2025年1月普通高等学校招生全国统一考试适应性测试（八省联考）数学试题（Word版附解析）

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注意事项：
1．答卷前，考生务必将自己的姓名、考生号等填写在答题卡上．
2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．回答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在本试卷上无效．
3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回．
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1. 已知集合，则（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】由交集的运算求解即可；
【详解】由题意可得.
故选：C.
2. 函数的最小正周期是（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】根据三角函数最小正周期的求法求得正确答案.
【详解】依题意，的最小正周期.
故选：D
3 （ ）
A. 2B. 4C. D. 6
【答案】C
【解析】
【分析】根据复数模的概念直接求解.
【详解】由题意：.
故选：C
4. 已知向量，则（ ）
A. 2B. 1C. 0D.
【答案】B
【解析】
【分析】利用向量的坐标运算求解.
【详解】，，
，
.
故选：B.
5. 双曲线的渐近线方程为（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】根据双曲线的标准方程，结合渐近线方程，可得答案.
【详解】由方程，则，所以渐近线.
故选：C.
6. 底面直径和母线长均为2的圆锥的体积为（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】由勾股定理先求出圆锥的高，进而利用圆锥体积公式求解即可.
【详解】由题可知圆锥的底面半径，母线长，高，
∴圆锥的体积为.
故选：A.
7. 在中，，则的面积为（ ）
A. 6B. 8C. 24D. 48
【答案】C
【解析】
【分析】先根据余弦定理求出边的长度，再利用三角形面积公式求出三角形面积即可.
详解】设，根据余弦定理，
已知，，，代入可得：
，即，解得，
由于，则为直角三角形，
则.
故选：C.
8. 已知函数，若当时，，则的取值范围是（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】分类讨论，去掉绝对值，结合一元二次不等式的求解即可得解.
【详解】当，时，，
当时，，此时，
所以，不满足当时，，故不符合题意；
当，时，，解得，
由于时，，故，解得；
当，时，恒成立，符合题意；
当，时，，解得，
由于时，，故，解得.
综上.
故选：B
【点睛】关键点点睛：解决本题的关键是对分类讨论，结合因式分解方法有针对性求解时的的解集，从而可求解.
二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．
9. 已知是抛物线的焦点，M是C上的点，O为坐标原点．则（ ）
A.
B.
C. 以M为圆心且过F的圆与C的准线相切
D. 当时，的面积为
【答案】ABC
【解析】
【分析】根据焦点坐标求出判断A，根据抛物线定义判断B，C，应用已知联立方程求出点的坐标计算判断三角形的面积判断D.
【详解】因为是抛物线的焦点，所以，即得，A选项正确；
设在上，所以，
所以，B选项正确；
因为以M为圆心且过F的圆半径为等于M与C的准线的距离，所以以M为圆心且过F的圆与C的准线相切，C选项正确；
当时,
，且，，
所以,或舍
所以的面积为，D选项错误.
故选：ABC.
10. 在人工神经网络中，单个神经元输入与输出的函数关系可以称为激励函数．双曲正切函数是一种激励函数．定义双曲正弦函数，双曲余弦函数，双曲正切函数．则（ ）
A. 双曲正弦函数是增函数B. 双曲余弦函数是增函数
C. 双曲正切函数是增函数D.
【答案】ACD
【解析】
【分析】对A、B：借助导数求导后即可得；对C：借助双曲正弦函数与双曲余弦函数将双曲正切函数化简后，结合指数函数性质即可得；对D：借助双曲正弦函数与双曲余弦函数，分别将等式左右两边化简即可得.
【详解】对A：令，
则恒成立，故双曲正弦函数是增函数，故A正确；
对B：令，
则，由A知，为增函数，又，
故当时，，当时，，
故在上单调递减，在上单调递增，故B错误；
对C：，
由在上单调递增，且，
故是增函数，故C正确；
对D：由C知，则，
，
故，故D正确.
故选：ACD.
11. 下面四个绳结中，不能无损伤地变为图中的绳结的有（ ）
A. B. C. D.
【答案】ABD
【解析】
【分析】对A，原图中的圆环无法解开，对BC转化为三叶结问题即可；对D通过绳数即可判断.
【详解】对于A选项：原图中的圆环不可解开，则无法无损变为一个圆，无法得到A选项；
对于D选项：为三个圆，不是一根绳，无法得到D选项；
对于B,C选项：根据左手三叶结和右手三叶结不能无损转换，而BC情形为三叶结变体，则BC至少有一个无法无损伤得到，
两者为手性，即镜像（即只能在镜子中相互重叠），再通过考场身边道具（如鞋带，头发）进行实验可知：可以得到C选项，无法得到B选项.
故选：ABD．
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．
12. 已知函，若，则____________．
【答案】
【解析】
【分析】根据条件，利用指数和对数的运算求得答案.
【详解】由，可得，
即，也即，
且，，
两边取对数得：，解得.
故答案为：.
13. 有8张卡片，分别标有数字1，2，3，4，5，6，7，8，现从这8张卡片中随机抽出3张，则抽出的3张卡片上的数字之和与其余5张卡片上的数字之和相等的概率为____________．
【答案】
【解析】
【分析】先写出基本事件总数，再求出所有卡片上的数字之和，得到抽出的3张卡片上的数字之和应为，列举出和为的3张卡片即可求解.
【详解】从8张卡片中随机抽出3张，则样本空间中总的样本点数为，
因为，
所以要使抽出的3张卡片上的数字之和与其余5张卡片上的数字之和相等，
则抽出的3张卡片上的数字之和应为，
则抽出3张卡片上的数字的组合有或或共3种，
所以符合抽出的3张卡片上的数字之和为的样本点个数共3个，
所以抽出的3张卡片上的数字之和与其余5张卡片上的数字之和相等的概率为.
故答案为：.
14. 已知曲线，两条直线、均过坐标原点O，和交于M、N两点，和交于P、Q两点，若三角形的面积为，则三角形的面积为____________．
【答案】
【解析】
【分析】根据对称性，结合图象来求得正确答案.
【详解】由于和都符合，
所以曲线的图象关于原点对称，当时，函数单调递增，
由此画出曲线大致图象如下图所示，
两条直线、均过坐标原点，所以M、N两点关于原点对称，P、Q两点关于原点对称，
根据对称性，不妨设位置如图，
可知，，
所以，所以，
而和等底等高，面积相同，所以，
所以.
故答案为：
【点睛】方法点睛：利用曲线对称性：充分利用曲线关于原点对称的性质，确定点的对称关系，这是解决本题的基础.通过对称关系，能够推导出相关线段和三角形之间的等量关系，为后续的面积计算提供依据.
四、解答题（本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）
15. 为考察某种药物对预防疾病的效果，进行了动物（单位：只）试验，得到如下列联表：
（1）求，；
（2）记未服用药物的动物患疾病的概率为，给出的估计值；
药物
疾病
合计
未患病
患病
未服用
100
80
服用
150
70
220
合计
250
400
（3）根据小概率值的独立性检验，能否认为药物对预防疾病有效?
附：，
【答案】（1），
（2）
（3）能认为药物对预防疾病有效
【解析】
【分析】（1）根据列联表求和即可；
（2）用频率估计概率，计算即可；
（3）根据公式计算，然后根据临界值表分析判断即可.
【小问1详解】
由列联表知，；
【小问2详解】
由列联表知，未服用药物的动物有（只），
未服用药物且患疾病的动物有（只），
所以未服用药物的动物患疾病的频率为，
所以未服用药物的动物患疾病的概率的估计值为；
【小问3详解】
零假设为：药物对预防疾病无效，
由列联表得到，
根据小概率值的独立性检验，推断不成立，
即认为药物对预防疾病有效，该推断犯错误的概率不超过，
0.050
0.010
0.001
3.841
6.635
10.828
所以根据小概率值的独立性检验，能认为药物对预防疾病有效.
16. 已知数列中，
（1）证明：数列为等比数列；
（2）求的通项公式；
（3）令，证明:．
【答案】（1）证明见解析；
（2）；
（3）证明见解析.
【解析】
【分析】（1）根据题设条件化简，结合等比数列的定义即可证明；
（2）由（1）求得数列的通项公式，再求即得；
（3）将（2）中得到的的通项代入求得，化简后利用数列的单调性即可得证.
【小问1详解】
由得，
则，
所以数列是首项为，公比为的等比数列.
【小问2详解】
由（1）得,
解得：.
【小问3详解】
令，，
因为在上单调递增，则
所以数列在上单调递减，从而数列在上单调递增，且，
故得.
17. 已知函数.
（1）设，求曲线的斜率为2的切线方程；
（2）若是的极小值点，求b的取值范围.
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】（1）由切线斜率为2，结合导数知识可得切线过点，然后可得切线方程；
（2）由是的极小值点，可得，然后据此讨论的单调性，分析得在时的极值情况，从而得解.
【小问1详解】
当时，，其中，
则，令，
化简得，解得（负值舍去），
又此时，则切线方程过点，结合切线方程斜率为2，
则切线方程为，即.
【小问2详解】
由题可得定义域为，，
因是的极小值点，则，
则，
若，令，令，
则在上单调递增，在上单调递减，
得是的极大值点，不满足题意；
若，令，令，
则在上单调递增，在上单调递减，
得是的极大值点，不满足题意；
若，则，在上单调递减，无极值，不满足题意；
若，令，令，
则在上单调递增，在上单调递减，
得是的极小值点，满足题意；
综上，是的极小值点时，.
18. 已知椭圆C的离心率为，左、右焦点分别为，
（1）求C的方程；
（2）已知点，证明：线段的垂直平分线与C恰有一个公共点；
（3）设M是坐标平面上的动点，且线段的垂直平分线与C恰有一个公共点，证明M的轨迹为圆，并求该圆的方程．
【答案】（1）
（2）证明见解析 （3）点的轨迹是圆，该圆的方程为
【解析】
【分析】(1)根据椭圆焦点坐标得，离心率为，得，从而求出，得出椭圆方程；
(2)写出中垂线方程，联立椭圆方程，判别式等于零，即可证明恰一个公共点；
(3)解法一：利用设直线方程联立椭圆方程的方法，根据判别式等于0，即可求解.
解法二：利用椭圆定义和线段垂直平分线的性质结合光学性质，得到 ，从而得到点的轨迹和轨迹方程.
【小问1详解】
因为椭圆左、右焦点分别为，，所以，又因为椭圆C的离心率为，
得，所以椭圆方程为.
【小问2详解】
由，得直线斜率为，中点坐标为，
所以线段的垂直平分线方程为，
联立垂直平分线方程和椭圆方程
得，，
，所以直线与椭圆相切，
线段的垂直平分线与C恰有一个公共点；
【小问3详解】
解法一：设，
当时，的垂直平分线方程为，
此时或；
当时，的垂直平分线方程为，
联立，
得，
即
因为线段的垂直平分线与C恰有一个公共点，
故，
即，
则，
即，
，
即，
，
而，也满足该式，
故点的轨迹是圆，该圆的方程为，即.
解法二：设线段的垂直平分线与C恰有一个公共点为P，
则当点P不在长轴时，线段的垂直平分线即为点P处的切线，
也为的角平分线，

作的角平分线，根据椭圆的光学性质得，
，则，
故，
所以三点共线，所以，
所以点的轨迹是以为圆心，4为半径的圆，
当P在椭圆长轴上时，M点或也满足，
故点的轨迹是圆，该圆的方程为.
【点睛】方法点睛：判断直线与椭圆公共点的个数问题的方法是：
(1)首先根据题意得到直线和椭圆方程；
(2)联立直线和椭圆方程，消元得到一元二次方程；
(3)计算，根据，判断直线与椭圆公共点的个数.
19. 在平面四边形中，，，将沿AC翻折至，其中P为动点.
（1）设，三棱锥的各个顶点都在球O的球面上．
（i）证明：平面平面；
（ii）求球O的半径
（2）求二面角的余弦值的最小值.
【答案】（1）（i）证明见解析；（ii）球O的半径为；
（2）.
【解析】
【分析】（1）（i）由题设求证，即可由线面垂直的判定定理得平面，再由面面垂直判定定理得证；（ii）建立以A为原点空间直角坐标系，设球心，半径，由列方程组即可计算求解.
（2）过P作于G，在平面中，过G作，设，，以G为原点建立空间直角坐标系，求平面和平面的一个法向量，由空间向量夹角公式，通过换元结合二次函数的性质求解即得.
【小问1详解】
在中，由，得，
所以，且，即，
（i）证明：因为，，，平面，
所以平面，又平面，
所以平面平面；
（ii）以A为原点，分别为x轴和y轴正方向建立如图所示空间直角坐标系，
则，设球心，半径，
则，
所以，
解得，所以球O的半径为；
【小问2详解】
在平面中，过P作于G，在平面中，过G作，
则由（1），
设，以G为原点，分别为x轴和y轴正方向建立如图所示的空间直角坐标系，
则，
所以，
设平面和平面的一个法向量分别为，，
则，，
所以，，
取，，则，，
所以，
令，则,由得，则，
则
，
当且仅当即，时等号成立，
所以二面角的余弦值的最小值为.
【点睛】方法点睛：求空间二面角常用方法：
（1）定义法：根据定义作出二面角的平面角；
（2）垂面法：作二面角棱的垂面，则垂面与二面角两个面的两条交线所成的角就是二面角所成角的平面角；
（3）向量坐标法：作空间直角坐标系，求出二面角的法向量，由空间向量的夹角公式计算即可；
（4）射影面积法：求出斜面面积和它在有关平面的射影的面积，再由射影面积公式计算求解.