重庆市西南大学附属中学2024-2025学年高三上学期12月一诊模拟数学试卷（Word版附解析）

这是一份重庆市西南大学附属中学2024-2025学年高三上学期12月一诊模拟数学试卷（Word版附解析），共24页。试卷主要包含了考试结束后，将答题卡交回等内容，欢迎下载使用。
（满分：150分；考试时间：120分钟）
2024年12月
注意事项：
1．答题前，考生先将自己的姓名、班级、考场/座位号、准考证号填写在答题卡上．
2．答选择题时，必须使用2B铅笔填涂：答非选择题时，必须使用0.5毫米的黑色签字笔书写；必须在题号对应的答题区域内作答，超出答题区域书写无效；保持答卷清洁、完整．
3．考试结束后，将答题卡交回（试题卷学生保存，以备评讲）．
一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的．
1. 若复数，则的共轭复数是（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】根据复数的运算化简，再根据共轭复数概念求解.
【详解】，
所以的共轭复数为.
故选：A.
2. 已知全集，集合，则（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】化简集合，再根据集合的交集，补集运算求解.
【详解】由，解得或，
所以集合，
又集合，
，则.
故选：B.
3. 已知体积为的圆柱存在内切球．则该内切球的表面积为（）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】假设内切球的半径为，依题意可求出，进而利用球的表面积公式求解即可.
【详解】设内切球的半径为，依题意可知圆柱的高和底面直径均为，
圆柱的体积，解得，
故圆柱内切球的表面积为,
故选：C.
4. 2024年12月7日西南大学附属中学校迎来了办学110周年庆典，为此某班设计了富含寓意的11个文创作品，已知甲同学喜欢作品、，乙同学喜欢作品、、，丙同学除了不喜欢作品，其他作品都喜欢，让甲乙丙三位同学依次从中选取一个作为礼物收藏，若这三位同学都选到了自己喜欢的文创作品，则不同的选法有（ ）
A. 50种B. 48种C. 45种D. 40种
【答案】D
【解析】
【分析】分甲选和甲选两种情况讨论，按照分步、分类计数原理计算可得.
【详解】若甲选，则乙有种选法，丙有种选法，故共有种选法；
若甲选，则乙有种选法，丙有种选法，故共有种选法；
综上可得一共有种不同的选法.
故选：D
5. 已知，则（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】切化弦，结合正弦和角公式得到方程组，求出，，故，由余弦二倍角公式计算出答案.
【详解】，
，
故，，所以，
，
则.
故选：C
6. 已知正项等比数列满足，若在中存在两项，使得，则的最小值为（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】设正项等比数列的公比为，由，可得，解得，根据存在两项使得，可得，求得即可求解．
【详解】解：设正项等比数列的公比为，
满足：，
即，又，
所以，
解得，
存在两项使得，
，又
所以
，
，的取值分别为，，，，，
当，的取值为则；
当，的取值为则；
当，的取值为则；
当，的取值为则；
当，的取值为则；
所以的最小值为；
故选：B
7. 已知点为圆上一点，，则的最大值为（）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】设,表示出,继而得,将问题转化为圆上的动点到的距离的最大值问题,可得答案.
【详解】设,则,
,
则,
故,
而的几何意义为圆上的动点到的距离,
其最大值为,
的最大值为,
故选：A
8. 已知实数满足，若一定存在，使得成立，则的最小值为（）
A. 501B. 1012C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】对式子进行变形得，构造函数，利用导数研究其单调性，结合图象可求得知的最大值.
【详解】已知.即.
令,则，当时，递增;时,递减.
又.结合图象知的最大值为.
即中的最大元素为2，故.
故选：B.

二、多项选择题：本大题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求．全部选对得6分，选对但不全的得部分分，有选错的得0分．
9. 下列说法正确的是（ ）
A. 数据5，7，9，11，13，14，15，22的平均数为12
B. 一组数据6，7，7，8，10，12，14，16，19，21的第30百分位数为7
C. 若随机变量服从二项分布，且，则
D. 若随机变量服从正态分布，则
【答案】AC
【解析】
【分析】根据平均数、百分位数的定义，给合二项分布、正态分布的性质逐一判断即可.
【详解】A：这个数的平均数为：，所以本选项说法正确；
B：由可知：这个数据的第30百分位数为，所以本选项说法正确；
C：因为， 所以由，
因此，所以本选项说法正确；
D：因为，
所以，
因此，所以本选项说说不正确，
故选：AC
10. 已知抛物线，过的焦点作直线，若与交于两点，，则下列结论正确的有（ ）
A. 抛物线的焦点到准线的距离为4B.
C. 或D.
【答案】ABD
【解析】
【分析】根据直线过焦点可求得点的坐标即可求出A，联立直线方程以及抛物线方程，根据弦长公式可求得B，根据根与系数之间的关系得到C，根据向量的运算求得D.
【详解】对于A，因为直线过点2,0，该直线过抛物线焦点，
所以，则，所以抛物线的焦点到准线的距离为4，故A正确；
对于C，由A可得，所以，
设，
联立，得，
所以，
又，，
所以，
解得或，
所以或，所以或，故C错误；
对于B，根据C可知，
则，故B正确；
对于D，由以上可得，
，
因为，故D正确；
故选：ABD.
11. 已知函数，则下列说法正确的是（ ）
A. 是偶函数
B. 在上单调递增
C. 在内共有3个极值点
D. 设，则在上共有12个零点
【答案】ACD
【解析】
【分析】对于A，根据函数的奇偶性的定义和判定方法即可判断;对于B，求得，结合，利用导数研究其单调性，可以判断的单调性；对于C，利用导数求得函数在0,π的单调性,结合偶函数可知其极值点的个数；对于D，根据的周期及单调性以及函数零点的判定方法即可求解.
【详解】对于A，函数，定义域为R，关于原点对称，
且，故函数是偶函数，A正确；
对于B，由函数，
可得，
令，
则h′t=et+2>0,ht在单调递增，
又，
所以存使得，
当时，在单调递增；
当时，ht>0,f′x0,ht在单调递增，又，
所以存在使得，
当时，在单调递增；
当时，ht>0,f′x0,gπ2=−1e0，当时f′x0，即k2≠14k2+1>0∴k≠±12..
，
，
解得，
【小问3详解】
假设直线与双曲线相切于点，下面证明该直线方程为.
设所求的切线方程为,
代入双曲线方程得,
即①,
因为直线与椭圆相切，所以方程①有相等的两个实数根，
因此，
化简得②，
因为点在椭圆上,所以，
方程②的判别式.
故方程②有相等的两个实数根，且其根为:.
则切线方程为，即.
设直线与双曲线右支相切于点，
则，令得
∴以为直径的圆的圆的方程为，
令得，
即，
所以，
的上述方程成立，
故以线段为直径的圆过轴上的定点，该定点坐标为.
【点睛】结论点睛：已知直线与双曲线相切于点，则该直线方程为：.
19. 对于数列，如果中存在四项，使得（互不相同），则称数列为缤纷数列．
（1）年月日，西南大学附属中学迎来了办学周年庆典，若数列：为缤纷数列，且，求的所有可能值；
（2）数列是等比数列，公比且，是缤纷数列，求项数的最小值，并求此时公比的个数；
（3）项数为的数列为等差数列，公差不为，从中任意取出个元素组成一个数列，该数列为缤纷数列的概率超过，求的最大值．
【参考公式：】
【答案】（1），，
（2）项数的最小值为，此时公比的个数为
（3）
【解析】
【分析】（1）根据缤纷数列定义构造方程直接求解即可；
（2）当项数为时，验证可知不符合缤纷数列定义；当项数为为时，根据缤纷数列定义依次构造等式，结合导数和零点存在定理可确定的范围，由此可得的取值，进而得到结论；
（3）令，取出的个数从小到大依次为，分析可知缤纷数列个数；分别在为奇数和偶数的情况下，讨论得到；根据为偶数和为奇数的情况，可求得个数构成缤纷数列个数，由此可构造不等式求得的取值，进而得到结果.
【小问1详解】
显然四项不满足缤纷数列定义，
若，则；若，则；
若，则；若，则（舍）；
的所有可能值为：，，.
【小问2详解】
若项数为，不妨令为：，
此时，即，
且，，解得：（舍），项数不为；
若项数为，不妨令为：，则数列为递增或递减数列，
①若，则，，；
令，，
当时，；当时，；
在上单调递减，在上单调递增，
，，，，使得，
即存在唯一的，使得；
②若，则，，解得：（舍）；
③若，则，，解得：（舍）；
④若，则，，；
令，，
在上单调递增，又，，
，使得，
即存在唯一的，使得；
⑤若，则，，解得：（舍）；
当时，可以是缤纷数列，
即项数的最小值为，此时公比的个数为.
【小问3详解】
不妨令，取出的个数从小到大依次为，
当时，缤纷数列共有个；
若，从到共有个数，
相应的的取法有种，；
当为偶数时，；
当为奇数时，若，则共有种；若，则回到为偶数情况，共有种；
此时；
当为偶数时，从中取出个数为缤纷数列的个数为：；
由得：，
，又为偶数，此时最大为；
当为奇数时，从中取出个数为缤纷数列的个数为：；
由得：，
，又为奇数，此时最大为；
综上所述：的最大值为.
【点睛】关键点点睛：本题考查数列中的新定义问题，解题关键是能够充分理解缤纷数列的定义，通过对于为偶数和为奇数的讨论，结合数列求和公式和组合数运算的性质确定中取出个数为缤纷数列的个数.
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