A．r≥1B．r≤5C．1＜r＜5D．1≤r≤5
【变式9-4】（2023·北京东城·统考一模）在平面直角坐标系xOy中，已知点Ma,b，将点P向左a≥0或向右a<0平移ka个单位长度，再向下b≥0或向上b<0平移kb个单位长度k>0，得到点P'，再将点P关于直线MP'对称得到点Q，称点Q为点P的k倍“对应点”．特别地，当M与P'重合时，点Q为点P关于点M的中心对称点．
(1)已知点P3，0，k=2．
①若点M的坐标为(0，1)，画出点P'，并直接写出点P的2倍“对应点”Q的坐标；
②若OM=1，直线y=x+b上存在点P的2倍“对应点”，直接写出b的取值范围；
(2)半径为3的⊙O上有不重合的两点M，P，若半径为1的⊙O上存在点P的k倍“对应点”，直接写出k的取值范围．
考点二 切线的性质与判定
1.切线的性质与判定
2.切线长定理
题型01 判断或补全使直线成为切线的条件
【例1】（2021·浙江绍兴·统考一模）如图，点B在⊙A上，点C在⊙A外，以下条件不能判定BC是⊙A切线的是（ ）
A．∠A＝50°，∠C＝40°B．∠B﹣∠C＝∠A
C．AB2+BC2＝AC2D．⊙A与AC的交点是AC中点
【变式1-1】（2021·广东揭阳·统考一模）如图，AB是⊙O的直径，BC交⊙O于点D，DE⊥AC于点E，下列说法不正确的是（ ）
A．若DE=DO，则DE是⊙O的切线B．若AB=AC，则DE是⊙O的切线
C．若CD=DB，则DE是⊙O的切线D．若DE是⊙O的切线，则AB=AC
【变式1-2】（2019·新疆·校考中考模拟）已知⊙O 的半径为 5，直线 EF 经过⊙O 上一点 P（点 E，F 在点 P 的两旁），下列条件能判定直线 EF 与⊙O 相切的是（ ）
A．OP＝5B．OE＝OF
C．O 到直线 EF 的距离是 4D．OP⊥EF
题型02 利用切线的性质求线段长
【例2】（2023·重庆巴南·统考一模）如图，已知△ABC，点D在边AB上，以BD为直径的⊙O与边AC相切于点C，若AC=4,AD=2，则线段BC的长为（ ）

A．5B．25C．1155D．1255
【变式2-1】（2023·湖南衡阳·模拟预测）如图，在△OAB中，OA=OB=13，AB=24，以O为圆心，4为半径作⊙O，P为线段AB上动点(从A运动到B)，过P作⊙O的切线PC，切点为C，则PC的取值范围是( )

A．3≤PC≤3 17B．5≤PC≤13C．4≤PC≤3 17D．1【变式2-2】（2022·福建厦门·统考模拟预测）如图，⊙O的直径AB=2，直线l与⊙O相切于点B，将线段AB绕点B顺时针旋转45°得线段BC，E是l上一点，连接CE，则CE的长可以是（ ）

A．1B．1.2C．1.4D．1.6
【变式2-3】（2023·陕西西安·西安市庆安初级中学校联考模拟预测）如图，已知AB是⊙O的直径，AC是⊙O的弦，过点C作⊙O的切线CM，过点A作AD⊥MC交其延长线于点D，过点B作BE⊥CM于点E，

(1)求证：CD=CE；
(2)若AB=10，AC=6，求线段DE的长．
题型03 利用切线的性质求角度
【例3】（2023·重庆沙坪坝·重庆一中校考二模）如图，线段AB为⊙O的直径，点C，D都在⊙O上，DE与⊙O相切于点D，若∠BAC=α，∠BDE=β，则∠CBD可表示为（ ）

A．2α+βB．90°-α-βC．180°-α-2βD．180°-α-β
【变式3-1】（2023·四川泸州·泸县五中校考三模）如图，AB是⊙O的直径，PA与⊙O相切于点A，∠ABC＝25°，OC的延长线交PA于点P，则∠P的度数是( )

A．25°B．35°C．40°D．50°
【变式3-2】（2023·山东泰安·统考一模）如图，AB、AC是⊙O的弦，过点A的切线交CB的延长线于点D，若∠BAD=35°，则∠C= °．
【变式3-3】（2023·山东德州·统考三模）如图，在△ABC中，∠B=90°，⊙O过点A、C，与AB交于点D，与BC相切于点C，若∠A=32°，则∠ADO=
题型04 证明某条直线时圆的切线
类型一 由公共点：连半径，证垂直
【例4】（2023·广东佛山·校考一模）如图，以线段AB为直径作⊙O，交射线AC于点C，AD平分∠CAB交⊙O于点D，过点D作直线DE⊥AC于点E，交AB的延长线于点F．连接BD并延长交AC于点M．
(1)求证：直线DE是⊙O的切线；
(2)求证：AB=AM；
(3)若ME=1，∠F=30°，求BF的长．
【变式4-1】（2022·浙江衢州·统考模拟预测）如图，四边形ABCD内接于⊙O，AB为⊙O的直径，过点C作CE⊥AD交AD的延长线于点E，延长EC，AB交于点F，∠ECD＝∠BCF．
（1）求证：CE为⊙O的切线；
（2）若DE＝1，CD＝3，求⊙O的半径．
【变式4-2】（2023·江苏苏州·校考二模）如图，AB为⊙O的直径，点C是⊙O上一点，点D是⊙O外一点，∠BCD=∠BAC，连接OD交BC于点E．
(1)求证：CD是⊙O的切线．
(2)若CE=OA,sin∠BAC=45，求tan∠CEO的值．
【变式4-3】（2020·甘肃酒泉·统考二模）如图，已知BC是⊙O的直径，AC切⊙O于点C，AB交O于点D，E为AC的中点，连接CD，DE．
（1）求证：DE是⊙O的切线；
（2）若BD=4，CD=3，求AC的长．
【变式4-4】（2023·辽宁葫芦岛·统考一模）如图，AB为⊙O的直径，点C在⊙O上，AC=BC，点D在BA的延长线上，连接CD与⊙O交于点E，在AD上取点F，使FD=FE．

(1)试判断直线EF与⊙O的位置关系？并说明理由；
(2)若tan∠DEF=12，AB=8，求DF的长．
类型二 无公共点：作垂直， 证半径
【例5】（2021·江苏扬州·统考中考真题）如图，四边形ABCD中，AD//BC，∠BAD=90°，CB=CD，连接BD，以点B为圆心，BA长为半径作⊙B，交BD于点E．
（1）试判断CD与⊙B的位置关系，并说明理由；
（2）若AB=23，∠BCD=60°，求图中阴影部分的面积．
【变式5-1】（2023·江苏宿迁·统考三模）如图：在Rt△ABC中，∠B=90°，AO平分∠BAC，点E在AB上，OE=OC，以O为圆心，OB长为半径作⊙O．

(1)判断AC与⊙O的位置关系，说明理由；
(2)若AB=6，EB=4，求tan∠OAC的值．
【变式5-2】（2023·湖南衡阳·校考模拟预测）如图，在Rt△ABC中，∠ABC=90°，AC=10，BC=6，∠ACB的平分线CO交AB于点O，以OB为半径作⊙O．

(1)请判断AC与⊙O的位置关系，并说明理由；
(2)求⊙O的半径．
【变式5-3】（2022·江苏泰州·统考二模）如图，在平面直角坐标系中，⊙O的半径为1，直线y=-33x+233与x轴、y轴分别交于点A、B．
(1)判断直线AB与⊙O的位置关系，并说明理由；
(2)求阴影部分的面积．
题型05 利用切线的性质定理证明
【例6】（2023·山东临沂·统考二模）如图，半径为6的⊙O与Rt△ABC的边AB相切于点A，交边BC于点C，D，∠B=90°，连接OD，AD．

(1)若∠ACB=20°，求AD的长（结果保留π）．
(2)求证：AD平分∠BDO．
【变式6-1】（2023·贵州遵义·统考一模）已知：如图，AB为⊙O的直径，CD与⊙O相切于点C，交AB延长线于点D，连接AC，BC，∠D＝30°，CE平分∠ACB交⊙O于点E，过点B作BF⊥CE，垂足为F．
(1)求证：CA＝CD；
(2)若AB＝12，求线段BF的长．
【变式6-2】（2023·广东肇庆·统考二模）已知AB为⊙O的直径，AB=6，C为⊙O上一点，连接CA,CB．
(1)如图①，若C为AB的中点，求∠CAB的大小和AC的长；
(2)如图②，若AC=2,OD为⊙O的半径，且OD⊥CB，垂足为E，过点D作⊙O的切线，与AC的延长线相交于点F，求FD的长．
【变式6-3】（2023·江苏泰州·统考一模）如图，P为⊙O外一点，PA、PB为⊙O的切线，切点分别为A、B，直线PO交⊙O于点D、E，交AB于点C．
(1)求证：∠ADE=∠PAE．
(2)若∠ADE=30°，求证：AE=PE．
(3)若PE=4，CD=6，求CE的长．
题型06 切线的性质与判定的综合运用
【例7】（2023·山东聊城·统考一模）如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，O是BC边上一点，以O为圆心，OB为半径的圆与AB相交于点D，连接CD，且CD=AC．

(1)求证：CD是⊙O的切线；
(2)若∠A=60°，AC=23，求BD的长．
【变式7-1】（2023·云南·模拟预测）如图，已知AC为⊙O的直径，直线PA与⊙O相切于点A，直线PD经过⊙O上的点B且∠CBD=∠CAB，连接OP交AB于点M．求证：
(1)PD是⊙O的切线；
(2)AM2=OM⋅PM
【变式7-2】（2021·山东聊城·统考一模）如图1，在四边形ABCD中，AD//BC，∠DAB=90°，AB是⊙O的直径，CO平分∠BCD．
（1）求证：直线CD与⊙O相切；
（2）如图2，记（1）中的切点为E，P为优弧AE上一点，AD=1，BC=2.求tan∠APE的值．
【变式7-3】（2022·河北石家庄·石家庄外国语学校校联考二模）如图，在▱ABCD中，∠A=120°，AB=2BC=8，点M在BC边所在的直线上，CM=8，PQ=6，以PQ为直径的半圆O与BC相切于点P，点H为半圆弧PQ上一动点．
探索：如图1，当点P与点M重合时，则BQ=______，线段CH的最小值为______．
思考：若点H从Q开始绕圆心O逆时针旋转，速度为15度/秒，同时半圆O从M点出发沿MB做平移运动，速度为1个单位长度/秒，运动时间为t秒0≤t≤12．解决下列问题：
（1）如图2，当PQ与D点在一条直线上时，求点O到CD的距离及扇形OHQ的面积；
（2）当圆O与CD相切于点K时，求∠HOQ的度数：
直接判断此时：弧HQ长______弦KQ长（填：＜、＞或＝）
（3）当弧HQ（包括端点）与▱ABCD边有两个交点时，直接写出：运动时间t的取值范围．
题型07 作圆的切线
【例8】（2023·陕西西安·高新一中校考一模）如图，点P是⊙O外一点．请利用尺规过点P作⊙O的一条切线PE．（保留作图痕迹，不要求写作法和证明）

【变式8-1】（2023·江西新余·统考一模）如图，在边长为1的正方形网格中有一段圆弧AC，弧AC经过格点A、B、C，请仅用无刻度的直尺分别按下列要求画图(保留作图痕迹)．

(1)在图1中，画出弧AC所在圆的圆心O；
(2)在图2中，画出弧AC所在的圆的一条切线，使这条切线经过格点P．
【变式8-2】（2023·河南周口·统考二模）数学综合实践课上，李老师在黑板上布置了一道尺规作图题如下：
下面是各个数学小组进行的一系列探究，请你根据探究内容解决问题．
(1)进步小组的作法：以点P为圆心，PA长为半径作弧，交⊙O于点B（非点A），作直线PB，则直线PB即为所求作的切线．问题：
①请你在图（2）中补全进步小组的作图痕迹．
②进步小组通过连接OB，OP，证明△OBP≌△OAP，他们证明两个三角形全等的依据为______（填“SAS”“SSS”或“AAS”）．
(2)希望小组的作法：如图（3），连接OP，作OP的垂直平分线m交OP于点M，以点M为圆心，MO长为半径作圆，交⊙O于点B（非点A），作直线PB，则直线PB即为所求作的切线．
问题：该组的小华根据作图方案给出如下证明过程．
证明：连接OB，由作图知，OP是⊙M的※，
∴∠OBP=90°，（理由：◎）
即OB⊥BP
又OB是⊙O的半径，
∴BP为⊙O的切线．
在上述证明过程中，※处应该填写______；
◎处应该填写______（填序号）
①一条弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的一半
②90°的圆周角所对的弦是直径
③直径所对的圆周角是直角
④同弧所对的圆周角相等
(3)拓展小组的作法：如图（4），连接OP交⊙O于点C，过点C作OP的垂线n，以点O为圆心，OP长为半径作弧，交直线n于点D，连接OD交⊙O于点B，作直线BP，则直线BP即为所求作的切线．问题：请你结合该组作图方案给出证明过程．
题型08 应用切线长定理求解
【例9】（2020·河北·模拟预测）如图，P为⊙O外一点，PA、PB分别切⊙O于A、B两点，若PA=3，则PB=（ ）
A．2B．3C．4D．5
【变式9-1】（2022·山东青岛·模拟预测）如图，PM、PN是⊙O的切线，B、C是切点，A、D是⊙O上的点，若∠P＝44°，∠D＝98°，则∠MBA的度数为（ ）
A．38°B．28°C．30°D．40°
【变式9-2】（2022·北京海淀·统考一模）如图，PA，PB是⊙O的切线，A，B为切点．若∠APB=60°，则∠AOP的大小为 ．
【变式9-3】（2022·广东江门·统考一模）如图，PA，PB分别与⊙O相切于点A，B，⊙O的切线EF分别交PA，PB于点E，F，切点C在弧AB上，若PA长为8，则△PEF的周长是 ．
【变式9-4】（2022·甘肃白银·统考二模）如图，四边形ABCD是⊙O的外切四边形，且AB=9，CD=15，则四边形ABCD的周长为 ．
题型09 应用切线长定理求证
【例10】（2022·山东枣庄·校考一模）如图，已知PA,PB是⊙O的两条切线，A，B为切点，线段OP交⊙O于点M．给出下列四种说法：①PA=PB；②OP⊥AB；③四边形OAPB有外接圆；④M是△AOP外接圆的圆心，其中正确说法的个数是（ ）
A．1B．2C．3D．4
【变式10-1】（2022·内蒙古包头·二模）已知：如图，AB为⊙O的直径，CD,CB为⊙O的切线，D、B为切点，OC交⊙O于点E，AE的延长线交BC于点F，连接AD,BD．以下结论：①AD∥OC；②点E为△CDB的内心；③FC=FE；④CE⋅FB=AB⋅CF．其中正确的只有（ ）
A．①②B．②③④C．①③④D．①②④
【变式10-2】（2023·北京顺义·统考二模）如图，PA，PB分别与⊙O相切于A，B两点，AC是⊙O的直径．

(1)求证：∠BAC=12∠APB
(2)连接PO交⊙O于点D，若AC=6，cs∠BAC=45，求PD的长．
【变式10-3】（2023·河南周口·校联考三模）如图，点E是以AB为直径的⊙O外一点，点C是⊙O上一点，EB是⊙O的切线，EC⊥OC，连接AC并延长交BE的延长线于点F．

(1)求证：点E是BF的中点；
(2)若EC=OC，⊙O的半径为3，求CF的长．
【变式10-4】（2022·广东·统考模拟预测）如图，AB是⊙O直径，BC⊥AB于点B，点C是射线BC上任意一点，过点C作CD切⊙O于点D，连接AD．
(1)求证：BC＝CD；
(2)若∠C＝60°，BC＝3，求AD的长．
考点三 三角形内切圆与外接圆
1. 三角形内切圆与外接圆
2. 三角形内心与外心
3.常见结论
1）三角形内切圆半径公式：r=2SC，其中S为三角形的面积；C为三角形的周长.
2）特殊的直角三角形内切圆半径公式：r=a+b-c2或r=aba+b+c，其中a，b为直角三角形的直角边长，c为斜边长.
【解题思路】解三角形的内切圆问题，通常分别连接．内切圆的圆心与切点、圆心与三角形的顶点来构造直角三角形，以便利用直角三角形的知识进行求解．
1. 一个三角形有且只有一个内切圆,而一个圆有无数个外切三角形.
2. 三角形的内心是三条角平分线的交点,因此,镜角三角形、直角三角形、锐角三角形的内心都在三角形的内部.
3. 三角形的内心是三条角平分线的交点,因此,镜角三角形、直角三角形、锐角三角形的内心都在三角形的内部.
题型01 判断三角形外接圆圆心位置
【例1】（2023·河北邢台·统考一模）如图，在由小正方形组成的网格中，点A，B，C，D，E，F，O均在格点上．下列三角形中，外心不是点O的是（ ）
A．△ABCB．△ABDC．△ABED．△ABF
【变式1-1】（2021·河北·模拟预测）10个大小相同的正六边形按如图所示方式紧密排列在同一平面内，A、B、C、D、E、O均是正六边形的顶点．则点O是下列哪个三角形的外心（ ）．
A．△AEDB．△ABDC．△BCDD．△ACD
【变式1-2】（2022·江苏淮安·统考模拟预测）图①、图②、图③均是4×4的正方形网格，每个小正方形的边长均为1．每个小正方形的顶点称为格点，点A、B、C均为格点，只用无刻度的直尺，分别在给定的网格中找一格点M，按下列要求作图：
（1）在图①中，连结MA、MB，使MA=MB．
（2）在图②中，连结MA、MB、MC，使MA=MB=MC．
（3）在图③中，连结MA、MC，使∠AMC=2∠ABC．
题型02 求外心坐标
【例2】（2020·广西南宁·南宁三中校考三模）过三点A（2，2），B（6，2），C（4，5）的圆的圆心坐标为（ ）
A．（4，176）B．（4，3）C．（5，176）D．（5，3）
【变式2-1】（2020·北京西城·统考一模）如图，在平面直角坐标系xOy中，点A，B，C的坐标分别是（0，4），（4，0），（8，0），⊙M是△ABC的外接圆，则点M的坐标为 ．
【变式2-2】（2021·广东广州·统考一模）如图，在直角坐标系中，点A（0，6）、B（0，﹣2）、C（﹣4，6），则△ABC外接圆的圆心坐标为 ．
【变式2-3】（2022·河北邯郸·校考一模）如图，在平面直角坐标系中，△ABC为直角三角形，∠ABC＝90°，AB⊥x轴，M为Rt△ABC的外心．若点A的坐标为（3，4），点M的坐标为（﹣1，1），则点B的坐标为（ ）
A．（3，﹣1）B．（3，﹣2）C．（3，﹣3）D．（3，﹣4）
题型03 已知外心的位置判断三角形形状
【例3】（2023·四川南充·四川省南充高级中学校考三模）如图，O是△ABC的外心，则∠1+∠2+∠3=( )
A．60∘B．75∘C．90∘D．105∘
【变式3-1】（2022·河北保定·统考一模）已知△ABC和△ABD有相同的外心，∠D=70°，则∠C的度数是（ ）
A．70°B．110°C．70°或110°D．不能确定
【变式3-2】（2023·湖北宜昌·校考一模）如图，在正六边形ABCDEF中，连接BF，BE，则关于△ABF外心的位置，下列说法正确的是（ ）
A．在△ABF内B．在△BFE内
C．在线段BF上D．在线段BE上
【变式3-3】（2020·上海·校考三模）三角形的外心恰好在它的一条边上，则这个三角形一定是 ．
题型04 求特殊三角形外接圆的半径
【例4】（2023·辽宁阜新·统考一模）如图，⊙O是等边△ABC的外接圆，若AB=3，则⊙O的半径是（ ）
A．32B．32C．3D．52
【变式4-1】（2021·湖北武汉·统考三模）如图，在ΔABC中，∠BAC=60°其周长为20，⊙I是ΔABC的内切圆，其半径为3，则ΔBIC的外接圆半径为（ ）
A．7B．73C．722D．733
【变式4-2】（2020·福建福州·统考一模）已知：在△ABC中，AB=AC，∠A<90°．
(1)找到△ABC的外心，画出△ABC的外接圆（要求：尺规作图，保留作图痕迹，不写过程）
(2)若△ABC的外接圆的圆心O到BC边的距离为8，BC=12，请求出⊙O的面积．
题型05 由三角形的内切圆求长度
【例5】（2023·河北·模拟预测）如图，在△ABC中，AB＝AC，点D在AC边上，过△ABD的内心I作IE⊥BD于点E．若BD＝10，CD＝4，则BE的长为（ ）
A．6B．7C．8D．9
【变式5-1】（2022·广西河池·统考一模）如图，△ABC的内切圆⊙O与AB，BC，CA分别相切于点D，E，F，AB=14，BC=13，CA=9，则AD的长是（ ）
A．3.5B．4C．4.5D．5
【变式5-2】（2022·山东泰安·统考模拟预测）如图，点I为的△ABC内心，连接AI并延长交△ABC的外接圆于点D，点E为弦AC的中点，连接CD，EI，IC，当AI=2CD，IC=6，ID=5时，IE的长为（ ）
A．5B．4.5C．4D．3.5
【变式5-3】（2023·广东广州·广东实验中学校考二模）如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=6，BC=8，则△ABC的内切圆的半径r是（ ）

A．2B．3C．4D．无法判断
题型06 由三角形的内切圆求角度
【例6】（2020·浙江丽水·统考模拟预测）如图，⊙O是等边△ABC的内切圆，分别切AB，BC，AC于点E，F，D，P是DF上一点，则∠EPF的度数是（ ）
A．65°B．60°C．58°D．50°
【变式6-1】（2018·湖南邵阳·校联考一模）如图，四边形ABCD内接于⊙O，点I是△ABC的内心，∠AIC=124°，点E在AD的延长线上，则∠CDE的度数为（ ）
A．56°B．62°C．68°D．78°
【变式6-2】（2023·湖南娄底·校联考一模）如图，△ABC的内切圆圆O与AB，BC，CA分别相切于点D，E，F，若∠DEF=53°，则∠A的度数是（ ）
A．36°B．53°C．74°D．128°
【变式6-3】（2023·湖北襄阳·统考一模）如图，⊙O是△ABC的内切圆，∠C=40°，则∠AOB的大小是 ．
题型07 由三角形的内切圆求周长、面积
【例7】（2023·陕西西安·高新一中校考一模）如图，在一张Rt△ABC纸片中，∠ACB=90°，BC=5，AC=12，⊙O是它的内切圆．小明用剪刀沿着⊙O的切线DE剪下一块三角形ADE，则△ADE的周长为（ ）

A．19B．17C．22D．20
【变式7-1】（2019·河北·模拟预测）如图，已知△ABC的周长是20，点O为三角形内心，连接OB、OC，OD⊥BC于点D，且OD=3，则△ABC的面积是（ ）
A．20B．25C．30D．35
【变式7-2】（2023·江苏宿迁·沭阳县怀文中学统考一模）如图⊙O是△ABC的内切圆，切点分别是D，E，F，其中AB=6，BC=9，AC=11，若MN与⊙O相切与G点，与AC，BC相交于M，N点，则△CMN的周长等于 ．

【变式7-3】（2022·湖北武汉·武汉第三寄宿中学校考模拟预测）如图，在Rt△ABC中，∠B＝60°，∠A＝90°，△ABC的内切圆⊙O与BC，CA，AB分别相切于点D，E，F．
(1)求∠EOD的度数；
(2)若r＝2，求阴影部分的面积．
题型08 求三角形的内切圆半径
【例8】【（2023·广西梧州·统考二模）如图，⊙O是△ABC的内切圆，若△ABC的周长为18，面积为9，则⊙O的半径是（ ）

A．1B．2C．1.5D．2
【变式8-1】（2023·湖南邵阳·统考一模）如图所示，⊙O是等边三角形ABC的内切圆，若AB=4，则⊙O的半径是（ ）

A．32B．1C．233D．2
【变式8-2】（2023·湖南常德·统考模拟预测）如图，⊙O是边长为12的正三角形ABC的内切圆，⊙O1与边AB、AC均相切，且与⊙O外切，则⊙O的半径为 ．

【变式8-3】（2023·甘肃陇南·校考一模）如图，⊙O与∠A=90°的Rt△ABC的三边AB、BC、AC分别相切于点D、E、F，若BE=10，CF=3，则⊙O的半径为（ ）
A．5B．4C．3D．2
题型09 直角三角形周长、面积和内切圆半径的关系
【例9】（2022·广东深圳·统考二模）如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝5，⊙O是△ABC的内切圆，半径为2，则图中阴影部分的面积为（ ）
A．30﹣4πB．303-4πC．60﹣16πD．303-16π
【变式9-1】（2022上·河北邯郸·九年级校考期中）如图，⊙O是四边形ABCD的内切圆．若∠AOB=70°，则∠COD=（ ）

A．110°B．125°C．140°D．145°
【变式9-2】（2023·四川宜宾·统考一模）《九章算术》卷九中记载：“今有勾三步，股四步，问勾中容圆径几何？”其大意是：“今有直角三角形勾（短直角边）长为3步，股（长直角边）长为4步，问该直角三角形能容纳的圆（内切圆）的半径是多少步？”如图是示意图，根据题意，该内切圆的半径为 ．
题型10 圆外切四边形模型
【例10】（2021上·江苏南京·九年级统考期中）如图，圆O是四边形ABCD的内切圆，若∠BOC＝118°，则∠AOD＝ ．
【变式10-1】（2015·河南·模拟预测）阅读材料：已知，如图（1），在面积为S的△ABC中， BC=a,AC=b, AB=c,内切圆O的半径为r连接OA、OB、OC，△ABC被划分为三个小三角形．
∵S=SΔOBC+SΔOAC+SΔOAB=12BC⋅r+12AC⋅r+12AB⋅r=12(a+b+c)r
∴r=2Sa+b+c．

（1）类比推理：若面积为S的四边形ABCD存在内切圆（与各边都相切的圆），如图（2），各边长分别为AB=a，BC=b，CD=c，AD=d，求四边形的内切圆半径r；
（2）理解应用：如图(3)，在等腰梯形ABCD中，AB∥DC，AB=21，CD=11，AD=13，⊙O1与⊙O2分别为△ABD与△BCD的内切圆，设它们的半径分别为r1和r2，求r1r2的值.
题型11 三角形内心有关的应用
【例11】（2018·河北唐山·校联考一模）如图，⊙O是△ABC的内切圆，则点O是△ABC的（ ）
A．三条边的垂直平分线的交点B．三条角平分线的交点
C．三条中线的交点D．三条高的交点
【变式11-1】（2021·河北·统考一模）如图，在△ABC中点D为△ABC的内心,∠A=60°,CD=2,BD=4．则△DBC的面积是（ ）
A．43B．23C．2D．4
【变式11-2】（2022·云南文山·一模）如图，BC是⊙O的直径，点A是⊙O上的一点，点D是△ABC的内心，若BC＝5，AC＝3，则BD的长度为（ ）
A．2B．3C．10D．342
【变式11-3】（2023·江苏泰州·校考三模）如图所示的网格由边长为1个单位长度的小正方形组成，点A、B、C、在直角坐标系中的坐标分别为3,6，-3,3，7,-2，则△ABC内心的坐标为 ．

题型12 三角形外接圆与内切圆综合
【例12】（2022·湖北武汉·校考模拟预测）图，⊙O是△ABC的外接圆，点I是△ABC内心，连接AI并延长交⊙O于点D，若AB＝9，BC＝14，CA＝13，则AIAD的值是（ ）
A．37B．59C．411 D．913
【变式12-1】（2022·山东枣庄·校考一模）如图，点 O 是△ABC 的内心，也是△DBC 的外心．若∠A＝80°，则∠D 的度数是（ ）
A．60°B．65C．70°D．75°
【变式12-2】（2022·四川绵阳·统考三模）如图，Rt△ABC中，∠BAC＝90°，AC＝6，AB＝8，O为Rt△ABC的外心，I为Rt△ABC的内心，延长AI交⊙O于点D．连接OI，则cs∠OID 的值为 ．
【变式12-3】（2020·重庆南岸·校考一模）阅读以下材料，并按要求完成相应地任务：
莱昂哈德·欧拉(Lenhard Euler)是瑞士数学家，在数学上经常见到以他的名字命名的重要常数，公式和定理，下面是欧拉发现的一个定理：在△ABC中，R和r分别为外接圆和内切圆的半径，O和I分别为其外心和内心，则OI2=R2-2Rr.
如图1，⊙O和⊙I分别是△ABC的外接圆和内切圆，⊙I与AB相切分于点F，设⊙O的半径为R，⊙I的半径为r，外心O（三角形三边垂直平分线的交点）与内心I（三角形三条角平分线的交点）之间的距离OI＝d，则有d2＝R2﹣2Rr．
下面是该定理的证明过程（部分）：
延长AI交⊙O于点D，过点I作⊙O的直径MN，连接DM，AN.
∵∠D=∠N，∠DMI=∠NAI(同弧所对的圆周角相等)，
∴△MDI∽△ANI，
∴IMIA=IDIN，
∴IA⋅ID=IM⋅IN①，
如图2，在图1(隐去MD，AN)的基础上作⊙O的直径DE，连接BE，BD，BI，IF，
∵DE是⊙O的直径，∴∠DBE=90°，
∵⊙I与AB相切于点F，∴∠AFI=90°，
∴∠DBE=∠IFA，
∵∠BAD=∠E(同弧所对圆周角相等)，
∴△AIF∽△EDB，
∴IADE=IFBD，∴IA⋅BD=DE⋅IF②，
任务：(1)观察发现：IM=R+d，IN= (用含R，d的代数式表示)；
(2)请判断BD和ID的数量关系，并说明理由；
(3)请观察式子①和式子②，并利用任务(1)，(2)的结论，按照上面的证明思路，完成该定理证明的剩余部分；
(4)应用：若△ABC的外接圆的半径为5cm，内切圆的半径为2cm，则△ABC的外心与内心之间的距离为 cm.

【变式12-4】（2021·福建厦门·统考二模）如图，在△ABC中，AC=BC=4，∠ACB=90°，⊙O是△ABC的外接圆，连接CO并延长交⊙O于点D，连接BD，点E是△ABC的内心．
（1）请用直尺和圆规作出点E，证明BD=DE；
（2）求线段CE长．
考点要求
新课标要求
命题预测
点、直线与圆的位置关系
探索并掌握点与圆的位置关系.
能用尺规作图:过不在同一直线上的三点作圆.
了解直线与圆的位置关系.
本专题内容也是各地中考数学中的必考考点之一，主要内容包括点、直线与圆的位置关系、切线的性质和判定、三角形的内切圆和外接圆三块，在解答题中想必还会考查切线的性质和判定，和直角三角形结合的求线段长的问题和三角函数结合的求角度的问题等知识点综合，考查形式多样，多以动点、动图的形式给出，难度较大.关键是掌握基础知识、基本方法，力争拿到全分．
切线的性质与判定
掌握切线的概念.
探索并证明切线长定理.
三角形内切圆与外接圆
了解三角形的内心与外心.
通过尺规作作三角形的外接圆、内切圆.
位置关系
图形
定义
性质及判定
点在圆外

点在圆的外部
d > r 点P在圆外
点在圆上
点在圆周上
d = r 点P在圆上
点在圆内

点在圆的内部
d < r 点P在圆内
位置关系
图形
公共点个数
性质及判定
相离
没有公共点
d > r直线l与⊙O相离
相切
有唯一公共点
d = r直线l与⊙O相切
相交
有两个公共点
d < r直线l与⊙O相交
位置关系
图形
公共点个数
性质及判定
外离
无
d>R+r⇔两圆外离
外切
1个切点
d=R+r⇔两圆外切
相交
两个交点
R-r内切
1个切点
d=R-r⇔两圆内切
内含
无
0≤d两圆相切、相交的重要性质：如果两圆相切，那么切点一定在连心线上，它们是轴对称图形，对称轴是两圆的连心线；相交的两个圆的连心线垂直平分两圆的公共弦.
定义
线和圆只有一个公共点时，这条直线叫圆的切线，这个公共点叫做切点．
性质
圆的切线垂直于过切点的半径．（实际上过切点的半径也可理解为过切点的直径或经过切点与圆心的直线．）
解题方法：当题目已知一条直线切圆于某一点时，通常作的辅助线是连接切点与圆心（这是圆中作辅助线的一种方法）．根据切线的性质可得半径与切线垂直，从而利用垂直关系进行有关的计算或证明．
判定
1）定义法：直线和圆只有一个公共点时，我们说这条直线是圆的切线.
2）数量关系法：圆心到这条直线的距离等于半径时，直线与圆相切.
3) 判定定理：经过半径的外端且垂直于这条半径的直线是圆的切线.
常见辅助线作法：判定一条直线是圆的切线时，
1）若已知直线与圆的公共点时，把圆心和这个公共点连接起来，然后证明直线垂直于这条半径，简称“连半径，证垂直”；
3）若直线与圆的公共点没有明确，可过圆心作直线的垂线段，再证明圆心到直线的距离等于半径，简称“作垂直，证半径”．
定义
在经过圆外一点的圆的切线上，这点和切点之间的线段的长，叫做这点到圆的切线长．
定理
从圆外一点引圆的两条切线，它们的切线长相等，圆心和这一点的连线平分两条切线的夹角．
切线长定理的应用问题解题方法：切线长定理经常用来证明线段相等，通常要连接圆心与切点构造直角三角形来求解．
利用尺规过圆外一点作圆的切线．
已知：如图（1），PA为⊙O的切线，切点为A．
求作：圆的另一条切线PB，切点为B．

三角形外接圆
经过三角形三个顶点的圆叫做三角形的外接圆，外接圆的圆心是三角形三条边垂直平分线的交点，叫做三角形的外心，这个三角形叫做这个圆的内接三角形.
三角形内切圆
与三角形各边都相切的圆叫做三角形的内切圆，内切圆的圆心叫做三角形的内心，这个三角形叫做圆的外切三角形.
圆心的名称
圆心的确定方法
图形
圆心的性质
外心
三角形三边中垂线的交点
1)OA=OB=OC
2)外心不一定在三角形的内部．
内心
三角形三条角平分线的交点
1)到三边的距离相等；
2)OA、OB、OC分别平分∠BAC、∠ABC、∠ACB；
3)内心一定在三角形内部．