2024-2025学年山东省德州市高二上学期第二次月考数学检测试题（附解析）

这是一份2024-2025学年山东省德州市高二上学期第二次月考数学检测试题（附解析），共18页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.四名同学报名参加三项课外活动，每人限报其中一项，不同报名方法共有
A. 种B. 种C. 种D. 种
2.一个盒子里装有大小，材质均相同的黑球个，红球个，白球个，从中任取个，其中白球的个数记为，则等于的是( )
A. B. C. D.
3.经过点作直线，若直线与连接，的线段总有公共点，则直线的倾斜角的取值范围为
A. B. C. D.
4.已知盒中装有个红球、个白球、个黑球，它们大小形状完全相同，现需一个红球，甲每次从中任取一个不放回，在他第一次拿到白球的条件下，第二次拿到红球的概率
A. B. C. D.
5.离散型随机变量的分布列中部分数据丢失，丢失数据以，代替，分布列如下：
则
A. B. C. D.
6.的展开式中，前项的系数成等差数列，展开式中二项式系数的最大值为
A. B. C. D.
7.高三某班有的学生数学成绩优秀，若从班中随机找出名学生，那么其中数学成绩优秀的学生数，则取最大值时的值为
A. B. C. D.
8.抛物线上有三点，且直线的斜率大于零，，点为三角形的重心，若直线横截距的范围为，则的值是( )
A. B. C. D.
二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.若随机变量服从两点分布，且，和分别为随机变量的期望与方差，则下列结论正确的是
A. B. C. D.
10.已知椭圆的左、右焦点分别为，，点在椭圆上，且不与椭圆的左、右顶点重合，则下列关于的说法正确的有
A. 当时，的面积为 B. 的周长为
C. 当时，中 D. 椭圆上有且仅有个点，使得为直角三角形
11.已知正方体棱长为，为棱的中点，为底面上的动点，则下列说法正确的是
A. 存在点，使得；
B. 存在唯一点，使得；
C. 当，此时点的轨迹长度为；
D. 当为底面的中心时，三棱锥的外接球表面积为．
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12.的展开式中的一次项系数为，则实数的值为 ．
13.已知随机事件满足，则 ．
14.已知双曲线的左右焦点分别为，，为坐标原点，倾斜角为的直线过右焦点且与双曲线的左支交于点，若，则双曲线的离心率为 ．
四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.本小题分
从名男生和名女生中选出人去参加某活动的志愿者．
若人中必须既有男生又有女生，则有多少种选法？
先选出人，再将这人分配到两个不同的活动场地每个场地均要有人去，人只能去一个场地，则有多少种安排方法？
若男女生各需要人，人选出后安排与名组织者合影留念站一排，名女生要求相邻，则有多少种不同的合影方法？
16.本小题分
端午假日期间，某商场为了促销举办了购物砸金蛋活动，凡是在该商场购物的顾客都有一次砸金蛋的机会主持人从编号为，，，的四个金蛋中随机选择一个，放入奖品，只有主持人事先知道奖品在哪个金蛋里游戏规则是顾客有两次选择机会，第一次任意选一个金蛋先不砸开，随后主持人随机砸开另外三个金蛋中的一个空金蛋，接下来顾客从三个完好的金蛋中第二次任意选择一个砸开，如果砸中有奖的金蛋直接获奖现有顾客甲第一次选择了号金蛋，接着主持人砸开了另外三个金蛋中的一个空金蛋．
作为旁观者，请你计算主持人砸号金蛋的概率；
当主持人砸开号金蛋后，顾客甲重新选择，请问他是坚持选号金蛋，还是改选号金蛋或号金蛋？以获得奖品的概率最大为决策依据
17.本小题分
为了解客户对，两家快递公司的配送时效和服务满意度情况，现随机获得了某地区客户对这两家快递公司评价的调查问卷，已知，两家公司的调查问卷分别有份和份，全部数据统计如下：
假设客户对，两家快递公司的评价相互独立，用频率估计概率．
从该地区选择快递公司的客户中随机抽取人，估计该客户对快递公可配送时效的评价不低于分的概率；
分别从该地区和快递公司的样本调查问卷中，各随机抽取份，记为这份问卷中的服务满意度评价不低于分的份数，求的分布列和数学期望；
记评价分数为“优秀”等级，为“良好”等级，为“一般”等级已知小王比较看重配送时效的等级，根据该地区，两家快递公司配送时效的样本评价分数的等级情况，你认为小王选择，哪家快递公司合适？说明理由.
18.本小题分
如图，在四棱锥中，底面是正方形，面，，为棱上的动点．
（1）若为棱的中点，证明：；
在棱上是否存在点，使得二面角的余弦值为？若存在，求出的值；若不存在，请说明理由；
（3）分别在棱上，，求三棱锥的体积的最大值．

19．本小题分
阅读材料：
极点与极线，是法国数学家吉拉德•笛沙格（Girard Desargues，）于年在射影几何学的奠基之作《圆锥曲线论稿》中正式阐述，它是圆锥曲线的一种基本特征.已知圆锥曲线，则称点和直线是圆锥曲线的一对极点和极线.事实上，在圆锥曲线方程中，以替换，以替换（另一变量也是如此），即可得到点对应的极线方程．特别地，对于椭圆，与点对应的极线方程为；对于双曲线，与点对应的极线方程为；即对于确定的圆锥曲线，每一对极点与极线是一一对应的关系.
其中，极点与极线有以下基本性质和定理
①当在圆锥曲线上时，其极线是曲线在点处的切线；
②当在外时，其极线是曲线从点所引两条切线的切点所确定的直线（即切点弦所在直线）；
③当在内时，其极线是曲线过点的割线两端点处的切线交点的轨迹.
根据上述材料回答下面问题：
已知双曲线，右顶点到的一条渐近线的距离为，
已知点是直线上的一个动点，点对应的极线与双曲线交于点，
快递公司
快递公司
快递公司
项目份数评价分数
配送时效
服务满意度
配送时效
服务满意度
(1)若，，证明：极线恒过定点.
(2)在（1）的条件下，若该定点为极线的中点，求出此时的极线方程.
(3)若，，，极线交的右支于，两点，点在轴上方，点是双曲线的左顶点，直线，直线分别交轴于，两点，点为坐标原点，求的值.
2024-2025学年山东省德州市高二上学期第二次月考数学
检测试题
一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.四名同学报名参加三项课外活动，每人限报其中一项，不同报名方法共有( )
A. 种B. 种C. 种D. 种
【正确答案】C
解：由题意，由于每位同学都有种选法，故共有 种选法．
2.一个盒子里装有大小，材质均相同的黑球个，红球个，白球个，从中任取个，其中白球的个数记为，则等于的是( )
A. B. C. D.
【正确答案】C
解：由题设，取出的个球中没有白球的概率为，取出的个球中有一个白球的概率为，所以目标式表示．
3.经过点作直线，若直线与连接，的线段总有公共点，则直线的倾斜角的取值范围为( )
A. B. C. D.
【正确答案】A
解：由题意可知：，，
与线段相交，，即 ；
设直线的倾斜角为，或，
由于在及均单调递增，或．
4.已知盒中装有个红球、个白球、个黑球，它们大小形状完全相同，现需一个红球，甲每次从中任取一个不放回，在他第一次拿到白球的条件下，第二次拿到红球的概率( )
A. B. C. D.
【正确答案】B
解：设“第一次拿到白球”为事件，“第二次拿到红球”为事件，
，，则所求概率为.
5.离散型随机变量的分布列中部分数据丢失，丢失数据以，代替，分布列如下：
则( )
A. B. C. D.
【正确答案】B
解：由题意得，
化简得，又，且，所以，，
所以．
6.的展开式中，前项的系数成等差数列，展开式中二项式系数的最大值为( )
A. B. C. D.
【正确答案】B
解： 展开式的通项公式为，前三项的系数分别为，，，且成等差数列，
，即，又，，故解得，二项式系数的最大值为．
7.高三某班有的学生数学成绩优秀，若从班中随机找出名学生，那么其中数学成绩优秀的学生数，则取最大值时的值为( )
A. B. C. D.
【正确答案】B
解：由已知，，，，，，，
所以由得：解得，又因为，所以．
故选B．
8.抛物线上有三点，且直线的斜率大于零，，点为三角形的重心，若直线横截距的范围为，则的值是( )
A. B. C. D.
【正确答案】A
解：由题意知，设，则，
又为的重心，所以，得，
代入方程，得
设直线方程为，
由，消去，得，
，得，，
代入，得，即，则，解得，
所以，解得．
对于，令，得，
又函数在上单调递增，所以函数在上单调递增，
当时，，即．
二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.若随机变量服从两点分布，其中，和分别为随机变量的期望与方差，则下列结论正确的是( )
A. B. C. D.
【正确答案】ABD
解：随机变量服从两点分布，其中， ，
，，故D正确，
对于选项，，故A正确；
对于选项，，故B正确；
对于选项，，故C错误；
故选ABD．
10.已知椭圆的左、右焦点分别为，，点在椭圆上，且不与椭圆的左、右顶点重合，则下列关于的说法正确的有( )
A. 当时，的面积为 B. 的周长为
C. 当时，中 D. 椭圆上有且仅有个点，使得为直角三角形
【正确答案】ABD
解：根据椭圆方程可得，，．
对于，当时，设，，则有，可得，
则的面积，故A正确；
对于，的周长为，故B正确；
对于，当时，的边，故C错误；
对于，设，，
当时，则有解得，此时点为上下顶点，
当时，有两个点，当时，有两个点，故D正确．故选：．
11.已知正方体棱长为，为棱的中点，为底面上的动点，则下列说法正确的是( )
A. 存在点，使得；
B. 存在唯一点，使得；
C. 当，此时点的轨迹长度为；
D. 当为底面的中心时，三棱锥的外接球表面积为．
【正确答案】ABD
解：以为原点，，，所在直线分别为，，轴，建立空间直角坐标系．
，，设点坐标为，
，
为求的最小值，找出点关于平面的对称点，
设该点为，则点坐标为，
，
故A选项正确；
由，
可得，故B选项正确；
时，即，而，，
得到，
点轨迹是连接棱中点与棱中点的线段，其长度为线段的一半，即长为，故C选项错误；
当为底面的中心时，由选项知，显然，，
三棱锥的外接球球心为棱的中点，从而求得球半径为，，故D正确．
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12.的展开式中的一次项系数为，则实数的值为 ．
【正确答案】
解：的展开式的通项为：，
令，解得，
的展开式中的一次项为：，，．
13.已知随机事件满足，则 ．
【正确答案】
解：因为，，所以，
所以．
14.已知双曲线的左右焦点分别为，，为坐标原点，倾斜角为的直线过右焦点且与双曲线的左支交于点，若，则双曲线的离心率为 ．
【正确答案】
解：
因为，
所以，则，
过作轴，垂足为，由题意知，则，故，
在中，，，
故，又点在双曲线上，
则，将代入整理得，
则，解得，又，得到，所以双曲线的离心率为：．
四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.本小题分
从名男生和名女生中选出人去参加某活动的志愿者．
若人中必须既有男生又有女生，则有多少种选法？
先选出人，再将这人分配到两个不同的活动场地每个场地均要有人去，人只能去一个场地，则有多少种安排方法？
若男女生各需要人，人选出后安排与名组织者合影留念站一排，名女生要求相邻，则有多少种不同的合影方法？
【正确答案】解：从这人中任选人的选法有种，
其中只有男生的选法有种，
只有女生的选法有种，
故人中必须既有男生又有女生的选法有种 ----------4分
从这人中任选人的选法有种，
若人数按，分配，则安排方法有种，
若人数按，分配，则安排方法有种，
所以共有种安排方法． ----------9分
因为男女生各需要人，所以选出人的方法有种，
先排名男生与名组织者，有种排法，
再将名女生“捆绑”在一起，放入个空档中，
所以共有种不同的合影方法． ----------13分
16.本小题分
端午假日期间，某商场为了促销举办了购物砸金蛋活动，凡是在该商场购物的顾客都有一次砸金蛋的机会主持人从编号为，，，的四个金蛋中随机选择一个，放入奖品，只有主持人事先知道奖品在哪个金蛋里游戏规则是顾客有两次选择机会，第一次任意选一个金蛋先不砸开，随后主持人随机砸开另外三个金蛋中的一个空金蛋，接下来顾客从三个完好的金蛋中第二次任意选择一个砸开，如果砸中有奖的金蛋直接获奖现有顾客甲第一次选择了号金蛋，接着主持人砸开了另外三个金蛋中的一个空金蛋．
作为旁观者，请你计算主持人砸号金蛋的概率；
当主持人砸开号金蛋后，顾客甲重新选择，请问他是坚持选号金蛋，还是改选号金蛋或号金蛋？以获得奖品的概率最大为决策依据
【正确答案】解：设，，，分别表示，，，号金蛋里有奖品，设，，，分别表示主持人砸开，，，号金蛋，则，且，，，两两互斥．
由题意可知，事件，，，的概率都是，
，，，． ------------------6分
由全概率公式，得． ------------------8分
在主持人砸开号金蛋的条件下，号金蛋、号金蛋、号金蛋里有奖品的概率分别为
， ------------------10分
， ------------------12分
， ------------------14分
通过概率大小比较，甲应该改选号金蛋或号金蛋． ------------------15分
本小题分
为了解客户对，两家快递公司的配送时效和服务满意度情况，现随机获得了某地区客户对这两家快递公司评价的调查问卷，已知，两家公司的调查问卷分别有份和份，全部数据统计如下：
假设客户对，两家快递公司的评价相互独立，用频率估计概率．
从该地区选择快递公司的客户中随机抽取人，估计该客户对快递公司配送时效的评价不低于分的概率；
分别从该地区和快递公司的样本调查问卷中，各随机抽取份，记为这份问卷中的服务满意度评价不低于分的份数，求的分布列和数学期望；
记评价分数为“优秀”等级，为“良好”等级，为“一般”等级已知小王比较看重配送时效的等级，根据该地区，两家快递公司配送时效的样本评价分数的等级情况，你认为小王选择，哪家快递公司合适？说明理由.
【正确答案】解：调查问卷中共有份，其中配送时效的评价不低于分的份数为，则，
故可估计该客户对快递公可配送时效的评价不低于分的概率为；------------------2分
快递公司的样本调查问卷中抽取的份服务满意度评价不低于分的概率为：， -----3分
快递公司的样本调查问卷中抽取的份服务满意度评价不低于分的概率为：， -----4分
的可能取值为，，， --------------5分
， --------------6分
， --------------7分
， --------------8分
故其分布列为：
快递公司
快递公司
快递公司
项目份数评价分数
配送时效
服务满意度
配送时效
服务满意度
其期望； --------------10分
快递公司的样本调查问卷中“优秀”等级占比为，
“良好”等级占比为，“一般”等级占比为； --------------11分
快递公司的样本调查问卷中“优秀”等级占比为，
“良好”等级占比为，“一般”等级占比为； --------------12分
其中快递公司的样本调查问卷中“优秀”或“良好”等级占比为， --------------13分
快递公司的样本调查问卷中“优秀”或“良好”等级占比为， --------------14分
我认为小王应该选择快递公司，因为快递公司中“优秀”或“良好”等级占比比公司大． --------------15分
18.本小题分
如图，在四棱锥中，底面是正方形，面，，为棱上的动点．
若为棱中点，证明：面；
在棱上是否存在点，使得二面角的余弦值为？若存在，
求出的值；若不存在，请说明理由；
，，分别在棱，，上，，求三棱锥的体积的最大值．
【正确答案】解：连接交于，连接，易知，
又因为面上，面，所以面 ------------------2分
以为原点，所在直线为轴，所在直线为轴，所在直线为轴，
建立如图所示的空间直角坐标系，
可得，，，，， ------------------3分
由为棱上一点，设，，
，． ------------------4分
设平面的法向量为，
由可得
令，则，则 ------------------6分
平面的一个法向量为， ------------------7分
则二面角的平面角满足：，
化简得：，解得：或舍去，故存在满足条件的点，此时 --------------10分
因为，
可知三棱锥体积最大时，即最大，
在中，由余弦定理有：，
可得，
设，则， ------------------12分
由题可知：该方程有实根，则，解得，同理可得． ------------13分
设点到平面的距离为，
则由等体积法得到：，
即，解得：． ------------------15分
当最大时三棱锥体积最大，即三棱锥体积最大，且易得∠APC=60°，
所以最大体积为：． ------------------17分
19．阅读材料：
极点与极线，是法国数学家吉拉德•笛沙格（Girard Desargues，）于年在射影几何学的奠基之作《圆锥曲线论稿》中正式阐述，它是圆锥曲线的一种基本特征.已知圆锥曲线，则称点和直线是圆锥曲线的一对极点和极线.事实上，在圆锥曲线方程中，以替换，以替换（另一变量也是如此），即可得到点对应的极线方程．特别地，对于椭圆，与点对应的极线方程为；对于双曲线，与点对应的极线方程为；即对于确定的圆锥曲线，每一对极点与极线是一一对应的关系.
其中，极点与极线有以下基本性质和定理
①当在圆锥曲线上时，其极线是曲线在点处的切线；
②当在外时，其极线是曲线从点所引两条切线的切点所确定的直线（即切点弦所在直线）；
③当在内时，其极线是曲线过点的割线两端点处的切线交点的轨迹.
根据上述材料回答下面问题：
已知双曲线，右顶点到的一条渐近线的距离为，
已知点是直线上的一个动点，点对应的极线与双曲线交于点，
(1)若，，证明：极线恒过定点.
(2)在（1）的条件下，若该定点为极线的中点，求出此时的极线方程
(3)若，，，极线交的右支于，两点，点在轴上方，点是双曲线的左顶点，直线，直线分别交轴于，两点，点为坐标原点，求的值
【详解】（1）右顶点为，，
双曲线的一条渐近线方程为：，
由，，
双曲线的标准方程 ------------------2分
点在直线上，设，
根据阅读材料可得极线为：， ------------------3分
整理有：，
则由，，定点为. ------------------4分
（2）若定点为的中点，设，，则，
由点差法可得：
又因为：，，所以
解得：，所以极线方程为. ------------------8分
（3） ，，，所以直线方程为：，
由题意，设：则极线为：即， ------------------9分
由
设，
由韦达定理可得，， ------------------11分
直线，得， ------------------12分
直线，得， ------------------13分
，
、满足，，，
且，，
所以原式化为.
------------------17分