2024~2025学年辽宁省五校联考高一上学期1月期末考试数学试卷（解析版）

这是一份2024~2025学年辽宁省五校联考高一上学期1月期末考试数学试卷（解析版），共13页。试卷主要包含了单项选择题，多项选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
一、单项选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1. 已知集合，集合，则（ ）
A. B.
C. D.
【答案】C
【解析】集合，集合，
所以.
故选：C.
2. 命题“”的否定是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】D
【解析】由全称命题的否定是特称可得命题“”的否定是.
故选：D.
3. 如图，在平行四边形ABCD中，为对角线的交点，则（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】.
故选：A.
4. 已知函数，则（ ）
A. 2B. 3C. 5D. 33
【答案】B
【解析】函数，则，
所以.
故选：B.
5. 如图，①②③④对应四个幂函数的图像，则①对应的幂函数可以是（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】由图可知，①对应的幂函数：函数的定义域为，在第一象限内单调递增，
且图象呈现上凸趋势，则指数的值满足，排除选项AD；
又的定义域为R，的定义域为，故符合题意.
故选：C.
6. 已知a，b均为正实数，若，则（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】由a，b均为正实数，，
得
，当且仅当时取等号，
所以.
故选：D.
7. 某中学的学生社团准备进行一次针对本校学生在食堂加塞插队行为的调查，为了消除被调查者的顾虑，使他们能如实作答，学生社团精心设计了一份问卷：
学生社团随机选取了400名学生进行问卷调查，问卷全部被收回，且有效．已知问卷中有115张勾选“是”．根据上述的调查结果，估计该校学生在食堂有加塞插队行为的概率为（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】依题意，抛掷一枚硬币，得到正面或反面是等可能的，
则回答第一个问题的人数为人，回答第二个问题的人数为人，
又身份证号码最后一个数是否为奇数是等可能，
则回答第一个问题选择是的人数为，
因此回答第二个问题选择是的人数为人，
所以估计该校学生在食堂有加塞插队行为的概率为.
故选：A.
8. 已知函数，若，则实数的取值范围是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】B
【解析】由题意可得令，定义域为，
则，
所以，即为奇函数，
又由复合函数的单调性可得在定义域上为增函数，
所以
，
等价于，解得或.
故选：B.
二、多项选择题：本大题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．
9. 下列各组向量中，不能作为基底的是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】ABD
【解析】要使平面中两个向量作为基底，
必须满足是非零向量，且不共线，即不存在倍数关系，故A正确；
对于B，由，B正确；
对于D，由，D正确；
对于C，两向量不存在倍数关系，所以C错误.
故选：ABD.
10. 在高一年级随机抽取10名男生和10名女生的竞赛成绩（满分100分），按从低到高的顺序排列，得到下表中的样本数据：
则下列说法正确是（ ）
A. 男生样本数据的分位数是86
B. 男生样本数据的中位数大于女生样本数据的众数
C. 女生样本数据中去掉一个最高分和一个最低分后所得数据的平均数不变
D. 女生样本数据中去掉一个最高分和一个最低分后所得数据的方差不变
【答案】BC
【解析】对于A：，所以男生样本数据的分位数是，
故A错误；
对于B: 男生样本数据的中位数为，女生样本数据的众数为87，故B正确；
对于C：女生样本数据的平均数为，
女生样本数据中去掉一个最高分和一个最低分后所得数据的平均数为：
，故C正确；
对于D：女生样本数据中去掉一个最高分和一个最低分后所得数据的平均数不变，
但是极差变小，所以方差变小，故D错误.
故选：BC.
11. 定义域为R的函数满足，且函数的图像关于直线对称，则（ ）
A. 的图像关于点对称B. 的图像关于点对称
C. D. 若，则
【答案】ACD
【解析】由，得，所以，
所以的图像关于点对称，故选项A正确；
由得，即，
所以的图像关于点对称，
又因为函数的图像关于直线对称，
则，所以，所以，
所以，即，所以是周期函数，且周期为，
故选项B错误，C正确；
若，且的图像关于点对称，所以，所以，
所以，所以，故D正确.
故选：ACD.
三、填空题：本大题共3小题，每小题5分，共15分．
12. 已知，则______．
【答案】
【解析】由，得，而，
所以.
13. 若函数在区间上单调递减，则实数的取值范围是_______________．
【答案】
【解析】由函数在区间上单调递减，
得.
14. 若，则的最大值为______．
【答案】1
【解析】因为，所以，所以，
则
，
所以
，
当且仅当，时取等号．
四、解答题：本大题共5小题，共77分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．
15. 已知集合，集合．
（1）当时，求；
（2）若“”是“”的充分不必要条件，求实数的取值范围．
解：（1）当时，，
所以或，
又，所以或.
（2）因为“”是“”的充分不必要条件，所以是的真子集，
则，所以，，
当时，，，
由题意，解得；
当时，，，
由题意，解得；
综上实数的取值范围为或．
16. 某校的体育组为了了解本校高一学生的体能状况，随机抽取了名高一学生进行体能测试，将所得评分（百分制）按体育组制定的体能测试评价标准整理，得到频率分布直方图．已知评分在[70，80）中的学生有100人．体能测试评价标准如下表：
（1）求的值及频率分布直方图中的值；
（2）在抽取的体能等级为的学生中，按照测试评分的分组，分为两层，通过分层抽样抽取出三人进行体能训练．根据以往数据统计，经体能训练后，测试评分在40,50中的学生的体能等级转为的概率为，测试评分在中的学生的体能等级转为的概率为，假设经体能训练后的等级转化情况相互独立，求在抽取出的三人中，经体能训练后至少有一人的体能等级转为的概率.
解：（1）由已知条件可得，
又因为每组的小矩形的面积之和为1.
所以，解得.
（2）由（1）可知：，
所以调查评分在40,50中的人数是调查评分在中人数的，
若按分层抽样抽取3人，则调查评分在40,50中有1人，在中有2人，
设事件“在抽取的3人中，经心理疏导后至少有一人的心理等级转为B”.
因为经心理疏导后的等级转化情况相互独立，
所以，
所以，
故经心理疏导后至少有一人的心理等级转为B的概率为·
17. 若函数的定义域、值域均为，则称为区间上的方正函数．
（1）若为区间上的方正函数，求实数的值；
（2）是否存在实数对，使得函数为区间上的方正函数？若存在，请写出符合要求的所有实数对，若不存在，请说明理由．
解：（1）因为，函数图象开口向上，且对称轴为，
所以函数在上单调递增，
由题意，为区间上的方正函数，
所以当时，；
当时，，解得或（舍去）.
因此，若为区间上的方正函数，则实数的值为.
（2）不存在，理由如下：
对函数，因为，
所以为奇函数，图象关于原点对称，
又当时，，所以函数在上单调递减，
由奇函数性质可知，函数在上单调递减.
如存在实数对，使得函数为区间上的方正函数，
则，即，
又，显然，所以，，所以，
即，解得，这与矛盾.
故不存在实数对，使得函数为区间上的方正函数.
18. 如图1所示，在中，点在线段BC上，满足是线段AB上的点，且满足，线段CG与线段AD交于点．
（1）若，求实数x，y的值；
（2）若，求实数的值；
（3）如图2，过点的直线与边AB，AC分别交于点E，F，设，，求的最小值．
解：（1）因为，所以，
所以，
所以.
（2）由题意可知：，
，
又因为三点共线，所以存在实数使得，
，
所以，解得：，
所以.
（3）易知，
由（2）知
，
又因为三点共线,所以，
又，
所以
，
当且仅当，即时取等号，
所以的最小值为.
19. 已知函数为偶函数．
（1）求实数的值；
（2）判断在上的单调性，并用单调性的定义进行证明；
（3）设函数的反函数为，若关于的方程有唯一的实数解，求实数的取值范围．
解：（1）因为是偶函数，所以f-x=fx，
即，整理得恒成立，
又不恒为0，所以，即.
（2）在上是单调递增函数．
证明如下：任取，设，
则
因，所以，
又因为，所以，所以，
即，所以在上是单调递增函数．
（3）函数的反函数为，
方程有唯一的实数解，
即有唯一的实数解，
又为定义域上的单调递增函数，所以有唯一的实数解，
令，则有唯一的正实数解，
即有唯一的正实数解，
当即时，方程，解得，不满足题意，
当即时，记，则，
当即时，函数开口向下，且，
，则必然与轴有两个交点，
且分布在轴两侧，
即有唯一的正实数解，符合题意；
当即时，函数开口向上，且，
则要使有唯一的正实数解，则，
解得；
综上所述，实数的取值范围为或.男生
82
85
86
87
88
90
90
92
94
96
女生
82
84
85
87
87
87
88
88
90
92
测试评分
[0,40）
[90,100]
体能等级
E
D
C
B
A