湖南省长沙市明德中学等校2024-2025学年高二上学期12月联考数学试卷（Word版附解析）

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1.答题前，考生务必将自己的姓名、考生号、考场号、座位号填写在答题卡上.
2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上.写在本试卷上无效.
3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回.
4.本试卷主要考试内容：人教A版必修第一册至选择性必修第二册第四章.
一、单项选择题（本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）
1 已知集合，则（ ）
A. B. C. D.
2. 已知复数在复平面内对应的点的坐标是，则（ ）
A. B. C. D.
3. 已知正项等比数列的前项和为，则（ ）
A. 50B. C. D. 60
4. 已知椭圆，则该椭圆上点到焦点距离的最小值为（ ）
A. 1B. 2C. D.
5. 在中，点在线段上，且，过点直线分别交直线于不同的两点，若，则（ ）
A. 1B. 2C. 3D. 4
6. 在各项均不为零的数列中，，若，则（ ）
A. B. C. D.
7. 已知函数，若在区间上单调递增，则的取值范围是（ ）
A. B. C. D.
8. 已知抛物线的焦点为，准线为，过点且倾斜角为的直线与抛物线的一个交点为（位于轴的右侧），过点作，垂足为，连接，交抛物线于点（在线段上），则（ ）
A. B. C. D.
二、多项选择题（本大题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有错选的得0分）
9. 下列说法一定正确的是（ ）
A. 若，则
B. 若，则
C. 若，则
D. 若，则
10. 已知正方体的棱长为为侧面内（含边界）的一个动点，分别是线段的中点，则下列结论正确的是（ ）
A. 的最大值为
B. 过点的正方体的截面有可能是正五边形
C. 当直线与平面所成的角为时，点的轨迹长度为
D. 当时，三棱锥的体积为定值
11. 中国结是一种手工编制工艺品，它有着复杂奇妙的曲线，却可以还原成单纯的二维线条，其形状类似打横的阿拉伯数字8，对应着数学曲线中的双纽线.在平面上，把与定点距离之积等于的动点的轨迹称为双纽线，是双纽线上的一个动点，则下列结论正确的是（ ）
A. 双纽线上不存在点，使得
B. 双纽线的图象关于轴对称，关于轴对称，也关于原点对称
C. 若，则的周长可以为19
D. 若，则的面积的最大值为4
三、填空题（本大题共3小题，每小题5分，共15分）
12. 设是一次随机试验中的两个相互独立事件，且，则_______.
13. 已知双曲线，若有且仅有一对过原点且所成的角为的直线和，使得，其中和分别是这对直线与双曲线的交点，则该双曲线的离心率的取值范围是_______.
14. 按照如下规则构造数表：第一行是2；第二行是，即，；第三行是，即.整理如下：
，
，，，
，，，，，，，
…
记第行所有数字之和为，比如，令，比如，则_______.
四、解答题（本大题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）
15. 如图，在直三棱柱中，为线段的中点.
（1）证明：平面；
（2）求平面与平面夹角的大小.
16. 已知数列的前项和为，且.
（1）求的通项公式；
（2）求数列的前项和.
17. 已知内角所对的边分别为，且.
（1）求角大小；
（2）若点为的垂心，的延长线交于点，且，求的面积.
18. 已知，动点与点的距离是它与点的距离的倍，记动点的轨迹为曲线.
（1）求曲线的方程；
（2）试判断曲线与圆是否有公共点.若有，求出公共点所在直线的方程；
（3）过原点的直线与曲线交于两点，其中点在第一象限，过原点的另一条直线与曲线交于两点，其中点在第二象限，直线分别与轴交于点，，证明：点关于轴对称.（说明：本小问如用平面几何方法证明不给分）
19. 已知椭圆的左焦点为，左、右顶点分别为，离心率为，点在椭圆上，直线（点在点的右上方）被圆截得的线段的长为，且.
（1）求椭圆的方程；
（2）过点的直线交椭圆于点（异于，设直线的斜率分别为，证明为定值，并求出该定值；
（3）设为直线和的交点，记的面积分别为，求的最小值.