湖北省新高考联考协作体2024-2025学年高二上学期开学考试数学试题（解析版）

这是一份湖北省新高考联考协作体2024-2025学年高二上学期开学考试数学试题（解析版），共16页。试卷主要包含了选择题的作答，非选择题的作答等内容，欢迎下载使用。

命题学校：安陆一中 命题教师：陈汉荣 李治国 余华萍 审题学校：安陆一中
考试时间：2024年9月5日下午14：30-16：30
试卷满分：150分
注意事项：
1.答题前，先将自己的姓名､准考证号填写在试卷和答题卡上，并将准考证号条形码粘贴在答题卡上的指定位置.
2.选择题的作答：每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.写在试卷､草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效.
3.非选择题的作答：用黑色签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内.写在试卷､草稿纸和答题卡上的非答题区城均无效.
一､选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1. 孝感市某高中有学生1200人，其中高一年级有学生400人，高二年级有学生600人，现采用分层随机抽样的方法抽取120人进行问卷调查，则被抽到的高二年级学生人数比高一年级学生人数多（ ）
A. 20B. 30C. 40D. 50
【答案】A
【解析】
【分析】根据题意先求抽样比，进而求高一，高二被抽到的学生生人数即可求解.
【详解】抽样比等于，
于是，高一被抽到的学生人数为，
高二被抽到的学生人数为，
所以高二年级学生人数比高一年级学生人数多.
故选：A.
2. 已知复数满足：，则复数的虚部为（ ）
A. B. -2C. 2D.
【答案】C
【解析】
【分析】由复数的除法先求出复数，结合共轭复数的概念，进而可得出结果.
【详解】因为，所以，
所以所以虚部为2.
故选:C
3. 已知，则在上的投影向量为（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】利用即可得到在上的投影向量.
【详解】在上的投影向量为.
故选：B.
4. 已知圆锥的侧面积为，圆锥的侧面展开图是一个圆心角为的扇形，则该圆锥的底面圆半径为（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】设出圆锥底面圆半径，表示出圆锥母线长，再利用圆锥侧面积公式计算即得.
【详解】设圆锥底面圆半径为，母线长为，则，解得，
由圆锥的侧面积为，得，即，所以.
故选：A
5. 掷两枚质地均匀的骰子，设“第一枚出现小于4的点”，“第二枚出现大于3的点”，则与的关系为（ ）
A. 互斥B. 互为对立C. 相互独立D. 相等
【答案】C
【解析】
【分析】根据独立事件的概念进行判断.
【详解】对于该试验，第一枚骰子与第二枚骰子出现点数互不影响，故与相互独立.
故选：C
6. 在三棱锥中，三个侧面与底面所成的角均相等，顶点在内的射影为，则是的（ ）
A. 垂心B. 重心C. 内心D. 外心
【答案】C
【解析】
【分析】根据三垂线定理可得平面的夹角，结合题意得，即可根据锐角三解函数得，由内心的性质即可求解.
【详解】若三个侧面与底面所成的角相等，则分别作三个侧面三角形的斜高，
由三垂线定理，得，，，
则、、分别是三侧面与底面所成角的平面角，
，
，，，
，
是的内心．
故选：C．
7. 如图，一块矿石晶体的形状为四棱柱，底面是正方形，，且，则向量的模长为（ ）

A B. 34C. 52D.
【答案】D
【解析】
【分析】根据空间向量的线性表示可达，即可由模长公式求解.
【详解】,
故,
故，
故，
故选：D
8. 已知单位向量满足，则的最小值为（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】先根据题意求出的值，进而即可求解的最小值.
【详解】由得，
两边取平方得，即，
又为单位向量，所以，即，
解得或，
因为，所以，即.
因，
所以，当时等号成立，
所以的最小值为.
故选：B.
二､多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.
9. 关于非零向量，下列命题中正确的是（ ）
A. 若，则.B. 若，则.
C. 若，则.D. 若，则.
【答案】BD
【解析】
【分析】根据向量模的定义即可求解C，根据向量共线定义可判断B，根据向量相等的定义即可求解AD.
【详解】对于A，不能得到的方向，故A错误，
对于B，若，则，B正确，
对于C，向量不能比较大小，故C错误，
对于D，若，则，D正确，
故选：BD
10. 如图，正方体的棱长为1，点在线段上运动，则下列选项中正确的是（ ）
A. 的最小值为.
B 平面平面.
C. 若是的中点，则二面角的余弦值为.
D. 若，则直线与所成角的余弦值为.
【答案】ABC
【解析】
【分析】证明，可判断A的真假；通过面面垂直的判定定理判断B的真假；作出二面角并求出其余弦值，判断C的真假；作出异面直线所称的角，并求其余弦，判断D的真假.
【详解】对A：如图
连接，，因为是正方体，
所以平面，平面，所以.
又点在线段上，所以为直角三角形，
所以（当点与点重合时取“”）.故A正确；
对B：因为是正方体，所以平面，
又平面，所以：平面平面，故B正确；
对C：当为线段中点时，因为，，
所以即为二面角的平面角.
在中，，，，所以，
所以.故C正确；
对D：如图：
因为，在上取点，使，连接，，则,
所以即为异面直线与所成的角.
在中，，，.
由余弦定理可得：，故D错误.
故选：ABC
11. 在信道内传输0，1信号，信号的传输相互独立．发送0时，收到1的概率为，收到0的概率为；发送1时，收到0的概率为，收到1的概率为. 考虑两种传输方案：单次传输和三次传输．单次传输是指每个信号只发送1次，三次传输 是指每个信号重复发送3次．收到的信号需要译码，译码规则如下：单次传输时，收到的信号即为译码；三次传输时，收到的信号中出现次数多的即为译码（例如，若依次收到1，0，1，则译码为1）.
A. 采用单次传输方案，若依次发送1，0，1，则依次收到l，0，1的概率为
B. 采用三次传输方案，若发送1，则依次收到1，0，1的概率为
C. 采用三次传输方案，若发送1，则译码为1的概率为
D. 当时，若发送0，则采用三次传输方案译码为0的概率大于采用单次传输方案译码为0的概率
【答案】ABD
【解析】
【分析】利用相互独立事件的概率公式计算判断AB；利用相互独立事件及互斥事件的概率计算判断C；求出两种传输方案的概率并作差比较判断D作答.
【详解】对于A，依次发送1，0，1，则依次收到l，0，1的事件是发送1接收1、发送0接收0、发送1接收1的3个事件的积，
它们相互独立，所以所求概率为，A正确；
对于B，三次传输，发送1，相当于依次发送1，1，1，则依次收到l，0，1的事件，
是发送1接收1、发送1接收0、发送1接收1的3个事件的积，
它们相互独立，所以所求概率为，B正确；
对于C，三次传输，发送1，则译码为1的事件是依次收到1，1，0、1，0，1、0，1，1和1，1，1的事件和，
它们互斥，由选项B知，所以所求的概率为，C错误；
对于D，由选项C知，三次传输，发送0，则译码为0的概率，
单次传输发送0，则译码为0的概率，而，
因此，即，D正确.
故选：ABD
【点睛】关键点睛：利用概率加法公式及乘法公式求概率，把要求概率的事件分拆成两两互斥事件的和，相互独立事件的积是解题的关键.
三､填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.
12. 已知，若复数为纯虚数，则复数在复平面内对应的点位于第______象限.
【答案】四
【解析】
【分析】根据纯虚数的概念求出的值，再确定对应的点所在的象限.
【详解】因为是纯虚数，且，
所以.
所以，对应的点位于第四象限.
故答案为：四
13. 三棱锥中，平面，则该三棱锥的外接球体积等于______.
【答案】
【解析】
【分析】将三棱锥补成长方体，求长方体外接球的体积即可.
【详解】如图：

将三棱锥补成长方体，则三棱锥的外接球和长方体的外接球是一致的.
设长方体外接球半径为，则：，所以
所以三棱锥的外接球体积为：.
故答案为：
14. 在中，，则中最小角的余弦值为__________.
【答案】##
【解析】
【分析】利用平面向量数量积的几何意义计算即可.
【详解】因为是直角三角形，且为斜边，
而，，
由得，即，
即，所以，
所以.
故答案为：
四､解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.
15. 如图，在直三棱柱中，分别是和的中点.
（1）求证：平面；
（2）求三棱锥的体积.
【答案】（1）证明见解析
（2）12
【解析】
【分析】（1）取中点，连接.，先证平面，再证，可得平面.
（2）通过等积变换可得，求即可.
【小问1详解】
取中点，连接.
因为是的中点，所以，且.
由直棱柱知，，而是的中点，所以且，
所以四边形是平行四边形.所以.
又为中点，，
又三棱柱为直三棱柱，所以平面，平面，
，又，平面，
所以：平面，故平面.
【小问2详解】
，
由（1）知，平面.
所以
且.
16 已知.
（1）若，求实数k的值；
（2）求与的夹角的余弦值.
【答案】（1）
（2）.
【解析】
【分析】（1）根据向量的模长公式可得，即可根据向量数量积的运算律即可代入求解，
（2）根据夹角公式即可求解.
【小问1详解】
由题意知，，又，所以，
由，得，即
又，所以，解得.
【小问2详解】
设与的夹角为，则
所以与的夹角的余弦值为.
17. 在中，内角的对边分别为，已知.
（1）若，求角的大小；
（2）若为锐角三角形，求的取值范围.
【答案】（1）
（2）.
【解析】
【分析】（1）根据正弦定理，把化成，结合三角形内角和定理，消去角，可得角，的关系，结合，可求角.
（2）根据（1）中角，的关系，利用正弦定理，可得，再根据为锐角三角形，可求角的取值范围，结合三角函数的图象和性质，可得的取值范围.
【小问1详解】
因为，由正弦定理得：
又，所以
所以，得
所以，则或（舍），
.
【小问2详解】
由题意及（1）得，在中，，
由正弦定理得，，
为锐角三角形，
解得：，
的取值范围为.
18. 如图，在四棱锥中，平面为的中点，.

（1）求证：平面；
（2）求证：平面平面；
（3）求直线与平面所成角的正弦值.
【答案】（1）证明见解析
（2）证明见解析 （3）
【解析】
【分析】（1）构造线线平行，证明线面平行.
（2）通过证明，，进而根据线面垂直的判定定理证明线面垂直，可证面面垂直.
（3）先作出直线与平面所成的角，然后用直角三角形中的边角关系求角的正弦值.
【小问1详解】
如图：

取的中点，连接，
则，且，
又且，
所以且，
所以四边形为平行四边形，所以，
又平面平面，
所以平面.
【小问2详解】
因为平面平面，所以，
由题设易知为直角梯形，且，
则，，
所以，即，
因为平面，
所以平面，又平面，
所以平面平面.
【小问3详解】
如图：

取的中点，连接，则，
由（2）知平面，则平面，
所以为直线与平面所成的角.
因为，
所以.
所以.
即直线与平面所成角的正弦值为
19. A校和B校是孝感市两所著名的高中，为了相互学习和交流，现随机抽取2000名A校学生和2000名B校学生参加一场知识问答竞赛，得到的竞赛成绩全部位于区间中，现分别对两校学生的成绩作统计分析：对A校学生的成绩经分析后发现，可将其分成组距为10，组数为6，作频率分布直方图，且频率分布直方图中的满足函数关系（n为组数序号，）；关于B校学生成绩的频率分布直方图如下图所示（纵轴为），假定每组组内数据都是均匀分布的.

（1）求的值；
（2）若B校准备给前100名的学生奖励，应该奖励多少分以上的学生？
（3）现在设置一个标准来判定某一学生是属于A校还是B校，将成绩小于的学生判为B校，大于的学生判为A校，将A校学生误判为B校学生的概率称为误判率A，将B校学生误判为A校学生的概率称为误判率B，误判率A与误判率B之和称作总误判率，记为.若，求总误判率的最小值，以及此时的值.
【答案】（1）；
（2）72分以上 （3）最小为， .
【解析】
【分析】（1）根据频率和为1求解.
（2）根据频率分布直方图可知所求的分数应该在；列出方程求解即可.
（3）写出的解析式，根据函数的单调性求的最值.
【小问1详解】
由频率之和为1，故之和为，
解得：.
【小问2详解】
根据B校学生成绩的频率分布直方图，设所求的分数为，
则，解得，所以应该奖励72分以上学生.
【小问3详解】
，则时，
，
时，
，
由的单调性知，当最小，此时，所以总误判率最小为，此时.