2024-2025学年北京市朝阳区高三上册第三次月考数学质量检测试卷（含解析）

这是一份2024-2025学年北京市朝阳区高三上册第三次月考数学质量检测试卷（含解析），共20页。试卷主要包含了选择题，多项选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
一、选择题（共8题，每题5分，共40分）
1. 设复数，则等于（ ）
A. B. C. D.
【正确答案】C
解析：，.
故选：C.
2. 设集合，，若，则（ ）．
A. 2B. 1C. D.
【正确答案】B
解析：因为，则有：
若，解得，此时，，不符合题意；
若，解得，此时，，符合题意；
综上所述：
故选：B.
3. 掷出两枚质地均匀的骰子，记事件“第一枚点数小于3”，事件“第二枚点数大于4”，则与关系为（ ）
A. 互斥B. 互为对立C. 相互独立D. 相等
【正确答案】C
解析：由题意，掷出两枚质地均匀的骰子共有基本事件个，
其中事件有，共12个，
事件有，共12个，事件有，共4个基本事件，
所以,
所以，故相互独立，
答选：C
4. 在中，点D在边AB上，．记，则（ ）
A. B. C. D.
【正确答案】B
解析：因为点D在边AB上，，所以，即，
所以．
故选：B．
5. 下列选项中，与不相等的是（ ）
A. B. C. D.
【正确答案】D
解析：，故A正确；
，故B正确；
，故C正确；
，故D错误.
故选：D
6. 已知直三棱柱中，，，点到直线的距离为，则三棱柱的外接球表面积为（ ）
A. B. C. D.
【正确答案】C
解析：
过点作于点，连接，
因为三棱柱为直三棱柱，
平面，
又平面，
，
，，平面，且，
平面，
平面，
，
易知，，
，，
，
则，
设外接圆圆心为，外接圆圆心为，
则，即，
且三棱柱外接球球心为中点，
则外接球半径，
表面积为，
故选.
7. 在平面直角坐标系中，以轴非负半轴为始边作角和角，，它们的终边分别与单位圆交于点，，设线段的中点的纵坐标为，若，则角的取值范围是（ ）
A. B. C. D.
【正确答案】B
解析：由题意可得，，
则
，
由可得，即，
解得，
即，
又，则时，.
故选：B
8. 已知函数，的定义域为，是的导数，且，，若为偶函数，则（ ）
A 80B. 75C. 70D. 65
【正确答案】B
解析：因为为偶函数，则，求导可得，
因为，，
则，可得，
且，则，可得，
即，可得，可知8为的一个周期，
且，
对于，，
令，可得，，可得，
所以.
故选：B.
二、多项选择题（共3题，每题6分，共18分）
9. 以下四个命题表述正确的是（ ）
A. 圆的圆心到直线的距离为2
B. 直线恒过定点
C. 圆与圆恰有三条公切线
D. 圆与的公共弦所在直线方程为
【正确答案】BC
解析：对于A，由圆得圆心，所以圆心到直线的距离为，故A错误；
对于B，因为直线，令，则，所以该直线恒过定点，故B正确；
对于C，由圆得，故，；
由圆得，故，；
所以，故圆与圆外切，恰有三条公切线，故C正确；
对于D，由减，得，即，故两圆的公共弦所在直线方程为，故D错误.
故选：BC.
10. 某校在运动会期间进行了一场“不服来战”对抗赛，由篮球专业的1名体育生组成甲组，3名非体育生的篮球爱好者组成乙组，两组进行对抗比赛.具体规则为甲组的同学连续投球3次，乙组的同学每人各投球1次.若甲组同学和乙组3名同学的命中率依次分别为，则（ ）
A. 乙组同学恰好命中2次的概率为
B. 甲组同学恰好命中2次的概率小于乙组同学恰好命中2次的概率
C. 甲组同学命中次数方差为
D. 乙组同学命中次数的数学期望为
【正确答案】BCD
解析：对于A中，设“乙组同学恰好命中2次”为事件，则，所以A错误；
对于B中，设“甲组同学恰好命中2次”为事件，则，因为，所以B正确；
对于C中，因为甲组同学每次命中的概率都为，设甲组同学命中次数为，则，可得，所以C正确；
对于D中，设乙组同学命中次数为随机变量，则的所有可能取值为，
所以，
，
，
故，所以D正确.
故选：BCD.
11. 如图，四边形为正方形，平面，，记三棱锥，，的体积分别为，则（ ）
A. B.
C. D.
【正确答案】CD
解析：
设，因为平面，，则，
，连接交于点，连接，易得，
又平面，平面，则，又，平面，则平面，
又，过作于，易得四边形为矩形，则，
则，，
，则，，，
则，则，，，故A、B错误；C、D正确.
故选：CD.
三、填空题
12. 函数的单调递增区间是_____________.
【正确答案】
解析：由对数函数的定义域可得，解得或，
由于是单调递增函数，所以要求的递增区间，
只需求二次函数的递增区间即可，
由二次函数的性质可得的递增区间为，
结合函数定义域可得的递增区间为，
故答案为.
13. 盒中有个红球，个黑球，今随机地从中取出一个，观察其颜色后放回，并加上同色球个，再从盒中抽取一球，则第二次抽出的是黑球的概率是_________．
【正确答案】##
解析：记事件：第一次抽取的是黑球；事件：第二次抽取的是黑球；则；
，；，，
.
故答案为.
14. 已知函数，函数的图象在点和点的两条切线互相垂直，且分别交y轴于M，N两点，则取值范围是_______．
【正确答案】
解析：由题意，，则，
所以点和点，,
所以，
所以，
所以，
同理,
所以.
故
四、解答题（15题13分，16、17题15分，18、19题17分，要求有必要的解答过程）
15. 已知等差数列满足，．
（1）求的通项公式；
（2）记，求．
【正确答案】（1）
（2）
【小问1解析】
设数列的公差为，由题意可知：，
所以.
小问2解析】
由（1）可知：，显然为等比数列，且公比，
设，因为，
所以数列是以首项，公比为的等比数列，
所以.
16. 已知的内角，，的对边分别为，，，且．
（1）判断的形状；
（2）若，且的面积为，求角．
【正确答案】（1）等腰三角形
（2）
【小问1解析】
由正弦定理，
，
因，则，，则为等腰三角形；
【小问2解析】
由（1）设等腰三角形两腰，即c，a为x，
则由图结合勾股定理可得，边b对应的高为，
则，即为等边三角形，则角为.
17. 已知双曲线：的左顶点为，右焦点为，动点在双曲线上，当时，.
（1）求的离心率；
（2）已知，，两点在双曲线的渐近线上，且分别位于第一、四象限.若，求的面积.
【正确答案】（1）2； （2）.
【小问1解析】
设，将代入双曲线方程得，此时，
所以，即，，
则，所以（负值舍去），
故的离心率为2.
【小问2解析】
因为，由（1）知，
双曲线方程为：，渐近线方程为，
设，
则，
所以，
又在双曲线上，所以，整理得：，
由渐近线方程为得，
所以的面积为
.
18. 如图，在三棱锥中，，，，，BP，AP，BC的中点分别为D，E，O，，点F在AC上，.

（1）证明：平面；
（2）证明：平面平面BEF；
（3）求二面角的正弦值.
【正确答案】（1）证明见解析；
（2）证明见解析； （3）.
【小问1解析】
连接，设，则，，，
则，
解得，则为的中点，由分别为的中点，

于是，即，则四边形为平行四边形，
，又平面平面，
所以平面.
【小问2解析】
法一：由（1）可知，则，得，
因此，则，有，
又，平面，
则有平面，又平面，所以平面平面.
法二：因为，过点作轴平面，建立如图所示的空间直角坐标系，
，
在中，，
在中，，
设，所以由可得：，
可得：，所以，
则，所以，，
设平面的法向量为，
则，得，
令，则，所以，
设平面的法向量为，
则，得，
令，则，所以，
，
所以平面平面BEF；
【小问3解析】
法一：过点作交于点，设，
由，得，且，
又由（2）知，，则为二面角的平面角，
因为分别为的中点，因此为的重心，
即有，又，即有，
，解得，同理得，
于是，即有，则，
从而，，
在中，，
于是，，
所以二面角的正弦值为.

法二：平面的法向量为，
平面的法向量为，
所以，
因为，所以，
故二面角的正弦值为.
19. 函数.
（1）当时，讨论的单调性；
（2）若函数有两个极值点，，曲线上两点，连线的斜率记为.
（ⅰ）求实数的取值范围；
（ⅱ）求证.
（3）盒子中有编号为1-100的100个小球（除编号外无区别），有放回地随机抽取20个小球，记抽取的20个小球编号各不相同的概率为，求证.
【正确答案】（1）递增区间为：和，递减区间为：
（2）（ⅰ） （ⅱ）证明见解析
（3）证明见解析
【小问1解析】
当时，函数，∴函数的定义域为，
.
令，解得或；令，解得.
的递增区间为：和，递减区间为.
【小问2解析】
（ⅰ）函数的定义域为，.
令得.
∵函数有两个极值点，，
∴方程在上有两个不等的实数根，
，解得.
故实数的取值范围为.
（ⅱ）由题知，
所以要证明，只需证明，即证，
不妨设，即证.
设，函数，，
∴函数在上单调递增，，成立，原不等式得证.
【小问3解析】
由题知：，，.
由（2）（ⅱ）知时，.
取，则，即，，即，.