高考数学专题01 集合与常用逻辑用语专项练习 教师版+学生版

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A．B．C．D．
【答案】A
【分析】化简集合，由交集的概念即可得解.
【详解】因为，且注意到，
从而.
故选：A.
2．（2024新高考Ⅱ卷·2）已知命题p：，；命题q：，，则（ ）
A．p和q都是真命题B．和q都是真命题
C．p和都是真命题D．和都是真命题
【答案】B
【分析】对于两个命题而言，可分别取、，再结合命题及其否定的真假性相反即可得解.
【详解】对于而言，取，则有，故是假命题，是真命题，
对于而言，取，则有，故是真命题，是假命题，
综上，和都是真命题.
故选：B.
1．（2022新高考Ⅰ卷·1）若集合，则（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【分析】求出集合后可求.
【详解】，故，
故选：D
2．（2023新高考Ⅰ卷·1）已知集合，，则（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【分析】方法一：由一元二次不等式的解法求出集合，即可根据交集的运算解出．
方法二：将集合中的元素逐个代入不等式验证，即可解出．
【详解】方法一：因为，而，
所以．
故选：C．
方法二：因为，将代入不等式，只有使不等式成立，所以．
故选：C．
3．（2022新高考Ⅱ卷·1）已知集合，则（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】方法一：求出集合后可求.
【详解】[方法一]：直接法
因为，故，故选：B.
[方法二]：【最优解】代入排除法
代入集合，可得，不满足，排除A、D；
代入集合，可得，不满足，排除C.
故选：B.
【整体点评】方法一：直接解不等式，利用交集运算求出，是通性通法；
方法二：根据选择题特征，利用特殊值代入验证，是该题的最优解．
4．（2023新高考Ⅱ卷·2）设集合，，若，则（ ）．
A．2B．1C．D．
【答案】B
【分析】根据包含关系分和两种情况讨论，运算求解即可.
【详解】因为，则有：
若，解得，此时，，不符合题意；
若，解得，此时，，符合题意；
综上所述：.
故选：B.
5．（2023新高考Ⅰ卷·7）记为数列的前项和，设甲：为等差数列；乙：为等差数列，则（ ）
A．甲是乙的充分条件但不是必要条件
B．甲是乙的必要条件但不是充分条件
C．甲是乙的充要条件
D．甲既不是乙的充分条件也不是乙的必要条件
【答案】C
【分析】利用充分条件、必要条件的定义及等差数列的定义，再结合数列前n项和与第n项的关系推理判断作答.，
【详解】方法1，甲：为等差数列，设其首项为，公差为，
则，
因此为等差数列，则甲是乙的充分条件；
反之，乙：为等差数列，即为常数，设为，
即，则，有，
两式相减得：，即，对也成立，
因此为等差数列，则甲是乙的必要条件，
所以甲是乙的充要条件，C正确.
方法2，甲：为等差数列，设数列的首项，公差为，即，
则，因此为等差数列，即甲是乙的充分条件；
反之，乙：为等差数列，即，
即，，
当时，上两式相减得：，当时，上式成立，
于是，又为常数，
因此为等差数列，则甲是乙的必要条件，
所以甲是乙的充要条件.
故选：C
一、元素与集合
1、集合的含义与表示
某些指定对象的部分或全体构成一个集合．构成集合的元素除了常见的数、点等数学对象外，还可以是其他对象．
2、集合元素的特征
（1）确定性：集合中的元素必须是确定的，任何一个对象都能明确判断出它是否为该集合中的元素．
（2）互异性：集合中任何两个元素都是互不相同的，即相同元素在同一个集合中不能重复出现．
（3）无序性：集合与其组成元素的顺序无关．
3、元素与集合的关系
元素与集合之间的关系包括属于(记作)和不属于(记作)两种．
4、集合的常用表示法
集合的常用表示法有列举法、描述法、图示法(韦恩图)．
5、常用数集的表示
二、集合间的基本关系
（1）子集：一般地，对于两个集合、，如果集合中任意一个元素都是集合中的元素，我们就说这两个集合有包含关系，称集合为集合的子集 ，记作（或），读作“包含于”（或“包含”）.
（2）真子集：对于两个集合与，若，且存在，但，则集合是集合的真子集，记作（或）.读作“真包含于 ”或“真包含 ”.
（3）相等：对于两个集合与，如果，同时，那么集合与相等，记作．
（4）空集：把不含任何元素的集合叫做空集，记作；是任何集合的子集，是任何非空集合的真子集.
三、集合的基本运算
（1）交集：由所有属于集合且属于集合的元素组成的集合，叫做与的交集，记作，即．
（2）并集：由所有属于集合或属于集合的元素组成的集合，叫做与的并集，记作，即．
（3）补集：对于一个集合，由全集中不属于集合的所有元素组成的集合称为集合相对于全集的补集，简称为集合的补集，记作，即．
四、集合的运算性质
（1），，，，．
（2），，，，．
（3），，．
（4）
【集合常用结论】
（1）若有限集中有个元素，则的子集有个，真子集有个，非空子集有个，非空真子集有个．
（2）空集是任何集合的子集，是任何非空集合的真子集．
（3）．
（4）,．
五、充分条件、必要条件、充要条件
1、定义
如果命题“若，则”为真（记作），则是的充分条件；同时是的必要条件．
2、从逻辑推理关系上看
（1）若且，则是的充分不必要条件；
（2）若且，则是的必要不充分条件；
（3）若且，则是的的充要条件（也说和等价）；
（4）若且，则不是的充分条件，也不是的必要条件．
六、全称量词与存在量词
（1）全称量词与全称量词命题．短语“所有的”、“任意一个”在逻辑中通常叫做全称量词，并用符号“”表示．含有全称量词的命题叫做全称量词命题．全称量词命题“对中的任意一个，有成立”可用符号简记为“”，读作“对任意属于，有成立”．
（2）存在量词与存在量词命题．短语“存在一个”、“至少有一个”在逻辑中通常叫做存在量词，并用符号“”表示．含有存在量词的命题叫做存在量词命题．存在量词命题“存在中的一个，使成立”可用符号简记为“”，读作“存在中元素，使成立”（存在量词命题也叫存在性命题）．
七、含有一个量词的命题的否定
（1）全称量词命题的否定为，．
（2）存在量词命题的否定为．
注：全称、存在量词命题的否定是高考常见考点之一．
【常用逻辑用语常用结论】
1、从集合与集合之间的关系上看
设．
（1）若，则是的充分条件（），是的必要条件；若，则是的充分不必要条件，是的必要不充分条件，即且；
注：关于数集间的充分必要条件满足：“小大”．
（2）若，则是的必要条件，是的充分条件；
（3）若，则与互为充要条件．
集合三模题
一、单选题
1．（2024·河南·三模）命题“”的否定是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】B
【分析】根据存在量词命题的否定形式，即可求解.
【详解】根据存在量词命题的否定为全称量词命题，
即命题“”的否定为“”.
故选：B.
2．（2024·湖南长沙·三模）已知集合，则（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【分析】由对数函数单调性解不等式，化简，根据交集运算求解即可.
【详解】因为，
所以.
故选：D.
3．（2024·河北衡水·三模）已知集合，则（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】求得，可求.
【详解】，
又，故，
故选：B．
4．（2024·陕西·三模）已知集合，则（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【分析】先解一元二次不等式求出集合，再根据集合并集定义计算即可.
【详解】由，解得，所以集合，
所以，所以.
故选：D.
5．（2024·安徽·三模）已知集合，，则图中所示的阴影部分的集合可以表示为（ ）

A．B．
C．D．
【答案】C
【分析】图中所示的阴影部分的集合为，结合集合的运算即可得解.
【详解】由图可知，阴影部分表示的集合的元素为，
而，，则，
得，
故所求集合为.
故选：C.
6．（2024·湖南长沙·三模）已知直线，圆，则“”是“直线上存在点，使点在圆内”的（ ）
A．充分不必要条件B．必要不充分条件
C．充要条件D．既不充分也不必要条件
【答案】B
【分析】由直线与圆相交可求得，则通过判断与的关系可得答案.
【详解】由直线上存在点，使点在圆内，得直线与圆相交，即1，
解得，即，
因为不一定能得到，而可推出，
所以“1”是“直线上存在点，使点在圆内”的必要不充分条件.
故选：B
7．（2024·湖北荆州·三模）已知集合，，其中是实数集，集合，则（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】解出一元二次不等式后，结合补集定义与交集定义计算即可得.
【详解】由可得或，则，
又，故.
故选：B.
8．（2024·北京·三模）已知集合，若，则可能是（ ）
A．B．1C．2D．3
【答案】D
【分析】解对数不等式化简集合A，进而求出的取值集合即得.
【详解】由，得，则，或，
由，得，显然选项ABC不满足，D满足.
故选：D
9．（2024·河北衡水·三模）已知函数，则“”是“函数是奇函数”的（ ）
A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件
【答案】B
【分析】由函数是奇函数，可求得，可得结论.
【详解】若函数是奇函数，
则恒成立，即，
而，得．
故“”是“函数是奇函数”的必要不充分条件．
故选：B．
10．（2024·内蒙古·三模）设，是两个不同的平面，，是两条不同的直线，且则“”是“且”的（ ）
A．充分不必要条件B．充分必要条件
C．必要不充分条件D．既不充分也不必要条件
【答案】C
【分析】根据题意，利用线面平行的判定定理与性质定理，结合充分条件、必要条件的判定方法，即可求解.
【详解】当时，可能在内或者内，故不能推出且，所以充分性不成立；
当且时，设存在直线，，且，
因为，所以，根据直线与平面平行的性质定理，可知，
所以，即必要性成立，故“”是“且”的必要不充分条件.
故选：C.
11．（2024·北京·三模）已知，，则（ ）
A．空集B．或
C．或且D．以上都不对
【答案】A
【分析】先求出集合，再由交集的定义求解即可.
【详解】，
或或，
所以.
故选：A
12．（2024·四川·三模）已知集合，，则（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】将集合化简，然后结合交集的运算，即可得到结果.
【详解】由题意，所以.
故选：B.
13．（2024·重庆·三模）已知集合，则（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【分析】解一元二次不等式求解集合A，根据指数函数单调性求解值域得集合B，然后利用交集运算求解即可.
【详解】，
则，
所以.
故选：D
14．（2024·北京·三模）“为锐角三角形”是“，，”的（ ）
A．充分不必要条件B．必要不充分条件
C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件
【答案】C
【分析】根据诱导公式及正弦函数的单调性，再结合充分条件和必要条件的定义即可得解.
【详解】充分性：
因为为锐角三角形，
所以，即，
所以，
同理可得，，
故充分性得证；
必要性：
因为，所以，
因为，所以，
若，则，
若，则，所以，
综上，，
同理，
所以为锐角三角形，
必要性得证，
综上所述，为充分必要条件.
故选：C.
15．（2024·上海·三模）设，集合，集合，对于集合B有下列两个结论：①存在a和b，使得集合B中恰有5个元素；②存在a和b，使得集合B中恰有4个元素．则下列判断正确的是（ ）
A．①②都正确B．①②都错误C．①错误，②正确D．①正确，②错误
【答案】A
【分析】由题意可知，对于①举例分析判断即可，对于②，若，则，然后构造函数，利用导数结合零点存性定理可确定出，从而可进行判断.
【详解】当时，，
当时，，
当时，，
当时，，
当时，，
当时，，
因为，所以，
当时，，
，，
所以，有5个元素，所以①正确，
若，则，得，
令，则，
令，则，
所以在上递增，即在上递增，
所以当时，，
所以在上递增，
因为，
所以存在，使，即存在，成立，
此时，
所以存在a和b，使得集合B中恰有4个元素，所以②正确，
故选：A
【点睛】关键点点睛：判断结论②的关键是构造函数，利用导数和零点存在性定理分析判断.
二、多选题
16．（2024·江西南昌·三模）下列结论正确的是（ ）
A．若，则的取值范围是
B．若，则的取值范围是
C．若，则的取值范围是
D．若，则的取值范围是
【答案】BD
【分析】先将条件等价转化，然后根据对应范围判断命题的真假即可.
【详解】对于选项A和B，，，
若，则的取值范围是，所以A错误，B正确；
对于选项C和D，若，则的取值范围是，所以D正确，C错误.
故选：BD.
17．（2024·辽宁·三模）已知表示这个数中最大的数．能说明命题“，，”是假命题的对应的一组整数a，b，c，d值的选项有（ ）
A．1，2，3，4B．，，7，5
C．8，，，D．5，3，0，
【答案】BC
【分析】根据的含义说明AD不符合题意，举出具体情况说明BC，符合题意即可.
【详解】对于A，D，从其中任取两个数作为一组，剩下的两数作为另一组，
由于这两组数中的最大的数都不是负数，其中一组中的最大数即为这四个数中的最大值，
故都能使得命题“，”成立；
对于B，当时，而，
此时，即命题“，，”是假命题；
对于C，当时，而，
此时，即命题“，，”是假命题；
故选：BC
18．（2024·重庆·三模）命题“存在，使得”为真命题的一个充分不必要条件是（ ）
A．B．C．D．
【答案】CD
【分析】根据题意，转化为存在，设定，利用二次函数的性质，求得的最小值为，求得的取值范围，结合充分不必要条件的定义和选项，即可求解.
【详解】由题意，存在，使得，即，
当时，即时，的最小值为，故；
所以命题“存在，使得”为真命题的充分不必要条件是的真子集，
结合选项可得，C和D项符合条件.
故选：CD.
19．（2024·黑龙江齐齐哈尔·三模）已知，则使得“”成立的一个充分条件可以是（ ）
A．B．C．D．
【答案】AD
【分析】由不等式的性质可判断AD；取特值可判断B；可化为结合的单调性可判断C.
【详解】对于A，因为，，故故A选项正确；
对于B，取，此时满足，但，B选项错误；
对于C，可得：，
则，因为，即
所以，因为函数在不单调，所以C选项错误；
对于D，由可知，，因为，
所以，故D选项正确，
故选：AD．
20．（2024·安徽安庆·三模）已知集合，集合，若有且仅有3个不同元素，则实数的值可以为（ ）
A．0B．1C．2D．3
【答案】AB
【分析】解一元二次不等式可得，结合指数函数性质可解出，结合交集性质即可得解.
【详解】由，解得，
故，
由，可得，
，
要使有且仅有3个不同元素，则，解得，
故选：AB．
三、填空题
21．（2024·湖南长沙·三模）已知集合，，若，则 ．
【答案】2
【分析】由得，令、、求出集合B，即可求解.
【详解】由，得.
当时，，不满足元素的互异性，舍去；
当时，，满足，符合题意；
当时，，不满足，舍去.
综上，.
故答案为：2
22．（2024·上海·三模）已知集合，，则
【答案】
【分析】把集合中的元素代入不等式检验可求得.
【详解】当时，，所以，
当时，，所以，
当时，，所以，
所以.
故答案为：.
23．（2024·湖南衡阳·三模）已知集合，集合，若，则 ．
【答案】0或1
【分析】先求出集合，再由可求出的值.
【详解】由，得，解得，
因为，所以，
所以，
因为，且，
所以或，
故答案为：0或1
24．（2024·湖南邵阳·三模）， ，则 .
【答案】
【分析】根据对数不等式求集合A，根据分式不等式求集合B，进而可得.
【详解】若，则，解得，
所以；
若，则，解得，
所以；
所以.
故答案为：.
25．（2024·安徽·三模）已知集合，若的所有元素之和为12，则实数 .
【答案】
【分析】分类讨论是否为，进而可得集合B，结合题意分析求解.
【详解】由题意可知：且，
当，则；当，则；当，则；
若，则，此时的所有元素之和为6，不符合题意，舍去；
若，则，此时的所有元素之和为4，不符合题意，舍去；
若且，则，故，解得或（舍去）；
综上所述：.
故答案为：.
26．（2024·山东聊城·三模）已知集合，且，则实数的值为 ．
【答案】3
【分析】由集合的包含关系，有或，解出的值代入检验可得答案.
【详解】，则，有或，解得或或，
其中时，与集合中元素的互异性矛盾，舍去，
所以实数的值为3.
故答案为：3
27．（2024·重庆·三模）已知集合，，则满足B的集合的个数为 .
【答案】7
【分析】化简集合，结合求集合的子集的结论求结果.
【详解】集合，，
满足B的集合中必有元素2，3，
所以求满足B的集合的个数即求集合的真子集个数，
所以满足B的集合的个数为个.
故答案为：7.
28．（2024·天津·三模）己知全集，集合，集合，则 ， ．
【答案】
【分析】根据题意，分别求得和，结合集合运算法则，即可求解.
【详解】由全集，
集合，集合，
可得，则，.
故答案为：；.
29．（2024·山东泰安·三模）已知集合，，若，则的取值范围是 .
【答案】
【分析】求出集合，根据包含关系确定范围即可.
【详解】由，得，
所以，则或，
由，得，
又，所以，
解得.
故答案为：.
30．（2024·宁夏银川·三模）已知命题p：关于x的方程有实根；命题q：关于x的函数在上单调递增，若“p或q”是真命题，“p且q”是假命题，则实数a的取值范围是 .
【答案】
【分析】分分别求出两个命题为真命题时的范围，再分真假和假真两种情况讨论即可得解.
【详解】由关于x的方程有实根，
得，解得或，
由关于x的函数在上单调递增，
得，解得，
因为“p或q”是真命题，“p且q”是假命题，
所以一真一真一假，
当真假时，，解得，
当假真时，，解得，
综上所述，.
数集
自然数集
正整数集
整数集
有理数集
实数集
符号
或