第十八章平行四边形同步练习 人教版数学八年级下册

这是一份第十八章平行四边形同步练习 人教版数学八年级下册，共29页。
第十八章平行四边形学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________一、单选题1．如图，菱形ABCD的对角线AC，BD相交于点O，E为AB的中点，连接OE．若OE＝4，则菱形ABCD的周长为（    ）A．8 B．16 C．24 D．322．如图，在△ABC中，AD是BC边上的中线，点E是AD的中点，过点E作EF⊥BC于点F.已知BC＝10，△ABD的面积为12，则EF的长为(　　)A．1.2 B．2.4 C．3.6 D．4.83．如图，矩形的对角线，相交于点，，，则的长为（   ）A． B．2 C． D．44．在平行四边形ABCD中，若∠A+∠C=260°，则∠D的度数为（ ）A．120° B．100° C．50° D．130°5．如图是一块正方形草地，要在上面修建两条交叉的小路，使得这两条小路将草地分成的四部分面积相等，修路的方法有      （   ）  A．1种 B．2种 C．4种 D．无数种6．如图，在中，，，对角线，相交于点，则的取值范围是（   ）  A． B．C． D．7．如图，在中，点A在射线上，以点O为圆心，长为半径画弧，交射线于点B，再分别以点A，B为圆心，长为半径画弧，两弧交于点C，连接，，，．若，，则的长为（    ）  A． B． C． D．8．如图，在边长为的正方形中，为对角线，平分，于点，交于点，点为的中点，连接，则的长为（   ）．A． B． C． D．9．如图，的对角线、相交于点，如果添加一个条件使得是矩形，那么下列添加的条件中正确的是（    ）A． B．C． D．10．在中，，则（    ）A． B． C． D．11．周长为的正方形对角线的长是（  ）A． B． C． D．12．如图，把一张长方形纸片ABCD沿EF折叠，使其对角顶点A与C重合，点D落在点G处，若长方形的长BC为6，当△AEF为等边三角形时，则线段DG的长为（　　）A．3 B．4 C．3 D．2二、填空题13．如图，在正方形中，E为上一点，F为延长线上一点，且，若°，则的大小为 （度）．  14．在中，、的平分线分别与边交于点E、F，若点C、D、E、F相邻两点间的距离相等，则的值为 ．15．在探索数学名题“尺规三等分角”的过程中，有下面的问题：如图，AC是▱ABCD的对角线，AD＝AE＝BE，∠D＝108°，则∠BAC＝ ．16．如图，在Rt△ABC中，∠BAC＝90°，∠ABC的平分线交AC于D．过点A作AE⊥BC于E，交BD于G，过点D作DF⊥BC于F，过点G作GH∥BC，交AC于点H，则下列结论：①∠BAE＝∠C；②S△ABG：S△EBG＝AB：BE；③∠ADF＝2∠CDF；④四边形AGFD是菱形；⑤CH＝DF．其中正确的结论是 ．17．如图，在平行四边形中，已知，，，，分别是线段，的中点，则的长为______ ．三、解答题18．综合与实践．折纸是我们在研究轴对称问题时最常见的活动．例如教材八年级下册的数学活动﹣﹣折纸，就引起了许多同学的兴趣．在经历图形变换的过程中，进一步发展了同学们的空间观念，积累了数学活动经验．实践发现：对折矩形纸片ABCD，使AD与BC重合，得到折痕EF，把纸片展平；再一次折叠纸片，使点A落在EF上的点N处，并使折痕经过点B，得到折痕BM，把纸片展平，连接AN，如图1（1）折痕直线BM　 　（填“是”或“不是”）线段AN的垂直平分线；请判断图中△ABN是什么特殊三角形？答：　 　；进一步计算出∠MNE＝　 　°；拓展延伸：（2）继续折叠纸片，使点A落在BC边上的点H处，并使折痕经过点B，得到折痕BG，把纸片展平，如图2，则∠GBN＝　 　°；解决问题：（3）如图3，折叠矩形纸片ABCD，使点A落在BC边上的点A'处，并且折痕交BC边于点T，交AD边于点S，把纸片展平，连接AA'交ST于点O，连接AT．求证：四边形SATA'是菱形．19．定义：把斜边重合，且直角顶点不重合的两个直角三角形叫做共边直角三角形．（1）概念理解；如图1，在中，，作出的共边直角三角形（画一个就行）．（2）问题探究，如图2，在中，，，，与是共边直角三角形．连接．当时，求的长．（3）拓展延伸，如图3所示，和是共边直角三角形，，求证：平分．20．如图，已知和直线．(1)分别写出点关于直线的对称点和关于原点的对称点的坐标；(2)若点是点关于原点的对称点，判断四边形的形状，并说明理由．21．如图①所示，▱ABCD是某公园的平面示意图，A、B、C、D分别是该公园的四个入口，两条主干道AC、BD交于点O，经测量AB=0.5km，AC=1.2km，BD=1km，请你帮助公园的管理人员解决以下问题：（1）公园的面积为　　　　km2；（2）如图②，公园管理人员在参观了武汉东湖绿道后，为提升游客游览的体验感，准备修建三条绿道AN、MN、CM，其中点M在OB上，点N在OD上，且BM=ON（点M与点O、B不重合），并计划在△AON与△COM两块绿地所在区域种植郁金香，求种植郁金香区域的面积；（3）若修建（2）中的绿道每千米费用为10万元，请你计算该公园修建这三条绿道投入资金的最小值．22．如图，平行四边形中，的平分线交于E，的平分线交于点F．(1)求证：；(2)若，，，求的长．23．如图，已知BD是△ABC的角平分线，点E，F分别在边AB，BC上，且，．(1)求证：四边形EFCD是平行四边形；(2)若，，求的度数．24．求证：对角线互相平分的四边形是平行四边形．参考答案：1．D【分析】根据菱形的性质得到OA=OC，AB=BC=CD=AD，再证得OE是△ABC的中位线，求出BC即可．【详解】解：∵四边形ABCD是菱形，∴OA=OC，AB=BC=CD=AD，∵点E为AB的中点，∴OE是△ABC的中位线，∴BC=2OE=8，∴菱形ABCD的周长为8×4=32，故选：D．【点睛】此题考查了菱形的性质，三角形中位线的判定及性质，正确掌握菱形的性质是解题的关键．2．B【分析】过点A作AM⊥BC于点M，根据AD是BC边上的中线以及S△ABD=12，根据三角形面积公式可得AM=4.8，再根据EF⊥BC，E为AD中点，根据三角形中位线定理即可求得EF的长.【详解】过点A作AM⊥BC于点M，∵D是BC中点，∴BD=BC==5，∵S△ABD==12，∴AM=4.8，又∵EF⊥BC，E为AD中点，∴EF是△ADM的中位线，∴EF=AM=2.4，故选B.【点睛】本题考查了三角形的中位线，读懂题意，正确添加辅助线是解题的关键.3．B【分析】本题考查了矩形的性质，熟练掌握矩形的对角线相等且互相平分是解题的关键．由矩形得，，再结合可得是等边三角形，得出即可解答．【详解】解：矩形，，，，，是等边三角形，，．故选：B．4．C【分析】根据平行四边形的对角相等、邻角互补的性质即可求解.【详解】∵四边形ABCD为平行四边形∴∠A=∠C，∠A+∠D=180°，∵∠A+∠C=260°， ∴∠A=∠C=130°，∴∠D =180°-∠A=50° .故选C.【点睛】本题考查了平行四边形的性质，熟练运用平行四边形的性质是解决问题的关键.5．D【分析】根据正方形的性质即可解答．【详解】解：由正方形的对称性可知，只要将十字架交点放在正方形的中心，转动任意角度，都能将正方形分成面积相等的四部分，则修路的方法有无数种，故选：D．【点睛】本题考查了正方形的性质，解题关键在于理解正方形的性质．6．C【分析】在中，根据三角形的三边关系可得，结合平行四边形的对角线互相平分，从而可得答案．【详解】解：∵，∴，∵，，∴，∴，∴；故选C【点睛】本题考查的是三角形的三边关系的应用，平行四边形的性质，熟记平行四边形的对角线互相平分是解本题的关键．7．B【分析】设与的交点为点D，根据作图得到判断四边形是菱形，利用菱形的性质和勾股定理计算即可．【详解】设与的交点为点D，  根据作图得到，∴四边形是菱形，∴∵，，∴，∴，故选B．【点睛】本题考查了尺规作图，菱形的判定和性质，勾股定理，熟练掌握菱形的判定和性质，勾股定理是解题的关键．8．A【分析】利用证得，即可得出，，根据勾股定理求出的长，即可求出的长，再证得是的中位线，即可求出的长．【详解】解：平分，，，，在和中，，，，，正方形的边长为，，，，在中，由勾股定理得：，，，点为的中点，是的中位线，，故选：A．【点睛】本题考查了正方形的性质，全等三角形的判定与性质，三角形中位线定理，勾股定理等知识点，熟练掌握这些知识点是解题的关键．9．D【分析】本题主要考查了矩形的判定，菱形的判定，根据判定定理逐项判断即可．【详解】∵，∴，∴，∴平行四边形是菱形．则A不符合题意；∵，∴，∴平行四边形是菱形．则B不符合题意；∵，∴．∵，∴，∴，∴平行四边形是菱形．则C不符合题意；∵，∴．∵，∴，∴平行四边形是矩形．则D正确．故选：D．10．C【分析】由平行四边形的性质可求解．【详解】解：∵四边形ABCD是平行四边形，∴∠A=∠C=80°，故选：C．【点睛】本题考查了平行四边形的性质，掌握平行四边形的对角相等是解题的关键．11．D【分析】先根据正方形的性质得到正方形的边长为1cm，然后根据勾股定理得到正方形对角线的长．【详解】解：∵正方形的周长为4cm，∴正方形的边长为1cm，∴正方形的对角线的长为=cm．故选D．【点睛】本题考查了正方形的性质和勾股定理，根据正方形的四条边相等得出直角三角形的两直角边长是解决此题的关键．12．D【分析】过点作于点，先根据长方形的性质、等边三角形的性质可得，，再根据含30度角的直角三角形的性质可得，根据折叠的性质可得，从而可得，然后利用勾股定理和含30度角的直角三角形的性质求解即可得．【详解】解：如图，过点作于点，四边形是长方形，且，，为等边三角形，，，，由折叠的性质得：，，即，解得，，，，又，，，，，故选：D．【点睛】本题考查了矩形与折叠问题、含30度角的直角三角形的性质、勾股定理、等边三角形的性质等知识点，熟练掌握折叠的性质是解题关键．13．15【分析】先证明得出，再求出，即可求出．【详解】解：∵四边形是正方形，∴，，在和中，，∴，∴，∵，，∴，∴，故答案为：15．【点睛】本题主要考查了正方形的性质，全等三角形的判定和性质，等腰三角形的性质等知识，利用正方形的性质证明是解题的关键．14．或【分析】先证明， ，再分两种情况分别求解即可．【详解】在中，，，， ∴， ∵平分， ∴， ∴， ∴， 同理可得：，①当点F在点E右侧时，如图， ∵点C、D、E、F相邻两点间的距离相等，∴，设，则，  设， ∴，②当点F在点E的左侧时，如图，  ∵点C，D，E，F相邻两点间的距离相等， ∴设， 同理可得：，∴．∴的值为或；故答案为：或．【点睛】本题考查的是平行四边形的性质，等腰三角形的判定与性质，清晰的分类讨论是解本题的关键．15．24°【分析】根据平行四边形的性质得到∠ABC＝∠D＝108°，AD＝BC，根据等腰三角形的性质得到∠EAB＝∠EBA，∠BEC＝∠ECB，根据三角形外角的性质得到∠ACB＝2∠CAB，由三角形的内角和定理即可得到结论．【详解】解：∵四边形ABCD是平行四边形，∴∠ABC＝∠D＝108°，AD＝BC，∵AD＝AE＝BE，∴BC＝AE＝BE，∴∠EAB＝∠EBA，∠BEC＝∠ECB，∵∠BEC＝∠EAB＋∠EBA＝2∠EAB，∴∠ACB＝2∠CAB，∴∠CAB＋∠ACB＝3∠CAB＝180°−∠ABC＝180°−108°，∴∠BAC＝24°，故答案为：24°．【点睛】本题考查了平行四边形的性质，三角形的内角和定理，三角形外角的性质，正确的识别图形是解题的关键．16．①②④⑤【分析】①根据余角的性质可判断即可；②根据角平分线的性质判断即可；④根据菱形的判定方法判断即可；⑤证明△ABG≌△FBG（AAS），得出∠BAE=∠BFG，证出∠BFG=∠C，再证出四边形GFCH是平行四边形，得出GF=CH，因此CH=DF，可判断⑤；③当∠C=30°时，∠ADF=2∠CDF；③不正确；即可得出答案．【详解】解：①∵∠BAC=90°，∴∠BAE+∠CAE=90°，∵AE⊥BC，∴∠C+∠CAE=90°，∴∠BAE=∠C，①正确；②作GM⊥AB交AB于M，如图所示：∵BD平分∠ABC，AE⊥BC，∴GM=GE，∴S△ABG：S△EBG=AB·GM：BE·GE=AB：BE；②正确；④∵∠AGD=∠ABD+∠BAE，∠ADG=∠CBD+∠C，∠BAE=∠C，∠CBD=∠ABD，∴∠AGD=∠ADG，∴AG=AD，∵∠BAC=90°，BD平分∠ABC．DF⊥BC，∴AD=DF，∴AG=DF，∵AE⊥BC，∴AG∥DF，∴四边形AGFD是平行四边形，又∵AG=AD，∴四边形AGFD是菱形；④正确；⑤∵四边形AGFD是菱形；∴∠AGD=∠FGD，GF=DF，∠ADB=∠FDB，∴∠AGB=∠FGB，在△ABG和△FBG中，，∴△ABG≌△FBG（AAS），∴∠BAE=∠BFG，∵∠BAE=∠C，∴∠BFG=∠C，∴GF∥CH，∵GH∥BC，∴四边形GFCH是平行四边形，∴GF=CH，∴CH=DF，⑤正确；③∵四边形AGFD是菱形∴∠ADF=2∠ADB，当∠C=30°，∠CDF=60°，则∠ADF=120°，∴当∠C=30°，∠ADF=2∠CDF；③不一定正确；故答案为：①②④⑤．【点睛】本题考查了菱形的判定与性质、全等三角形的判定与性质、平行四边形的判定与性质、等腰三角形的判定、角平分线的性质等知识；本题综合性强，有一定难度．17．4【分析】首先利用平行四边形的性质对角线互相平分得出的AO和DO长，再利用勾股定理得出的长，进而利用三角形中位线定理与性质得出的长．【详解】解：在平行四边形中，，，，，，故,、分别是线段、的中点，是的中位线，∴，，则的长为：．故答案为：．【点睛】此题主要考查了平行四边形的性质以及勾股定理和三角形中位线定理等知识，得出的长是解题关键．18．（1）是，等边三角形，60；（2）15；（3）见解析．【分析】（1）由折叠的性质可得AN＝BN，AE＝BE，∠NEA＝90°，BM垂直平分AN，∠BAM＝∠BNM＝90°，可证△ABN是等边三角形，由等边三角形的性质和直角三角形的性质可求解；（2）由折叠的性质可得∠ABG＝∠HBG＝45°，可求解；（3）由折叠的性质可得AO＝A'O，AA'⊥ST，由“AAS”可证△ASO≌△A'TO，可得SO＝TO，由菱形的判定可证四边形SATA'是菱形．【详解】解：（1）如图①∵对折矩形纸片ABCD，使AD与BC重合，∴EF垂直平分AB，∴AN＝BN，AE＝BE，∠NEA＝90°，∵再一次折叠纸片，使点A落在EF上的点N处，∴BM垂直平分AN，∠BAM＝∠BNM＝90°，∴AB＝BN，∴AB＝AN＝BN，∴△ABN是等边三角形，∴∠EBN＝60°，∴∠ENB＝30°，∴∠MNE＝60°，故答案为：是，等边三角形，60；（2）∵折叠纸片，使点A落在BC边上的点H处，∴∠ABG＝∠HBG＝45°，∴∠GBN＝∠ABN﹣∠ABG＝15°，故答案为：15；（3）证明：∵折叠矩形纸片ABCD，使点A落在BC边上的点A'处，∴ST垂直平分AA'，∴AO＝A'O，AA'⊥ST，∵AD∥BC，∴∠SAO＝∠TA'O，∠ASO＝∠A'TO，∴△ASO≌△A'TO（AAS）∴SO＝TO，∴四边形ASA'T是平行四边形，又∵AA'⊥ST，∴四边形SATA'是菱形．【点睛】本题是四边形综合题，考查了矩形的性质，菱形的判定，全等三角形的判定和性质，折叠的性质，等边三角形的判定和性质等知识，灵活运用这些性质进行推理是本题的关键．19．（1）画图见解析；（2）；（3）证明见解析．【分析】（1）根据题意直接作图即可；（2）如图所示，设与交于点，取中点，连接，，则有，进而可证，由勾股定理可得AB，利用等积法及线段的和差关系可求解；（3）过分别作延长线交延长线于，由题意易得，进而可证，然后有，，则问题得解．【详解】解：（1）如图所示，作直角三角形．（2）如图所示，设与交于点，取中点，连接，，∵和都是直角三角形，点为的中点，∴，∴是等腰三角形，又∵，∴，∴是等腰三角形的中线，即，在直角中，∵，，∴由勾股定理得，∴，代入可得：，∴．（3）如图所示，过分别作延长线交延长线于，∵，∴，又∵，，∴，∴，∴，又∵，∴，∴，又，∴平分．【点睛】本题主要考查勾股定理、等腰三角形的性质及直角三角形斜边中线定理，熟练掌握勾股定理、等腰三角形的性质及直角三角形斜边中线定理是解题的关键．20．(1)，(2)矩形，见解析【分析】本题考查矩形，点关于直线对称的知识，解题的关键是掌握点关于直线对称的性质，矩形的判定，即可．（1）根据点关于直线对称，则，互换即为对称点坐标求出点，根据点关于原点对称横纵坐标互为相反数，即可；（2）根据点关于原点对称横纵坐标互为相反数，求出点，再根据矩形的判定，即可．【详解】（1）∵，∴点关于直线的对称点；∵关于原点对称横纵坐标互为相反数，∴关于原点的对称点的坐标为：．（2）∵点，∴点原点的对称点的坐标为：，∵点与点关于原点对称，点与点关于原点对称，∴，，∴四边形是平行四边形，∵点关于直线的对称点为，点关于原点的对称点为，点关于原点的对称点为，∴，∴平行四边形是矩形．21．（1）0.48；（2）0.12km2；（3）（+5）万元．【分析】（1）过点B作BE⊥OA于点E，由平行四边形的性质得出AB=BO=0.5km，AO=0.6km，运用勾股定理求出BE的长，再运用三角形面积公式求出△AOB的面积，再乘以4即可得解；（2）连接AM、CN，得出S△AMN=S▱ABCD，由平行四边形ABCD的面积为0.48km2可得结果；（3）将AN沿MN向下平移0.5km至PM，连接PC交BD于点，此时点N位于处，此时即为AN+CM=PC取最小值，过M作MG⊥AC于点G，证明四边形和四边形均为平行四边形，得到，求出MC=可得PC的值， 从而得AN、MN、CM和的最小值为：(+0.5)km，再乘以每千米的费用即可得到答案．【详解】∵四边形ABCD是平行四边形，AC=1.2km，BD=1km，∴OA=OC=AC=0.6km，OB=OD=BD=0.5km，∴在△AOB中，过点B作BE⊥OA于点E，如图：∵AB=OB=0.5km，OA=0.6km，BE⊥OA，∴AE=OA=0.3km，∴BE==0.4km，∴S△AOB=OA•BE=×0.6×0.4=0.12km2，∴S▱ABCD=4S△AOB=4×0.12=0.48km2；∴公园的面积为0.48km2．故答案为：0.48．（2）连接AM、CN，如图：∵在△ACM中，OA=OC，∴S△COM=S△AOM，∴S△AON+S△COM=S△AON+S△AOM=S△AMN．∵OB=BM+MO，BM=ON，OB=OD=BD，∴MN=MO+ON=OB=BD，∴S△AMN=S▱ABCD=0.12km2，∴S△AON+S△COM=S△AMN=0.12km2，∴种植郁金香区域的面积为0.12km2．（3）将AN沿MN向下平移0.5km至PM，连接PC交BD于点，此时点N位于处，此时即为AN+CM=PC取最小值，过作于点G，如图：∵MN=BD=0.5km，  ∴为△APC的中位线，∴=AP===km，∴四边形和四边形均为平行四边形，∴，，∴，即为OB中点，∴为中位线，∵BE=0.4km，OB=0.5km可知，∴，∴在中，∴，∴在中，由勾股定理得：，∴PC=km，∴AN、MN、CM和的最小值为：(+0.5)km，∴投入资金的最小值为：10×(+0.5)=(+5)（万元）．【点睛】此题考查了平行四边形的判定与性质，最短路径问题，三角形中位线的判定和性质，勾股定理．解题的关键是添加辅助线，学会用转化的思想解决问题．22．(1)见详解．(2)13【分析】本题考查了平行四边形的性质，角平分线的性质，等腰三角形的三线合一性质知识，（1）根据平行四边形性质和角平分线性质可得，．即可得到，．即可求证结论．（2）过点A作，垂足为H，利用，可计算出的长度，结合（1）即可求出长度．【详解】（1）解：∵四边形是平行四边形．∴，，．∴，．∵是的平分线，是的平分线．∴，．∴，．∴，．∴．∴．∴．（2）过点A作，垂足为H，如图：由（1）知，且，，∴， ． ∵，∴，∴，． ∴．∵．∴．∴．∴．23．(1)见解析(2)130°【分析】（1）先利用角平分线的定义和平行线的性质得到，进而得到，再结合可得即可证明结论；（2）先根据角平分线的定义可得，再根据三角形内角和定理可得；然后由平行四边形的性质可得，最后由平行线的性质即可解答．【详解】（1）证明：∵BD是△ABC的角平分线，∴，∵，∴，∴，∴，∵，∴，又∵∴四边形EFCD是平行四边形．（2）解：∵BD是△ABC的角平分线，，∴，∵，∴，∵四边形EFCD是平行四边形，∴，∴．【点睛】本题主要考查了平行四边形的性质、平行四边形的判定、角平分的定义、平行的性质等知识点，灵活运用相关性质定理成为解答本题的关键．24．见解析【分析】先画出图形，再根据图形写出已知、求证，然后根据平行四边形的定义证明即可．【详解】解：已知：如图，四边形中，．求证：四边形是平行四边形．  证明：在和中，，∴，∴，∴，同理：，∴四边形是平行四边形．【点睛】本题主要考查平行四边形的判定、全等三角形的判定和性质等知识点，正确寻找全等三角形解决问题是解题的关键．题号12345678910答案DBBCDCBADC题号1112        答案DD