湖北省新高考联考协作体2023-2024学年高二上学期期末考试数学试题

这是一份湖北省新高考联考协作体2023-2024学年高二上学期期末考试数学试题，共10页。试卷主要包含了选择题的作答，假设，且A与B相互独立，则，3B，已知椭圆C等内容，欢迎下载使用。

命题：新高考试题研究中心
考试时间：2024年1月27日下午15：00-17：00
试卷满分：150分
注意事项：
1.答题前，先将自己的姓名、准考证号、考场号、座位号填写在试卷和答题卡上，并将准考证号条形码粘贴在答题卡上的指定位置。
2.选择题的作答：每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。写在试卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。
3.非选择题的作答；用黑色签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内。写在试卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。
一、单选题（本大题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）
1..抛物线的焦点坐标为（ ）
A.B.C.D.
2.若等比数列的第2项和第6项分别为3和12，则的第4项为（ ）
A.4B.-6C.6D.
3.两条平行直线与间的距离为（ ）
A.B.1C.D.
4.假设，且A与B相互独立，则（ ）
A.0.3B.0.4C.0.7
5.已知空间向量，则B点到直线的距离为（ ）
A.B.C.D.
6.过：内一点的2023条弦恰好可以构成一个公差为d（）的等差数列，则公差d的最大值为（ ）
A.B.C.D.
7.已知椭圆C：，过右焦点F作直线与椭圆C交于A、B两点，以为直径画圆，则该圆与直线的位置关系为（ ）
A.相交B.相切C.相离D.不确定
8.如图，在空间直角坐标系中，正四棱柱的底面边长为4，高为2，O为上底面中心，E，F，G分别为棱、、的中点.若平面与平面的交线为l，则l的方向向量可以是（ ）
A.B.C.D.
二、多选题（本大题共4小题，每小题5分，共20分。在每小题有多项符合题目要求，全部选对得5分，部分选对得2分，有错选或不选得0分）
9.若数列的前n项和为，则下列命题正确的是（ ）
A.数列为等差数列B.数列为单调递增数列
C.数列为单调递增数列D.数列为等差数列
10.已知点和：，过P点的两条直线分别与相切于A，B两点.则以下命题正确的是（ ）
A.
B.
C.P、A、Q、B均在圆上
D.A，B所在直线方程为
11.在棱长为2的正方体中，点P满足，、，则（ ）
A.当时，点P到平面的距离为
B.当时，点P到平面的距离为
C.当时，存在点P，使得
D.当时，存在点P，使得平面
12.已知双曲线C：，（），的左、右焦点分别为，，双曲线C上两点A，B关于坐标原点对称，点P为双曲线Ｃ右支上一动点，记直线，的斜率分别为，，若，则下列说法正确的是（ ）
A.
B.若，则的面积为
C.若，则的内切圆半径为
D.以为直径的圆与圈相切
三、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分）
13.甲、乙两人下棋，已知甲获胜的概率为0.39，乙获胜的概率为0.51，则甲不输的概率为__________.
14.已知（a，）是直线l的方向向量，是平面的法向量，如果，则__________.
15.已知：，直线l：.若上恰有两个点到直线l的距离等于1，则b的取值范围为__________.
16.在平面直角坐标系中，P为椭圆C：上的动点，Q为直线l：上的动点，且.则的最小值为__________.
四、解答题（本大题共6小题，共70分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）
17.（本小题10分）
递增等比数列中，，
（1）求
（2）若，求数列的前n项的和.
18.（本小题12分）
已知过、两点，且圆心M在直线上.
（1）求的标准方程
（2）若直线l：与圆交于E，F两点，且（O为坐标原点），求直线l的方程.
19.（本小题12分）
甲、乙两人组成“星队”参加猜成语活动，每轮活动由甲、乙各猜一个成语，已知甲每轮猜对的概率为p（），乙每轮猜对的概率为.在每轮活动中，甲和乙猜对与否互不影响，各轮结果也互不影响.
（1）当时，求“星队”在两轮活动中猜对3个成语的概率.
（2）若“星队”在两轮活动中猜对2个成语的概率为，求p的值.
20.（本小题12分）
在四棱锥中，底面是正方形，若，，.
（1）求证：平面平面
（2）求平面与平面夹角的余弦值
21.（本小题12分）
在如图三角形数阵中，第n行有n个数，表示第i行第j个数，例如，表示第4行第3个数.该数阵中每一行的第一个数从上到下构成以m为公差的等差数列，从第三行起每一行的数从左到右构成以m为公比的等比数列（其中），已知，，.
（1）求m及；
（2）记，求.
22.（本小题12分）
动点G到点的距离比到直线的距离小2，
（1）求G的轨迹的方程；
（2）设动点G的轨迹为曲线C，过点F作斜率为，的两条直线分别交C于M，N两点和P，Q两点，其中.设线段和的中点分别为A，B，过点F作，垂足为D，试问：是否存在定点T，使得线段的长度为定值.若存在，求出点T的坐标及定值；若不存在，说明理由.
2023-2024学年度上学期高二年级期末考试
高二数学答案
一、单选题
二、多选题
三、填空题
14.3915.16.
三、填空题
17.解：（1）在递增等比数列中，
解得，设公比为q则，又因为，所以，
所以5分
（2）由题，则且7分
所以数列是等比数列8分
故10分
18.解（1）设的方程为.1分
因为.过、两点，且圆心M在直线上.
所以 解得：，，
所以的标准方程为：5分
（2）设，6分
联立立得7分
由题意得：，即，
由根与系数关系得：，8分
所以
解得10分
又因为满足，11分
故所求直线l的方程为12分
19.解：（1）设，分别表示甲两轮猜对1个，2个成语的事件，，分别表示乙两轮猜对1个，2个成语的事件.根据独立性假定，得
，.2分
，.
设“两轮活动‘星队’猜对3个成语”，
则，且与互斥，与，与B分别相互独立，3分
所以
5分
因此，“星队”在两轮活动中猜对3个成语的概率是6分
（2）由（1）知甲两轮猜对0个，1个，2个成语的概率分别为
，，7分
乙两轮猜对0个，1个，2个成语的概率分别为
，，8分
因为甲和乙猜对与否互不影响，各轮结果也互不影响
所以“星队”在两轮活动中猜对2个成语的概率为
10分
整理得又因为所以12分
20.解：（Ⅰ）证明：中，，，，
所以，所以；2分
又，，
平面，平面，所以平面；4分
又平面，所以平面平面．5分
（Ⅱ）解：取的中点O，在平面内作，
以为y轴，为z轴，建立空间直角坐标系，如图所示：
则，，，，，，6分
设平面的一个法向量为，
由，，
得，即，
令，得，，所以8分
设平面的一个法向量为，
由，，
得，即
令，得，，所以；10分
所以，11分
所以平面与平面夹角的余弦值为.12分
21.解：（1）由题意，可知，
，
，2分
∵，∴，
化简整理，得，解得（舍去），或，3分
∴，
∴，5分
（2）由（1），可得，
当时，，（*）6分
又∵，，
∴，均满足（*）式，∴，，7分
∴，
，
，9分
两式相减，可得11分
∴12分
22.解：（1）因为动点G到点的距离比到直线的距离小2，
所以点G到点的距离和它到直线的距离相等，
所以点G的轨迹是以为焦点，以直线为准线的抛物线．2分
设抛物线方程为（），由，得．所以G的轨迹的方程为．3分
（2）由题意，设直线的方程为，直线的方程为
，其中，且，
由消去y并整理得
该方程的判别式.设，，
则，，5分
所以，同理，
的斜率，6分
直线的方程为
直线的方程为8分
所以直线过定点．9分
又，所以点D在以为直径的圆上．11分
故存在定点，使得线段的长度为定值2．12分
1
2
3
4
5
6
7
8
B
C
D
D
A
B
C
A
9
10
11
12
BC
ACD
BD
ACD