中考数学二轮培优训练第03讲 截长补短模型（2份，原卷版+解析版）

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截长补短法在初中几何教学中有着十分重要的作用,它主要是用来证线段的和差问题,而且这种方法一直贯穿着整个几何教学的始终.那么什么是截长补短法呢?所谓截长补短其实包含两层意思,即截长和补短.截长就是在较长的线段上截取一段等于要证的两段较短的线段中的一段,证剩下的那一段等于另外一段较短的线段.当条件或结论中出现a+b=c时，用截长补短．
1、补短法：通过添加辅助线“构造”一条线段使其为求证中的两条线段之和，在证所构造的线段和求证中那一条线段相等；
2、截长法：通过添加辅助线先在求证中长线段上截取与线段中的某一段相等的线段，在证明截剩部分与线段中的另一段相等。
3、截长法与补短法，具体做法是在某条线段上截取一条线段与特定线段相等，或是将某条线段延长，使之与特定线段相等，再利用三角形全等的有关性质加以说明，这种做法一般遇到证明三条线段之间关系是常用.
如图1，若证明线段AB,CD,EF之间存在EF=AB+CD,可以考虑截长补短法.
截长法：如图2，在EF上截取EG=AB,在证明GF=CD即可；
补短法：如图3，延长AB至H点，使BH=CD,再证明AH=EF即可.
【多题一解】
1．（2021·内蒙古·呼和浩特市敬业学校九年级期中）如图，在正方形ABCD中，AB＝2，点M为正方形ABCD的边CD上的动点（与点C，D重合）连接BM，作MF⊥BM，与正方形ABCD的外角∠ADE的平分线交点F，设CM＝x，△DFM的面积为y，求y与x之间的函数关系式．
2．（2022·江苏徐州·模拟预测）（1）如图1，在四边形ABCD中，AB＝AD，∠B＝∠D＝90°，E、F分别是边BC、CD上的点，且∠EAF＝∠BAD，线段EF、BE、FD之间的关系是 ；（不需要证明）
（2）如图2，在四边形ABCD中，AB＝AD，∠B+∠D＝180°，E、F分别是边BC、CD上的点，且∠EAF＝∠BAD，（1）中的结论是否仍然成立？若成立，请证明．若不成立，请写出它们之间的数量关系，并证明．
（3）如图3，在四边形ABCD中，AB＝AD，∠B+∠D＝180°，E、F分别是边BC、CD延长线上的点，且∠EAF＝∠BAD，（1）中的结论是否仍然成立？若成立，请证明．若不成立，请写出它们之间的数量关系，并证明．
3．（2022·贵州遵义·一模）已知：如图所示△ABC．
(1)请在图中用无刻度的直尺和圆规作图：作∠BAC的平分线和BC的垂直平分线，它们的交点为D．（不写作法，保留作图痕迹）
(2)若AB＝15，AC＝9，过点D画DE⊥AB，则BE的长为 ．
4．（2020·全国·九年级课时练习）如图，A、P、B、C是⊙O上四点，∠APC=∠CPB=60°．
（1）判断△ABC的形状并证明你的结论；
（2）当点P位于什么位置时，四边形PBOA是菱形？并说明理由．
（3）求证：PA+PB=PC．
5．（2021·全国·九年级专题练习）通过类比联想、引申拓展典型题目，可达到解一题知一类的目的．下面是一个案例，请补充完整．
【解决问题】
如图，点E、F分别在正方形ABCD的边BC、CD上，，连接EF，则，试说明理由．
证明：延长CD到G，使，
在与中，
∴理由：（SAS）
进而证出：___________，理由：（__________）
进而得．
【变式探究】
如图，四边形ABCD中，，点E、F分别在边BC、CD上，．若、都不是直角，则当与满足等量关系________________时，仍有．请证明你的猜想．
【拓展延伸】
如图，若，，，但，，连接EF，请直接写出EF、BE、DF之间的数量关系．
6．（2021·北京·九年级专题练习）在四边形中，是边的中点．

（1）如图（1），若平分，，则线段、、的长度满足的数量关系为______；（直接写出答案）
（2）如图（2），平分，平分，若，则线段、、、的长度满足怎样的数量关系？写出结论并证明．
7．（2020·北京市第一零一中学温泉校区三模）在中，，，点在直线上(除外)，分别经过点和点作和的垂线，两条垂线交于点，研究和的数量关系．
（1）某数学兴趣小组在探究的关系时，运用“从特殊到一般”的数学思想，他们发现当点是的中点时，只需要取边的中点(如图1)，通过推理证明就可以得到和的数量关系，请你按照这种思路直接写出和的数量关系；
（2）那么当点是直线上(除外)(其它条件不变)，上面得到的结论是否仍然成立呢？请你从“点在线段上”，“点在线段的延长线”，“点在线段的反向延长线上”三种情况中，任选一种情况，在图2中画出图形，并证明你的结论；
（3）当点在线段的延长线上时，若()，请直接写出的值．
8．（2021·全国·九年级专题练习）例：截长补短法，是初中几何题中一种添加辅助线的方法，也是把几何题化难为易的一种策略．截长就是在长边上截取一条线段与某一短边相等，补短就是通过延长或旋转等方式使两条短边拼合到一起，从而解决问题．
（1）如图1，△ABC是等边三角形，点D是边BC下方一点，∠BDC=120°，探索线段DA、DB、DC之间的数量关系．
解题思路：将△ABD绕点A逆时针旋转60°得到△ACE，可得AE=AD， CE=BD，∠ABD=∠ACE，∠DAE=60°，根据∠BAC+∠BDC=180°，可知∠ABD+∠ACD=180°，则 ∠ACE+∠ACD=180°，易知△ADE是等边三角形，所以AD=DE，从而解决问题．
根据上述解题思路，三条线段DA、DB、DC之间的等量关系是___________；
（2）如图2，Rt△ABC中，∠BAC=90°，AB=AC．点D是边BC下方一点，∠BDC=90°，探索三条线段DA、DB、DC之间的等量关系，并证明你的结论．
9．（2020·全国·九年级专题练习）如图，四边形为矩形，为对角线上一点，过点作交于点，交的延长线于点，连接，当时，求证：．
10．（2020·全国·九年级专题练习）如图，在正方形中，点、均为中点，连接、交于点，连接，证明：．
11．（2021·北京·清华附中九年级阶段练习）已知，A为射线上一定点，B为射线上动点（不与点O重合）连接，取的中点C，连接．在射线上取一点D，使得．
（1）若，
①如图1，当时，在图1中补全图形，并写出的值；
②如图2，当时，猜想的值是否为定值．若是，求出该定值；若不是，说明理由；
（2）如图3，若，直接写出的值．
12．（2022·安徽合肥·一模）已知：如图1，△ABC中，∠CAB=120°， AC=AB，点D是BC上一点，其中∠ADC=α（30°＜α＜90°），将△ABD沿AD所在的直线折叠得到△AED，AE交CB于F，连接CE
(1)求∠CDE与∠AEC的度数（用含α的代数式表示）；
(2)如图2，当α=45°时，解决以下问题：
①已知AD=2，求CE的值；
②证明：DC-DE=AD；
13．（2021·四川成都·九年级期末）如图1，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝BC，将点C绕点B顺时针旋转105°得到点D，连接BD，过点D作DE⊥BC交CB延长线于点E，点F为线段DE上的一点，且∠DBF＝45°，作∠BFD的角平分线FG交AB于点G．
（1）求∠BFD的度数；
（2）求BF，DF，GF三条线段之间的等量关系式；
（3）如图2，设H是直线DE上的一个动点，连接HG，HC，若AB＝，求线段HG+HC的最小值（结果保留根号）．
14．（2021·四川成都·二模）如图，点C在以AB为直径的⊙O上，BD平分∠ABC交⊙O于点D，过D作BC的垂线，垂足为E．
（1）求证：DE与⊙O相切；
（2）若AB＝6，tanA＝，求BE的长；
（3）线段AB，BE，CE之间有何数量关系？写出你的结论并证明．
15．（2020·黑龙江哈尔滨·九年级期中）如图，中，点D在边上，且．

（1）求证：；
（2）点E在边上，连接交于点F，且，，求的度数．
（3）在（2）的条件下，若，的周长等于30，求的长．
16．（2020·全国·九年级专题练习）如图①，直线与⊙O相交于，两点，是⊙O的直径，是圆上一点，于点，连接，且平分．
（1）求证：是⊙O的切线；
（2）若，，求⊙O的半径；
（3）如图②，在（2）的条件下，点是劣弧上一点，连接，，，问：线段、、之间存在什么数量关系？请说明理由．
17．（2022·福建三明·九年级期末）在菱形ABCD中，，点E，F分别在边AB，AD上，且AE＝DF，BF与DE交于点G．
(1)如图①，连接BD．求证：△ADE≌△DBF；
(2)如图②，连接CG．求证：BG＋DG＝CG．
18．（2021·黑龙江·哈尔滨市第一一三中学校九年级阶段练习）如图，等边△ABC内接于⊙O，点D是弧AC上一点，连接BD交AC于E．
（1）如图1，求证∠ADB＝∠CDB；
（2）如图2，点F为线段BD上一点，连接CF，若∠BCF＝2∠ABD时，求证：BF＝DE+AD；
（3）在（2）的条件下，作∠BCF的平分线交⊙O于M，在CM上取点R，连接AR交CF于点T，若TR＝1，MR＝5，∠CAT＝3∠ACD，求AT的长．
19．（2022·浙江湖州·一模）我们把有一个直角，而且其中一条对角线平分一个内角的四边形叫做直分四边形．
（1）如图，在每个小正方形的边长为1的网格中，矩形的四个顶点都在格点上，请仅用无刻度的直尺分别在图1和图2的边上找出不同的点E，使得四边形是一个直分四边形．
（2）如图3，在直分四边形中，和互补，且，请求出的长度．
（3）如图4，在边长为2的正方形中，点E为的中点，F为上一点，使得，点G在的延长线上，连结交于点H，且．
①请证明四边形为直分四边形．
②求证：．
20．（2021·重庆八中一模）如图1，在四边形ABCD中，AC交BD于点E，△ADE为等边三角形．
（1）若点E为BD的中点，AD＝4，CD＝5，求△BCE的面积；
（2）如图2，若BC＝CD，点F为CD的中点，求证：AB＝2AF；
（3）如图3，若AB∥CD，∠BAD＝90°，点P为四边形ABCD内一点，且∠APD＝90°，连接BP，取BP的中点Q，连接CQ．当AB＝6，AD＝4，tan∠ABC＝2时，求CQ＋BQ的最小值．
21．（2021·江苏淮安·一模）问题提出，如图1所示，等边△ABC内接于⊙O，点P是上的任意一点，连结PA，PB，PC．线段PA、PB、PC满足怎样的数量关系?

【尝试解决】为了解决这个问题，小明给出这样种解题思路：发现存在条件CA=CB，∠ACB=60°，从而将CP绕点逆时针旋转60°交PB延长线于点M，从而证明△PAC≌△MBC，请你完成余下思考，并直接写出答案：PA、PB、PC的数量关系是 ；
【自主探索】如图2所示，把原问题中的“等边△ABC”改成“正方形ABCD”，其余条件不变，
①PC与PA，PB有怎样的数量关系?请说明理由：
②PC+PD与PA，PB的数量关系是 ．（直接写出结果）
【灵活应用】把原问题中的“等边△ABC”改成“正五边形ABCDE”，其余条件不变，则PC+PD+PE与PA+PB的数量关系是 ．（直接写出结果）
【一题多解】
包括两个方面。一是一题多种解法。二是一题多个解。下面对多种解法进行分析
【类型】一、截长
“截长”是指在较长的线段上截取另外两条较短的线段，截取的作法不同，涉及四种方法。
方法一：
如图2所示，在BF上截取BM=DF，
易证△BMC≌△DFC（SAS），
则MC=FC=FG，∠BCM=∠DCF，
可得△MCF为等腰直角三角形，
又可证∠CFE=45°，∠CFG=90°，
∠CFG=∠MCF，FG∥CM，
可得四边形CGFM为平行四边形，则CG=MF，
于是BF=BM+MF=DF+CG.
图2
方法二：
如图2所示，在BF上截取FM=GC，
可证四边形GCFM为平行四边形，
可得CM=FG=CF；
可得∠BFC=∠BDC=45°，得∠MCF=90°；
又得∠BMC=∠DFC=135°，
于是△BMC≌△DFC（AAS），BM=DF，
于是BF=FM+BM=CG+DF.
上述两种方法中都利用了两个共顶点的等腰Rt△BCD和△MCF。
方法三：
如图3所示，在BF上截取FK=FD，得等腰Rt△DFK，
可证得∠DFC=∠KFG=135°，
所以△DFC≌△KFG（SAS），
所以KG=DC=BC，
∠FKG=∠FDC=∠CBF，KG∥BC，
得四边形BCGK为平行四边形，BK=CG，
于是BF=BK+KF=CG+DF.
图3
方法四：[来源:Z#xx#k.Cm]
如图3所示，在BF上截取BK=CG，
可得四边形BCGK为平行四边形，
BC=GK=DC，BC∥KG，
∠GKF=∠CBF=∠CDF，
根据四边形BCFD为圆的内接四边形，
可证得∠BFC=45°，∠DFC=∠KFG，
于是△DCF≌△KGF（AAS），DF=KF，
于是BF=BK+KF=CG+DF.
上述两种方法中都利用了两个共顶点的等腰Rt△BDC和△KDF。
【类型】二、补短
“补短”指的是选取两条较短线段中的一条进行延长，使得较短的两条线段共线并寻求解题突破，根据辅助线作法的不同也涉及四种不同的方法。
方法五：
如图4所示，延长GC至N，使CN=DF，
易证△CDF≌△BCN（SAS），
可得CF=FG=BN，∠DFC=∠BNC=135°，
又知∠FGC=45°，可证BN∥FG，
于是四边形BFGN为平行四边形，得BF=NG，
所以BF=NG=NC+CG=DF+CG.
图4
方法六：
如图4所示，延长GC至N，使NG=BF，
得四边形BFGN为平行四边形，
所以BN=GF=CF，
又∠DCF+∠CDF=∠CBN+∠BCN=45°，
得∠DCF=∠CBN，
又CD=BC，可证△CDF≌△BCN（SAS），
DF=CN，以下从略.
方法七：
如图5所示，延长CG至P，使CP=BF，连接PF，
则四边形CPFB为平行四边形，PF=BC=DC，
又∠BFC=45°，∠PFE=∠DEC，
因为∠PFG=∠FGC－∠P= 45°－∠P，
∠DCF=∠CFE－∠CDF=45°－∠CDF，
又可证∠P=∠CBF=∠CDF，于是∠PFG=∠DCF，
所以△PFG≌△DCF（SAS），PG=DF，
于是BF=CP=CG+PG=CG+DF.
图5
方法八：
如图5所示，延长CG至P，使GP=DF，连接PF，
可证∠DFC=∠PGF=135°，FC=CF，
所以△DFC≌△PGF（SAS），
所以DC=PF=BC，
∠P=∠CDF=∠CBF=∠PCE，BC∥FP，
所以四边形BCPF为平行四边形，
所以BF=CP=CG+PG=CG+DF.
方法九：
如图6所示，延长DE至Q，
使DQ=BF，连接CQ，GQ，
可证△BCF≌△DCQ（SAS），
CF=CQ，∠BCF=∠DCQ，
于是可得∠FCQ=∠BCD=90°，
所以△FCQ为等腰直角三角形，
可得四边形FCQG为正方形，FQ=CG，
所以BF=DQ=DF+FQ=DF+CG.
图6
方法十：
如图6所示，延长FE至Q，使FQ=CG，通过证明四边形FCQG为正方形，△BCF≌△DCQ，同样可以证明结论成立。感兴趣的读者可以自行证明，详细思路从略。
方法十一：
如图7所示，延长FD至H，使DH=CG，
可证得∠BDF=∠BDC+∠CDF，
∠ECF=∠FCG+∠CEG，
于是∠BDF=∠ECF，
则∠BDH=∠BCF，
所以△BDH∽△BCF（SAS），
得∠H=∠BFC=45°，
所以△BFH为等腰直角三角形，
于是BF=HF=DF+DH=DF+CG.
图7
方法十二：
如图7所示，延长FD至H，使FH=BF，
可得△BFH为等腰直角三角形，
于是∠HBD=∠FBC，又∠H=∠BFC=45°，
所以△BDH∽△BCF，
所以BF=HF=DF+DH=DF+CG.
经过上述分析，可知采取不同的切入点，解题思路会有差异。
1．（2021·广东茂名·九年级阶段练习）在中，直线经过点，于，于，于．请解答下列问题：
（1）如图①，求证：；（提示：过点作于）
（2）如图②、图③，线段，，之间又有怎样的数量关系？请写出你的猜想，不需要证明；
（3）在（1）（2）的条件下，若，，，则______．
2．（2020·全国·九年级专题练习）（1）方法选择
如图①，四边形是⊙O的内接四边形，连接，，，求证：．小颖认为可用截长法证明：在上截取，连接……小军认为可用补短法证明：延长至点，使得……请你选择一种方法证明．
（2）类比探究
探究1
如图②，四边形是⊙O的内接四边形，连接，，若是⊙O的直径，，试用等式表示线段，，之间的数量关系，并证明你的结论．
探究2
如图③，四边形是⊙O的内接四边形，连接，．若是⊙O的直径，，则线段，，之间的等量关系式是______．

3．（2022·河南南阳·三模）在正方形ABCD中，过点B作直线l，点E在直线l上，连接CE，DE，其中，过点C作于点F，交直线l于点H．
（1）当直线l在如图①的位置时
①请直接写出与之间的数量关系______．
②请直接写出线段BH，EH，CH之间的数量关系______．
（2）当直线l在如图②的位置时，请写出线段BH，EH，CH之间的数量关系并证明；
（3）已知，在直线l旋转过程中当时，请直接写出EH的长．