2025年普通高等学校招生全国统一考试适应性测试数学试卷02（含答案解析）

这是一份2025年普通高等学校招生全国统一考试适应性测试数学试卷02（含答案解析），共19页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
一、单选题
1．已知集合，，则（ ）
A．B．C．D．
2．若，则（ ）
A．B．C．D．
3．某平台为维护消费者权益，开设维权通道，消费者可通过电话投诉专线、邮件投诉等多个渠道进行消费维权投诉．平台将对投诉情况进行核实，为消费者提供咨询帮助．据统计，在进行维权的消费者中，选择电话投诉专线维权和邮件投诉维权的概率分别为和，且对应维权成功的概率分别为、，选择其他方式维权且成功的概率为，则在维权成功的条件下，选择邮件投诉的概率为（ ）
A．B．C．D．
4．已知，则（ ）
A．B．C．D．
5．已知，是平面内两个不共线向量，，，A，B，C三点共线，则m＝（ ）
A．B．C．D．6
6．已知等差数列的前项和为，则（ ）
A．18B．13C．D．
7．已知函数则（ ）
A．B．C．1D．4
8．已知是椭圆的左、右焦点，是上一点.过点作直线的垂线，过点作直线的垂线.若的交点在上(均在轴上方)，且，则的离心率为( )
A．B．C．D．
二、多选题
9．盒子中有12个乒乓球，其中8个白球4个黄球，白球中有6个正品2个次品，黄球中有3个正品1个次品．依次不放回取出两个球，记事件“第次取球，取到白球”，事件“第次取球，取到正品”，．则下列结论正确的是（ ）
A．B．
C．D．
10．关于空间向量，以下说法正确的是（ ）
A．已知，则在上的投影向量为
B．已知两个向量，且，则
C．设是空间中的一组基底，则也是空间的一组基底
D．若对空间中任意一点，有，则四点共面
11．双曲线具有以下光学性质：从双曲线的一个焦点发出的光线，经双曲线反射后，反射光线的反向延长线经过双曲线的另一个焦点．由此可得：过双曲线上任意一点的切线平分该点与两焦点连线的夹角．已知O为坐标原点，分别为双曲线的左、右焦点，过C右支上一点作双曲线的切线交x轴于点，则（ ）
A．
B．平面上点的最小值为
C．若经过左焦点的入射光线经过点A，且，则入射光线与反射光线的夹角为
D．过点作，垂足为H，则
三、填空题
12．如图是某折扇的示意图，已知为的中点， ，，则此扇面部分（扇环）的面积是 .
13．已知数列是等比数列，数列是等差数列，若，，则的值是 .
14．已知定义在上的函数满足：，，当时，，则
四、解答题
15．已知函数的一个零点为．
(1)求的值及的最小正周期；
(2)若对恒成立，求的最大值和的最小值．
16．已知数列满足．
(1)求的通项公式；
(2)在和之间插入n个数，使这个数构成等差数列，记这个等差数列的公差为，求数列的前n项和．
17．2024年法国奥运会落下帷幕．某平台为了解观众对本次奥运会的满意度，随机调查了本市1000名观众，得到他们对本届奥运会的满意度评分（满分100分），平台将评分分为共5层，绘制成频率分布直方图（如图1所示）．并在这些评分中以分层抽样的方式从这5层中再抽取了共20名观众的评分，绘制成茎叶图，但由于某种原因茎叶图受到了污损，可见部分信息如图2所示．
(1)求图2中这20名观众的满意度评分的第35百分位数；
(2)若从图2中的20名观众中再任选取3人做深度采访，求其中至少有1名观众的评分大于等于90分的概率；
(3)已知这1000名观众的评分位于上的均值为67，方差为64.7，位于上的均值为73，方差为134.6，求这1000名观众的评分位于上的均值与方差．
18．如图，在四棱锥中，底面是矩形，侧棱底面，是的中点，作交于点.
(1)求证：平面；
(2)若平面与平面的夹角的正弦值为，
（i）求长；
（ii）求直线与平面所成角的正弦值.
19．已知椭圆的离心率为，其长轴的左、右两个端点分别为，，短轴的上、下两个端点分别为、，四边形的面积为4.
(1)求椭圆的方程；
(2)P是椭圆上不同于，的一个动点.
①直线、与y轴分别交于两点，求证：为定值；
②直线、分别与直线交于，判断以线段为直径的圆是否经过定点并说明.
2025年普通高等学校招生全国统一考试适应性测试02
数学试卷答案解析
1．D
【分析】解二次不等式得到集合，然后用集合的交集求得结果.
【详解】，∴，即，
，
∴，
故选：D.
2．C
【分析】根据复数运算法则计算.
【详解】根据题意，，
则.
故选：C
3．B
【分析】设选择邮件投诉为事件，维权成功为事件，求出、的值，利用条件概率公式可求得的值.
【详解】设选择邮件投诉为事件，维权成功为事件，
则，，
故在维权成功的条件下，选择邮件投诉的概率为.
故选：B.
4．B
【分析】由两角和的正弦公式及辅助角公式得到，再结合二倍角公式、诱导公式即可求解.
【详解】由得，
所以．
又，
故．
故选：B
5．C
【分析】利用共线向量定理列式计算即得.
【详解】由A，B，C三点共线，得，共线， 设，而，，
则，又，是平面内两个不共线向量，因此，，
所以.
故选：C
6．D
【分析】由等差数列的性质可知依旧成为等差数列，据此求解.
【详解】由，可设，
为等差数列，为等差数列，
即成等差数列，
，
即.
故选：D.
7．B
【分析】直接代值计算即可.
【详解】由题意，.
故选：B.
8．A
【分析】由题意可判断，根据已知条件写出的方程，并求出点的坐标，再利用的关系即可求解.
【详解】

如图，设，，，
由题意可知，，
则直线的斜率，可知直线的方程为，
同理可得的方程为，
联立方程，解得，即，
因为在上，可知关于轴对称，且，
则，可得，
又因为，即，
所以，整理得，
解得或(舍去)，则，
所以椭圆的离心率为.
故选：A.
9．BC
【分析】利用古典概型的概率公式及排列组合数，求出，，，，，，再利用条件概率公式即可判断各个选项.
【详解】对A，事件“第2次取球，取到正品”，，故A错误；
对B，，所以，故B正确；
对C，事件“第1次取球，取到白球且第2次取球，取到正品”，
包括（白正，白正），（白正，黄正），（白次，白正），（白次，黄正），
共有种情况，则，
又因为，故C正确；
对D，事件“第1次取球，取到正品且第2次取球，取到白球”，
包括（正白，正白），（正白，次白），（正黄，正白），（正黄，次白），
共有种情况，，故D错误；
故选：BC.
10．BC
【分析】根据投影向量计算公式判断A；根据空间向量共线的知识判断B；根据空间向量共面的知识判断C和D．
【详解】对于A，因为，所以，
所以在上的投影向量为，故A错误；
对于B，因为，所以
因为，所以，
解得，所以，故B正确；
对于C，设是空间中的一组基底，则不共面，
假设共面，则，显然无解，所以不共面，
则也是空间的一组基底，故C正确；
对于D，，但，则四点不共面，故D错误．
故选：BC
11．ABD
【分析】求出直线的方程，即可求得，从而利用求解，判断A项；利用双曲线定义将转化为可得解，即可判断B项；求出点的坐标，研究的大小，即可判断C项；根据双曲线的光学性质可推得，点为的中点.进而得出，结合双曲线的定义，即可判断D项.
【详解】解：对于A项，设直线的方程为，，
联立方程组，消去整理得，
，
，即，
又因为，所以上式可化简整理得，
所以，
所以直线的方程为，即，
所以，因为，所以，故A项正确；
对于B项，由双曲线定义得，且，
则，
所以的最小值为.故B项正确；
对于C项，根据双曲线的光学性质可知反射光线所在直线即直线，
因为且，所以，
若，则，
所以直线直线；
同理可知当也可判断直线直线，
所以入射光线与反射光线的夹角为，故C项错误；
对于D项，如图，
为双曲线的切线，由双曲线的光学性质可知，平分，
延长与的延长线交于点.
则垂直平分，即点为的中点.
又是的中点，所以，，故D项正确.
故选：ABD.
【点睛】思路点睛： D项中，结合已知中，给出的双曲线的光学性质，即可推出.
12．
【分析】根据扇形的面积公式计算可得.
【详解】因为为的中点， ，，
所以，所以，，
所以此扇面部分（扇环）的面积是.
故答案为：
13．
【分析】根据等差数列和等比数列的性质得到，，代入所求从而得到结果.
【详解】由题意得：，解得：，
，解得：，
所以.
故答案为：.
14．
【分析】求出，根据，结合函数解析式可求得所求函数值.
【详解】因为定义在R上的函数满足：，，
，且当时，，
则.
故答案为：.
15．(1)，最小正周期为
(2)的最大值是；的最小值是1
【分析】（1）现有条件求出值的解析式，再运用降幂公式和辅助角公式将其化成正弦型函数，即可求得的最小正周期；
（2）先由给定区间求出的范围，结合正弦函数的图象，求得其值域，分析函数取最值时自变量的值，即可求出的最大值和的最小值.
【详解】（1）由题设，化简得
解得．
故
则的最小正周期为；
（2）由，可得．
故得，即．
当，即时，取得最大值1；
当，即时，取得最小值．
由对恒成立，可得，且．
即的最大值是，的最小值是1．
16．(1)；
(2).
【分析】（1）根据递推式，写出前和项，进而作差求通项公式即可；
（2）根据等差数列性质求得，再应用错位相减法、等比数列前n项和公式求和.
【详解】（1）因为①，
当时，②，
①②，得．
所以，当时，满足上式，
所以的通项公式为．
（2）由题，知，得，
则③，
④，
③④得 ，
所以．
17．(1)
(2)
(3)这1000名观众的评分位于上的均值与方差分别为，.
【分析】（1）根据百分位数的定义求解即可；
（2）先求出的人数，利用对立事件结合古典概型求解即可；
（3）根据题意利用分层抽样的平均数和方差公式运算求解.
【详解】（1）∵，
∴第35百分位数为第两个数的平方数
（2）由图1可知，图2中有2人，
所以从图2中的20名观众中再任选取3人做深度采访，求其中至少有1名观众的评分大于等于90分设为事件，
所以.
（3）由题意可知：落在的频率为，落在的频率为，
因为这1000名观众的评分位于上的均值为67，方差为64.7，
位于上的均值为73，方差为134.6，
所以，
设这1000名观众的评分位于上的均值与方差分别为，
所以，解得：，
，
解得：.
这1000名观众的评分位于上的均值与方差分别为，.
18．(1)证明见解析
(2)（i）2；（ii）
【分析】（1）以为原点，所在直线分别为轴､轴､轴，建立如图所示的空间直角坐标系，计算，所以，结合即可证明；
（2）（i）求出平面与平面的法向量，由两平面夹角的正弦值求长；
（ii）由（1）可知是直线与平面所成角的一个平面角，即可得解.
【详解】（1）以为原点，所在直线分别为轴､轴､轴，
建立如图所示的空间直角坐标系，
设，则.
因为，
故，所以.
由已知，且，平面.
所以平面.
（2）（i）设平面的法向量，因为，
所以，所以，令，得；
设平面的法向量，
所以，所以，令，得；
设平面与平面的夹角为，则，
因为，所以，所以，
解得（取正），所以长为2.
（ii）由（1）可知，故是直线与平面所成角的一个平面角，
在直角中，，
又，则与互余，
所以，即直线与平面所成角的正弦值为.
19．(1)
(2)①证明见解析；
②过定点
【分析】（1）由已知可得，求解即可；
（2）①设，求得直线的方程为，直线的方程，进而求得点的坐标，可求得为定值；
②求得以线段为直径的圆的方程，令求解即可.
【详解】（1）由题意可得，解得，所心椭圆的方程为；
（2）①设，所以，则，
由（1）可得，，
则直线的方程为，
令，解得，则，
则直线的方程为，
令，解得，则，
所以，
所以为定值1；
②由①知直线的方程为，
令，得，则，
则直线的方程为，
令，解得，则，
又，
所以的中点，
又，
所以圆的半径为，
所以以线段为直径的圆的方程为，
令，得
，
所以，
故以线段为直径的圆经过定点.
【点睛】关键点点睛：重点在于求得以线段为直径的圆，利用对称性可知令，可求定点坐标.
题号
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
答案
D
C
B
B
C
D
B
A
BC
BC
题号
11









答案
ABD