2023年高考数学真题题源解密(全国卷)专题05函数的概念与性质-特训(学生版+解析)

这是一份2023年高考数学真题题源解密(全国卷)专题05函数的概念与性质-特训(学生版+解析)，共49页。试卷主要包含了函数的零点，由函数的奇偶性求参数，判断函数图像，指对数互化等内容，欢迎下载使用。
目录一览
①2023真题展现
②真题考查解读
③近年真题对比
④命题规律解密
⑤名校模拟探源
⑥易错易混速记
考向一 函数的零点
1．（2023·全国乙卷文数第8题）函数存在3个零点，则的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
考向二 由函数的奇偶性求参数
2．（2023·全国乙卷理数第4题）已知是偶函数，则（ ）
A．B．C．1D．2
二、填空题
1．（2023·全国甲卷理数第13题）若为偶函数，则 ．
【命题意图】
（1）理解函数的单调性、最大值、最小值及其几何意义；结合具体函数，了解函数奇偶性的含义.
（2）会运用函数图象理解和研究函数的性质.
【考查要点】
高频考点：函数的概念、图像与性质以及指数函数、对数函数与幂函数
低频考点：函数与方程
【得分要点】
函数作为高中数学内容的一条主线，对整个高中数学有重要意义，每年高考卷都将其作为必考题，题目分布在选择题和填空题。本专题常以基本函数、基本函数组成的复合函数以及抽象函数为载体，对函数内容和性质进行考查，考查函数的定义域、值域，函数的表示方法及性质（单调性、就行、对称性、周期性）、图像等，常与导数、不等式、方程等知识交汇命题，考查数形结合、分类讨论、转化与化归和函数与方程等思想方法。
考向一 函数的最值
1．（2022·全国乙卷文数第11题）函数在区间的最小值、最大值分别为（ ）
A．B．C．D．
2．（2022·全国甲卷理数第6题）当时，函数取得最大值，则（ ）
A．B．C．D．1
考向二 函数的单调性、奇偶性、对称性、周期性
1．（2022·全国乙卷理数第12题）已知函数的定义域均为R，且．若的图像关于直线对称，，则（ ）
A．B．C．D．
2．（2021·全国乙卷理数第4题）设函数，则下列函数中为奇函数的是（ ）
A．B．C．D．
3．（2021·全国甲卷文数第4题）下列函数中是增函数的为（ ）
A．B．C．D．
4．（2021·全国甲卷文数第12题）设是定义域为R的奇函数，且.若，则（ ）
A．B．C．D．
5．（2021·全国甲卷理数第12题）设函数的定义域为R，为奇函数，为偶函数，当时，．若，则（ ）
A．B．C．D．
考向三 判断函数图像
1．（2022·全国甲卷理数第5题）函数在区间的图象大致为（ ）
A．B．
C．D．
考向四 指对数互化
1．（2021·全国甲卷文数第6题）青少年视力是社会普遍关注的问题，视力情况可借助视力表测量．通常用五分记录法和小数记录法记录视力数据，五分记录法的数据L和小数记录表的数据V的满足．已知某同学视力的五分记录法的数据为4.9，则其视力的小数记录法的数据为（ ）（）
A．1.5B．1.2C．0.8D．0.6
考向五 由函数的奇偶性求参数
1．（2022·全国乙卷文数第16题）若是奇函数，则 ， ．
函数主要以课程学习情景为主，备考应以常见的选择题和填空题为主进行训练，难度跨度大，既有容易题，也有中档题，更有困难题，而且常考常新。考生在备考时注意以下两点。
（1）指数函数、对数函数、幂函数及一次函数、二次函数的图像和性质是基础，要求考生要在理解的基础上熟练掌握这些函数的图像和性质，准确把握函数概念和性质的本质，会处理分段函数与抽象函数的相关问题，会识别函数图像的变化。同时，指对运算也是常考查的知识点，考生应加强对公式的理解及应用的训练。
（2）函数性质、零点、图像等问题是函数专题的重点考察内容，注意函数的就行、单调性的综合应用，注重数形结合，转化与化归思想以及构造新函数的训练，为突破难点作好准备工作。
预计2024年主要还是考查与函数的单调性、奇偶性、周期性、对称性有关的内容。
一、单选题
1．（2023·北京海淀三模）下列函数中，在区间上是减函数的是（ ）
A．B．C．D．
2．（2023·天津滨海三模）函数的图象大致为（ ）
A． B．
C． D．
3．（2023·湖北武汉三模）函数的部分图象可能为（ ）
A． B．
C． D．
4．（2023·贵州遵义三模）函数在上的大致图象是（ ）
A． B．
C． D．
5．（2023·山东德州三模）函数的图象大致是（ ）
A． B．
C． D．
6．（2023·山东淄博三模）若函数是偶函数，则的最小值为（ ）
A．4B．2C．D．
7．（2023·山东潍坊三模）已知函数的定义域为，为偶函数，，则（ ）
A．函数为偶函数B．
C．D．
8．（2023·云南·校联考三模）设函数在上的导数存在，且，则当时，（ ）
A．B．
C．D．
9．（2023·江西九江三模）已知定义在R上的函数在上单调递增，是奇函数，的图像关于直线对称，则（ ）
A．在上单调递减B．在上单调递增
C．在上单调递减D．在上单调递增
10．（2023·黑龙江哈尔滨三模）已知函数，对任意的，都有，当时，，若，则实数的取值范围为（ ）
A．B．C．D．
11．（2023·北京大兴三模）已知函数对任意都有，且，当时，.则下列结论正确的是（ ）
A．函数的图象关于点对称
B．函数的图象关于直线对称
C．当时，
D．函数的最小正周期为2
12．（2023·广东广州三模）已知可导函数的导函数为，若对任意的，都有，且为奇函数，则不等式的解集为（ ）
A．B．C．D．
13．（2023·安徽阜阳三模）设函数的定义域为，为偶函数，为奇函数，则一定有（ ）
A．B．
C．D．
14．（2023·山东德州三模）已知函数及其导函数的定义域均为，且为奇函数，，，则（ ）
A．2025B．2024C．1013D．1012
15．（2023·重庆·校联考三模）已知定义在上的函数，，其导函数分别为，，且，，且为奇函数，则下列等式一定成立的是（ ）
A．B．
C．D．
二、填空题
16．（2023·上海嘉定三模）函数，满足，当，，则 .
17．（2023·陕西榆林三模）若奇函数，则 ．
18．（2023·广东茂名三模）已知函数是偶函数，则 ．
19．（2023·河南襄城三模）已知函数是上的奇函数，则实数 ．
20．（2023·广东东莞三模）已知定义在上的函数具备下列性质，①是偶函数，②在上单调递增，③对任意非零实数、都有，写出符合条件的函数的一个解析式 （写一个即可）.
21．（2023·河南安阳三模）已知函数的图象关于坐标原点对称，则 .
22．（2023·四川南充三模）已知函数，有以下说法：
①的值域为；
②是周期函数；
③在上单调递减；
④对任意的，方程在区间上有无穷多个解.
其中所有正确的序号为 .
23．（2023·山东聊城三模）已知函数及其导函数的定义域均为，若是偶函数，恰有四个零点，则这四个零点的和为 ．
24．（2023·山东烟台三模）已知定义在上的偶函数，满足，若，则的值为 ．
25．（2023·上海嘉定三模）设函数，的导函数是，，当时，，那么关于的不等式的解是 .
26．（2023·江苏镇江三模）写出一个同时具有下列性质①②③，且定义域为实数集的函数 .
①最小正周期为2；②；③无零点.
27．（2023·辽宁·校联考三模）已知函数，若，且，则实数的取值范围是 ．
28．（2023·山东菏泽三模）已知奇函数是定义在上的可导函数，其导函数为，当时，有，则的解集为 ．
29．（2023·山东青岛三模）设为定义在整数集上的函数，，，，对任意的整数均有．则 ．
30．（2023·上海浦东 三模）已知函数是上的奇函数，当时，，若关于的方程有且仅有两个不相等的实数解，则实数的取值范围是 .
1.函数的奇偶性
注意：由函数奇偶性的定义可知，函数具有奇偶性的一个前提条件是：对于定义域内的任意一个，也在定义域内(即定义域关于原点对称)．
2.函数的对称性
(1)若函数为偶函数，则函数关于对称．
(2)若函数为奇函数，则函数关于点对称．
(3)若，则函数关于对称．
(4)若，则函数关于点对称．
3.函数的周期性
（1）周期函数：对于函数，如果存在一个非零常数，使得当取定义域内的任何值时，都有，那么就称函数为周期函数，称为这个函数的周期.
（2）最小正周期：如果在周期函数的所有周期中存在一个最小的正数，那么称这个最小整数叫做的最小正周期.
4.奇偶性技巧
（1）若奇函数在处有意义，则有；
（2）对于运算函数有如下结论：奇奇=奇；偶偶=偶；奇偶=非奇非偶；
奇奇=偶；奇偶=奇；偶偶=偶.
(3)常见奇偶性函数模型
奇函数：
= 1 \* GB3 \* MERGEFORMAT ①函数或函数．
= 2 \* GB3 \* MERGEFORMAT ②函数．
= 3 \* GB3 \* MERGEFORMAT ③函数或函数
= 4 \* GB3 \* MERGEFORMAT ④函数或函数．
注意：关于 = 1 \* GB3 \* MERGEFORMAT ①式，可以写成函数或函数．
偶函数：
= 1 \* GB3 \* MERGEFORMAT ①函数．
= 2 \* GB3 \* MERGEFORMAT ②函数．
= 3 \* GB3 \* MERGEFORMAT ③函数类型的一切函数．
5.周期性技巧
6.函数的的对称性与周期性的关系
（1）若函数有两条对称轴，，则函数是周期函数，且；
（2）若函数的图象有两个对称中心，则函数是周期函数，且；
（3）若函数有一条对称轴和一个对称中心，则函数是周期函数，且.
7.对称性技巧
（1）若函数关于直线对称，则．
（2）若函数关于点对称，则．
（3）函数与关于轴对称，函数与关于原点对称．
2023年高考数学真题题源解密（全国卷）
专题05 函数的概念与性质
目录一览
①2023真题展现
②真题考查解读
③近年真题对比
④命题规律解密
⑤名校模拟探源
⑥易错易混速记
考向一 函数的零点
1．（2023·全国乙卷文数第8题）函数存在3个零点，则的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【详解】，则，
若要存在3个零点，则要存在极大值和极小值，则，
令，解得或，
且当时，，
当，，
故的极大值为，极小值为，
若要存在3个零点，则，即，解得，故选：B.
考向二 由函数的奇偶性求参数
2．（2023·全国乙卷理数第4题）已知是偶函数，则（ ）
A．B．C．1D．2
【答案】D
【详解】因为为偶函数，则，
又因为不恒为0，可得，即，
则，即，解得.故选：D.
二、填空题
1．（2023·全国甲卷理数第13题）若为偶函数，则 ．
【答案】2
【详解】因为为偶函数，定义域为，
所以，即，
则，故，
此时，所以，
又定义域为，故为偶函数，所以.故答案为：2.
【命题意图】
（1）理解函数的单调性、最大值、最小值及其几何意义；结合具体函数，了解函数奇偶性的含义.
（2）会运用函数图象理解和研究函数的性质.
【考查要点】
高频考点：函数的概念、图像与性质以及指数函数、对数函数与幂函数
低频考点：函数与方程
【得分要点】
函数作为高中数学内容的一条主线，对整个高中数学有重要意义，每年高考卷都将其作为必考题，题目分布在选择题和填空题。本专题常以基本函数、基本函数组成的复合函数以及抽象函数为载体，对函数内容和性质进行考查，考查函数的定义域、值域，函数的表示方法及性质（单调性、就行、对称性、周期性）、图像等，常与导数、不等式、方程等知识交汇命题，考查数形结合、分类讨论、转化与化归和函数与方程等思想方法。
考向一 函数的最值
1．（2022·全国乙卷文数第11题）函数在区间的最小值、最大值分别为（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【详解】，
所以在区间和上，即单调递增；
在区间上，即单调递减，
又，，，
所以在区间上的最小值为，最大值为.故选：D
2．（2022·全国甲卷理数第6题）当时，函数取得最大值，则（ ）
A．B．C．D．1
【答案】B
【详解】因为函数定义域为，所以依题可知，，，而，所以，即，所以，因此函数在上递增，在上递减，时取最大值，满足题意，即有．故选：B.
考向二 函数的单调性、奇偶性、对称性、周期性
1．（2022·全国乙卷理数第12题）已知函数的定义域均为R，且．若的图像关于直线对称，，则（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【详解】因为的图像关于直线对称，
所以，
因为，所以，即，
因为，所以，
代入得，即，
所以，
.
因为，所以，即，所以.
因为，所以，又因为，
联立得，，
所以的图像关于点中心对称，因为函数的定义域为R，
所以
因为，所以.
所以.
故选：D
2．（2021·全国乙卷理数第4题）设函数，则下列函数中为奇函数的是（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【详解】由题意可得，
对于A，不是奇函数；
对于B，是奇函数；
对于C，，定义域不关于原点对称，不是奇函数；
对于D，，定义域不关于原点对称，不是奇函数.故选：B
3．（2021·全国甲卷文数第4题）下列函数中是增函数的为（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【详解】对于A，为上的减函数，不合题意，舍.
对于B，为上的减函数，不合题意，舍.
对于C，在为减函数，不合题意，舍.
对于D，为上的增函数，符合题意，故选：D.
4．（2021·全国甲卷文数第12题）设是定义域为R的奇函数，且.若，则（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【详解】由题意可得：，
而，故.故选：C.
5．（2021·全国甲卷理数第12题）设函数的定义域为R，为奇函数，为偶函数，当时，．若，则（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【详解】[方法一]：
因为是奇函数，所以①；
因为是偶函数，所以②．
令，由①得：，由②得：，
因为，所以，
令，由①得：，所以．
思路一：从定义入手．
所以．
[方法二]：
因为是奇函数，所以①；
因为是偶函数，所以②．
令，由①得：，由②得：，
因为，所以，
令，由①得：，所以．
思路二：从周期性入手
由两个对称性可知，函数的周期．
所以．故选：D．
考向三 判断函数图像
1．（2022·全国甲卷理数第5题）函数在区间的图象大致为（ ）
A．B．
C．D．
【答案】A
【详解】令，
则，所以为奇函数，排除BD；
又当时，，所以，排除C.故选：A.
考向四 指对数互化
1．（2021·全国甲卷文数第6题）青少年视力是社会普遍关注的问题，视力情况可借助视力表测量．通常用五分记录法和小数记录法记录视力数据，五分记录法的数据L和小数记录表的数据V的满足．已知某同学视力的五分记录法的数据为4.9，则其视力的小数记录法的数据为（ ）（）
A．1.5B．1.2C．0.8D．0.6
【答案】C
【详解】由，当时，，
则.故选：C.
考向五 由函数的奇偶性求参数
1．（2022·全国乙卷文数第16题）若是奇函数，则 ， ．
【答案】 ； ．
【详解】[方法一]：奇函数定义域的对称性
若，则的定义域为，不关于原点对称
若奇函数的有意义，则且
且，
函数为奇函数，定义域关于原点对称，
，解得，
由得，，
，故答案为：；．
[方法二]：函数的奇偶性求参
函数为奇函数
，
[方法三]：
因为函数为奇函数，所以其定义域关于原点对称．
由可得，，所以，解得：，即函数的定义域为，再由可得，．即，在定义域内满足，符合题意．故答案为：；．
函数主要以课程学习情景为主，备考应以常见的选择题和填空题为主进行训练，难度跨度大，既有容易题，也有中档题，更有困难题，而且常考常新。考生在备考时注意以下两点。
（1）指数函数、对数函数、幂函数及一次函数、二次函数的图像和性质是基础，要求考生要在理解的基础上熟练掌握这些函数的图像和性质，准确把握函数概念和性质的本质，会处理分段函数与抽象函数的相关问题，会识别函数图像的变化。同时，指对运算也是常考查的知识点，考生应加强对公式的理解及应用的训练。
（2）函数性质、零点、图像等问题是函数专题的重点考察内容，注意函数的就行、单调性的综合应用，注重数形结合，转化与化归思想以及构造新函数的训练，为突破难点作好准备工作。
预计2024年主要还是考查与函数的单调性、奇偶性、周期性、对称性有关的内容。
一、单选题
1．（2023·北京海淀三模）下列函数中，在区间上是减函数的是（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【分析】根据基本初等函数的单调性及对数型复合函数的单调性判断即可.
【详解】对于A：在定义域上单调递增，故A错误；
对于B：在定义域上单调递增，故B错误；
对于C：定义域为，因为在上单调递减且值域为，
又在定义域上单调递减，所以在上单调递增，故C错误；
对于D：，函数在上单调递减，故D正确；故选：D
2．（2023·天津滨海三模）函数的图象大致为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【分析】取特值排除即可.
【详解】因为，故A、C错误；
又因为，故B错误；故选：D.
3．（2023·湖北武汉三模）函数的部分图象可能为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】A
【分析】根据奇偶性排除D；根据特殊区间上函数值的符号排除BC可得答案.
【详解】的定义域为，关于原点对称，
又因为，所以是奇函数，其图象关于原点对称，故D不正确；
当时，，则，故B不正确；
当时，，故，故C不正确.故选：A
4．（2023·贵州遵义三模）函数在上的大致图象是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【分析】先确定函数的奇偶性，排除C，代入特殊点的函数值，排除AB，得到D正确.
【详解】定义域为R，又，
故为奇函数，排除C选项，
又，排除B选项，
，
因为在上单调递增，在上单调递减，且关于对称，
又，所以，故，
即，排除A选项，故D正确.故选：D
5．（2023·山东德州三模）函数的图象大致是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【分析】根据函数为奇函数，可排除A、B选项，再根据指数函数与对数函数的增长趋势，得到时，，可排除C选项，即可求解.
【详解】由函数，都可其定义域为关于原点对称，
又由，所以函数为奇函数，
所以函数的图象关于原点对称，可排除A、B选项；
当时，；当时，；当时，，
根据指数函数与对数函数的增长趋势，可得时，，可排除C选项.故选：D.
6．（2023·山东淄博三模）若函数是偶函数，则的最小值为（ ）
A．4B．2C．D．
【答案】A
【分析】根据为偶函数求出，再利用基本不等式求解.
【详解】由为偶函数可得，即，
所以．
因为，且，，所以，所以，
则，当且仅当，即时，取最小值4．故选：A
7．（2023·山东潍坊三模）已知函数的定义域为，为偶函数，，则（ ）
A．函数为偶函数B．
C．D．
【答案】A
【分析】由函数的对称性，周期性求解即可.
【详解】因为为偶函数，所以，
所以的图象关于对称.所以
又因为，所以的图象关于对称，
所以由得，所以是周期为的函数.
由得，所以为偶函数.故选：A.
8．（2023·云南·校联考三模）设函数在上的导数存在，且，则当时，（ ）
A．B．
C．D．
【答案】B
【分析】依题意令，求出函数的导函数，即可得到在上单调递增，即可判断.
【详解】因为，
令，则，
所以在上单调递增，
当时，，即，
所以且.故选：B
9．（2023·江西九江三模）已知定义在R上的函数在上单调递增，是奇函数，的图像关于直线对称，则（ ）
A．在上单调递减B．在上单调递增
C．在上单调递减D．在上单调递增
【答案】C
【分析】根据是奇函数，得到的图象关于点对称，由图像关于直线对称可知为偶函数，结合函数在上单调递增，得到在上单调递减，再求出函数的周期性得到答案.
【详解】是奇函数，
，即的图象关于点对称，
又在上单调递增，
在上单调递增，即在上单调递增.
由，可得，
由图像关于直线对称可知为偶函数，
∴在上单调递减，
，，
是周期函数，最小正周期为4，
∵，，
∴在上的单调性和在上的单调性相同，
在上单调递减.故选：C.
10．（2023·黑龙江哈尔滨三模）已知函数，对任意的，都有，当时，，若，则实数的取值范围为（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】令，求得，得到为上的奇函数，根据题意求得，进而得到函数在上为减函数，把不等式，转化为，即可求解.
【详解】令，则，
可得，
即，所以为上的奇函数，
因为时，，可得，
所以在为单调递减函数，且，
所以函数在上为单调递减函数，
由不等式，
可得
整理得到，
即，可得，解得，所以实数的取值范围为.故选：B.
11．（2023·北京大兴三模）已知函数对任意都有，且，当时，.则下列结论正确的是（ ）
A．函数的图象关于点对称
B．函数的图象关于直线对称
C．当时，
D．函数的最小正周期为2
【答案】D
【分析】根据得到，所以的周期为4，根据得到关于对称，画出的图象，从而数形结合得到AB错误；再根据求出时函数解析式；D选项，根据的最小正周期，得到的最小正周期.
【详解】因为，所以，故，
所以的周期为4，
又，所以，故关于对称，
又时，，故画出的图象如下：

A选项，函数的图象关于点不中心对称，故A错误；
B选项，函数的图象不关于直线对称，B错误；
C选项，当时，，则，C错误；
D选项，由图象可知的最小正周期为4，
又，故的最小正周期为2，D正确.故选：D
12．（2023·广东广州三模）已知可导函数的导函数为，若对任意的，都有，且为奇函数，则不等式的解集为（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【分析】根据构造函数，利用导数判断其单调性，将不等式化为，利用的单调性求解可得结果.
【详解】设，由题设条件，得，
故函数在上单调递减.
由为奇函数，得，得，
所以，
不等式等价于，即，
又函数在上单调递减，所以，故不等式的解集是．故选：D．
13．（2023·安徽阜阳三模）设函数的定义域为，为偶函数，为奇函数，则一定有（ ）
A．B．
C．D．
【答案】C
【详解】由为偶函数，故，即，所以图像关于对称；
为奇函数，故为奇函数，图像关于对称，图像关于对称.
是周期为的函数.，
则可得函数的大致图像，如图所示，

则，
，
，
，
.故选：C.
14．（2023·山东德州三模）已知函数及其导函数的定义域均为，且为奇函数，，，则（ ）
A．2025B．2024C．1013D．1012
【答案】B
【详解】由，令，得，所以.
由为奇函数，得，
所以，故①，
又②，由①和②得，
即，所以③，
令，得，得；
令，得，得.又④，
由③-④得，即，
所以函数是以8为周期的周期函数，故，
所以，
所以
.故选：B.
15．（2023·重庆·校联考三模）已知定义在上的函数，，其导函数分别为，，且，，且为奇函数，则下列等式一定成立的是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】D
【详解】由得：，
，关于中心对称，则，
为奇函数，，左右求导得：，
，为偶函数，图象关于轴对称，
，
是周期为的周期函数，
，D正确；
，，又，
，A错误；
令，则，，
又，，，
即，B错误；
，，
设，则，，
又为奇函数，，，
即，C错误.故选：D
二、填空题
16．（2023·上海嘉定三模）函数，满足，当，，则 .
【答案】1
【详解】因为满足，所以的周期为，
.故答案为：1.
17．（2023·陕西榆林三模）若奇函数，则 ．
【答案】6
【详解】依题意为奇函数，
,即，
可得，即，故，则，故答案为：6
18．（2023·广东茂名三模）已知函数是偶函数，则 ．
【答案】
【详解】因为是偶函数，
所以，即
所以，所以，
，因为上式恒成立，所以，得，故答案为：
19．（2023·河南·襄城三模）已知函数是上的奇函数，则实数 ．
【答案】
【详解】因为函数是上的奇函数，
则，即，
所以，，
所以，，所以，.故答案为：.
20．（2023·广东东莞三模）已知定义在上的函数具备下列性质，①是偶函数，②在上单调递增，③对任意非零实数、都有，写出符合条件的函数的一个解析式 （写一个即可）.
【答案】（答案不唯一）
【详解】函数的定义域为，
对任意的，，
即函数为偶函数，满足①；
当时，，则函数在上为增函数，满足②；
对任意的非零实数、，，满足③.
故满足条件的一个函数解析式为.故答案为：（答案不唯一）.
21．（2023·河南安阳三模）已知函数的图象关于坐标原点对称，则 .
【答案】
【详解】依题意函数是一个奇函数，
又，所以，
所以定义域为，
因为的图象关于坐标原点对称，所以，解得.
又，所以，
所以，即，
所以，所以.故答案为：.
22．（2023·四川南充三模）已知函数，有以下说法：
①的值域为；
②是周期函数；
③在上单调递减；
④对任意的，方程在区间上有无穷多个解.
其中所有正确的序号为 .
【答案】①③④
【详解】对于①，设，由正弦函数的性质可知，的值域为，故①正确；
对于②，假设的周期为，于是，显然处有定义，故，但在处无定义，于是没有周期，故②错误；
对于③，设，由于，故，根据正弦函数的单调性和复合函数的单调性，，关于在上递增，，关于在，故关于在上递减，故③正确；
对于④，设，由得，则，由①，，根据正弦函数的性质，，在有无数多个解，也就是无数多个满足该方程，而，也就是有无数多个可以使得成立，故④正确.故答案为：①③④
23．（2023·山东聊城三模）已知函数及其导函数的定义域均为，若是偶函数，恰有四个零点，则这四个零点的和为 ．
【答案】4
【详解】将函数向左平移1个单位，所以，
因为是偶函数，由偶函数的导数为奇函数可知，是奇函数，
且奇函数与奇函数的乘积为偶函数，则为偶函数，
所以为偶函数，
又因为函数恰有四个零点，即函数恰有四个零点，
且这四个零点一定是两组关于轴对称，其四个零点之和为0，
而是由向左平移了1个单位，所以的四个零点之和为4.故答案为：4
24．（2023·山东烟台三模）已知定义在上的偶函数，满足，若，则的值为 ．
【答案】1
【详解】因为，所以，所以的周期为4，
所以，，，
即，
若，则，
即，
可得，所以.故答案为：1.
25．（2023·上海嘉定三模）设函数，的导函数是，，当时，，那么关于的不等式的解是 .
【答案】
【详解】构造，则，其定义域为，
因为，所以是奇函数，
又因为当时，，所以结合是奇函数可知在上单调递增，
原不等式可转化为，即，
所以，解得，故答案为：
26．（2023·江苏镇江三模）写出一个同时具有下列性质①②③，且定义域为实数集的函数 .
①最小正周期为2；②；③无零点.
【答案】（答案不唯一）
【详解】的定义域为，
最小正周期为，
因为，所以，
所以无零点，综上，符合题意故答案为：.
27．（2023·辽宁·校联考三模）已知函数，若，且，则实数的取值范围是 ．
【答案】
【详解】因为函数的定义域为，
且，
所以为偶函数，设，而为奇函数，奇函数偶函数奇函数，
所以函数为奇函数，关于原点对称，
设，则，
因为，
所以即为上的增函数，
故在上单调递增，
因为，所以1，解得，实数的取值范围为．故答案为：
28．（2023·山东菏泽三模）已知奇函数是定义在上的可导函数，其导函数为，当时，有，则的解集为 ．
【答案】
【详解】当时，因为，所以，
所以，所以在上为增函数，
因为是定义在上的奇函数，所以，
所以，且的定义域为，关于原点对称，
所以也是定义在上的奇函数，且，
又因为在上为增函数，所以在上为增函数，
由，得，
所以，因为在上为增函数，所以，即.
所以的解集为.故答案为：
29．（2023·山东青岛三模）设为定义在整数集上的函数，，，，对任意的整数均有．则 ．
【答案】
【详解】令，则，；
令，，则，又，；
令，则，关于直线对称；
令，则，
不恒成立，恒成立，为奇函数，
，，
是周期为的周期函数，.故答案为：.
30．（2023·上海浦东三模）已知函数是上的奇函数，当时，，若关于的方程有且仅有两个不相等的实数解，则实数的取值范围是 .
【答案】
【详解】由题设，若，则，
所以，值域为R，函数图象如下：

当时，只有一个与之对应；
当时，有两个对应自变量，
记为，则；
当时，有三个对应自变量且；
当时，有两个对应自变量，
记为，则；
当时，有一个与之对应；
令，则，要使有且仅有两个不相等的实数解，
若有三个解，则，此时有7个解，不满足；
若有两个解且，此时和各有一个解，
结合图象知，不存在这样的，故不存在对应的m；
若有一个解，则有两个解，此时，
所以对应的，综上，.故答案为：.
1.函数的奇偶性
注意：由函数奇偶性的定义可知，函数具有奇偶性的一个前提条件是：对于定义域内的任意一个，也在定义域内(即定义域关于原点对称)．
2.函数的对称性
(1)若函数为偶函数，则函数关于对称．
(2)若函数为奇函数，则函数关于点对称．
(3)若，则函数关于对称．
(4)若，则函数关于点对称．
3.函数的周期性
（1）周期函数：对于函数，如果存在一个非零常数，使得当取定义域内的任何值时，都有，那么就称函数为周期函数，称为这个函数的周期.
（2）最小正周期：如果在周期函数的所有周期中存在一个最小的正数，那么称这个最小整数叫做的最小正周期.
4.奇偶性技巧
（1）若奇函数在处有意义，则有；
（2）对于运算函数有如下结论：奇奇=奇；偶偶=偶；奇偶=非奇非偶；
奇奇=偶；奇偶=奇；偶偶=偶.
(3)常见奇偶性函数模型
奇函数：
= 1 \* GB3 \* MERGEFORMAT ①函数或函数．
= 2 \* GB3 \* MERGEFORMAT ②函数．
= 3 \* GB3 \* MERGEFORMAT ③函数或函数
= 4 \* GB3 \* MERGEFORMAT ④函数或函数．
注意：关于 = 1 \* GB3 \* MERGEFORMAT ①式，可以写成函数或函数．
偶函数：
= 1 \* GB3 \* MERGEFORMAT ①函数．
= 2 \* GB3 \* MERGEFORMAT ②函数．
= 3 \* GB3 \* MERGEFORMAT ③函数类型的一切函数．
5.周期性技巧
6.函数的的对称性与周期性的关系
（1）若函数有两条对称轴，，则函数是周期函数，且；
（2）若函数的图象有两个对称中心，则函数是周期函数，且；
（3）若函数有一条对称轴和一个对称中心，则函数是周期函数，且.
7.对称性技巧
（1）若函数关于直线对称，则．
（2）若函数关于点对称，则．
（3）函数与关于轴对称，函数与关于原点对称．
考向一 函数的零点
考向二 由函数的奇偶性求参数
考向一 函数的最值
考向二 函数的奇偶性、对称性、周期性
考向三 判断函数图像
考向四 指对数互化
考向五 由函数的奇偶性求参数
奇偶性
定义
图象特点
偶函数
如果对于函数的定义域内任意一个，都有，那么函数就叫做偶函数
关于轴对称
奇函数
如果对于函数的定义域内任意一个，都有，那么函数就叫做奇函数
关于原点对称
考向一 函数的零点
考向二 由函数的奇偶性求参数
考向一 函数的最值
考向二 函数的奇偶性、对称性、周期性
考向三 判断函数图像
考向四 指对数互化
考向五 由函数的奇偶性求参数
奇偶性
定义
图象特点
偶函数
如果对于函数的定义域内任意一个，都有，那么函数就叫做偶函数
关于轴对称
奇函数
如果对于函数的定义域内任意一个，都有，那么函数就叫做奇函数
关于原点对称