2024-2025学年四川省绵阳市游仙区八年级（上）入学数学试卷（含详解）

这是一份2024-2025学年四川省绵阳市游仙区八年级（上）入学数学试卷（含详解），共16页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

1.在实数13，0.101101， 6，327， 9中，无理数共有( )
A. 1个B. 2个C. 3个D. 4个
2.要调查下列两个问题：(1)了解班级同学中哪个月份出生的人数最多；(2)了解全市七年级学生早餐是否有喝牛奶的习惯.这两个问题分别采用什么调查方式更合适( )
A. 全面调查，全面调查B. 抽样调查，抽样调查
C. 抽样调查，全面调查D. 全面调查，抽样调查
3.如图，该数轴表示的不等式的解集为( )
A. x≤1B. x<1C. x≥1D. x>1
4.如图，点E在CD延长线上，下列条件①∠1=∠2，②∠3=∠4，③∠5=∠B，④∠B+∠BDC=180°，不能判定AB//CD的有( )
A. 1个 B. 2个
C. 3个 D. 4个
5.若a>b，则acA. c>0B. c≥0C. c<0D. c≤
6.点P(4,7)到x轴的距离是( )
A. 4B. 7C. 5D. 11
7.如图，将1、 2、 3三个数按图中方式排列，若规定(a,b)表示第a排第b列的数，则(5,4)与(51,30)表示的两个数的积是( )
A. 6B. 3C. 2D. 1
8.如图，在Rt△AOB中，∠O=90°，以点A为旋转中心，把△ABO顺时针旋转得△ACD，记旋转角为α，∠ABO为β，当旋转后满足BC//OA时，α与β之间的数量关系为( )
A. α=β B. α=2β C. α+β=90° D. α+2β=180°
9.五四青年节临近，小强在准备爱心捐助活动中发现班级同学捐赠的一个书包的成本为60元，定价为90元，为使得利润率不低于5%，在实际售卖时，该书包最多可以打( )折．
A. 8B. 8.5C. 7D. 7.5
10.对于二元一次方程组x+2ay=3−a−ax−2y=1，①当a=2时，方程组的解是x=−1y=12，②当a=3时，x+2y=12；③若该方程组无解，则a=±1，以上结论中正确的个数有( )
A. 0个B. 1个C. 2个D. 3个
11.关于x的不等式组−13x>23−x,12x−1<12(a−2)有且只有三个整数解，则a的最大值是( )
A. 3B. 4C. 5D. 6
12.如图，直线a//b，将含有30°角的直角三角尺按如图所示的位置放置，若∠1=15°，那么∠2的大小为( )
A. 60°B. 55°C. 45°D. 35°
二、填空题：本题共6小题，每小题3分，共18分。
13.已知x2=1，3y=−2，且xy<0，则 x−y= ______．
14.如图，已知点D为∠EAB内一点，CD//AB，DF//AE，DH⊥AB交AB于点H，若∠A=40°，则∠FDH的度数为 ．
15.要了解七年级学生的身体发育情况，量得60名男生的身高，绘制成频数分布直方图，从左至右的5个小长方形的高度比为1：3：5：4：2，则第5个小组的频数为______．
16.某些灯具的设计原理与抛物线有关.如图，从点O照射到抛物线上的光线OA，OB等反射后都沿着与POQ平行的方向射出.若∠AOB=150°，∠OBD=90°，则∠OAC= ______°.
17.某初中举行知识抢答赛，总共20道抢答题.抢答规定：抢答对1题得3分，抢答错或不抢答1题扣1分，小刚参加了抢答比赛，要使最后得分不少于50分，那么小刚至少要答对______道题．
18.如图，在三角形ABC中，各顶点的坐标分别为A(−1,3)，B(−2,0)，C(2,2)，则三角形ABC的面积是______．
三、解答题：本题共6小题，共46分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
19.(本小题5分)
计算(− 3)2+ 1−925−3−27− (−2)2．
20.(本小题6分)
用指定的方法解下列方程组：
(1)x−3y=42x+y=13(代入法)；
(2)5x+2y=4x+4y=−6(加减法)．
21.(本小题8分)
如图，已知，在平面直角坐标系中，A(0,1)，B(2,0)，C(a,a−1)，点C到x轴的距离是到y轴距离的34．
(1)求点C的坐标；
(2)求△ABC的面积；
(3)设点P在x轴上，且△ABP与△ABC的面积相等，请直接写出点P的坐标：______．
22.(本小题8分)
疫情期间我市为加强学生的安全防护意识．组织了全市学生参加防护知识竞赛，为了解此次知识竞赛成绩的情况，随机抽取了部分参赛学生的成绩，整理并制作出如图的不完整的统计表和统计图，如图所示，请根据图表信息解答以下问题．
(1)一共抽取了______个参赛学生的成绩；表中a=______；组距是______；
(2)补全频数分布直方图；
(3)计算扇形统计图中“甲”对应的圆心角度数；
(4)若成绩在80分以上(包括80分)的为“优”，则所抽取学生成绩为“优”的占所抽取学生的百分比是多少？
23.(本小题7分)
为了提高学生“停课不停学”居家网上学习的质量.某校举行“做好自己的首席校长”评比大赛，准备购买笔记本和夹子两种文具，奖励在活动中表现优秀的学生.已知购买2个笔记本和3个夹子共需45元；购买1个笔记本和2个夹子共需25元．
(1)求购买一个笔记本和一个夹子各需要多少元？
(2)若学校计划购买这两种文具共120个，笔记本不低于38个，并且投入资金不多于1000元，请问有哪几种购买方案？
24.(本小题12分)
如图，已知AB//CD，现将一个直角△PMN放入图中，其中∠P=90°，PM交AB于点E，PN交CD于点F．
(1)当△PMN所放位置如图①所示时，探索∠PFD与∠AEM的数量关系，并说明理由；
(2)当△PMN所放位置如图②所示时，试探索∠PFD与∠AEM的数量关系(不需要说明理由)；
(3)在(2)的条件下，若MN与CD交于点O，且∠DON=30°，∠PEB=15°，求∠N的度数．
答案解析
1.A
【解析】解：∵327=3，是有理数，
9=3，是有理数，
∴无理数有 6，共1个，
故选：A．
先根据立方根和算术平方根进行计算，再根据无理数的定义逐个判断即可．
本题考查了算术平方根，立方根，无理数等知识点，能熟记无理数的定义是解此题的关键，注意：无理数是指无限不循环小数．
2.D
【解析】解：要调查下列两个问题：
(1)了解班级同学中哪个月份出生的人数最多，采用全面调查方式更合适；
(2)了解全市七年级学生早餐是否有喝牛奶的习惯，采用抽样调查方式更合适；
故选：D．
根据全面调查与抽样调查的特点，逐一判断即可解答．
本题考查了全面调查与抽样调查，熟练掌握全面调查与抽样调查的特点是解题的关键．
3.B
【解析】解：该数轴表示的不等式的解集为x<1．
故选：B．
根据不等式的解集在数轴上表示方法，：>，≥向右画；<，≤向左画，在表示解集时≥，≤要用实心圆点表示；<，>要用空心圆点表示．
本题考查不等式的解集，解题的关键是熟练掌握数轴的表示方法．
4.A
【解析】解：①∠1与∠2是直线AC、BD被AD所截形成的内错角，因为∠1=∠2，所以应是AC//BD，故错误；
②∵∠3=∠4，∴AB//CD (内错角相等，两直线平行)，故正确；
③∵∠5=∠B，∴AB//CD (内错角相等，两直线平行)，故正确；
④∵∠B+∠BDC=180°，∴AB//CD(同旁内角互补，两直线平行)，故正确；
故选：A．
根据平行线的判定方法直接判定．
本题考查了平行线的判定．正确识别“三线八角”中的同位角、内错角、同旁内角是正确答题的关键，不能遇到相等或互补关系的角就误认为具有平行关系，只有同位角相等、内错角相等、同旁内角互补，才能推出两被截直线平行．
5.C
【解析】解：∵a>b，
∴ac∴不等号的反方向改变，
∴利用了不等式性质(3)，
∴c<0．
故选：C．
由于原来是“>”，后来变成了“<”，说明不等号方向改变，那么可判断利用了不等式性质(3)，从而可知c<0．
本题考查了不等式的性质．(1)不等式两边加(或减)同一个数(或式子)，不等号的方向不变．
(2)不等式两边乘(或除以)同一个正数，不等号的方向不变．
(3)不等式两边乘(或除以)同一个负数，不等号的方向改变．
6.B
【解析】解：点P(4,7)到x轴的距离是7．
故选：B．
根据点到x轴的距离等于纵坐标的绝对值计算即可．
本题考查点的坐标，解题关键是熟知点到x轴的距离等于纵坐标的绝对值，点到y轴的距离等于横坐标的绝对值．
7.A
【解析】解：由题意可得，每三个数一循环，分别为1、 2、 3.第一排有1个数，第二排有2个数，第三排有3个数，…第n排有n个数，且每一排的数是从右往作排列的．
∴(5,4)表示第5排第4列的数，(51,30)表示第51排第30列的数，
∵前4排共有1+2+3+4=10个数，
∴第5排第4列的数是第10+4=14个，
∵14÷3=4…2，
∴(5,4)表示的数是 2；
前50排共有1+2+3+4+…+50=(1+50)×50÷2=1275个数，
∴第51排第30列的数是第1275+30=1305个，
∵1305÷3=435，
∴(51,30)表示的数是 3，
∴(5,4)与(51,30)表示的两个数的积是 2× 3= 6．
故选：A．
由题意可得，每三个数一循环，分别为1、 2、 3.第一排有1个数，第二排有2个数，第三排有3个数，…第n排有n个数，且每一排的数是从右往作排列的．从而可得(5,4)与(51,30)表示的是第几排第几列的数，再根据循环规律可得它们分别表示的数，最后计算乘积即可．
本题考查了数字规律的变化，观察分析从而找到题中的循环规律是解题的关键．
8.B
【解析】解：∵把△ABO顺时针旋转得△ACD，
∴△AOB≌△ADC，∠BAC=∠OAD=α，
∴AB=AC，∠BAO=∠CAD，
在△ABC中，∠ABC=12(180°−α)，
∵BC//OA，
∴∠OBC=180°−∠O=180°−90°=90°，
∴β+12(180°−α)=90°，
整理得，α=2β．
故选：B．
由旋转的性质可得△AOB≌△ADC，∠BAC=∠OAD=α，可得AB=AC，∠BAO=∠CAD，由等腰三角形的性质可得∠ABC=12(180°−α)，由平行线的性质可得∠OBC=90°，即可求解．
本题考查了旋转的性质，全等三角形的性质，等腰三角形的性质，灵活运用旋转的性质是本题的关键．
9.C
【解析】解：设在实际售卖时，该书包可以打x折，
依题意得：90×x10−60≥60×5%，
解得：x≥7．
故选：C．
设在实际售卖时，该书包可以打x折，根据利润=售价−成本，结合利润率不低于5%，即可得出关于x的一元一次不等式，解之取其中的最小值即可得出结论．
本题考查了一元一次不等式的应用，根据各数量之间的关系，正确列出一元一次不等式是解题的关键．
10.C
【解析】解：①当a=2时，方程组为x+4y=1−2x−2y=1，
解得：x=−1y=12，
故①正确；
②当a=3时，方程组为x+6y=0−3x−2y=1，
两式相加得：−2x+4y=1，
∴−x+2y=12，
故②错误；
③由第一个方程得：x=3−a−2ay，
代入第二个方程得：−a(3−a−2ay)−2y=1，
化简得：2(a2−1)y=−a2+3a+1，
当a=±1时，2(a2−1)y=0，−a2+3a+1≠0，所以该方程组无解，
故③正确；
故选：C．
①把a=2代入方程组，求解方程组即可；
②把a=3代入方程组，求解方程组即可；
③先消去x，得到关于y的一元一次方程，再根据一元一次方程的一次项系数和常数项判断方程组是否有解．
本题考查了解二元一次方程组，解二元一次方程组的基本思路是消元，③先消去x，得到关于y的一元一次方程，再根据一元一次方程的一次项系数和常数项判断方程组是否有解是解题的关键．
11.C
【解析】解：−13x>23−x①12x−1<12(a−2)②，
由①得：x>1，
由②得：x解得：1∵不等式组有且仅有三个整数解，即2，3，4，
∴4∴a的最大值是5，
故选：C．
分别求出不等式组中两不等式的解集，找出两解集的公共部分表示出不等式组的解集，根据解集有且只有三个整数解，确定出a的范围即可．
此题考查了一元一次不等式组的整数解，熟练掌握不等式组的解法是解本题的关键．
12.C
【解析】解：
∵图中是一个含有30°角的直角三角尺，
∴∠1+∠4=60°，
∵∠1=15°，
∴∠4=60°−∠1=45°，
∵a//b，
∴∠3=∠4=45°，
∵∠2+∠3+90°=180°，
∴∠2=180°−∠3−90°=180°−45°−90°=45°．
故选：C．
首先根据已知得∠1+∠4=60°，进而可求出∠4=45°，然后根据平行线的性质得∠3=45°，最后根据平角的定义可求出∠2的度数．
此题主要考查了平行线的性质及平角的定义，准确识图，熟练掌握平行线的性质，理解平角的定义是解答此题的关键．
13.3
【解析】解：∵x2=1，3y=−2，
∴x=±1，y=−8，
∵xy<0，
∴x=1，
∴ x−y= 1−(−8)= 9=3，
故答案为：3．
根据x2=1,3y=−2可得x、y的值，再根据xy<0可确定x、y的值，代入即可得到答案．
本题考查二次根式的运算，熟练掌握平方根和立方根的定义是解题的关键．
14.130°
【解析】解：如图，延长CD至M．
∵DH⊥AB，
∴∠DHA=90°．
又∵CD//AB，即CM//AB，
∴∠MDH=∠AHD=90°，∠EOD=∠A=40°．
又∵DF//AE，
∴∠EOD=∠FDM=40°．
∴∠FDH=∠FDM+∠MDH=40°+90°=130°．
故答案为：130°．
15.8
【解析】解：60×21+3+5+4+2=8，
故答案为：8．
根据频率=频数总数进行计算即可．
本题考查频数分布直方图，掌握频率=频数总数是解决问题的关键．
16.60
【解析】解：∵BD//PQ，
∴∠POB=∠OBD=90°，
∵∠AOB=150°，
∴∠AOP=∠AOB−∠POB=150°−90°=60°，
∵AC//PQ，
∴∠OAC=∠AOP=60°．
故答案为：60．
根据两直线平行，内错角相等可得∠POB=∠OBD=90°，那么∠AOP=∠AOB−∠POB=60°，再根据两直线平行，内错角相等可得∠OAC=∠AOP=60°．
本题考查了平行线的性质，是基础题，熟记性质是解题的关键．
17.18
【解析】解：设小军答对x道题，
依题意得：3x−(20−x)≥50，
解得：x≥1712，
∵x为正整数，
∴x的最小正整数为18，
即小军至少要答对18道题，
故答案为：18．
设小军答对x道题，由题意：总共20道抢答题，抢答对1题得3分，抢答错或不抢答1题扣1分，使最后得分不少于50分，列出一元一次不等式，解不等式即可．
本题考查一元一次不等式的应用，找出数量关系，列出一元一次不等式是解题的关键．
18.5
【解析】解：△ABC的面积=3×4−12×4×2−12×3×1−12×1×3
=12−4−1.5−1.5
=5．
故答案为：5．
利用△ABC所在的矩形的面积减去四周三个直角三角形的面积列式计算即可得解．
本题考查了坐标与图形性质，主要是在平面直角坐标系中确定点的位置的方法和三角形的面积的求解．
19.解：原式=3+ 1625−(−3)−2
=3+45+3−2
=445．
【解析】先算乘方和开方，再算加减．
本题考查了二次根式的运算，掌握二次根式的性质和运算法则是解决本题的关键．
20.解：(1)x−3y=4①2x+y=13②，
由①得x=3y+4③，
把③代入②，得
2(3y+4)+y=13，
解得y=57，
∴x=3×57+4=617，
∴方程组的解为x=617y=57；
(2)5x+2y=4①x+4y=−6②，
①×2−②，得
9x=14，
解得x=149，
把x=149代入②，得
149+4y=−6，
解得y=−179．
∴方程组的解为x=149y=−179．
【解析】(1)利用代入法解方程组；
(2)利用加减消元法解方程组．
本题考查了解二元一次方程组，做题的关键是掌握加减消元法，和代入消元法解二元一次方程组．
21.解：(1)∵点C到x轴的距离是到y轴距离的34，C(a,a−1)，
∴a−1=34a，
∴a=4，
∴点C的坐标为：(4,3)；
(2)过点C作CD⊥x轴于D，CE⊥y轴于E，如图所示：
则四边形DCEO为矩形，
∴S△ABC=S矩形DCEO−S△AEC−S△ABO−S△BCD=3×4−12×2×4−12×1×2−12×2×3=12−4−1−3=4；
(3)(10,0)或(−6,0)
【解析】解：(1)见答案；
(2)见答案；
(3)设点P的坐标为(x,0)，
则BP=|x−2|．
∵△ABP与△ABC的面积相等，
∴12×1×|x−2|=4，
解得：x=10或x=−6，
∴点P的坐标为(10,0)或(−6,0)，
故答案为：(10,0)或(−6,0)．
(1)由点C到x轴的距离是到y轴距离的34，即可得出答案；
(2)过点C作CD⊥x轴于D，CE⊥y轴于E，则四边形DCEO为矩形，S△ABC=S矩形DCEO--S△AEC−S△ABO−S△BCD求解即可．
(3)设点P的坐标为(x,0)，则BP=|x−2|，由三角形的面积公式求解即可．
本题考查了三角形面积、坐标与图形的性质等知识，利用割补法求得△ABC的面积是解题的关键．
22.(1)40 8 10
(2)由(1)知，a=8，
补全的频数分布直方图如右图所示；
(3)扇形统计图中“甲”对应的圆心角度数是：360°×1040=90°，
即扇形统计图中“甲”对应的圆心角度数是90°；
(4)14+840×100%=55%，
即所抽取学生成绩为“优”的占所抽取学生的百分比是55%．
【解析】解：(1)一共抽取的参赛学生有：14÷35%=40(人)，
a=40−10−14−8=8，
组距是70−60=10，
故答案为：40，8，10；
(2)见答案；
(3)见答案；
(4)见答案．
(1)根据丙组的频数和所占的百分比，可以求得本次参赛的学生人数，然后即可计算出a的值和组距；
(2)根据a的值和频数分布表中的数据，可以将频数分布直方图补充完整；
(3)根据频数分布表中的数据，可以计算出扇形统计图中“甲”对应的圆心角度数；
(4)根据频数分布表中的数据，可以计算出所抽取学生成绩为“优”的占所抽取学生的百分比．
本题考查频数分布直方图、频数分布表、扇形统计图，解答本题的关键是明确题意，利用数形结合的思想解答．
23.解：(1)设购买一本笔记本需x元，购买一个夹子需y元，
根据题意，得：2x+3y=45x+2y=25，
解得：x=15y=5．
答：购买一本笔记本需15元，购买一个夹子需5元．
(2)设购买了a本笔记本，购买了(120−a)个夹子，由题意得，
a≥3815a+5(120−a)≤1000，
解得38≤a≤40．
∴有三种购买方案：①购买38本笔记本，购买82个夹子；
②购买39本笔记本，购买81个夹子；
③购买40本笔记本，购买80个夹子．
【解析】(1)设购买一本笔记本需x元，购买一个夹子需y元，根据题意列出二元一次方程组可得出答案；
(2)设购买了a本笔记本，购买了(120−a)个夹子，由题意列出一元一次不等式组，则可得出答案．
本题考查了二元一次方程组的应用以及一元一次不等式组的应用，解题的关键：(1)找准等量关系，正确列出二元一次方程组；(2)根据各数量之间的关系，正确列出一元一次不等式组．
24.解：(1)作PG//AB，如图①所示：
则PG//CD，
∴∠PFD=∠1，∠2=∠AEM，
∵∠1+∠2=∠P=90°，
∴∠PFD+∠AEM=∠1+∠2=90°，
(2)证明：如图②所示：
∵AB//CD，
∴∠PFD+∠BHF=180°，
∵∠P=90°，
∴∠BHF+∠2=90°，
∵∠2=∠AEM，
∴∠BHF=∠PHE=90°−∠AEM，
∴∠PFD+90°−∠AEM=180°，
∴∠PFD−∠AEM=90°，
(3)如图③所示：
∵∠P=90°，
∴∠PHE=90°−∠FEB=90°−15°=75°，
∵AB//CD，
∴∠PFC=∠PHE=75°，
∵∠PFC=∠N+∠DON，
∴∠N=75°−30°=45°．
【解析】(1)由平行线的性质得出∠PFD=∠1，∠2=∠AEM，即可得出结果；
(2)由平行线的性质得出∠PFD+∠1=180°，再由角的互余关系即可得出结果；
(3)由角的互余关系求出∠PHE，再由平行线的性质得出∠PFC的度数，然后由三角形的外角性质即可得出结论．
本题考查了平行线的性质、角的互余关系；熟练掌握平行线的性质，弄清角之间的数量关系是解决问题的关键．组别
成绩x/分
频数
甲组
60≤x<70
10
乙组
70≤x<80
a
丙组
80≤x<90
14
丁组
90≤x≤100
8