人教版（2024）九年级下册28.1 锐角三角函数课文内容课件ppt

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1.理解并掌握锐角正弦、余弦和正切的的定义并能进行相关运算.．2.在直角三角形中求锐角的正弦值、余弦值和正切值．(重点)3.能灵活运用锐角三角函数进行相关运算.（难点）
为了绿化荒山，某地打算从位于山脚下的机井房沿着山坡铺设水管，在山坡上建一座扬水站，对坡面绿地进行喷灌.先测得斜坡的坡脚（∠A）为30°，为使出水口的高度为35m,需要准备多长的水管？
如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，∠A=30°，BC=35m,求AB.
∵∠A=45°∠C=90°∴AC=BC由勾股定理得AB2=AC2+BC2=2BC2
一般地，当∠A 取其他一定度数的锐角时，它的对边与斜边的比是否也是一个固定值？
所以Rt△ABC∽Rt△A'B'C'
这就是说，在直角三角形中，当锐角A的度数一定时，不管三角形的大小如何，∠A的对边与斜边的比都是一个 ．
sinA是一个完整的符号，它表示∠A的正弦，记号里习惯省去角的符号“∠”；但是sin∠ABC这样的表示不省略角的符号
sinA没有单位，它表示一个比值，即直角三角形中∠A的对边与斜边的比；
sinA不表示“sin”乘以“A”。
例1 如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，求sinA和sinB的值．
问题 同学们，从上述情境中，你可以找到一个什么数学问题呢？能否结合数学图形把它描述出来？
所以AB=2BC=70m.
因为在直角三角形中，30°的角所对的边等于斜边的一半
问题：如果出水的高度为50m,那么需要准备多长的水管？
问题：如果∠A=45°，那么BC与AB的比是一个定值吗？
因为∠A=45°，则AC=BC，由勾股定理得AB2=AC2+BC2=2BC2.
任意画Rt△ABC 和Rt△A'B'C'，使得∠C＝∠C'＝90°，∠A＝∠A'＝α，那么 有什么关系．能解释一下吗？
因为∠C＝∠C'＝90°，∠A＝∠A'＝α，所以Rt△ABC∽Rt△A'B'C'.
这就是说，在直角三角形中，当锐角A的度数一定时，不管三角形的大小如何，∠A的对边与斜边的比也是一个固定值．
如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，我们把锐角A的对边与斜边的比叫作∠A的正弦（sine），记作sinA 即
例如，当∠A＝30°时，我们有
当∠A＝45°时，我们有
当锐角A的度数变化时， ∠A 的对边与斜边的比随之变化。
小刚说：对于任意锐角α，都有
你认为他说得对吗？为什么？
锐角α的对边总会小于斜边而又大于0
1.正弦的定义:在直角三角形中
3.sinA是∠A的函数.
2.在Rt△ABC中，锐角A的对边和斜边同时扩大 100倍，sinA的值（ ） A.扩大100倍 B.缩小 C.不变 D.不能确定
1.在Rt△ABC中，∠C=90°，a=1，c=4，则sinA的值为（ ） A.
2.若sin（65°-∠A)= ,则∠A=
4、如图2：P是平面直角坐标系上的一点，且点P的坐标为（3,4），则sin =
如图，Rt△ABC中，∠ACB=90°，CD⊥AB，图中sinB等于哪两条线段的比。
解：在Rt△ABC中，
因为∠B=∠ACD，所以
求一个角的正弦值，除了用定义直接求外，还可以转化为求和它相等角的正弦值。
(1) （ ） (2) （ ） (3)sin A=0.6m （ ） (4)sin B=0.8 （ ）
sin A是一个比值（注意比的顺序），无单位；
2)如图②， （ ）
2. 在 Rt△ABC中，锐角 A 的对边和斜边同时扩大 100 倍，sinA 的值 ( ) A. 扩大100倍 B. 缩小 C. 不变 D. 不能确定
3.如图，在正方形网格中有△ABC，则 sin∠ABC 的值为 .
例1 如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，求sinA和sinB的值．
解：（1）在Rt△ABC中，
（2）在Rt△ABC中，
利用正弦的定义求有关角的正弦值
如图所示， △ABC和△DEF都是直角三角形， 其中∠A=∠D=α，∠C=∠F=90°，则成立吗？为什么？
我们来试着证明前面的问题：
∴ Rt△ABC∽Rt△DEF.
由此可得，在有一个锐角等于α的所有直角三角形中，角α的邻边与斜边的比值是一个常数，与直角三角形的大小无关．
如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，我们把锐角A的邻边与斜边的比叫作∠A的余弦（csine），记作csA 即
　　我们已经知道，在直角三角形中，当一个锐角的大小确定时，那么不管这个三角形的大小如何，这个锐角的对边（或邻边）与斜边的比值也就确定（是一个常数）. 那么这个锐角的对边与邻边的比值是否也是一个常数呢？
即 BC·DF = AC·EF ，
由此可得，在有一个锐角等于α的所有直角三角形中，角α的对边与邻边的比值是一个常数，与直角三角形的大小无关．
　　如下图，在直角三角形中，我们把锐角α的对边与邻边的比叫作角α的正切，记作tanα， 即
如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，我们把锐角A的对边与邻边的比叫作∠A的正切（tangent），记作tanA 即
例2 如图，在平面直角坐标系内有一点 P (3，4)，连接 OP，求 OP 与 x 轴正方向所夹锐角 α 的正弦值和余弦值.
解：如图，设点 A (3，0)，连接 PA .
在Rt△APO中，由勾股定理得
在平面直角坐标系内求锐角的三角函数值
结合平面直角坐标系求某角的正弦函数值，一般过已知点向 x 轴或 y 轴作垂线，构造直角三角形，再结合勾股定理求解.
在Rt△ABC中∠C＝90°，∠A，∠B，∠C的对边分别为a，b，c，