湖南省“长沙市联考”2024-2025学年高三上学期1月数学变式卷试卷（Word版附解析）

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（考试时间：120分钟 试卷满分：150分）
注意事项：
1．答卷前，考生务必将自己的姓名、考生号等填写在答题卡和试卷指定位置上。
2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。
3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。
第一部分（选择题 共58分）
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．（ ）
A．0B．C．D．8
2．为异面直线，且.若，则直线l必定（ ）
A．与a，b都相交B．与a，b都不相交
C．至少与a，b之一相交D．至多与a，b之一相交
3．若角的终边过点，则（ ）
A．B．C．D．
4．已知函数的图像如左图所示，则其导函数的图像可能是（ ）
A． B． C． D．
5．已知函数相邻两个对称轴之间的距离为，若在上是增函数，则的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
6．如图，四边形中，，，则（ ）
A．B．C．D．
7．已知点为抛物线上异于原点的两个动点，若，则线段中点的横坐标的最小值为（ ）
A．1B．C．D．2
8．设函数，若函数存在最大值，则实数a的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．
9．某校举行了交通安全知识主题演讲比赛，甲、乙两位同学演讲后，6位评委对甲、乙的演讲分别进行打分（满分10分），得到如图所示的折线统计图，则（ ）
A．若去掉最高分和最低分，则甲得分的中位数大于乙得分的中位数
B．甲得分的极差大于乙得分的极差
C．甲得分的上四分位数小于乙得分的上四分位数
D．甲得分的方差大于乙得分的方差
10．在递增的等比数列中，，是数列的前项和，是数列的前项积，则下列说法正确的是（ ）
A．数列是等比数列B．数列是等差数列
C．D．
11．历史上第一个给出函数一般定义的是19世纪德国数学家狄利克雷（Dirichlet），当时数学家们处理的大部分数学对象都没有完全的严格的定义，数学家们习惯借助于直觉和想象来描述数学对象，狄利克雷在1829年给出了著名函数：（其中为有理数集，为无理数集），狄利克雷函数的出现表示数学家们对数学的理解发生了深刻的变化，数学的一些“人造”特征开始展现出来，这种思想也标志着数学从研究“算”转变到了研究“概念、性质、结构”．一般地，广义的狄利克雷函数可定义为（其中a，且），以下对说法正确的是（ ）
A．当时，的值域为；当时，的值域为
B．任意非零有理数均是的周期，但任何无理数均不是的周期
C．为偶函数
D．在实数集的任何区间上都不具有单调性
第二部分（非选择题 共92分）
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12．在△ABC中，，，，则点的轨迹方程为 ．
13．徐汇滨江作为2024年上海国际鲜花展的三个主会场之一，吸引了广大市民前往观展并拍照留念.图中的花盆是种植鲜花的常见容器，它可视作两个圆台的组合体，上面圆台的上､下底面直径分别为30cm和26cm，下面圆台的上､下底面直径分别为和，且两个圆台侧面展开图的圆弧所对的圆心角相等.若上面圆台的高为8cm，则该花盆上､下两部分母线长的总和为 .
14．在锐角中，角的对边为，为的面积，且，则的取值范围为 .
四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步棸。
15．某闯关游戏共设置4道题，参加比赛的选手从第1题开始答题，一旦答错则停止答题，否则继续，直到答完所有题目．设选手甲答对第1题的概率为，甲答对题序为的题目的概率，，各题回答正确与否相互之间没有影响．
(1)若甲已经答对了前3题，求甲答对第4题的概率；
(2)求甲停止答题时答对题目数量的分布列与数学期望．
16．如图，在棱长都为2的平行六面体中，，点在底面上的投影恰为与的交点；
(1)求点到平面的距离；
(2)求直线与平面所成角的正弦值.
17．已知函数.
(1)讨论函数的单调性；
(2)当时，令，若为的极大值点，证明：.
18．设分别为椭圆的左、右焦点，是椭圆的短轴的一个端点，的面积为，椭圆的离心率为．

(1)求椭圆的方程．
(2)如图，是椭圆上不重合的三点，原点是的重心．
①当直线垂直于轴时，求点到直线的距离；
②求点到直线的距离的最大值．
19．设数列的前n项和为，对一切，，点都在函数图象上.
(1)求，，，归纳数列的通项公式（不必证明）：
(2)将数列依次按1项、2项、3项、4项循环地分为、、、、、、、、、…，分别计算各个括号内各数之和，设由这些和按原来括号的前后顺序构成新的数列为，求的值；
(3)设为数列的前n项积，若不等式对一切都成立，求a的取值范围.