高考数学专题05 函数的概念与性质专项练习（教师版+学生版）

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一、单选题
1．（2024新高考Ⅰ卷·6）已知函数为，在R上单调递增，则a取值的范围是（ ）
A．B．C．D．
2．（2024新高考Ⅰ卷·8）已知函数为的定义域为R，，且当时，则下列结论中一定正确的是（ ）
A．B．
C．D．
3．（2024新高考Ⅱ卷·8）设函数，若，则的最小值为（ ）
A．B．C．D．1
二、多选题
1．（2024新高考Ⅰ卷·10）设函数，则（ ）
A．是的极小值点B．当时，
C．当时，D．当时，
2．（2024新高考Ⅱ卷·11）设函数，则（ ）
A．当时，有三个零点
B．当时，是的极大值点
C．存在a，b，使得为曲线的对称轴
D．存在a，使得点为曲线的对称中心
一、单选题
1．（2023新高考Ⅰ卷·4）设函数在区间上单调递减，则的取值范围是（ ）
A．B．
C．D．
2．（2022新高考Ⅱ卷·8）已知函数的定义域为R，且，则（ ）
A．B．C．0D．1
3．（2023新高考Ⅱ卷·4）若为偶函数，则（ ）．
A．B．0C．D．1
二、多选题
1．（2022新高考Ⅰ卷·12）已知函数及其导函数的定义域均为，记，若，均为偶函数，则（ ）
A．B．C．D．
2．（2023新高考Ⅰ卷·10）噪声污染问题越来越受到重视．用声压级来度量声音的强弱，定义声压级，其中常数是听觉下限阈值，是实际声压．下表为不同声源的声压级：
已知在距离燃油汽车、混合动力汽车、电动汽车处测得实际声压分别为，则（ ）．
A．B．
C．D．
3．（2023新高考Ⅰ卷·11）已知函数的定义域为，，则（ ）．
A．B．
C．是偶函数D．为的极小值点
一、函数定义域限制
求解函数的定义域应注意：
（1）分式的分母不为零；
（2）偶次方根的被开方数大于或等于零：
（3）对数的真数大于零，底数大于零且不等于1；
（4）零次幂或负指数次幂的底数不为零；
（5）三角函数中的正切的定义域是且；
（6）已知的定义域求解的定义域，或已知的定义域求的定义域，遵循两点：①定义域是指自变量的取值范围； = 2 \* GB3 ②在同一对应法则∫下，括号内式子的范围相同；
（7）对于实际问题中函数的定义域，还需根据实际意义再限制，从而得到实际问题函数的定义域．
二、基本初等函数的值域
（1）的值域是．
（2）的值域是：当时，值域为；当时，值域为．
（3）的值域是．
（4）且的值域是．
（5）且的值域是．
三、函数的单调性
（1）单调函数的定义
一般地，设函数的定义域为，区间：
如果对于内的任意两个自变量的值，当时，都有，那么就说在区间上是增函数．
如果对于内的任意两个自变量的值，，当时，都有，那么就说在区间上是减函数．
= 1 \* GB3 \* MERGEFORMAT ①属于定义域内某个区间上；
= 2 \* GB3 \* MERGEFORMAT ②任意两个自变量，且；
= 3 \* GB3 \* MERGEFORMAT ③都有或；
= 4 \* GB3 \* MERGEFORMAT ④图象特征：在单调区间上增函数的图象从左向右是上升的，减函数的图象从左向右是下降的．
（2）复合函数的单调性
复合函数的单调性遵从“同增异减”，即在对应的取值区间上，外层函数是增（减）函数，内层函数是增（减）函数，复合函数是增函数；外层函数是增（减）函数，内层函数是减（增）函数，复合函数是减函数.
四、函数的奇偶性
函数奇偶性的定义及图象特点
判断与的关系时，也可以使用如下结论：如果或，则函数为偶函数；如果或，则函数为奇函数．
注意：由函数奇偶性的定义可知，函数具有奇偶性的一个前提条件是：对于定义域内的任意一个，也在定义域内(即定义域关于原点对称)．
五、函数的对称性
(1)若函数为偶函数，则函数关于对称．
(2)若函数为奇函数，则函数关于点对称．
(3)若，则函数关于对称．
(4)若，则函数关于点对称．
六、函数的周期性
（1）周期函数：
对于函数，如果存在一个非零常数，使得当取定义域内的任何值时，都有，那么就称函数为周期函数，称为这个函数的周期.
（2）最小正周期：
如果在周期函数的所有周期中存在一个最小的正数，那么称这个最小整数叫做的最小正周期.
七、常见的幂函数图像及性质
八、指数及指数运算
1、指数
(1)根式的定义：
一般地，如果，那么叫做的次方根，其中，，记为，称为根指数，称为根底数．
(2)根式的性质：
当为奇数时，正数的次方根是一个正数，负数的次方根是一个负数.
当为偶数时，正数的次方根有两个，它们互为相反数.
(3)指数的概念：指数是幂运算中的一个参数，为底数，为指数，指数位于底数的右上角，幂运算表示指数个底数相乘.
(4)有理数指数幂的分类
①正整数指数幂；②零指数幂；
③负整数指数幂，；④的正分数指数幂等于，的负分数指数幂没有意义．
(5)有理数指数幂的性质
①，，；②，，；
③，，；④，，．
2、指数函数
九、对数及对数运算
1、对数式的运算
(1)对数的定义：一般地，如果且，那么数叫做以为底的对数，记作，读作以为底的对数，其中叫做对数的底数，叫做真数．
(2)常见对数：
①一般对数：以且为底，记为，读作以为底的对数；
②常用对数：以为底，记为；
③自然对数：以为底，记为；
(3) 对数的性质和运算法则：
①；；其中且；
②(其中且，)；
③对数换底公式：；
④；
⑤；
⑥，；
⑦和；
⑧；
2、对数函数的定义及图像
(1)对数函数的定义：函数 且叫做对数函数．
对数函数的图象
十、函数与方程
1、函数的零点
对于函数，我们把使的实数叫做函数的零点.
2、方程的根与函数零点的关系
方程有实数根函数的图像与轴有公共点函数有零点.
3、零点存在性定理
如果函数在区间上的图像是连续不断的一条曲线，并且有，那么函数在区间内有零点，即存在，使得也就是方程的根.
4、二分法
对于区间上连续不断且的函数，通过不断地把函数的零点
所在的区间一分为二，使区间的两个端点逐步逼近零点，进而得到零点的近似值的方法叫做二分法.求方程的近似解就是求函数零点的近似值.
5、用二分法求函数零点近似值的步骤
（1）确定区间，验证，给定精度.
（2）求区间的中点.
（3）计算.若则就是函数的零点；若，则令（此时零点）.若，则令（此时零点）
（4）判断是否达到精确度，即若，则函数零点的近似值为（或）；否则重复第（2）—（4）步.
用二分法求方程近似解的计算量较大，因此往往借助计算完成.
【函数性质常用结论】
1、单调性技巧
（1）证明函数单调性的步骤
①取值：设，是定义域内一个区间上的任意两个量，且；
②变形：作差变形(变形方法：因式分解、配方、有理化等)或作商变形；
③定号：判断差的正负或商与的大小关系；
④得出结论．
（2）函数单调性的判断方法
①定义法：根据增函数、减函数的定义，按照“取值—变形—判断符号—下结论”进行判断．
②图象法：就是画出函数的图象，根据图象的上升或下降趋势，判断函数的单调性．
③直接法：就是对我们所熟悉的函数，如一次函数、二次函数、反比例函数等，直接写出它们的单调区间．
（3）记住几条常用的结论：
①若是增函数，则为减函数；若是减函数，则为增函数；
②若和均为增(或减)函数，则在和的公共定义域上为增(或减)函数；
③若且为增函数，则函数为增函数，为减函数；
④若且为减函数，则函数为减函数，为增函数．
2、奇偶性技巧
(1)函数具有奇偶性的必要条件是其定义域关于原点对称.
(2)奇偶函数的图象特征.
函数是偶函数函数的图象关于轴对称；
函数是奇函数函数的图象关于原点中心对称.
(3)若奇函数在处有意义，则有；
偶函数必满足.
(4)偶函数在其定义域内关于原点对称的两个区间上单调性相反；奇函数在其定义域内关于原点对称的两个区间上单调性相同.
(5)若函数的定义域关于原点对称，则函数能表示成一个偶函数与一个奇函数的和的形式.记，，则.
(6)运算函数的奇偶性规律：运算函数是指两个（或多个）函数式通过加、减、乘、除四则运算所得的函数，如.
对于运算函数有如下结论：奇奇=奇；偶偶=偶；奇偶=非奇非偶；
奇奇=偶；奇偶=奇；偶偶=偶.
(7)复合函数的奇偶性原来：内偶则偶，两奇为奇.
(8)常见奇偶性函数模型
奇函数： = 1 \* GB3 \* MERGEFORMAT ①函数或函数．
= 2 \* GB3 \* MERGEFORMAT ②函数．
= 3 \* GB3 \* MERGEFORMAT ③函数或函数
= 4 \* GB3 \* MERGEFORMAT ④函数或函数．
注意：关于 = 1 \* GB3 \* MERGEFORMAT ①式，可以写成函数或函数．
偶函数： = 1 \* GB3 \* MERGEFORMAT ①函数．
= 2 \* GB3 \* MERGEFORMAT ②函数．
= 3 \* GB3 \* MERGEFORMAT ③函数类型的一切函数．
④常数函数
3、周期性技巧
4、函数的的对称性与周期性的关系
（1）若函数有两条对称轴，，则函数是周期函数，且；
（2）若函数的图象有两个对称中心，则函数是周期函数，且；
（3）若函数有一条对称轴和一个对称中心，则函数是周期函数，且.
5、对称性技巧
（1）若函数关于直线对称，则．
（2）若函数关于点对称，则．
（3）函数与关于轴对称，函数与关于原点对称．
一、单选题
1．（2024·黑龙江齐齐哈尔·三模）若为偶函数，则（ ）
A．1B．0C．D．2
2．（2024·湖南邵阳·三模）“”是“函数（且）在上单调递减”的（ ）
A．充分不必要条件B．必要不充分条件
C．充要条件D．既不充分也不必要条件
3．（2024·湖南长沙·三模）地震震级通常是用来衡量地震释放能量大小的数值，里氏震级最早是由查尔斯•里克特提出的，其计算基于地震波的振幅，计算公式为，其中表示某地地震的里氏震级，表示该地地震台测振仪记录的地震波的最大振幅，表示这次地震中的标准地震振幅.假设在一次地震中，某地地震台测振仪记录的地震波的最大振幅为5000，且这次地震的标准地震振幅为0.002，则该地这次地震的里氏震级约为（ ）（参考数据：）
A．6.3级B．6.4级C．7.4级D．7.6级
4．（2024·河北·二模）已知函数为奇函数，则函数的图象（ ）
A．关于点对称B．关于点对称
C．关于点对称D．关于点对称
5．（2024·陕西渭南·二模）已知函数是上的增函数，则实数a的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
6．（2024·湖北·二模）已知函数在上单调递增，则a的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
7．（2024·宁夏银川·三模）已知函数，则下列说法不正确的是（ ）
A．函数单调递增B．函数值域为
C．函数的图象关于对称D．函数的图象关于对称
8．（2023·辽宁葫芦岛·二模）已知函数，则（ ）
A．有一个极值点
B．有两个零点
C．点（0，1）是曲线的对称中心
D．直线是曲线的切线
9．（2024·宁夏银川·三模）已知函数有3个零点，，，有以下四种说法：
①
②
③存在实数a，使得，，成等差数列
④存在实数a，使得，，成等比数列
则其中正确的说法有（ ）种.
A．1B．2C．3D．4
10．（2024·河北保定·三模）已知的值域为，，则的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
11．（2024·河南·三模）设函数的定义域为为奇函数，为偶函数，若1，则（ ）
A．1B．C．0D．
12．（2024·四川·三模）已知定义在上的函数在区间上单调递增，且满足，，则（ ）
A．B． C．D．
13．（2024·四川·三模）定义在R上的函数与的图象关于直线对称，且函数为奇函数，则函数图象的对称中心是（ ）
A．B．C．D．
二、多选题
14．（2024·全国·模拟预测）已知函数下列结论中正确的是（ ）
A．若，则是的极值点
B．，使得
C．若是的极小值点，则在区间上单调递减
D．函数的图象是中心对称图形
15．（2024·湖南长沙·模拟预测）氚，亦称超重氢，是氢的同位素之一，它的原子核由一个质子和两个中子组成，并带有放射性，会发生衰变，其半衰期是12.43年.样本中氚的质量随时间(单位:年)的衰变规律满足，其中表示氚原有的质量，则（ ）(参考数据:)
A．
B．经过年后，样本中的氚元素会全部消失
C．经过年后，样本中的氚元素变为原来的
D．若年后，样本中氚元素的含量为，则
16．（2024·福建厦门·模拟预测）已知函数的定义域为，，且，则（ ）
A．B．
C．为奇函数D．在上具有单调性
17．（2024·江西南昌·三模）已知函数，若的图象关于直线对称，则下列说法正确的是（ ）
A．的图象也关于直线对称B．的图象关于中心对称
C．D．
18．（2024·浙江绍兴·二模）已知定义在上的函数在区间上单调递增，且满足，，则（ ）
A．B．
C．D．
19．（2024·湖北·二模）我们知道，函数的图象关于坐标原点成中心对称图形的充要条件是函数为奇函数．有同学发现可以将其推广为：函数的图象关于点成中心对称图形的充要条件是函数为奇函数．已知函数，则下列结论正确的有（ ）
A．函数的值域为
B．函数的图象关于点成中心对称图形
C．函数的导函数的图象关于直线对称
D．若函数满足为奇函数，且其图象与函数的图象有2024个交点，记为，则
20．（2024·湖北荆州·三模）已知函数的定义域为，且，，则（ ）
A．B．关于中心对称
C．是周期函数D．的解析式可能为
21．（2024·江苏宿迁·三模）已知定义在上不为常数的函数满足，则（ ）
A．B．C．D．
22．（2024·湖南衡阳·三模）已知函数，的定义域为，若函数是奇函数，函数是偶函数，，且.则下列结论正确的是（ ）
A．函数图像关于直线对称
B．函数为偶函数
C．4是函数的一个周期
D．
23．（2024·河北邢台·一模）已知函数和函数的定义域均为，若的图象关于直线对称，，，且，则下列说法正确的是（ ）
A．为偶函数
B．
C．若在区间上的解析式为，则在区间上的解析式为
D．
声源
与声源的距离
声压级
燃油汽车
10
混合动力汽车
10
电动汽车
10
40
奇偶性
定义
图象特点
偶函数
如果对于函数的定义域内任意一个，都有，那么函数就叫做偶函数
关于轴对称
奇函数
如果对于函数的定义域内任意一个，都有，那么函数就叫做奇函数
关于原点对称
函数
图象
定义域
值域
奇偶性
奇
偶
奇
非奇非偶
奇
单调性
在上单调递增
在上单调递减，在上单调递增
在上单调递增
在上单调递增
在和上单调递减
公共点
图象
性质
①定义域，值域
②，即时，，图象都经过点
③，即时，等于底数
④在定义域上是单调减函数
在定义域上是单调增函数
⑤时，；时，
时，；时，
⑥既不是奇函数，也不是偶函数
图象

性质
定义域：
值域：
过定点，即时，
在上增函数
在上是减函数
当时，，当时，
当时，，当时，