2025高考数学二轮复习-专题5 立体几何 第1讲 空间几何体【课件】

这是一份2025高考数学二轮复习-专题5 立体几何 第1讲 空间几何体【课件】，共49页。PPT课件主要包含了基础回扣•考教衔接，以题梳点•核心突破，目录索引，②③④，方法二补形法等内容，欢迎下载使用。
1.(人A必二8.1节习题改编)如图,长方体ABCD-A'B'C'D'被一个平面截成两个几何体,其中EH∥B'C'∥FG.则左下方部分几何体是(　　)A.棱台B.四棱柱C.五棱柱D.既不是棱柱,也不是棱台
解析 根据棱柱的定义,可知几何体是以五边形ABFEA'为底面的五棱柱.
2.(人A必二8.4节例题改编)如图,圆柱的底面直径和高都等于球的直径,则球与圆柱的体积之比为(　　)A.1∶2B.2∶3C.3∶4D.4∶5
3.(人A必二8.3节习题改编)一个正方体的顶点都在球面上,它的棱长是a cm,则球的体积为　　　 　. 
4.(人B必四11.1节习题改编)已知正四棱锥的侧面都是等边三角形,它的斜高为 ,则这个正四棱锥的体积为　　　　. 
5.(人A必二8.3.2节例题改编)如图,某种浮标由两个半球和一个圆柱黏合而成,半球的直径是0.3 m,圆柱高0.6 m.如果在浮标表面涂一层防水漆,每平方米需要0.5 kg涂料,那么给1 000个这样的浮标涂防水漆需要涂料　　　　 kg.(π取3.14) 
解析 一个浮标的表面积是2π×0.15×0.6+4π×0.152=0.847 8(m2),所以给1 000个这样的浮标涂防水漆约需涂料0.847 8×0.5×1 000=423.9(kg).
1.(2024·新高考Ⅰ,5)已知圆柱和圆锥的底面半径相等,侧面积相等,且它们的高均为 ,则圆锥的体积为(　　)
2.(2020·天津,5)若棱长为2 的正方体的顶点都在同一球面上,则该球的表面积为(　　)A.12πB.24πC.36πD.144π
3.(2023·新高考Ⅱ,14)底面边长为4的正四棱锥被平行于其底面的平面所截,截去一个底面边长为2,高为3的正四棱锥,所得棱台的体积为　　　　. 
解析 如图所示,在正四棱锥P-ABCD中,平面A'B'C'D'∥平面ABCD.
点O',O分别为正四棱台ABCD-A'B'C'D'上、下底面的中心,O'H'⊥A'B',OH⊥AB,点H',H为垂足.由题意,得AB=4,A'B'=2,PO'=3.易知
考点一 空间几何体的结构
例1(1)给出下列说法:①在圆柱的上、下底面的圆周上各取一点,则这两点的连线是圆柱的母线;②直角三角形绕其任一边所在直线旋转一周所形成的几何体都是圆锥;③棱台的上、下底面可以不相似,但侧棱长一定相等.其中正确的个数是(　　)A.0B.1C.2D.3
解析 ①不一定,只有当这两点的连线平行于圆柱的轴时才是母线;②不一定,当以斜边所在直线为旋转轴时,其余两边旋转形成的面所围成的几何体不是圆锥,如图所示,它是由两个同底圆锥组成的几何体;③错误,棱台的上、下底面相似且是对应边平行的多边形,各侧棱延长线交于一点,但是侧棱长不一定相等.
(2)已知圆台的上、下底面圆半径分别为10和5,侧面积为300π,AB为圆台的一条母线(点B在圆台的上底面圆周上),M为AB的中点,一只蚂蚁从点B出发,绕圆台侧面一周爬行到点M,则蚂蚁爬行所经路程的最小值为(　　)A.30B.40C.50D.60
解析 ∵圆台上底面半径为10,下底面半径为5,母线长为l,
∴S=πl(10+5)=15πl=300π,解得l=20,将圆台所在的圆锥展开如图所示,且设扇形的圆心为O.线段M1B就是蚂蚁经过的最短距离,设OA=R,圆心角是α,则由题意知10π=αR,①20π=α(20+R),②
[对点训练1](1)给出下列命题:①棱柱的侧棱都相等,侧面都是全等的平行四边形;②在四棱柱中,若两个过相对侧棱的截面都垂直于底面,则该四棱柱为直四棱柱;③存在每个面都是直角三角形的四面体;④棱台的侧棱延长后交于一点.其中真命题的序号是　　　　　. 
解析 ①假命题,根据棱柱的定义,棱柱的各个侧面都是平行四边形,但不一定全等;②真命题;③真命题,如图,正方体ABCD-A1B1C1D1中的三棱锥C1-ABC,四个面都是直角三角形;④真命题.
(2)(2024·河北沧州模拟)已知棱长为2的正方体ABCD-A1B1C1D1中,P为棱DD1上一动点,则PB1+PC的最小值为　 　　　. 
解析 如图1,将平面BB1D1D绕D1D翻折到与平面CC1D1D共面,如图2,
考点二 空间几何体的表面积和体积
例2(1)(2024·福建漳州一模)如果一个石磨近似看作两个完全相同的圆柱体拼合而成,每个圆柱体的底面圆的直径是高的2倍,若石磨的侧面积为64π,则圆柱底面圆的半径为(　　)A.4B.2C.8D.6
解析 设圆柱底面圆的半径为r,则圆柱的高为r,故石磨的侧面积为2×2πr×r=64π,解得r=4.
(2)(2023·新高考Ⅰ,14)在正四棱台ABCD-A1B1C1D1中,AB=2,A1B1=1, AA1= ,则该棱台的体积为　　　　　　　. 
如图,延长各侧棱交于点O,连接AC,A1C1,过O作OG⊥AC,交AC于点G,交平面A1B1C1D1于点H,且点H恰为A1C1的中点,解得
知识提炼1.圆柱、圆锥、圆台的侧面展开图及侧面积公式
2.空间几何体的表面积与体积公式
3.求空间几何体体积的三种常用方法
[对点训练2](1)如图所示是某研究性学习小组制作的三台阁仿真模型的屋顶部分,它可以看作是不含下底面的正四棱台和正三棱柱的组合体,已知正四棱台上底、下底、侧棱的长度(单位:dm)分别为2,6,4,正三棱柱各棱长均相等,则该结构表面积为(　　)
(2)极目一号(如图1)是中国科学院空天信息研究院自主研发的系留浮空器.2022年5月,“极目一号”Ⅲ型浮空艇成功创造了浮空艇大气科学观测海拔最高的世界纪录.“极目一号”Ⅲ型浮空艇长55 m,高19 m,若将它近似看作一个半球、一个圆柱和一个圆台的组合体,正视图如图2所示,则“极目一号”Ⅲ型浮空艇的体积约为(　　)(参考数据:9.52≈90,9.53≈857,315×1 005≈316 600,π≈3.14)
A.9 064 m3B.9 004 m3C.8 944 m3D.8 884 m3
考点三 球的“切”“接”问题
例3(1)(2022·新高考Ⅱ,7)已知正三棱台的高为1,上、下底面的边长分别为3 和4 ,其顶点都在同一球面上,则该球的表面积为(　　)A.100πB.128πC.144πD.192π
(2)(2024·广东深圳一模)已知某圆台的上、下底面半径分别为r1,r2,且r2=2r1,若半径为2的球与圆台的上、下底面及侧面均相切,则该圆台的体积为(　　)
解析 如图,设圆台上、下底面圆心分别为O1,O2,则圆台内切球的球心O一定在线段O1O2的中点处.
设球O与母线AB切于M点,所以OM⊥AB,所以OM=OO1=OO2=2,所以△AOO1≌△AOM,故AM=r1.同理可得,BM=r2,所以AB=r1+r2=3r1.过点A作AG⊥BO2,垂足为G,则BG=r2-r1=r1,AG=O1O2=4,所以AG2=AB2-BG2,所以
[延伸探究](变条件)本例(1)中的“正三棱台”改为“高为1,底面边长为4 的正三棱锥”,求该球的表面积.
解 由题意可知,正三棱锥外接球的球心位于高VM所在直线上,设为O,则OV=OC=R,VM=1,
[对点训练3](1)在《九章算术》中,将四个面都是直角三角形的四面体称为鳖臑.在鳖臑A-BCD中,AB⊥平面BCD,BC⊥CD,且AB=BC=CD=1,则其内切球表面积为(　　)
解析 因为四面体ABCD四个面都为直角三角形,AB⊥平面BCD,BC⊥CD,
(2)(2024·陕西咸阳二模)已知三棱锥D-ABC中,AB=4,AC=3,BC=5,DB⊥底面ABC,且DB=4,则该三棱锥的外接球的表面积为　　　　. 
解析 因为AB2+AC2=BC2,则AB⊥AC,故∠BAC=90°.又DB⊥底面ABC, AB,BC⊂平面ABC,故DB⊥AB,DB⊥BC,故三棱锥D-ABC的外接球即为以AB,AC,DB为长,宽,高的长方体的外接球,其中DC为该长方体体对角线,