宁夏省2025届高三上学期8月新起点调研模拟（一）数学试卷（解析版）

这是一份宁夏省2025届高三上学期8月新起点调研模拟（一）数学试卷（解析版），共17页。试卷主要包含了答题前，考生务必用直径0，本卷命题范围， 已知函数，，，，则， 已知，，且，，则， 已知随机变量的分布列如图等内容，欢迎下载使用。
1.本试卷分选择题和非选择题两部分，满分150分，考试时间120分钟.
2.答题前，考生务必用直径0.5毫米黑色墨水签字笔将密封线内项目填写清楚.
3.考生作答时，请将答案答在答题卡上，选择题每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑；非选择题请用直径0.5毫米黑色墨水签字笔在答题卡上各题的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效，在试题卷、草稿纸上作答无效.
4.本卷命题范围：高考全部内容
一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是符合题目要求的.
1. 集合的真子集个数是（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】由题意得，
所以该集合的真子集个数为.
故选：C
2. 函数在上是单调递增的充分条件是（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】因为，所以.
因为函数在上单调递增，所以恒成立，
即恒成立，
即恒成立.
因为，所以，解得，
所以函数在上是单调递增的充分条件是的非空子集.
故选：B
3. 已知定义在上的函数对任意的实数都有，则（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】赋值法知道，，解得.
.
故选：C.
4. 已知直线：与双曲线：交于，两点，点是弦的中点，则双曲线的渐近线方程是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】B
【解析】设Ax1,y1，Bx2,y2，可得，，
两式相减可得，
点是弦的中点，且直线：，
可得，，，
即有，即，
双曲线的渐近线方程为．经验证此时直线与双曲线有两个交点.
故选：B．
5. 已知体积为 的球与正四棱锥的底面和4个侧面均相切，已知正四棱锥的底面边长为 . 则该正四棱锥体积值是（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】设正四棱锥的内切球的半径为，为底面中心，
由体积为得，
连接，平面，球心在上，，
取的中点，连接，设点在侧面上的投影为点，
则点在上，且，，
球心到四棱锥顶点的距离为，
所以，，解得，
所以.
故选：A.
6. 已知平行四边形中， ，，分别为边，的中点，若，则四边形面积的最大值为（ ）
A. 2B. C. 4D.
【答案】D
【解析】以点为原点，所在直线为轴建立如图所示的平面直角坐标系，

设，
则，
所以，
所以，
从而，即，等号成立当且仅当，
四边形面积的表达式为，
从而，等号成立当且仅当，
所以四边形面积的最大值为.
故选：D.
7. 已知函数，，，，则（ ）
A. B.
C. D.
【答案】D
【解析】因为且，所以，
令且，则，
当时，，故函数单调递增，
当时，，故函数单调递减；
所以，
所以在上单调递增，
令，则，
所以在上单调递减，，
即，则，即.
故选：D
8. 已知，，且，，则（ ）
A. B.
C. 或D. 或
【答案】A
【解析】因为所以则
所以
则，
因为，所以，
又则，
所以
故
因为所以
则.
故选：A.
二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.
9. 已知随机变量的分布列如图：
若数列是等差数列，则（ ）
A. 若为奇数，则B.
C. 若数列单调递增，则D.
【答案】ACD
【解析】由数列是等差数列且，得，所以，
对于A，当为奇数时，，故A正确；
对于B，由得，故B错误；
对于C，若数列单调递增，则可得，故，故C正确；
对于D：由，
其中，故D正确.
故选:ACD.
10. 已知函数的图象如图所示，点，在曲线上，若，则（ ）
A. B.
C. 的图象关于点12,0对称D. 在上单调递减
【答案】AC
【解析】由图可知，
由，解得（负值舍去），
所以，解得，A正确；
则，将点代入得，，
即，
由于在的增区间上，且，所以，B错误；
因为，令，，解得，，
取，则关于点12,0对称，C正确；
令，，解得，，取，
则在上单调递减，D错误.
故选：AC
11. 已知定义在上的函数，对任意有，其中；当时，，则（ ）
A. 为上的单调递增函数
B. 为奇函数
C. 若函数为正比例函数，则函数在处取极小值
D. 若函数为正比例函数，则函数只有一个非负零点
【答案】ABD
【解析】对于选项A，设，且，，
，即，
故单调递增，选项A正确；
对于选项B，是定义在R上的函数，取，则，
取，则，即f-x=-fx，
故是奇函数，选项B正确；
对于选项C、D，设，代入，得，
其中C选项，，，
当时，，在区间上单调递增，
当时，，在区间上单调递减，
函数在处取极大值，无极小值,选项C错误；
其中D选项，函数，
其中，
，
，
，
由零点存在性定理可知，函数分别在区间，和上各至少存在一个零点，选项D正确；
故选：ABD
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.
12. 复数满足，则__________.
【答案】
【解析】，，
，
.
故答案为：.
13. 设为等差数列的前项和，若，，则使的的最大值为__________.
【答案】21
【解析】设等差数列的公差为，
由，得，
得，由于，得，
由，
得，
即，
整理，得，
得，
解得，且，
则的最大值为21.
故答案为：21
14. 已知点，为圆上一动点，为直线上一点，则的最小值为______.
【答案】
【解析】不妨设x轴上定点使得满足，Mx1,y1，
则，整理得，，
又，所以，则，
解得，所以，使得，
要使最小，则最小，
所以B，M，N三点共线，且MN垂直于直线时取得最小值，如图所示.

故的最小值为点B到直线的距离.
故答案：
四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
15. 在△中，角的对边分别为，已知
（1）求;
（2）若分别为边上中点，为的重心，求的余弦值.
解：（1）因为，
所以，
即
由正弦定理得 ，
由余弦定理得 ，因为
（2）设，
依题意可得
所以
所以.
16. 如图所示，半圆柱与四棱锥拼接而成组合体中，是半圆弧上（不含）的动点，为圆柱的一条母线，点在半圆柱下底面所在平面内，.
（1）求证：；
（2）若平面，求平面与平面夹角的余弦值；
（3）求点到直线距离的最大值.
（1）证明：取弧中点，则，以坐标原点，直线分别为轴建立空间直角坐标系，
连接，在中，，，
则，
于是，
设，则，其中，，
因此，即，
所以.
（2）解：由平面平面，得，
又，则，而平面，
则平面，即为平面的一个法向量，
，由平面，得，
又，解得，此时，
设是平面的法向量，则，
取，得，
设是平面的法向量，则，
取，得，
则平面FOD与平面夹角的余弦值为.
（3）解：，
则点到直线的距离，
当时，即的坐标为时，点到直线的距离取最大值为
17. 在平面直角坐标系中，点T到点的距离与到直线的距离之比为，记T的轨迹为曲线E，直线交E右支于A，B两点，直线交右支于C，D两点，.
（1）求E的标准方程；
（2）若直线过点，直线过点，记AB，CD的中点分别为P，Q，过点Q作E两条渐近线的垂线，垂足分别为M，N，求四边形面积的取值范围.
解：（1）设点，因为点到点的距离与到直线的距离之比为，
所以，整理得，
所以的标准方程为.
（2）由题意可知直线和直线斜率若存在则斜率大于1或小于，
且曲线的渐近线方程为，
故可分别设直线和直线的方程为和，且，
联立得，设Ax1,y1、Bx2,y2，
则，，，
故，
因为是AB中点，所以即，
同理可得，
所以到两渐近线的距离分别为，.
到两渐近线的距离分别为，，
由上知两渐近线垂直，故四边形是矩形，连接OP，
则四边形面积为，
因为，所以，所以，
所以四边形面积的取值范围为.
18. 某企业对某品牌芯片开发了一条生产线进行试产.其芯片质量按等级划分为五个层级，分别对应如下五组质量指标值：.根据长期检测结果，得到芯片的质量指标值服从正态分布，并把质量指标值不小于80的产品称为等品，其它产品称为等品. 现从该品牌芯片的生产线中随机抽取100件作为样本，统计得到如图所示的频率分布直方图.

（1）根据长期检测结果，该芯片质量指标值的标准差的近似值为11，用样本平均数作为的近似值，用样本标准差作为的估计值. 若从生产线中任取一件芯片，试估计该芯片为等品的概率(保留小数点后面两位有效数字)；
(①同一组中的数据用该组区间的中点值代表；②参考数据:若随机变量服从正态分布，则，. )
（2）（i）从样本的质量指标值在和[85，95]的芯片中随机抽取3件，记其中质量指标值在[85，95]的芯片件数为，求的分布列和数学期望；
（ii）该企业为节省检测成本，采用随机混装的方式将所有的芯片按100件一箱包装. 已知一件等品芯片的利润是元，一件等品芯片的利润是元，根据(1)的计算结果，试求的值，使得每箱产品的利润最大.
解：（1）由题意，估计从该品牌芯片的生产线中随机抽取100件的平均数为：
．
即，，所以，
因为质量指标值近似服从正态分布，
所以，
所以从生产线中任取一件芯片，该芯片为等品的概率约为.
（2）（i），所以所取样本的个数为20件，
质量指标值在的芯片件数为10件，故可能取的值为0，1，2，3，
相应的概率为：
，，
，，
随机变量的分布列为：
所以的数学期望.
（ii）设每箱产品中A等品有件，则每箱产品中等品有件，
设每箱产品的利润为元，
由题意知：，
由（1）知：每箱零件中A等品的概率为，
所以，所以，
所以
.
令，由得，，
又，，单调递增，，，单调递减，
所以当时，取得最大值.
所以当时，每箱产品利润最大.
19. 定义：已知数列为有穷数列，①对任意（），总存在，使得，则称数列为“乘法封闭数列”；②对任意（），总存在，使得，则称数列为“除法封闭数列”，
（1）若，判断数列是否为“乘法封闭数列”.
（2）已知递增数列，为“除法封闭数列"，求和.
（3）已知数列是以1为首项的递增数列，共有项，，且为“除法封闭数列”，探究：数列是否为等比数列，若是，请给出说明过程；若不是，请写出一个满足条件的数列的通项公式.
解：（1）由题意知，数列为：.
由，不是数列中的项，
故数列不是“乘法封闭数列”；
（2）由题意数列递增可知，则，且，
又数列为“除法封闭数列”，则都是数列中的项，
所以，即①；
且，即②，
联立①②解得，；
（3）数列是等比数列.
证明：当时，设数列为，
由题意数列递增可知，
则有，
由数列为“除法封闭数列”，
则这个数都是数列中的项，
所以有，
则有，③；
同理由，可得，
则有，即④；
由③④可得，，故是等比数列.
当时，由题意数列递增可知，
则有，
由数列为“除法封闭数列”，则这个数都是数列中的项.
所以有.
所以有，即⑤；
同理由，可得，
所以.
则，即⑥，
联立⑤⑥得，，
则，所以有，
所以，故数列是等比数列.
综上所述，数列是等比数列.X
1
2
3
…
n
P
…
0
1
2
3