2024-2025学年安徽省合肥市高三上册12月联考数学检测试题（附解析）

这是一份2024-2025学年安徽省合肥市高三上册12月联考数学检测试题（附解析），共17页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
一、单选题（本大题共8小题）
1．命题“”的否定是（ ）
A．B．
C．D．
2．已知集合，则（ ）
A．B．C．D．
3．已知平面，直线且，则“”是“”的（ ）
A．充分不必要条件B．必要不充分条件
C．充要条件D．既不充分也不必要条件
4．已知角的顶点与原点重合，始边与轴的非负半轴重合，终边经过点，则（ ）
A．B．C．或D．或
5．已知向量，且向量与的夹角为，则的最小值为（ ）
A．B．C．D．
6．已知两个等差数列的前项和分别是，且，则（ ）
A．B．C．D．
7．如图，在扇形OAB中，半径，弧长为，点是弧AB上的动点，点分别是半径上的动点，则周长的最小值是（ ）

A．B．4C．D．
8．已知定义域为的函数满足：，且当时，，若，则（ ）
A．B．
C．D．
二、多选题（本大题共3小题）
9．某超市随机抽取了当天100名顾客的消费金额作为样本，并分组如下：，（单位：元），得到如图所示的频率分布直方图，则下列说法正确的是（ ）
A．若该超市当天总共有600名顾客，则消费金额在（单位：元）内的顾客约有180人
B．若每组数据以区间中点值为代表，则样本中消费金额的平均数是145元
C．若用样本估计总体，则该超市当天消费金额的中位数是100.8元
D．现从样本的第1，2组中用比例分配的分层随机抽样方法抽取6人，再从这6人中随机抽取2人做进一步调查，则抽到的2人的消费金额都不少于50元的概率是
10．已知函数的部分图象如图所示，则（ ）
A．
B．
C．函数的图象与直线的相邻两交点间的距离为
D．
11．某兴趣小组制作了一个直三棱柱容器（容器壁厚度忽略不计），其中，，则下列说法正确的是（ ）
A．若四棱锥的体积为，则
B．若三棱柱的外接球的表面积为，则三棱柱的侧面积为30
C．若，棱长为的正方体能被整体放入此容器且可自由转动，则的最大值为
D．若，点在四边形内（含边界），且，则点的轨迹长度为
三、填空题（本大题共3小题）
12．已知，则 .
13．已知随机变量，且正数满足，则的最小值为 .
14．已知实轴长为的双曲线的渐近线为，、分别为的上、下焦点，过点的直线与的上、下两支分别交于点、，且，则直线的斜率为 .
四、解答题（本大题共5小题）
15．如图1，在矩形ABCD中，，将沿着BD翻折到的位置，得到三棱锥，且平面ABP，如图2所示.
(1)求证：平面平面ABD；
(2)求直线AB与平面BPD所成角的正弦值.
16．已知的内角的对边分别为向量.
(1)求的大小；
(2)是边BC上一点且AD平分，若的面积是，求的周长.
17．已知函数与分别是定义在上的奇函数和偶函数，且.
(1)求函数与的解析式；
(2)若对于，不等式恒成立，求实数的取值范围.
18．已知数列满足，且.
(1)证明：数列是等比数列；
(2)求数列的通项公式；
(3)若数列的前项和为，证明：数列中任意不同的三项都不能构成等差数列.
19．法国著名数学家拉格朗日给出一个结论：若函数在闭区间上的图象是一条连续不断的曲线，在开区间上都有导数，则在区间上存在实数，使得，这就是拉格朗日中值定理，其中称为在区间上的“拉格朗日中值”.已知函数.
(1)利用拉格朗日中值定理求函数在上的“拉格朗日中值”；
(2)利用拉格朗日中值定理证明：函数上任意两点连线的斜率不小于；
(3)针对函数，请证明拉格朗日中值定理成立.
答案
1．【正确答案】D
【详解】命题“”的否定是，
故选：D
2．【正确答案】A
【详解】集合，
因为，所以，
则.
故选：A.
3．【正确答案】A
【详解】因，又，则，即“”是“”的充分条件；
当，时，不一定和l平行，还有可能异面，
则“”不是“”的必要条件.则“”是“”的充分不必要条件.
故选：A
4．【正确答案】C
【详解】因为，所以，
因为的终边过点，所以，解得，
，
当时，，
当时，，
综上所述：或.
故选：C.
5．【正确答案】C
【详解】因为，则，
由平面向量数量积的定义可得，
所以，，
当且仅当时，等号成立，故的最小值为.
故选：C.
6．【正确答案】B
【详解】由题意，
在两个等差数列中，前项和分别是，，
对于一般等差数列前项和为二次型函数：（为常数），
∴设，，为常数
∴，
故选：B.
7．【正确答案】D
【详解】连接，作点关于直线的对称点，关于直线的对称点，
连接分别交，与点，连接如下图所示：

则,,
此时的周长取得最小值，其最小值为的长度；
因为扇形OAB的弧长为，半径为2，所以；
根据对称性可知，
在中，由余弦定理可得，
所以.
即周长的最小值是.
故选：D
8．【正确答案】B
【详解】由题意，任取，且，则，，
所以，
即，所以函数在上单调递增，
由，
设，，
则，所以函数在上单调递增，
所以，
则，即.
由，
设，，则，
因为，所以，则，
而，则，
所以，则函数在上单调递减，
所以，
则，即.
综上所述，，
又函数在上单调递增，则.
故选：B.
9．【正确答案】BD
【详解】因为，所以，
对于A，所以消费金额在内的顾客约有人，A选项错误；
对于B，样本中消费金额的平均数是元，B选项正确；
对于C，设消费金额的中位数是，前二组的频率和为，前三组的频率和为，
所以在第三组，所以，所以元，C选项错误；
对于D，第1组频率，第2组频率分别为，所以从样本的第1，2组中用比例分配的分层随机抽样方法抽取6人，第1组抽2人，第2组抽4人，
所以从这6人中随机抽取2人做进一步调查，则抽到的2人的消费金额都不少于50元的概率是，D选项正确.
故选：BD.
10．【正确答案】ABD
【详解】由图可得，，
，因，取，
对于A，，故A正确；
对于B，，
则，
，
即，故B正确；
对于C，令
或，得或，其中，
分别取，得相邻的三个根为，
则相邻根的差值即的图象与直线的相邻两交点间的距离为或，故C错误；
对于D，，
，
则，故D正确.
故选：ABD
11．【正确答案】ABD
【详解】对于A,根据余弦定理，，则,
如图，过点作，垂足为，
所以,
因为直三棱柱，所以四棱锥的高为，
所以，故A正确；
对于B,设三棱柱的外接球的球心为,半径为,分别为上底面和下底面外接圆的圆心，则为外接圆的半径，如上图，
则,,
所以,所以,
所以三棱柱的侧面积为，故B正确；
对于C， 因为内切圆的半径为，
又因为，所以三棱柱能容纳的最大的内切球的半径为，则棱长为的正方体能整体放入此容器且可自由转动，
则棱长最大的正方体恰好是直径为的球的内接正方体，则，
则的最大值为1，故C错误；
对于D，在平面ABC内作，垂足为H，由A的分析可知H落在CB的延长线上，
且，
由于平面，平面，故，
又平面，故平面，
平面,故，而，故，
又，故P点轨迹为以H为圆心，3为半径的圆在四边形内（含边界）的圆弧MN，
在中，，则，
故弧MN的长为，即点的轨迹长度为，故D正确；
故选：ABD
12．【正确答案】1
【详解】由题意，
在中，，
，
故1.
13．【正确答案】9
【详解】因为随机变量，正数满足，
有对称性可知，即，
所以
；
当且仅当，即时，等号成立.
故9
14．【正确答案】
【详解】因为实轴长为的双曲线的渐近线为，
则，解得，所以，双曲线的方程为，
，
如下图所示：
设，由双曲线的定义可得，则，
，所以，，
所以，，
由余弦定理可得，
所以，，解得，
所以，
，
所以，，
当直线的倾斜角为锐角时，则，
所以，，
此时，直线的斜率为；
当直线的倾斜角为钝角时，由对称性可知，直线的斜率为.
综上所述，直线的斜率为.
故答案为.
15．【正确答案】(1)证明见详解
(2)
【详解】（1）因为平面ABP，平面ABP，可得，，
由题意可知：，且，平面，
可得平面，由平面ABD，所以平面平面ABD.
（2）由题意可知：，
设点到平面的距离为，
因为，即，解得，
所以直线AB与平面BPD所成角的正弦值为.
16．【正确答案】(1)
(2)
【详解】（1）由，
可得，
再由三角形正弦定理角化边得：，
整理得：，
再由余弦定理得：，
又因为，所以.
（2）
由的面积公式得：，
因为AD平分，，，
所以，化简得：，
又由的面积是，则，解得：，
所以，
又由余弦定理得：，
所以，即三角形的周长是.
17．【正确答案】(1)；
(2)
【详解】（1）由①，可得，所以②，
①②可得，所以，
①②可得，所以；
（2）由（1）知，所以在上单调递增，
由，得，
所以，
当时，，不等式恒成立，
当时，，所以不等式变形为，
令，所以，
令，求导得，
因为，所以，所以在上单调递减，
所以，
所以，所以在上单调递增，所以，
因为对于，不等式恒成立，所以，
所以实数的取值范围为.
18．【正确答案】(1)证明见解析；
(2)
(3)证明见解析.
【详解】（1）证明：因，
则，
则是以为首项，公比为3的等比数列；
（2）由（1），，
则是以为首项，公差为1的等差数列，则；
（3）由（2），，
则，
则.
证明：假设数列中存在不同的三项能构成等差数列，
设这三项项数为.其中，
则，.
设，则，
得，
注意到，，
则.
这与矛盾，则数列中不存在不同的三项能构成等差数列.
19．【正确答案】(1)
(2)证明见解析
(3)证明见解析
【详解】（1）由题，，
因，，
则（负值舍去）；
（2）由题，，
设，
设，
则在R上单调递增，注意到，
则当在上单调递增，
在上单调递减，
则，
设函数上任意两点为，
则函数上任意两点斜率的表达式为，
由拉格朗日中值定理，在区间上存在实数，
使，即，
因，则，
即函数上任意两点连线的斜率不小于；
（3），
由题即相当于证明，，存在，使，
即
，
即命题等价于证明对任意，，
下面证明：，
先证：，
不等式两边同时除以a，所证不等式变为，
令，则所证不等式可化为，
构造函数，则，
则在上递减，则，则；
再证：，
因，则所证不等式可化为，
即，令，则所证不等式可化为，
构造函数，则，
则在上递增，则，则，
又由基本不等式可得，则，
又注意到，则，
即对任意，，则命题得证.