2024-2025学年安徽省合肥市高一年级第一学期期末联考数学检测试卷（附解析）

这是一份2024-2025学年安徽省合肥市高一年级第一学期期末联考数学检测试卷（附解析），共14页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
一、单选题（本大题共8小题）
1．已知，，则（ ）
A．B．C．D．
2．下列各组函数表示相同函数的是（ ）
A．和B．和
C．和D．和
3．函数的零点所在的区间为（ ）
A． B． C． D．
4．函数的图象可能为（ ）
A． B．
C． D．
5．设，则的大小关系为（ ）
A．B．
C．D．
6．已知函数的部分图象如图所示，则（ ）
A．B．C．D．
7．已知，且，则（ ）
A．B．C．D．
8．已知函数是定义在上的函数,.若对任意的,且有,则不等式的解集为（ ）
A．B．C．D．
二、多选题：（本大题共4小题）
9．下列说法正确的是（ ）
A．是第二象限角
B．点是函数的一个对称中心
C．若角终边上一点的坐标为（其中），则
D．函数的图象可由函数图象向左平移个单位得到
10．下列说法正确的是（ ）
A．命题“”的否定是“，使得”
B．若集合中只有一个元素，则
C．关于的不等式的解集，则不等式的解集为
D．“”是“”的充分不必要条件
11．若实数，满足，以下选项中正确的有（ ）
A．mn的最大值为B．的最小值为
C．的最小值为D．最小值为
12．已知函数函数，则下列结论正确的是（ ）
A．若，则B．若，则
C．若，则有3个零点D．若，则有5个零点
三、填空题：（本大题共4小题）
13．已知函数，则____________.
14．已知，则____________.
15．若函数值域为，则的取值范围为____________.
16．已知函数，若，且在区间上有最小值无最大值，则____________.
四、解答题：（本大题共6小题）
17．（本题满分10分）求下列各式的值：
（1）；
（2）.
18．（本题满分12分）设全集,集合，集合．
（1）若时，求；
（2）若，求实数的取值范围．
19．（本题满分12分）已知幂函数的图象过点.
（1）求函数的解析式；
（2）设函数在上是单调函数，求实数的取值组成的集合.
20．（本题满分12分）已知函数．
（1）求的最小正周期和单调增区间；
（2）若，求的值．
21．（本题满分12分）已知函数的最大值为，与直线的相邻两个交点的距离为.将的图象先向右平移个单位，保持纵坐标不变，再将每个点的横坐标伸长为原来的2倍，得到函数.
（1）求的解析式；
（2）若，且方程在上有实数解，求实数的取值范围.
22．（本题满分12分）已知函数对任意的实数都有，且当时，有恒成立.
（1）求证：函数在上为增函数；
（2）若，对任意的，关于的不等式恒成立，求实数的取值范围.
答案
1．【正确答案】A
【详解】因为，，所以.
故选：A.
2．【正确答案】C
【详解】对于A，函数的定义域为，函数的定义域为，
两个函数的定义域不同，所以表示不同的函数，故A错误；
对于B，函数的定义域为，函数的定义域为，
两个函数的定义域不同，所以表示不同的函数，故B错误；
对于C，函数与的定义域和对应法则都相同，
所以表示相同的函数, 故C正确；
对于D，函数的定义域为，函数的定义域为，
两个函数的定义域不同，所以表示不同的函数，故D错误.
故选：C.
3．【正确答案】B
【详解】函数在上单调递增，
，，故函数零点所在的区间为.
故选：B
4．【正确答案】D
【详解】由，解得,
所以函数的定义域为,所以,
所以为偶函数，函数的图象关于轴对称，排除选项B，
而，排除选项C，，排除选项A.
故选：D.
5．【正确答案】B
【详解】易知.
故选：B
6．【正确答案】B
【详解】由函数的图像可知，，则，．
由，解得，则，
故，.
故选：B
7．【正确答案】B
【详解】由题设，
所以，且，
故，即，所以.
故选：B
8．【正确答案】C
【详解】 不等式可化为，即，
令函数,由
可得,结合， 函数是上的增函数，又
不等式
,即
不等式的解集为:.
故选:C.
9．【正确答案】AC
【详解】对于A，的终边与的终边相同，所以为第二象限角，故A正确；
对于B，由，故B错误；
对于C，利用三角函数的定义知，故C正确；
对于D，由，可由函数的图象向左平移个单位得到，故D错误.
故选：AC．
10．【正确答案】CD
【详解】对A：命题“”的否定是“，使得”，故A错误；
对B：当时，集合中也只有一个元素，故B错误；
对C：因为关于的不等式的解集为，故，不妨设，则由韦达定理可得，，所以不等式，故C正确；
对D：由“，”可得“”，但“”，比如时，“，”就不成立，故D成立.
故选：CD
11．【正确答案】AD
【详解】对于A，由m，，得，又，
所以，解得，当且仅当，即，时等号成立，
所以mn最大值为，选项A正确；
对于B，，
当且仅当，即时等号成立，所以的最小值为，选项B错误；
对于C，由，得，所以
，
当且仅当，即时等号成立，又m，，所以，选项C错误；
对于D，由m，，，得，
则，当且仅当，即时等号成立，所以的最小值为，选项D正确．
故选：AD．
12．【正确答案】ACD
【详解】对A：，，故A正确；
图1
对B：若，则或，
当时，或，当时，由图1可知或，故B错误；
对C：若，由图1可知则或，
当时，由知只有一解，当时，由图可知有两解，故有3个零点，故C正确；
对D：若，，由图2知或或，
当时，只有一根，当时，只有两根，当时，只有两根，
所以共有5根，故D正确.
图2
故选：ACD
13．【正确答案】.
【详解】由题意得，，所以
14．【正确答案】.
【详解】由诱导公式，
15．【正确答案】.
【详解】设函数值域为，由函数值域为，
则，当时，的值域为，符合题意；
当时，由，解得，所以的取值范围为．
16．【正确答案】或.
【详解】因为，且在区间上有最小值无最大值，
则，则，可得，解得，
且，解得，可知：或1，或.经检验，或均符合题意，即满足在区间上有最小值无最大值.
17．【正确答案】（1）；（2）.
【详解】（1）根据指数幂的运算法则和运算性质，可得：
原式.
（2）由对数的运算法则和对数的运算性质，可得：
18．【正确答案】（1）；（2）.
【详解】（1）因为或，当时，，
所以；
（2）因为，所以，
当时，，所以，此时满足条件，
当时，因为，所以或，
解得或
综上或，即.
19．【正确答案】（1）；（2）或.
【详解】（1）的图象过点，所以，则，
函数的解析式为.
（2），所以函数图象的对称轴为，
若函数在上是单调函数，则或，即或，
所以实数的取值组成的集合为或.
20．【正确答案】（1），增区间为；（2）.
【详解】（1）
；
故周期为，
令，
，
所以的增区间为.
（2），

故
.
21．【正确答案】（1）；（2）.
【详解】（1）因为函数的最大值为，
所以，
又与直线的相邻两个交点的距离为，所以，
所以，则.
将的图象先向右平移个单位，保持纵坐标不变，得到，
再将每个点的横坐标伸长为原来的2倍，得到函数.
（2），
在上有实数解，
即在上有实数解，
即在上有实数解，
令，所以，
由，所以，所以，则，
同时，所以，所以在上有实数解，等价于在上有解，
即在上有解，
时，无解；
②时，有解，
即在有解，即在有解，
令，，则，
则，
当且仅当，即时，等号成立，所以的值域为，
所以在有解等价于.
综上.
22．【正确答案】（1）证明见解析；（2）.
【详解】（1）任取，且，
因为，
所以，
故，因为，所以，
又因为当时，，所以，所以，
所以，即，
所以在上为增函数.
（2）当时，，解得，
关于的不等式恒成立，
等价于恒成立，
因为，，所以，
即恒成立.
因为在上为增函数，所以，
又因为在上单调递减，
由题意可得，恒成立，
即恒成立，
令，因为，则，所以恒成立，
等价于恒成立，
令，则，
因为函数对称轴为，所以函数在上单调递增，
故，解得，所以实数的取值范围为.