2025年九年级中考数学一轮专题复习 锐角三角函数 课件

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(2)∠A的余弦：csA＝　　　　　　＝　　　；(3)∠A的正切：tanA＝　　　　　　＝　　　.
1. 锐角三角函数定义
如图所示，在Rt△ABC中，∠C＝90°，a，b，c分别是∠A，∠B，∠C的对边．
sin30°＝　　，sin45°＝　　，sin60°＝　　；cs30°＝　　，cs45°＝　　，cs60°＝　　；tan30°＝　　，tan45°＝　　，tan60°＝　　.
2. 特殊角的三角函数
(1) 在Rt△ABC中，∠C＝90°，a，b，c分别是∠A， ∠B，∠C的对边．常用对应关系
三边关系：_______________；三角关系：_________________ ；边角关系：sinA＝csB＝_____ ，csA＝sinB ＝____，tanA＝_________，tanB＝_______.
◑条件：解直角三角形时知道其中的2个元素(至少 有一个是边)，就可以求出其余的3个未知元素．
◑解法：①一边一锐角，先由两锐角互余关系求出另一锐角；知斜边，再用正弦(或余弦)求另两边；知直角边用正切求另一直角边，再用正弦或勾股定理求斜边；②知两边：先用勾股定理求另一边，再用边角关系求锐角；③斜三角形问题，可通过添加适当的辅助线转化为解直角三角形问题．
(2) 直角三角形可解的条件和解法
(3) 互余两角的三角函数间的关系
sinα = csα= ，sin2α + cs2α = .tanα · tan(90°－α) =___.
(4) 锐角三角函数的增减性
对于sinα与tanα，角度越大，函数值越 ；对于csα，角度越大，函数值越 .
在进行测量时，从下向上看，视线与水平线的夹角叫做仰角；从上往下看，视线与水平线的夹角叫做俯角.
以正南或正北方向为准，正南或正北方向线与目标方向线构成的小于900的角，叫做方位角. 如图所示：
坡面与水平面的夹角叫做坡角，记作α，有 i = tan α. 坡度通常写成1∶m的形式，如i=1∶6.显然，坡度越大，坡角α就越大，坡面就越陡.
如图：坡面的铅垂高度（h）和水平长度（l）的比叫做坡面坡度.记作i，即i = .
①在测点A安置测倾器，测得M的仰角∠MCE=α；
②量出测点A到物体底部N的水平距离AN=l；
③量出测倾器的高度AC=a，可求出 MN=ME+EN=l · tanα+a.
(1) 测量底部可以到达的物体的高度步骤：
6. 利用三角函数测高
① 将实际问题抽象为数学问题（画出平面图形，转化为解直角三角形的问题）； ② 根据已知条件中各量之间的关系，适当选用锐角三角函数等去解直角三角形； ③ 如果不是直角三角形，可通过添加辅助线构造直角三角形来解决； ④得到数学问题的答案；进而得到实际问题的答案．
利用解直角三角形的知识解决实际问题的一般过程是：
1 . 在△ABC中，∠C＝90°， ，则tanB的值为( )
2. 在△ABC中， ∠A、 ∠B都是锐角，且sinA=csB， 那么△ABC一定是______三角形．
3. 如图，在网格中，小正方形的边长均为1，点A，B，C都在格点上，则∠ABC的正切值是____.
解：∵在直角△ABD中，∴BD = AD·tan∠BAD=12× =9，∴CD=BC－BD=14－9=5，∴∴sinC =
针对训练 特殊角的三角函数值
例1 在△ABC中，∠C＝90°，sinA＝ ，则tanB＝(　　) A.　　 B.　 　 C.　 　D.
求三角函数值方法较多，解法灵活，在具体的解题中要根据已知条件采取灵活的计算方法，常用的方法主要有：(1)根据特殊角的三角函数值求值；(2)直接运用三角函数的定义求值；(3)借助边的数量关系求值；(4)借助等角求值；(5)根据三角函数关系求值；(6)构造直角三角形求值．
1.在△ABC中， ∠A、 ∠B都是锐角，且sinA=csB，那么△ABC一定是________三角形．
【解析】本题考查数的0次幂、分母有理化和特殊角的三角函数值．
(1) tan30°＋cs45°＋tan60°
(2) tan30°· tan60°＋ cs230°
例3 如图，在△ABC中，∠C＝90°，点D在BC上，BD＝4，AD＝BC，cs∠ADC= ，求：（1）DC的长；（2）sinB的值．
【分析】题中给出了两个直角三角形，DC和sinB可分别在Rt△ACD和Rt△ABC中求得，由AD＝BC，图中CD＝BC－BD，由此可列方程求出CD．
本考点主要考查已知三角形中的边与角求其他的边与角.解决这类问题一般是结合方程思想与勾股定理，利用锐角三角函数进行求解.
4.如图所示，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝3.点D为BC边上一点，且BD＝2AD，∠ADC＝60°.求△ABC的周长(结果保留根号).
例4 如图，在一次数学课外实践活动中，要求测教学楼AB的高度．小刚在D处用高1.5 m的测角仪CD，测得教学楼顶端A的仰角为30°，然后向教学楼前进40 m到达EF，又测得教学楼顶端A的仰角为60°.求这幢教学楼AB的高度．
【分析】 设CF与AB交于点G，在Rt△AFG中，用AG表示出FG，在Rt△ACG中，用AG表示出CG，然后根据CG－FG＝40，可求AG.
在生活实际中，特别在勘探、测量工作中，常需了解或确定某种大型建筑物的高度或不能用尺直接量出的两地之间的距离等，而这些问题一般都要通过严密的计算才可能得到答案，并且需要先想方设法利用一些简单的测量工具，如：皮尺，测角仪，木尺等测量出一些重要的数据，方可计算得到．有关设计的原理就是来源于太阳光或灯光与影子的关系和解直角三角形的有关知识．
5.如图某人站在楼顶观测对面的笔直的旗杆AB，已知观测点C到旗杆的距离（即CE的长）为8米，测得旗杆顶的仰角∠ECA为30°旗杆底部的俯角∠ECB为45 °则旗杆AB的高度是多少米?
解：如图在Rt△ACE和Rt△BCE中∠ACE=30°，EC=8米∴tan∠ACE= ,tan∠ECB=即：AE=8tan30°= （米）EB=8tan45°=8（米）∴AE+EB=(8+ )米
(1) tan30°＋cs45°＋tan60°；
(2) tan30°· tan60°＋ cs230°.
特殊角与三角函数值的互相转化
3．若0°