四川省广元市川师大万达中学2024-2025学年高二上学期12月第三次月考数学试卷(含答案)

这是一份四川省广元市川师大万达中学2024-2025学年高二上学期12月第三次月考数学试卷(含答案)，共18页。试卷主要包含了选择题，多项选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

一、选择题
1．若直线l的倾斜角为,则它的方向向量可以为( )
A.B.C.D.
2．已知点B是点在坐标平面内的射影,则等于( )
A.B.C.D.
3．已知方程表示双曲线，则m的取值范围为( )
A.B.
C.D.
4．已知圆,若圆C关于直线对称,则的最小值为( )
A.8B.1C.16D.
5．已知椭圆与直线l交于A，B两点，若点为线段的中点，则直线l的方程是( )
A.B.
C.D.
6．如图所示,在正三棱柱中,,则异面直线与所成角的余弦值为( )
A.B.C.D.
7．已知椭圆,M为椭圆C上的一点,则点M到直线距离最小值为( )
A.0B.C.D.
8．已知双曲线的左,右焦点分别是,,其中,过右焦点的直线l与双曲线的右支交与A,B两点,则下列说法中错误的是( )
A.弦AB的最小值为
B.若,则三角形的周长
C.若AB的中点为M,且AB的斜率为k,则
D.若直线AB的斜率为,则双曲线的离心率
二、多项选择题
9．如图,已知正方体的棱长为2,则下列说法正确的是( )
A.
B.平面
C.直线与平面所成的角为
D.点D与平面的距离为
10．以下四个命题表述正确的是( )
A.直线恒过定点
B.圆上有且仅有3个点到直线的距离都等于1
C.圆与圆恰有三条公切线,则
D.已知圆,点P为直线上一动点,过点P向圆C引两条切线、,A、B为切点,则直线经过定点
11．将圆上任意一点的横坐标不变,纵坐标变为原来的,得到椭圆C,若该椭圆的两个焦点分别为,,长轴两端点分别为A,B,则( )
A.椭圆的标准方程为
B.若点M是椭圆C上任意一点（与A,B不重合）,P在的延长线上,MN是的角平分线,过作垂直MN于点Q,则线段OQ长为定值4
C.椭圆上恰有四个点M,使得
D.若点M是椭圆C上任意一点（与A,B不重合）,则内切圆半径的最大值为
三、填空题
12．以椭圆的焦点为顶点,顶点为焦点的双曲线的标准方程为________.
13．对于任意实数x,y,z,的最小值为________.
14．已知点P是椭圆上一动点,过点P作的切线PA、PB,切点分别为A、B,当最小时,线段AB的长度为________.
四、解答题
15．已知直线,.
(1)若直线,求m的值;
(2)若直线,求与的距离.
16．在平面直角坐标系中,已知点,,动点P满足.
（1）求动点P的轨迹方程;
（2）将点A和点B并入点P的轨迹得曲线C,若过点的直线l与曲线C有且只有一个公共点,求直线l的方程.
17．传唱红色歌曲能够弥补青少年面对社会多元化的彷徨,有助于在红歌中受到启迪,树立积极的生活态度和健康的价值观.某重点高中在纪念“一二·九”活动中,举办了“唱青春之序曲,展时代之芳华”红色经典歌曲合唱比赛,由专业教师和学生会共50人组成评委团,评委所打分数的平均分最高的节目参加区合唱比赛.评委对各节目的给分相互独立,互不影响.现有两个特等奖节目：《在太行山上》得分的频率分布直方图和《四渡赤水出奇兵》得分的频率分布表,如下所示：
(1)从两个节目各自的平均分来看,应该推选哪个节目参加区合唱比赛（同一组中的数据用该组区间的中点值作代表）;
(2)根据印象值表对两个节目的所有评分进行赋值,从两个节目的“印象值”分数中各随机抽取一个分数,试估计《在太行山上》“印象值”比《四渡赤水出奇兵》“印象值”高的概率.
18．如图，P为圆锥的顶点，O是圆锥底面的圆心，为底面直径，为底面圆O的内接正三角形，且的边长为，点E在母线上，且，.
(1)求证：直线平面；
(2)若点M为线段上的动点，当直线与平面所成角的正弦值最大时，求此时点M到平面的距离.
19．已知椭圆的左右焦点分别为,,离心率,点P,Q分别是椭圆的右顶点和上顶点,的边上的中线长为.
（1）求椭圆的标准方程;
（2）过点的直线交椭圆C于A,B两点,若,求直线的方程;
（3）直线,过右焦点,且它们的斜率乘积为,设,分别与椭圆交于点C,D和E,F.若M,N分别是线段和的中点,求面积的最大值.
参考答案
1．答案：B
解析：因为直线l的倾斜角为,
所以,
由斜率的定义可知,取,解得一组解可以是,,
所以直线的一个方向向量可以是,
故选:B
2．答案：A
解析：易知平面的法向量为,
且,,
则,
即直线与平面的夹角的正弦值为,余弦值为,
则,
故选:A.
3．答案：B
解析：因为方程表示双曲线，
所以，解得或，
故m的取值范围为.
故选：B.
4．答案：A
解析：由题意,直线过圆心,则,且,,
所以,
当且仅当时取等号,故的最小值为8.
故选:A
5．答案：B
解析：设点，
因点为线段的中点，
则，（*）
又，在椭圆上，
则①，②，
由①-②，可得，
将（*）代入，化简得，
即，
可知直线l的斜率为，
故直线l的方程为：，
即.
故选：B.
6．答案：C
解析：由,,而,且,
则
,
显然,则,
所以异面直线与所成角的余弦值为.
故选:C
7．答案：C
解析：由题意,与平行且与椭圆相切的直线,其中存在切点到直线l的距离最小,
令切线为,联立椭圆方程有,整理得,
所以,则,
对于,其切点到l的距离为,
对于,其切点到l的距离为,
显然点M到直线距离最小值为.
故选:C
8．答案：D
解析：A.AB的最小值为通径为,故A正确;
B.由双曲线的定义得,得,所以三角形的周长,故B正确;
C.设,,则,两式相减得,则,则,则,故C正确;
D若直线AB的斜率为,所以,,,,所以选D不正确.
故选:D
9．答案：ABD
解析：A,在正方体,,,,
所以以D为坐标原点,为x轴,为y轴,为z轴如图建立空间直角坐标系,
所以,,,,,,,
所以,,所以,
所以,A选项正确;
B,,,设平面的法向量为,
则,令,解得,
所以,因为,所以平面,B选项正确;
C,平面的法向量,设直线与平面所成的角为,
所以,C选项错误;
D,,点D与平面的距离,D选项正确.
故选:ABD.
10．答案：BCD
解析：直线,
所以,所以,解得,
所以直线恒过定点,故A错误;
圆,圆心为到直线的距离为,
所以直线与圆相交,平行于直线l且距离为1的直线分别过圆心以及和圆相切,
所以圆上有且仅有3个点到直线的距离为1,故B正确;
由可得,圆心,,
由可得,
圆心,,由题意可得两圆相外切,所以,
即,解得:,故C正确;
设,所以,
因为、,分别为过点P所作的圆的两条切线,所以,,
所以点A,B在以为直径的圆上,以为直径的圆的方程为
.
整理可得:,与已知圆C:,相减可得.
消去m可得:,即,
由解得,所以直线经过定点,故D正确.
故选:BCD.
11．答案：BCD
解析：若椭圆上点为,则在上,故,所以椭圆,A错;
假设P是直线与交点,
因为MN是的角平分线,过作垂直MN于点Q,
所以Q为线段的中点,且,
而O是的中点,故中为中位线,
故为定值,B对;
当M为椭圆上下顶点时最大,此时,
又,故,
结合椭圆的对称性,椭圆上恰有四个点M,使得,C对;
若内切圆半径为r,
则,
所以,要使r最大,只需最大,为,
所以最大,D对.
故选:BCD
12．答案：
解析：椭圆的长轴端点为,,焦点为,,
因此以,为顶点,,为焦点的双曲线虚半轴长为,方程为.
故答案为:
13．答案：
解析：由目标式的几何意义为空间任意点到定点,距离的和,
要使它们的距离和最小,只需A在线段上,此时最小值为.
故答案为:
14．答案：
解析：由椭圆方程可知:,,,
圆的圆心为（也为椭圆的左焦点）,半径,
因为,可知四边形的面积,
当最小时,即为四边形的面积最小,
又因为,
可知当取到最小值时,四边形的面积最小,即最小,
且点P是椭圆C上一动点,
由椭圆性质可知:当且仅当点P为左顶点时,取到最小值,
此时,,由对称性可知:,,
即,为等边三角形,则.
故答案为:.
15．答案：(1)6;
(2)
解析：（1）,,
,,
m的值为6;
（2）,
,解得：或,
验证,,两直线重合,舍去,
时,,,
故与的距离为.
16．答案：（1）;
（2）或.
解析：（1）设,则,,
由,得,即,
所以动点P轨迹方程为.
（2）由（1）知,曲线C的方程为,曲线C是以原点为圆心,1为半径的圆,
由过点的直线l与曲线C有且只有一个公共点,得直线l与圆C相切,
而圆心到直线的距离为1,直线过点,则直线l的方程可以为;
当直线l的斜率存在时,设,即,
由,得,此时直线l方程为,
所以直线l的方程为或.
17．答案：(1)应该推选《在太行山上》参加区合唱比赛;
(2)0.284.
解析：(1)由频率分布直方图可知,《在太行山上》的平均得分约为：
,
由频率分布表可知《四渡赤水出奇兵》的平均得分约为：
,
,故应该推选《在太行山上》参加区合唱比赛;
(2)设“对《在太行山上》“印象值”高于《四渡赤水出奇兵》“印象值”为事件M,
设表示事件“对《在太行山上》印象值为9”,
设表示事件“对《在太行山上》印象值为10”,
设表示事件“对《四渡赤水出奇兵》印象值为8”,
设表示事件“对《四渡赤水出奇兵》印象值为9”,
则,
,,
,,
事件与相互独立,其中,10,,
,
估计对《在太行山上》“印象值”高于《四渡赤水出奇兵》“印象值”的概率为0.284.
18．答案：(1)证明见解析；
(2)
解析：（1）设，连接，
为底面圆O的内接正三角形，，F为中点，
，，，，
又，，.
，且，，
，.
平面，平面，，，
平面，平面，平面.
（2），F为中点，
又，E为中点，，，
，则，
以F为坐标原点，，，方向为x，y，z轴正方向，可建立如图所示空间直角坐标系，
则，，，
，，，
，，
，，，
设，.
设平面的法向量，则
令，解得，，，
设直线与平面所成夹角为，
，
令，则，，
，
，当，即时，，
，
此时，，
点M到平面的距离.
19．答案：（1）
（2）或
（3）
解析：（1）由题意,因为,,为直角三角形,所以.
又,,所以,,,所以椭圆的标准方程为.
（2）由（1）知,,显然直线的斜率存在,
设直线的方程为,,,
联立消去y得,,
所以,即.
且,,
因为,所以,
所以,即,
所以,
整理得,
即,
化简得,即满足条件,
所以直线的方程为或,
即直线的方程为或.
（3）由题意,,
设直线的方程为,,,
则直线的方程为,,,
联立消去y得,
所以,,
所以
所以,
同理联立消去y得,
所以,,
所以,
所以,
即的中点.
所以,
当且仅当,即时取等号,
所以的面积最大值为.
分数区间
频数
1
4
10
22
11
2
频率
0.02
0.08
0.20
0.44
0.22
0.04
分数区间
印象值
8
9
10