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《新高考数学大二轮复习课件》专题四 第1讲 空间几何体
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这是一份《新高考数学大二轮复习课件》专题四 第1讲 空间几何体，共60页。PPT课件主要包含了内容索引，考点一表面积与体积，考点二多面体与球，专题强化练等内容，欢迎下载使用。
KAO QING FEN XI
空间几何体的结构特征是立体几何的基础，空间几何体的表面积和体积是高考的重点与热点，多以选择题、填空题的形式考查，难度中等或偏上.
1.旋转体的侧面积和表面积(1)S圆柱侧＝2πrl，S圆柱表＝2πr(r＋l)(r为底面半径，l为母线长).(2)S圆锥侧＝πrl，S圆锥表＝πr(r＋l)(r为底面半径，l为母线长).(3)S球表＝4πR2(R为球的半径).2.空间几何体的体积公式(1)V柱＝Sh(S为底面面积，h为高).
解析 作出图形，连接该正四棱台上、下底面的中心，如图，因为该四棱台上、下底面的边长分别为2,4，侧棱长为2，
下底面面积S1＝16，上底面面积S2＝4，
(2)(2021·天津和平区模拟)已知正方体ABCD－A1B1C1D1的棱长为2，则三棱锥A－B1CD1的体积为
解析 如图，三棱锥A－B1CD1是由正方体ABCD－A1B1C1D1截去四个小三棱锥A－A1B1D1，C－B1C1D1，B1－ABC，D1－ACD，
空间几何体的表面积与体积的求法(1)公式法：对于规则的几何体的表面积和体积，可直接利用公式进行求解.(2)割补法：把不规则的图形分割成规则的图形，然后进行体积的计算，或不规则的几何体补成规则的几何体，不熟悉的几何体补成熟悉的几何体，便于计算.
(3)等体积法：等体积法也称等积转化或等积变形，通过选择合适的底面来求几何体体积的一种方法，多用来解决锥体的体积，特别是三棱锥的体积.
跟踪演练1 (1)(2021·商洛模拟)正多面体被古希腊圣哲认为是构成宇宙的基本元素，加上它们的多种变体，一直是科学、艺术、哲学灵感的源泉之一.如图，该几何体是一个棱长为2的正八面体，则此正八面体的体积与表面积之比为
解析 取BC的中点G，连接EG，连接BD，取BD的中点O，连接EO，如图，由棱长为2，
(2)某中学开展劳动实习，学习加工制作食品包装盒.现有一张边长为6的正六边形硬纸片，如图所示，裁掉阴影部分，然后按虚线处折成高为 的正六棱柱无盖包装盒，则此包装盒的体积为A.144 B.72 C.36 D.24
可得正六棱柱底边边长AB＝6－2×1＝4，
求空间多面体的外接球半径的常用方法：(1)补形法：侧面为直角三角形，或正四面体，或对棱均相等的模型，可以还原到正方体或长方体中去求解；(2)定义法：到各个顶点距离均相等的点为外接球的球心，借助有特殊性底面的外接圆圆心，找其垂线，则球心一定在垂线上，再根据到其他顶点距离也是半径，列关系式求解即可.
例2 (1)(2021·全国甲卷)已知A，B，C是半径为1的球O的球面上的三个点，且AC⊥BC，AC＝BC＝1，则三棱锥O－ABC的体积为
解析 如图所示，因为AC⊥BC，
(2)(2020·全国Ⅲ)已知圆锥的底面半径为1，母线长为3，则该圆锥内半径最大的球的体积为________.
解析 圆锥内半径最大的球即为圆锥的内切球，设其半径为r.作出圆锥的轴截面PAB，如图所示，则△PAB的内切圆为圆锥的内切球的大圆.在△PAB中，PA＝PB＝3，D为AB的中点，AB＝2，E为切点，
解决与球有关的切、接问题，其通法是作出截面，将空间几何问题转化为平面几何问题求解，其解题思维流程如下：(1)定球心：如果是内切球，球心到切点的距离相等且为半径；如果是外接球，球心到接点的距离相等且为半径；(2)作截面：选准最佳角度做出截面(要使这个截面尽可能多的包含球、几何体的各种元素以及体现这些元素间的关系)，达到空间问题平面化的目的；(3)求半径下结论：根据作出截面中的几何元素，建立关于球半径的方程，并求解.
跟踪演练2 (1)已知∠ABC＝90°，PA⊥平面ABC，若PA＝AB＝BC＝1，则四面体PABC的外接球(顶点都在球面上)的体积为
解析 方法一 取PC的中点O，连接OA，OB，由题意得PA⊥BC，又因为AB⊥BC，PA∩AB＝A，所以BC⊥平面PAB，所以BC⊥PB，
因此P，A，B，C四点在以O为球心的球面上，
方法二 如图，补成直棱柱PMN－ABC，因为∠ABC＝∠PMN＝90°，O1，O2分别为PN，AC的中点，则O1，O2分别为上、下底面的外心，所以O1O2的中点O为该直棱柱的外接球球心，
解析 如图，△ABC的中心为M，球心为O，当PM⊥平面ABC时，三棱锥的体积最大，
考点三 空间几何体的截面问题
确定截面的主要依据有(1)平面的四个公理.(2)直线和平面平行的判定和性质.(3)两个平面平行的性质.(4)球的截面的性质.
例3 (1)如图，在正方体ABCD－A1B1C1D1中，E，F，G分别是棱AB，BC，DD1的中点，过E，F，G三点的平面与正方体各个面所得交线围成的图形是A.三角形 B.四边形C.五边形 D.六边形
解析 如图所示，过E，F，G的平面α交AA1于H，交CC1于I，则形成一个五边形EFIGH.
解析 三棱锥P－ABC的外接球即为以AB，AC，AP为邻边的长方体的外接球，
取BC的中点O1，∴O1为△ABC的外接圆圆心，∴OO1⊥平面ABC，如图.当OD⊥截面时，截面的面积最小，
当截面过球心时，截面圆的面积最大为πR2＝13π，故截面面积的取值范围是[π，13π].
空间几何体的截面作图的常用方法(1)平行线法. 用平行线法解决截面问题的关键是：截面与几何体的两个平行平面相交，或者截面是有一条直线与截面上某点所在的几何体的某一个表面平行.(2)延长线法. 用延长线法解决截面问题的关键是：截面上的点至少有两个点在一个几何体的一个表面上，那么这两点的连线一定在截面内.
跟踪演练3 (1)在棱长为2的正方体ABCD－A1B1C1D1中，E为B1C1的中点，则过B，D，E三点的平面截正方体ABCD－A1B1C1D1所得的截面面积为
解析 取D1C1的中点F，连接DF，EF，BE，即等腰梯形BEFD为截面，设等腰梯形BEFD的高为h，
(2)(2021·兰州模拟)如图，正方体ABCD－A1B1C1D1的棱长为1，点M在棱A1D1上，A1M＝2MD1，过M的平面α与平面A1BC1平行，且与正方体各面相交得到截面多边形，则该截面多边形的周长为______.
解析 如图，六边形MIHGFE即为截面图形，M，I，E，H，F，G分别为各边的三等分点，且平面A1BC1∥平面MIHGFE，设正方体的棱长为3a，
1.(2021·泰州模拟)我国古代数学名著《九章算术》中“开立圆术”曰：置积尺数，以十六乘之，九而一，所得开立方除之，即立圆径.意思是：球的体积V乘16，除以9，再开立方，即为球的直径d，由此我们可以推测球的表面积S的计算公式为
3.(2021·德州模拟)阿基米德是伟大的古希腊数学家，他和高斯、牛顿并列为世界三大数学家，他一生最为满意的一个数学发现就是“圆柱容球”定理，即圆柱容器里放了一个球，该球顶天立地，四周碰边(即球与圆柱形容器的底面和侧面都相切)，球的体积是圆柱体积的三分之二，球的表面积也是圆柱表面积的三分之二.今有一“圆柱容球”模型，其圆柱表面积为12π，则该模型中球的体积为
4.(2021·兰州模拟)玉琮是一种内圆外方的筒型玉器，它与玉璧、玉圭、玉璋、玉璜、玉琥被称为“六器”，是古人用于祭祀神祇的一种礼器.《周礼》中载有“以玉作六器，以礼天地四方，以苍璧礼天，以黄琮礼地”等文.如图为齐家文化玉琮，该玉琮中方内空，形状对称，圆筒内径2.0 cm，外径2.4 cm，筒高6.0 cm，方高4.0 cm，则其体积约为(单位：cm3)
－3.92π －3.92π－3.12π －3.12π
解析 由题图可知，组合体由圆柱、长方体构成，
解析 如图所示，梯形ABCD绕AD所在的直线旋转一周而形成的曲面所围成的几何体是一个底面半径为AB＝1，高为BC＝2的圆柱挖去一个底面半径为AB＝1，高为BC－AD＝2－1＝1的圆锥，
解析 设△ABC外接圆圆心为O1，半径为r，连接O1O，如图，易得O1O⊥平面ABC，
解析 设球O的半径为R，
设圆柱的上底面半径为r，球的半径与上底面夹角为α，则r＝2cs α，圆柱的高为4sin α，∴圆柱的侧面积为4πcs α×4sin α＝8πsin 2α，
∴圆柱的侧面积的最大值为8π.
8.(2021·哈尔滨模拟)已知四棱锥P－ABCD的底面ABCD是矩形，其中AD＝1，AB＝2，平面PAD⊥平面ABCD，△PAD为等边三角形，则四棱锥P－ABCD的外接球表面积为
解析 如图所示，在四棱锥P－ABCD中，平面PAD⊥平面ABCD，平面PAD∩平面ABCD＝AD，PA＝PD，取AD的中点E,则PE⊥AD，PE⊥平面ABCD，则PE⊥AB，同理，由AD⊥AB，可知AB⊥平面PAD，
由△PAD为等边三角形，E为中点知，PE的三等分点F(距离E较近的三等分点)是三角形的中心，过F作平面PAD的垂线，过矩形ABCD的中心O作平面ABCD的垂线，两垂线交于点I，则I即外接球球心.
9.(2021·邯郸模拟)攒尖是我国古代建筑中屋顶的一种结构形式，宋代称为最尖，清代称攒尖，通常有圆形攒尖、三角攒尖、四角攒尖、八角攒尖，也有单檐和重檐之分，多见于亭阁式建筑、园林建筑.下面以四角攒尖为例，如图，它的屋顶部分的轮廓可近似看作一个正四棱锥.已知此正四棱锥的侧面与底面所成的锐二面角为θ，这个角接近30°，若取θ＝30°，侧棱长为 米，则A.正四棱锥的底面边长为6米B.正四棱锥的底面边长为3米
解析 如图，在正四棱锥S－ABCD中，O为正方形ABCD的中心，H为AB的中点，则SH⊥AB，设底面边长为2a.因为∠SHO＝30°，
解析 设圆锥的底面半径为r，球的半径为R，
设圆锥的体积为V1，球的体积为V2，
解析 设正方体的棱长为a，
∵M，N分别为外接球和内切球的动点，
12.如图所示，正方体ABCD－A′B′C′D′的棱长为1，E，F分别是棱AA′，CC′的中点，过直线EF的平面分别与棱BB′，DD′交于点M，N，以下四个命题中正确的是
C.四边形MENF的面积的最小值与最大值之比为2∶3D.四棱锥A－MENF与多面体ABCD－EMFN的体积之比为1∶3
解析 对于A选项，如图，连接BD，B′D′，MN.由题意得EF⊥BD，EF⊥BB′，BD∩BB′＝B，所以EF⊥平面BDD′B′，又MN⊂平面BDD′B′，所以EF⊥MN，
对于B选项，由正方体性质得，平面BCC′B′∥平面ADD′A′，平面BCC′B′∩平面EMFN＝MF，平面ADD′A′∩平面EMFN＝EN, 所以MF∥EN，同理得ME∥NF，又EF⊥MN，所以四边形MENF为菱形，
所以当点M，N分别为BB′，DD′的中点时，四边形MENF的面积S最小，
当点M，N分别与点B(或点B′)，D′(或D)重合时，四边形MENF的面积S最大，
对于D选项，四棱锥A－MENF的体积为
因为E，F分别是AA′，CC′的中点，所以BM＝D′N，DN＝B′M，于是被截面MENF平分的两个多面体是完全相同的，
所以四棱锥A－MENF与多面体ABCD－EMFN的体积之比为1∶3，故D正确.
13.学生到工厂劳动实践，利用3D打印技术制作模型.如图，该模型为长方体ABCD－A1B1C1D1挖去四棱锥O－EFGH后所得的几何体，其中O为长
方体的中心，E，F，G，H分别为所在棱的中点，AB＝BC＝6 cm，AA1＝4 cm,3D打印所用原料密度为0.9 g/cm3.不考虑打印损耗，制作该模型所需原料的质量为_______g.
解析 由题意得长方体ABCD－A1B1C1D1的体积为6×6×4＝144(cm3)，四边形EFGH为平行四边形，如图所示，连接GE，HF，易知四边形EFGH的面积为矩形BCC1B1面积的一半，
所以该模型的体积为144－12＝132(cm3)，所以制作该模型所需原料的质量为132×0.9＝118.8(g).
14.在如图所示的斜截圆柱中，已知圆柱的底面直径为40 cm，母线长最短50 cm，最长80 cm，则斜截圆柱的侧面面积S＝________cm2.
解析 将题图所示的相同的两个几何体对接为圆柱，则圆柱的侧面展开图为矩形.
15.(2021·新余模拟)直三棱柱ABC－A1B1C1内有一个体积为V的球，若△ABC是两直角边长分别为6,8的直角三角形，侧棱AA1＝6，则V的最大值为______.
∴(AC＋AB＋BC)r＝6×8, 解得r＝2.又侧棱AA1＝6，故直三棱柱ABC－A1B1C1的内切球半径为R＝2，
如图，由题意知，球的体积要尽可能大时，球需与三棱柱内切.需保证截面圆与△ABC内切，设圆O的半径为r，
KAO QING FEN XI
空间几何体的结构特征是立体几何的基础，空间几何体的表面积和体积是高考的重点与热点，多以选择题、填空题的形式考查，难度中等或偏上.
1.旋转体的侧面积和表面积(1)S圆柱侧＝2πrl，S圆柱表＝2πr(r＋l)(r为底面半径，l为母线长).(2)S圆锥侧＝πrl，S圆锥表＝πr(r＋l)(r为底面半径，l为母线长).(3)S球表＝4πR2(R为球的半径).2.空间几何体的体积公式(1)V柱＝Sh(S为底面面积，h为高).
解析 作出图形，连接该正四棱台上、下底面的中心，如图，因为该四棱台上、下底面的边长分别为2,4，侧棱长为2，
下底面面积S1＝16，上底面面积S2＝4，
(2)(2021·天津和平区模拟)已知正方体ABCD－A1B1C1D1的棱长为2，则三棱锥A－B1CD1的体积为
解析 如图，三棱锥A－B1CD1是由正方体ABCD－A1B1C1D1截去四个小三棱锥A－A1B1D1，C－B1C1D1，B1－ABC，D1－ACD，
空间几何体的表面积与体积的求法(1)公式法：对于规则的几何体的表面积和体积，可直接利用公式进行求解.(2)割补法：把不规则的图形分割成规则的图形，然后进行体积的计算，或不规则的几何体补成规则的几何体，不熟悉的几何体补成熟悉的几何体，便于计算.
(3)等体积法：等体积法也称等积转化或等积变形，通过选择合适的底面来求几何体体积的一种方法，多用来解决锥体的体积，特别是三棱锥的体积.
跟踪演练1 (1)(2021·商洛模拟)正多面体被古希腊圣哲认为是构成宇宙的基本元素，加上它们的多种变体，一直是科学、艺术、哲学灵感的源泉之一.如图，该几何体是一个棱长为2的正八面体，则此正八面体的体积与表面积之比为
解析 取BC的中点G，连接EG，连接BD，取BD的中点O，连接EO，如图，由棱长为2，
(2)某中学开展劳动实习，学习加工制作食品包装盒.现有一张边长为6的正六边形硬纸片，如图所示，裁掉阴影部分，然后按虚线处折成高为 的正六棱柱无盖包装盒，则此包装盒的体积为A.144 B.72 C.36 D.24
可得正六棱柱底边边长AB＝6－2×1＝4，
求空间多面体的外接球半径的常用方法：(1)补形法：侧面为直角三角形，或正四面体，或对棱均相等的模型，可以还原到正方体或长方体中去求解；(2)定义法：到各个顶点距离均相等的点为外接球的球心，借助有特殊性底面的外接圆圆心，找其垂线，则球心一定在垂线上，再根据到其他顶点距离也是半径，列关系式求解即可.
例2 (1)(2021·全国甲卷)已知A，B，C是半径为1的球O的球面上的三个点，且AC⊥BC，AC＝BC＝1，则三棱锥O－ABC的体积为
解析 如图所示，因为AC⊥BC，
(2)(2020·全国Ⅲ)已知圆锥的底面半径为1，母线长为3，则该圆锥内半径最大的球的体积为________.
解析 圆锥内半径最大的球即为圆锥的内切球，设其半径为r.作出圆锥的轴截面PAB，如图所示，则△PAB的内切圆为圆锥的内切球的大圆.在△PAB中，PA＝PB＝3，D为AB的中点，AB＝2，E为切点，
解决与球有关的切、接问题，其通法是作出截面，将空间几何问题转化为平面几何问题求解，其解题思维流程如下：(1)定球心：如果是内切球，球心到切点的距离相等且为半径；如果是外接球，球心到接点的距离相等且为半径；(2)作截面：选准最佳角度做出截面(要使这个截面尽可能多的包含球、几何体的各种元素以及体现这些元素间的关系)，达到空间问题平面化的目的；(3)求半径下结论：根据作出截面中的几何元素，建立关于球半径的方程，并求解.
跟踪演练2 (1)已知∠ABC＝90°，PA⊥平面ABC，若PA＝AB＝BC＝1，则四面体PABC的外接球(顶点都在球面上)的体积为
解析 方法一 取PC的中点O，连接OA，OB，由题意得PA⊥BC，又因为AB⊥BC，PA∩AB＝A，所以BC⊥平面PAB，所以BC⊥PB，
因此P，A，B，C四点在以O为球心的球面上，
方法二 如图，补成直棱柱PMN－ABC，因为∠ABC＝∠PMN＝90°，O1，O2分别为PN，AC的中点，则O1，O2分别为上、下底面的外心，所以O1O2的中点O为该直棱柱的外接球球心，
解析 如图，△ABC的中心为M，球心为O，当PM⊥平面ABC时，三棱锥的体积最大，
考点三 空间几何体的截面问题
确定截面的主要依据有(1)平面的四个公理.(2)直线和平面平行的判定和性质.(3)两个平面平行的性质.(4)球的截面的性质.
例3 (1)如图，在正方体ABCD－A1B1C1D1中，E，F，G分别是棱AB，BC，DD1的中点，过E，F，G三点的平面与正方体各个面所得交线围成的图形是A.三角形 B.四边形C.五边形 D.六边形
解析 如图所示，过E，F，G的平面α交AA1于H，交CC1于I，则形成一个五边形EFIGH.
解析 三棱锥P－ABC的外接球即为以AB，AC，AP为邻边的长方体的外接球，
取BC的中点O1，∴O1为△ABC的外接圆圆心，∴OO1⊥平面ABC，如图.当OD⊥截面时，截面的面积最小，
当截面过球心时，截面圆的面积最大为πR2＝13π，故截面面积的取值范围是[π，13π].
空间几何体的截面作图的常用方法(1)平行线法. 用平行线法解决截面问题的关键是：截面与几何体的两个平行平面相交，或者截面是有一条直线与截面上某点所在的几何体的某一个表面平行.(2)延长线法. 用延长线法解决截面问题的关键是：截面上的点至少有两个点在一个几何体的一个表面上，那么这两点的连线一定在截面内.
跟踪演练3 (1)在棱长为2的正方体ABCD－A1B1C1D1中，E为B1C1的中点，则过B，D，E三点的平面截正方体ABCD－A1B1C1D1所得的截面面积为
解析 取D1C1的中点F，连接DF，EF，BE，即等腰梯形BEFD为截面，设等腰梯形BEFD的高为h，
(2)(2021·兰州模拟)如图，正方体ABCD－A1B1C1D1的棱长为1，点M在棱A1D1上，A1M＝2MD1，过M的平面α与平面A1BC1平行，且与正方体各面相交得到截面多边形，则该截面多边形的周长为______.
解析 如图，六边形MIHGFE即为截面图形，M，I，E，H，F，G分别为各边的三等分点，且平面A1BC1∥平面MIHGFE，设正方体的棱长为3a，
1.(2021·泰州模拟)我国古代数学名著《九章算术》中“开立圆术”曰：置积尺数，以十六乘之，九而一，所得开立方除之，即立圆径.意思是：球的体积V乘16，除以9，再开立方，即为球的直径d，由此我们可以推测球的表面积S的计算公式为
3.(2021·德州模拟)阿基米德是伟大的古希腊数学家，他和高斯、牛顿并列为世界三大数学家，他一生最为满意的一个数学发现就是“圆柱容球”定理，即圆柱容器里放了一个球，该球顶天立地，四周碰边(即球与圆柱形容器的底面和侧面都相切)，球的体积是圆柱体积的三分之二，球的表面积也是圆柱表面积的三分之二.今有一“圆柱容球”模型，其圆柱表面积为12π，则该模型中球的体积为
4.(2021·兰州模拟)玉琮是一种内圆外方的筒型玉器，它与玉璧、玉圭、玉璋、玉璜、玉琥被称为“六器”，是古人用于祭祀神祇的一种礼器.《周礼》中载有“以玉作六器，以礼天地四方，以苍璧礼天，以黄琮礼地”等文.如图为齐家文化玉琮，该玉琮中方内空，形状对称，圆筒内径2.0 cm，外径2.4 cm，筒高6.0 cm，方高4.0 cm，则其体积约为(单位：cm3)
－3.92π －3.92π－3.12π －3.12π
解析 由题图可知，组合体由圆柱、长方体构成，
解析 如图所示，梯形ABCD绕AD所在的直线旋转一周而形成的曲面所围成的几何体是一个底面半径为AB＝1，高为BC＝2的圆柱挖去一个底面半径为AB＝1，高为BC－AD＝2－1＝1的圆锥，
解析 设△ABC外接圆圆心为O1，半径为r，连接O1O，如图，易得O1O⊥平面ABC，
解析 设球O的半径为R，
设圆柱的上底面半径为r，球的半径与上底面夹角为α，则r＝2cs α，圆柱的高为4sin α，∴圆柱的侧面积为4πcs α×4sin α＝8πsin 2α，
∴圆柱的侧面积的最大值为8π.
8.(2021·哈尔滨模拟)已知四棱锥P－ABCD的底面ABCD是矩形，其中AD＝1，AB＝2，平面PAD⊥平面ABCD，△PAD为等边三角形，则四棱锥P－ABCD的外接球表面积为
解析 如图所示，在四棱锥P－ABCD中，平面PAD⊥平面ABCD，平面PAD∩平面ABCD＝AD，PA＝PD，取AD的中点E,则PE⊥AD，PE⊥平面ABCD，则PE⊥AB，同理，由AD⊥AB，可知AB⊥平面PAD，
由△PAD为等边三角形，E为中点知，PE的三等分点F(距离E较近的三等分点)是三角形的中心，过F作平面PAD的垂线，过矩形ABCD的中心O作平面ABCD的垂线，两垂线交于点I，则I即外接球球心.
9.(2021·邯郸模拟)攒尖是我国古代建筑中屋顶的一种结构形式，宋代称为最尖，清代称攒尖，通常有圆形攒尖、三角攒尖、四角攒尖、八角攒尖，也有单檐和重檐之分，多见于亭阁式建筑、园林建筑.下面以四角攒尖为例，如图，它的屋顶部分的轮廓可近似看作一个正四棱锥.已知此正四棱锥的侧面与底面所成的锐二面角为θ，这个角接近30°，若取θ＝30°，侧棱长为 米，则A.正四棱锥的底面边长为6米B.正四棱锥的底面边长为3米
解析 如图，在正四棱锥S－ABCD中，O为正方形ABCD的中心，H为AB的中点，则SH⊥AB，设底面边长为2a.因为∠SHO＝30°，
解析 设圆锥的底面半径为r，球的半径为R，
设圆锥的体积为V1，球的体积为V2，
解析 设正方体的棱长为a，
∵M，N分别为外接球和内切球的动点，
12.如图所示，正方体ABCD－A′B′C′D′的棱长为1，E，F分别是棱AA′，CC′的中点，过直线EF的平面分别与棱BB′，DD′交于点M，N，以下四个命题中正确的是
C.四边形MENF的面积的最小值与最大值之比为2∶3D.四棱锥A－MENF与多面体ABCD－EMFN的体积之比为1∶3
解析 对于A选项，如图，连接BD，B′D′，MN.由题意得EF⊥BD，EF⊥BB′，BD∩BB′＝B，所以EF⊥平面BDD′B′，又MN⊂平面BDD′B′，所以EF⊥MN，
对于B选项，由正方体性质得，平面BCC′B′∥平面ADD′A′，平面BCC′B′∩平面EMFN＝MF，平面ADD′A′∩平面EMFN＝EN, 所以MF∥EN，同理得ME∥NF，又EF⊥MN，所以四边形MENF为菱形，
所以当点M，N分别为BB′，DD′的中点时，四边形MENF的面积S最小，
当点M，N分别与点B(或点B′)，D′(或D)重合时，四边形MENF的面积S最大，
对于D选项，四棱锥A－MENF的体积为
因为E，F分别是AA′，CC′的中点，所以BM＝D′N，DN＝B′M，于是被截面MENF平分的两个多面体是完全相同的，
所以四棱锥A－MENF与多面体ABCD－EMFN的体积之比为1∶3，故D正确.
13.学生到工厂劳动实践，利用3D打印技术制作模型.如图，该模型为长方体ABCD－A1B1C1D1挖去四棱锥O－EFGH后所得的几何体，其中O为长
方体的中心，E，F，G，H分别为所在棱的中点，AB＝BC＝6 cm，AA1＝4 cm,3D打印所用原料密度为0.9 g/cm3.不考虑打印损耗，制作该模型所需原料的质量为_______g.
解析 由题意得长方体ABCD－A1B1C1D1的体积为6×6×4＝144(cm3)，四边形EFGH为平行四边形，如图所示，连接GE，HF，易知四边形EFGH的面积为矩形BCC1B1面积的一半，
所以该模型的体积为144－12＝132(cm3)，所以制作该模型所需原料的质量为132×0.9＝118.8(g).
14.在如图所示的斜截圆柱中，已知圆柱的底面直径为40 cm，母线长最短50 cm，最长80 cm，则斜截圆柱的侧面面积S＝________cm2.
解析 将题图所示的相同的两个几何体对接为圆柱，则圆柱的侧面展开图为矩形.
15.(2021·新余模拟)直三棱柱ABC－A1B1C1内有一个体积为V的球，若△ABC是两直角边长分别为6,8的直角三角形，侧棱AA1＝6，则V的最大值为______.
∴(AC＋AB＋BC)r＝6×8, 解得r＝2.又侧棱AA1＝6，故直三棱柱ABC－A1B1C1的内切球半径为R＝2，
如图，由题意知，球的体积要尽可能大时，球需与三棱柱内切.需保证截面圆与△ABC内切，设圆O的半径为r，
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